Расчет обтекания пластины бесконечного размаха потоком разреженного газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VII 1976

№ 1

УДК 533.6.011.8

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНЫ БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА ПОТОКОМ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

А. И. Ерофеев, В. А. Перепухов

Приводятся результаты расчета методом Монте-Карло аэродинамических характеристик пластины бесконечного размаха, расположенной под углом атаки к потоку разреженного газа. Исследуется влияние температуры пластины, закона взаимодействия между молекулами, внутренних степеней свободы молекул. Расчеты проведены при числах Иео<:30 и = 5; 10. Проводится сопоставление полученных расчетных данных с экспериментальными результатами.

При гиперзвуковом обтекании тел потоком разреженного газа в случае

k

степенного закона взаимодеиствия между молекулами <р = —Г> гДе г — расстояние между молекулами; k, s — параметры, критериями подобия являются

Роо иа, 1

Re° =-----^----» TJT* Здесь р^, — плотность и скорость газа в

набегающем потоке, L — характерный размер тела, х — отношение удельных теплоемкостей, Tw — температура поверхности тела, Го—температура торможения, |х0 — коэффициент вязкости при температуре торможения. Ниже рассматривается влияние перечисленных параметров на аэродинамические характеристики и поле течения при обтекании пластины потоком разреженного газа.

Плоская пластина бесконечного размаха длиной L помещена под углом атаки а в гинерзвуковой поток разреженного газа. Пластина окружена прямоугольной областью Г (фиг, I), которая разбивается на малые квадратные ячейки размером h, внутри которых параметры газа считаются постоянными. Размер элементарной ячейки h выбирается меньшим местной длины свободного пробега молекул Метод расчета заключается в моделировании на ЭЦВМ движения ансамбля молекул, находящихся в области Г, причем процессы движения молекул и столкновения между ними рассматриваются последовательно (метод Берда). Подробное описание метода дано в работе 12]. Остановимся только на выборе числа молекул в ячейке в невозмущенной области течения — N0. В работе [2] отмечается, что для молекул-псевдомаксвелловских сфер, сечение столкновения которых а обратно пропорционально относительной скорости g, <з — во/g, где а0 = const, влияние начального числа молекул в ячейке N0 на картину обтекания мало. Так, при изменении Af0 от 6 до 40 разброс в величинах коэффициента сопротивления при Re0 = 9; 12 не превышал 4,5%. Поэтому основная масса расчетов для псевдомаксвелловских молекул проводилась при /V0=10, а при наибольших числах Re0 — при N0 — 6.

Для молекул-твердых сфер оказалось, что если количество сталкивающихся пар в ячейке определять методом Берда (см., например, [3]), то результаты

расчетов перестают зависеть от при М0> 30. Однако если количество столкновений определять по средней относительной скорости молекул, находящихся в данный момент времени в ячейке, то зависимость результатов от N0 уменьшается. Так, при изменении N0 от 10 до 50 при Нео=9 коэффициент сопротивления пластины, расположенной под нулевым углом атаки, практически не менялся, а изменения коэффициента нормальной силы составляли примерно 4%.

Приводимые в данной работе результаты для молекул-твердых сфер получены при N0=10. Естественно, что после определения числа столкновений в

ячейке выбор молекул для столкновения проводился с вероятностью, пропорциональной их относительной скорости. Расчеты проводились в предположении диффузного отражения молекул от поверхности с максвелловской функцией распределения с температурой, равной температуре пластины

1. Обтекание пластины при нулевом угле атаки. На фиг. 1 приведены зависимости коэффициентов сопротивления сх и нормальной силы сп от Rec для Моо=10 и нескольких значений температурного фактора. Кривые 1, 2, ¿относятся к псевдомаксвелловским молекулам, для которых ¡a — Т, кривая 4 рассчитана для молекул-твердых сфер (м. — У Т). Из качественных особенностей отметим поведение зависимости c*(Re0) при изменении TWIT0, а именно: величина максимума слабо зависит от температуры пластины, а место нахождения максимума сдвигается в сторону меньших значений Re0 при уменьшении Tw/T0. Аналогичный результат был получен и для Мда = 5. Сдвиг места положения максимума зависимости сх (Re0) отмечен и в работе [4] при решении модельного уравнения, где получена ббльшая, чем в нашем случае, зависимость величины максимума от температуры пластины.

Сравнение результатов расчетов для разных моделей молекул при TW=T0 показывает, что при Re0 ^10 влияние вида потенциала взаимодействия мало, но при Re0 = 20— 30 это влияние существенно, особенно на сп (ЗОИ при = 10 и Re0 = 34). Следует отметить, что при больших значениях

Re0 теория пограничного слоя с учетом вязкого взаимодействия дает такую зависимость сх и сп от закона Вязкости Г5]: при одном и том же значении Re0

величины сх и сп больше для ¡л— т-0,647 п0 Сравнению с величинами, рассчитанными при ¡i — Т, хотя эти различия и невелики (~10%). Таким образом, при Tw = Т0 влияние вида потенциала взаимодействия, по-видимому, наиболее сильно проявляется в переходйой области от режима сплошной среды до свободномолекулярного обтекания.

В работе [2] отмечалось, что на величину коэффициента трения су область течения вниз по потоку не оказывает существенного влияния, в то время как влияние задней кромки пластины на распределение давления существенно. С уменьшением Тт1Т0 влияние области течения вниз по потоку по-прежнему слабее на с* и уменьшается на распределение давления на пластину. На фиг. 2 представлены зависимости р^!раз от ^ео-г> полученные для пластин различной

длины, т. е. при разных Ие0£.

Влияние температурного фактора на поле плотности около пластины продемонстрировано на фиг. 3, на которой представлены профили плотности для случая = 5, Т9/Т0 = 1 (ІЇЄо= 33) и Г. - Г«, (Ие0= 31,5) в некоторых сечениях х/Ь. Видно, что при уменьшении Г^/Го плотность у пластины возрастает, а область сжатого слоя приближается к пластине.

2. Обтекание пластины при о. ф 0. Результаты расчета коэффициентов сопротивления и подъемной силы представлены на фиг. 4 для случаев: = 10,

Тт—Т0, молекулы —'псевдомаксвелловские сферы (¡а~Г). Здесь же для сравнения даны результаты расчетов работы [6] и экспериментальные данные из работы [1]. Расчетные данные для коэффициентов сопротивления согласуются с большой точностью, но для су при Ке0>10 существенно различаются (при Ке0 = 30 на 34% при а = 5° и

У

L

1.0

Риг

тс.

10

10- Т№= 0,1 Тв

2 3

1

^ 1- -Ke0^S

2- ñe0L = 1S

з- R&ol~ 24"

€5

10 Re,

Ол

о

У L У L

Ты II І! lí" \5 V ¿с \ї~ \ \ \ \ \ 1

МЦ j 'І І СЧ І ’ / \ \ \ > \ Я Ч А \ / / У / \ /

1,0 1,5

Фиг. 2

1,5 Фиг. 3

1,0 1,5 п//7„

на 24% при а =15°). Что касается сравнения результатов расчета с экспериментальными данными, то при сходстве зависимости сх и су от Re0 имеется существенное количественное расхождение. Из возможных причин такого расхождения отметим следующее: во-первых, расчеты проводились для одноатомного газа, а эксперимент — с двухатомным газом (расчеты, проведенные в работе [7] при i = 0 и Тщ, =0,1 Г0, указывают на сильное влияние внутренних степеней свободы молекул на величину давления на пластину); во-вторых, эксперимент проводился на пластине конечной толщины с 8 = 0,03 (8 = d¡L, d — толщина, ¿—длина пластины), а расчет — для 8=0. Проведенные в работе [8] расчеты с учетом толщины пластины показали, что в этом случае согласие с экспериментальными данными улучшается, особенно для коэффициента сопротивления.

3. Влияние внутренних степеней свободы молекул. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных, проведенное выше и в работах [2, 4, 6, 7], показывает, что имеется существенное расхождение в величинах сп при а ~ 0 и су, в то время как величины сх согласуются достаточно хорошо. Одной из возможных причин такого расхождения является различный молекулярный состав газов: одноатомные молекулы в расчетах, двухатомные — в эксперименте. Проведенный в работе [7] учет внутреннних степеней свободы молекул на основе решения модельного уравнения привел к лучшему согласованию экспериментальных и расчетных данных. В теории сплошной среды влияние внутренних степеней свободы проявляется через отношение удельных теплоемкостей х (% = 5/3 для одноатомного газа, г. = 7/5 для двухатомного газа при учете только вращательных степеней свободы и т. д.). Полученные на основе теории пограничного слоя с учетом вязкого взаимодействия результаты [5] показывают, что аэродинамические характеристики пластины существенно зависят от величины у..

В рамках метода прямого моделированйя попытка учета внутренних степеней свободы молекул сделана в работах [9, 10], в которых скорости молекул

после столкновения определяются статистическим способом с использованием равновесных условий. Представляется целесообразным учесть влияние внутренних степеней свободы на основе молекулярной модели. Наиболее простой моделью, по-видимому, является модель шероховатых сфер, подробное описание которой дано в [11]. Уравнение Больцмана для этой модели имеет вид

-%- = ] (/1/2— /1/2) °2 ^ *2 (1)

здесь f(c, ш) —функция распределения молекул по поступательным с и угловым

ш скоростям, а — диаметр молекулы, к— единичный вектор, направленный вдоль линии центров в момент столкновения.

Моделирование движения газа, состоящего из шероховатых сферических молекул, можно осуществить на основе методики, описанной в [2, 3]. Однако, как отмечалось выше, задача упрощается, если вероятность столкновения

0,3

0J

0,1

о

м

Лк

2

-9 Знслеримент s. m / ,

-%/

-со“ Гут I'o'y x = t/3

1-Rear10 ^ 1 2 V \

3-KeaZ3* Эксперимент m '

10 Ле,

ох

Фиг. 5

молекул не зависит от относительной скорости. Поэтому попытаемся для модели шероховатых сфер найти аналог псев-домаксвелловских молекул.

Предположим, что выполняется следующее условие

п°2 (g'k) = const = в]. (2)

Тогда, как это видно из (1), вероятность столкновения не зависит от относительной скорости. Предположим далее, что для выбранной пары молекул при столкновении скорости меняются в соответствии с законами столкновения шероховатых сфер с постоянным диаметром. С учетом этих двух предположений _ . столкновений, необходимые для вывода

уравнения Больцмана, остаются в силе. Для таких шероховатых псевдомаксвел-ловских молекул можно вычислить коэффициенты вязкости и теплопроводности

15 kT

1—х=5/3;

2-х=4/3;

X—*=5/3;

А-*=4/3;

Н—*=4/3;

О—эксперимент

Фиг. 4

Sqq—9,13;

sOO=9'13’ *00=9,13; $оо=9,13;

л'со=4> ^

8=0: о=0; 6=0 [6]; 0=0,03; 8=0,03;

предпосылки о наличии обратных

mQi

4 о, 225 е* Ч

(1 + s)2

3 + 10 е ’ 770 s + 161

135 s3 + 88 s* + 91 s + 10

(1 + •)»;

здесь е = 4//»гв*, где I—момент инерции молекул относительно диаметра.

При в -> 0 изменения линейных и уйювых скоростей происходят независимо, т. е. в этом случае имеет место вариант „гладких“ псевдомаксвелловских сфер,

для которых коэффициент вязкости ¡X = -Г_ . Отметим также, что молекулы- 4^

шероховатые сферы имеют три вращательные степени свободы, поэтому отношение удельных теплоемкостей х = 4/3.

Результаты расчета для шероховатых псевдомаксвелловских сфер при угле атаки а = 0 представлены на фиг. 1 (кривая 5 — t = 0, кривая 6 — s = 2/3). Расчеты

иа>

проведены при скоростном отношении Sx — — = 9,13 и Tw = Т0, причем

У 2R 7\

при з=0 температура торможения взята равной Т0 для одноатомного газа (% = 5/3). Закон отражения молекул от поверхности был взят диффузным с полной аккомодацией по поступательным и вращательным степеням свободы. На фиг. 5 представлены результаты расчета коэффициентов трения и давления на пластину для шероховатых псевдомаксвелловских молекул с s =2/3, которые показывают хорошее количественное совпадение с экспериментальными данными, взятыми из работ [12, 13]. Отметим, что полученные в работе [2] для псевдомаксвеллов-ских молекул расчетные данные по давлению при х = 5/3 превышали экспериментальные примерно в полтора раза.

На фиг. 4 приведены результаты расчета коэффициентов сопротивления и подъемной силы при обтекании пластины под углом атаки. Расчеты для шероховатых псевдомаксвелловских сфер выполнены при ^ = 9,13, Tw = Го (* = 4/3) и s = 2/3. Учитывая, что экспериментальные данные при наибольших числах Reo получены при Мю = 5,15 (•* = 1,4), расчеты проводили при Re0 = 20 с = 4,5. При Re0 = 20 было исследовано также влияние толщины пластины, причем, как и в эксперименте, относительное утолщение было взято равным 0,03. Полученные с учетом изменения числа Мю и толщины пластины данные говорят о том, что учет внутренних степеней свободы молекул приближает расчетные данные к экспериментальным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусев В. H.. К о г а н М. H., Пере пухов В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 1,

№ 1, 1970. "

2. Ерофеев А. И., Перепухов В. А. Расчет обтекания пластины, расположенной вдоль потока разреженного газа. .Ученые записки ЦАГИ“, т. VI, № 3, 1975.

3. Bird G. A. Direct simulation and the Boltzmann equation Phys.

Fluids, vol. 13, N 11, 1970.

4. Шахов E. M. Обтекание пластины потоком разреженного газа. В сб. „Численные методы в динамике разреженных газов*, вып. 1, ВЦ АН СССР, М., 1973.

5. Галкин В. С., Ж б а к о в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1187, 1970.

6. Власов В. И. Расчет аэродинамических характеристик плоской пластины бесконечного размаха в гиперзвуковом потоке разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. И, № 6, 1971.

7. Н и а п g А. В., Hwang Р. F., Giddens D. P., Srinivasa n R. High-speed leading edge problem Phys. Fluids, vol. 16, N 6,1973.

8. В л а с о в В. И. Расчет обтекания пластины под углом атаки потоком разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 1, 1973.

9. Bird G. A. Near continum Impact of underexpanded jet plume, on a wall. Proc. A1AA Computational Fluid Dynamic Conference. Palm Springs. Calif. July 19 —20, 1973.

10. Larsen P. S., Borgnakke G. Statistical collision model for simulating polyatomic gas with restricted energy exchange. R. G. D., Proc.

IX, Inter. Symp. Vol. 1, 1974.

11. Чепмен С., К а у л и н г Г. Математическая теория неоднородных газов. М., Изд. иностр. лит-ры, 1960.

12. Huang А. В., Hartley D. L. Kinetic theory of the sharp leading edge problem in supersonic flow. Phys. Fluids., vol. 12, N 1, 1969.

13. Moulic E. S., Mas lach G. J. Induced pressure measurements on a sharp-edged insulated flat plate in low density hypersonic flow.

RGD. suppl. 4, vol. 2, 971—992 (1967).

Рукопись поступила 25jII 1975 г.