CC BY
78
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Том VI 1 9 7 5
№ 3
УДК 533.6.011.8
РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ВДОЛЬ ПОТОКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА
А. И. Ерофеев, В. А. Перепухов
Приводятся результаты расчета методом Монте-Карло аэродинамических характеристик и поля течения для плоской пластины бесконечного размаха, расположенной под нулевым углом атаки к потоку разреженного одноатомного газа. Расчеты проведены для чисел Мсо = 2, 5, 10, 20 в диапазоне Не0£ =0-5-70 в предположении, что температура пластины равна температуре торможения, а коэффициент вязкости линейно зависит от температуры.
1. Описание метода расчета. Задача об обтекании пластины конечной длины потоком разреженного газа при числах Кнудсена Кпоо<Л является одним из наиболее простых примеров пространственного обтекания тел в переходной области, в котором можно проследить за влиянием разреженности на харакіер обтекания и обнаружить ряд интересных явлений. К таким явлениям, например, относится немонотонный характер зависимости аэродинамических характеристик от числа Кп<х>. В настоящее время достигнуты значительные успехи в решении кинетических уравнений для переходного режима обтекания между свободномолекулярным режимом и режимом сплошной среды. В частности, задача об обтекании пластины рассматривалась в работах [1—9], причем в работах [6—9] проводилось решение модельных уравнений, а не уравнения Больцмана.
В настоящей работе в качестве метода расчета был применен один из вариантов метода Монте-Карло — метод Берда [1, 2, 10], в котором прослеживается движение ансамбля молекул, моделирующих реальный газ, причем соударения между молекулами определяются в соответствии с выбранной статистической моделью. Около обтекаемого тела выделяется некоторый объем, который разбивается на ячейки с линейным размером А, меньшим местной длины свободного пробега. В каждую пространственную ячейку помещается некоторое количество молекул со скоростями, соответствующими начальной функции распределения (вообще говоря, произвольной). Процессы движения молекул и столкновений между ними рассматриваются последовательно. Для этого выбирается
контрольное время 4> которое должно быть мало по сравнению со временем свободного пробега молекул и велико по сравнению со временем, за которое в среднем происходит одно столкновение. Затем предполагается, что в течение времени сначала молекулы неподвижны, но между ними происходят столкновения (сталкиваться могут молекулы, принадлежащие одной геометрической ячейке), а затем они перемещаются в соответствии со своими скоростями в течение времени tж. Затем снова „замораживаются“ координаты молекул, производятся столкновения и т. д.
Столкновения описываются статистически следующим образом*. Из молекул, находящихся в данной геометрической ячейке, произвольно выбирается пара молекул вне зависимости от расстояния между ними и рассчитываются условия их столкновения с вероят-
V—5
ностью, пропорциональной ^~1, где g—относительная скорость пары молекул. Поясним эту процедуру. Запишем число столкновений, происходящих между молекулами со скоростями V х и и параметрами столкновений Ь и е в объеме с1г
у-5 2
dN = /(У,) / (1?2) ГЬ (2АГ1у~1 ЛЬ (1г йУ1йУ2й7. (1)
Разделив на ./V— общее число столкновений (в предположении, что они происходят на расстоянии между молекулами не больше Ьтах), получим вероятность данного столкновения
у-5
■п = ~= «-2/(Уг)/(У,) Ф (Ь, е) йЬ йгс1 V, ¿Т>2; (2)
здесь п — плотность молекул,
< «Ц = п- /(У,)/(У2) й уха й;
— 00
Ф(Ь, ¿) — (кЬ2тЛУ)~1 Ь.
Из (2) следует, что если скорости молекул заданы в соответствии
с функцией распределения f(V), а именно так организован процесс в методе Берда, то, выбирая молекулы равновероятно из данной ячейки, получим, что вероятность столкновения действительна
у—5
пропорциональна й”'-1 .
При каждом столкновении в ячейке накапливается сумма времен
. ; М\‘ : I _2_ 1-1
^/=2А^с_11^тах(2^Г-1^-1«] , (3>
где А^с — количество молекул в ячейке.
Процесс столкновения заканчивается, когда 24 г = 4- В [10]
£
показывается, что при таком построении процесса при достаточно большом А^с моделируемая частота столкновений совпадает с частотой столкновений, получаемой из уравнения Больцмана.
* Пусть сила взаимодействия молекул между собой описывается степенным законом Р(г) = К\Г~'>, где г — расстояние между ними; Къ м — константы.
2. Постановка задачи. Поле течения разбивается на квадратные ячейки, линейный размер которых h полагался существенно меньше длины свободного пробега молекул в потоке. Размер области течения по оси л; изменялся от 20h до ЗОЛ, а по оси у — от 15А до 20 h. Бесконечно тонкая пластина длиной L помещалась в плоскости xz. В каждую ячейку в начальный момент времени помещалось N0 молекул, скорости которых выбирались в соответствии с максвелловской функцией распределения с наложенной скоростью £/со в направлении х.
Граничные условия задавались следующим образом. На границе вверх по потоку функция распределения по скоростям предполагалась невозмущенной и на каждом шаге по времени производилось „вбрасывание“ определенного числа молекул в соответствии с величиной потока молекул, пересекающих границу за время 4
dloo= Vx «ос (2^7--;-) exp(^- ——V* ) dVíKF,
где F — площадь границы.
На границе вдоль оси х предполагалось условие зеркального отражения, а при столкновении с пластиной—диффузного отражения с максвелловской функцией распределения с температурой, соответствующей температуре пластины Tw. На верхней границе (по оси у) и на границе вниз по потоку граничным условием считалось отсутствие градиента функции распределения.
В работе предполагалось, что температура пластины Tw равна температуре торможения Т0, а газ состоит из одноатомных молекул—максвелловских сфер, сечение столкновения которых о обратно пропорционально относительной скорости g, ° = где a0—const. При состояниях, близких к равновесным, коэффициент вязкости
2 КТ
такого газа пропорционален температуре: ¡л =----, где К — постоян-
°0
ная Больцмана.
Одним из параметров, определяющих возможность реализации метода расчета на ЭЦВМ, является начальное количество молекул N0 в ячейке, которое влияет как на объем необходимой для расчета памяти в ЭЦВМ, так и на время счета. Проведенные в работах [10, 11] оценки показывают, что для молекул—упругих сфер надежные результаты могут быть получены при числе молекул в ячейке
jVo>30. По-видимому, выполнение условия 4 = на каждом
І
шаге не является необходимым, а достаточно его выполнения в среднем. Кроме того, выполнение этого условия зависит и от вида закона взаимодействия между молекулами. В частности, для максвелловских молекул (v = 5) величина g не входит в выражение для 4 г і что позволяет надеяться на возможность уменьшения необходимого числа молекул в ячейке.
Для молекул — максвелловских сфер, так же как и для максвелловских молекул, величина g не входит в выражение для 4 г- Для этих молекул было исследовано влияние начального количества молекул Na в ячейке на картину обтекания. В качестве примера в таблице (1) приведены зависимости аэродинамических характеристик пластины от N0 для Моо=Ю, TW = T0 и Re0¿=9 и 12.
Reo L — —°°... , ft)—коэффициент вязкости, вычисленный по тем-
(*0
пературе торможения. .
No 10 20 30 40 м. 6 10 16 20
Сх 1,38 1,36 1,36 1,38 сх 1,53 1,53 1,59 1,52
сп 2,37 2,36 2,37 2,40 Сп 2,7 2,71 2,82 2,74
Из таблицы видно, что максимальный разброс значений сх и сп составляет не более 4,5% (сх, сп есть величины коэффициента сопротивления и нормальной силы, отнесенные к их свободномолекулярным значениям). Поэтому в дальнейшем в расчетах задавалась величина 7V0=10.
3. Результаты расчета. Расчеты проводились ДЛЯ чисел Мсо в диапазоне от 2 до 20 и диапазоне чисел Reo l от 0 до 70. В результате расчетов были получены поля плотности, температуры, скорости и аэродинамические ха-
/ с м M--2D
/
40
1 6" 10 31 'Re0
0,ч
0,3
ОЛ
0.1
Лг
10
Фиг. 1
10
б
Фиг. 2
-с* \
\
• Recj1Z X 22 S о 33 * SO,7 л 69 Й1 \[т
/ \ t
>Л7 \ \
, \ \
Л Л V
4 \
C. ЛІ
.А
Re„
рактеристики пластины. На фиг. 1 приведены зависимости сх и сп от числа Reo£. Из полученных расчетных данных следует, что зависимости ^(Иео!) и с„^ео!) в переходной области течения имеют максимумы; величина максимума тем больше, чем больше число Моо. Для зависимости г^ео/.) положение максимума с уменьшением числа Моо смещается в сторону меньших чисел Нео£- Аналогичное поведение аэродинамических характеристик было отмечено в работе [8], в которой вместо уравнения Больцмана использовалось модельное кинетическое уравнение.
На фиг. 2 представлена зависимость локального коэффициента трения от Иєох при Мсо = 5 и 20. Значения с{ были определены для пластин различной длины, т. е. для разных значений Яе0і — числа Рейнольдса, подсчитанного по длине пластины. Оказалось, что данные по при одних и тех же значениях Иеол:, но разных Иеоі, близки. Это говорит о том, что на величину область течения вниз по потоку не оказывает существенного влияния.
/Ао
Т\ \ 1
L> у ч
С.М [Л]
, 1
X 0L и 15 К
о 28
і 42
А S7
1-Re0-235
64
26,7
§
Фиг. 3
Аналогичный вывод был получен в работе [2]. На фиг. 2, а также приведены экспериментальные данные из работ [12, 13] (результаты работы [12] заимствованы из [6]) и результаты расчетов работы [14], полученные по теории пограничного слоя с учетом вязкого взаимодействия для одноатомного газа и ц— Т0’647. Сравнение показывает, что результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными работы [12], несмотря на то, что эксперименты проводились с двухатомным газом, а расчеты—для одноатомного. По-видимому, для выбранных условий (числа Моо, температурного фактора) учет внутренних степеней свободы молекул оказывает достаточно слабое влияние на трение, о чем свидетельствуют также данные работы [16]. В то же время результаты работы [16] указывают на сильное влияние на давление на пластину внутренних степеней свободы молекул. Этот факт выявляет причину расхождения между результатами расчетов данной работы и экспериментальными данными работы [17] (фиг. 3).
Из фиг. 2 видно, что полученные в данной работе результаты при Reo £~ 70 хорошо согласуются с результатами расчетов по теории пограничного слоя с учетом вязкого взаимодействия. Однако следует отметить, что при таких значениях числа Reol указанная теория, строго говоря, несправедлива.
На фиг. 3 приведена зависимость давления рщ на пластину от Re0j:. Полученные результаты показывают, что на пластине у задней кромки давление существенно падает, причем размер области, на которую влияет задняя кромка, возрастает с увеличением длины пластины. На фиг. 3 также приведены экспериментальные данные работы [17] и расчетные данные, полученные в работе [2] при Моо = 5,5 для молекул—упругих сфер, пересчитанные по параметру Re,,*. Можно отметить хорошее количественное сов-
падение расчетных результатов для разных законов взаимодействия между молекулами. Однако сравнение результатов, полученных в работе [2] и построенных в виде зависимости от Ие,,.*, для большего значения числа Мцо(Мсо = 12,9) для молекул — упругих
сфер и максвелловских молекул не дало такого хорошего совпадения. Это говорит о том, что необходимо более полное сравнение результатов для разных моделей взаимодействия между молекулами в переходной области. Отметим, что результаты данной работы (зависимость рт от Не0лг) для Моо = 10 хорошо согласуются с данными работы [2] для максвелловских молекул и Моо=12,9.
'' На фиг. 4 построены изолинии плотности для Моо = 5, 10, 20 и Ие0£ — 50,7. Видно, что с увеличением числаМ«, возмущенная зона прижимается к пластине и угол наклона „сжатого слоя“ уменьшается.
мво~в^^е.'чг
1 V
1 о Л
“V* и/5;
к ' V с
ч / о'
\ у Л
У
/ У /
•о /
) / /
ю
5
25
х
Фиг. 5
На фиг. 5 изображены профили плотности для различных расстояний от передней кромки пластины при М00 = 6,9 и 1?ео£ = 42. Здесь же приведены экспериментальные данные, полученные для воздуха [15]. Основные отличия расчетных и экспериментальных данных заключаются в углах наклона „сжатого слоя“ и в поведе-
нии зависимости р(^) в зоне течения, расположенной вблизи пластины. Из возможных причин расхождения расчетных и экспериментальных результатов отметим, во-первых, то, что методологическая погрешность эксперимента наибольшая именно в указанной выше зоне течения, а во-вторых, то, что эксперимент проводился с воздухом, а расчеты — для одноатомного газа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bird Q. A. Aerodynamic properties of some simple bodies in the hypersonis transition regime. AIAA J., vol. 4, N 1, 1966.
2. V о g e n i t z F. W., Broadwell I. E., Bird G. A. Leading edge flow by Monte-Carlo direct simulation technique. AIAA J., vol. 8, N 3, 1970.
3. Vogenitz F. W., Takata G. Y. Rarefied hypersonic flow about cones and flat plates by Monte-Carlo simulation. AIAA J., vol. 9, N 1, 1971.
4. Власов В. И. Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 11, № 6, 1971.
5. Черемисин Ф. Т. Решения плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе уравнения Больцмана. ДАН СССР, т. 209, № 4, 1973.
6. Huang А. В., Hartley D. L. Kinetic theory of the sharp leading edge problem in supersonic flow. Phys. Fluids, vol. 12, N 1, 1969.
7. Huang A. B. Kinetic theory of the rarefied supersonic flow over a finite plate. Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, 1969.
8. Шахов E. М. Продольное обтекание пластин потоком разреженного газа. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1973, № 2.
9. LH а х о в Е. М. Обтекание пластины потоком разреженного
газа. В сб. .Численные методы в динамике разреженных газов“. Труды ВЦ АН СССР. М., 1973. .
10. Bird G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation. Phys. Fluids, vol. 13, N 11, 1970.
11. Vogenitz F. W., Bird G. A., Broadwell I. E., Rungal-dierH. Theoretical and experimental study of rarefied supersonic flow about several simple shapes. AIAA J., vol. 6, N 12, 1968.
12. Moulic E. C. Univ. California, Berkley, Repf NSF Grant-2520, ser. 7, N 3, 1966.
13. Г а л к и н В. С., Гусев В. Н., Климова Т. В. Особенности обтекания и аэродинамические характеристики тел простейших форм в вязком гиперзвуковом потоке газа. „Инженерный журнал“, т. V, вып. 6, 1965.
14. Галкин В. С., Ж б а к о в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1187, 1970.
15. Гу с ев В. Н., Черникова Л. Г. Особенности обтекания пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 5, 1973.
16. Н u a n g А. В., Hwang P. F., G1 d d е n s D. P., S г I n 1 v а-s a n R. High-speed leading edge problem. «Phys. Fluids, 16, N 6, 1973.
17. Moulic E. S., M a s 1 a с h G. J. Induced pressure measurements on a shurp-edged insulated flat plate in low density hypersonic flow. RGD, suppl 4, vol. 2, 1967.
Рукопись поступила 27/XII 1973 г.
