CC BY
156. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1998.
7. Ewald J.R. Physiologische Untersuchungen über das Endorgan des Nervus Octavus. Wiesbaden: Bergmann, 1892.
Поступила в редакцию 27.08.2018
УДК 531/534+539.3
О ПОДХОДАХ К МОДЕЛИРОВАНИЮ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ УСЛОЖНЕННОЙ СТРУКТУРЫ
Г. Л. Бровко1
Рассматриваются подходы к аксиоматическому построению теоретических основ механики сплошной среды. Представлены основные понятия, законы, гипотезы классической теории механики сплошной среды и пути их модификации в неклассических вариантах теорий. В рамках классического варианта рациональной теории предложены новые аксиомы общей теории определяющих соотношений, для сред неклассического типа — подходы к аксиоматическому построению на примере рациональной механики моментных сред (континуума Коссера): введены специфические понятия тел с их атрибутами, взаимодействий и форм движений, даны соответствующие обобщения формулировок основных законов и гипотез, построены общие формы определяющих соотношений при произвольных и при малых деформациях (движениях). Обсуждаются подходы к построению моделей сред в соответствии с методом механического (конструктивного) моделирования, предложенным А.А. Ильюшиным.
Ключевые слова: механика сплошной среды, аксиоматическое построение, классические и неклассические подходы, основные понятия и законы, определяющие соотношения, метод механического моделирования.
The approaches to the axiomatic construction of the theoretical basis of continuum mechanics are considered. The main notions, laws, hypotheses of the classical theory of continuum mechanics and the ways of their modification for non-classic versions of theories are discussed. In the framework of the classical version of the rational theory, the new axioms for the general theory of constitutive relations are proposed. For the media of non-classical type, the approaches to axiomatic construction are studied by the example of the rational mechanics of moment media (Cosserat continuum): the specific notions of bodies with their attributes and the forms of their interactions and motions are introduced, the appropriate generalizations of the main laws and hypotheses are given, the general forms of constitutive relations at arbitrary and at small strains (motions) are analyzed. The approaches to the construction of medium models in accordance with the method of mechanical (constructive) modeling proposed by A.A. Ilyushin are considered.
Key words: continuum mechanics, axiomatic construction, classical and non-classical approaches, main notions and laws, constitutive relations, method of mechanical modeling.
Введение. В настоящей работе предлагаются подходы к построению и развитию основ классической механики сплошной среды [1, 2] и неклассической теории континуума Коссера [3] (моментной теории) в терминах и понятиях рациональной механики сплошных сред [4, 5].
Для краткости изложение ведется одновременно для классической и моментной теорий; в соотношениях подчеркиваниями выделены члены, присущие моментной теории.
1. Тела. Взаимодействия. Движения. Тело B рассматривается как регулярное замкнутое множество топологического пространства, гомеоморфного трехмерному евклидову аффинному пространству X, b € B — точка тела. Вселенная U = {B} — множество всех тел. В моментной теории тело рассматривается как матрица-носитель распределенных во всех его точках b жестких массивных включений, испытывающих перемещения вместе с точкой матрицы-носителя и способных вращаться вокруг этой точки с инерционным сопротивлением. Множество Q всех возможных расположений
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
(ориентаций) включений ш — многообразие, гомеоморфное многообразию Штифеля ^3,3 (V) орто-нормированных базисов трехмерного векторного евклидова пространства V [6] — трансляционного пространства аффинного пространства конфигураций X. Материальное ("начальное") распределение ориентаций включений в выбранной фиксированной отсчетной конфигурации тела имеет вид ш0 = ^ (b) с некоторой функцией
Тела B снабжаются массой — счетно-аддитивной неотрицательной функцией M : B ^ M (B) € R+, а в моментной теории также моментом инерции набора включений — счетно-аддитивной функцией тел со значениями в множестве L+ym (V) положительно-определенных симметричных тензоров второго ранга. В отсчетной конфигурации тела B с материальным распределением ориентаций включений шо = ^ (b) материальное значение момента инерции набора включений тела задается отображением C^ : B ^ C^ (B) € L+m (V).
Воздействие тела C на отделенное от него тело B характеризуется вектором силы f (B, C), а в моментной теории также моментом (антисимметричным тензором второго ранга) Minci (B, C) действия системы включений тела C на систему включений тела B (момент представляют также коаксиальным [7] вектором minci = coax Minci).
Понятие системы отсчета ф вводится согласно ньютоновским представлениям о разделенности мира событий W на пространство мест x € X и пространство моментов времени t € T, а именно как отображение ф : W ^ X х T. Замена системы отсчета ф на родственную ф* выражается заменой пары эйлеровых переменных (x, t) на пару (x*, t*) по формулам x* = x*0 (t) + Qfr (t) ■ (x — x0), t* = t + a (Qfr — тензор поворота старой системы отсчета относительно новой). Замена системы отсчета не влияет на выбор отсчетной конфигурации тел. Движением тела в заданной системе отсчета определяется актуальное положение точки тела (матрицы-носителя) x = х (b, t), а в моментной теории также актуальная ориентация ш = v (b, t) включения в точке b относительно материальной (отсчетной) ориентации ш0 = ^ (b) с ортогональным тензором Oinci (b, t): v (b, t) = Oinci (b, t) ■ ^ (b); при этом актуальное значение момента инерции набора включений тела B выражается по формуле Cv (B, t) = Jb Oinci (b, t) ■ dC<^ (b) ■ O?ci (b, t). Скорости поворотов включений и их моментов инерции в точке b € B выражаются тензором спина Oinci = Oinci ■ O?ci (либо коаксиальным ему вектором скорости вращения ^inci = coax Oinci).
2. Основные законы. Принимаются следующие аксиомы о поведении основных характеристик при замене системы отсчета.
Аксиома 1. Закон независимости массы и инерции включений от системы отсчета: 1) M* = M, 2) C^* = C^.
Следствие 1. Актуальные значения момента инерции при замене системы отсчета преобразуются по формуле Cv* = Qfr ■ Cv ■ Q^.
Аксиома 2. Закон соотнесенности силовых и моментных взаимодействий конфигурациям тел: 1) f* = Qfr ■ f, 2) Minci* = Qfr ' Minci ' Q^ (или minci* = (det Qfr) Qfr ■ minci).
Аксиома 3. Закон независимости мощности результирующих воздействий от системы отсчета: Wr* = Wr.
Вторые части аксиом 1 и 2 относятся к моментной теории, аксиома 3 — к классической и неклассической теориям.
Аксиомы обеспечивают сбалансированность и попарную уравновешенность систем сил и полных моментов.
Для выделенной системы тел (большой системы) сбалансированные результирующие силы fr и полные моменты mr Х0 (относительно какой-либо точки xo), а также (несбалансированные) результирующие моменты включений minci r представляются в виде сумм активных воздействий со стороны остальных тел большой системы (помечены верхним индексом (a)) и воздействий со стороны тел внешности большой системы — сил и моментов инерции (помечены индексом (s)):
0 = fr = f(a) + f(s), 0 = mr xo = rng + rng, minci r = m^ + m^. (1)
Определение 1. Система отсчета ф называется инерциальной для большой системы тел, если для любого тела B большой системы выполнены эквиваленции (вторая — для моментной теории):
(p (B,t)= const при t € [ti,t2]) ^ (f(s) (B,t) = 0 при t € [ti,t2]) , (qinci (B,t)= const при t € [ti,t2]) ^ (m^ (B,t)= 0 при t € [ti,t2])
(здесь p и qinci — количество движения тела и момент количества движения включений).
Для выделенной большой системы тел принимаются аксиомы инерции.
Аксиома 4. Первый закон инерции: для большой системы тел инерциальная система отсчета существует.
Аксиома 5. Второй закон инерции: во всякой системе отсчета, инерциальной для большой системы тел, для любого тела В из этой большой системы в любом движении
Р (В, *) = —(в) (В, *), 41ПС1 (В, *) = -ш^ (В, *).
Из аксиом 4 и 5 с учетом представлений (1) выводятся законы движения Эйлера—Коссера:
Р (В, *) = {(а) (В, *), 4x0 (В, *) = шХ0) (В, *). (2)
3. Гипотезы континуума. Уравнения движения. На основе гипотез о сплошности среды (диффеоморфности движения), о распределенности массы по объему, о распределенности моментов инерции включений по массе, о представлении силовых и моментных взаимодействий в виде массовых и поверхностных (контактных) и об их распределенности соответственно по массе и по площади поверхности контакта уравнения (2) приводятся к интегральным уравнениям движения Коши-Эйлера-Коссера
= J р (x, t) (x - ®q) х b(e) (x, t) dV + J (x - ®q) x t(e) (x, t) dS + nt rt
+ J р (x, t) m(e) (x, t) dV + J s(e) (x, t) dS,
(3)
где — область актуальной конфигурации тела, Г — ее граница, x и v — актуальное положение и скорость точки тела, ^inci — скорость вращения включений, р — плотность массы, jv — актуальное значение удельного момента инерции включений на единицу массы, b(e) и m(e) — массовые плотности внешних активных сил и внешних моментных воздействий на включения, t(e) и s(e) — векторы напряжений и моментных напряжений на границе тела; подчеркнуты слагаемые моментной теории.
Постулат Коши для вектора напряжений trc и аналогичный постулат Коши-Коссера для вектора моментных напряжений src (Гс — контактная поверхность в момент t, n — нормаль к ней в точке x € Гс)
trc (x, t) = t (n, x, t), src (x, t) = s (n, x, t)
приводят к фундаментальной теореме о существовании тензора напряжений Коши S и тензора моментных напряжений Коши-Коссера Sinci:
3 S (x, t) : t (n, x, t) = S (x, t) ■ П, 3 Sinei (x, t) : s (n, x, t) = Sinei (x, t) ■ n. (4)
С учетом массовых плотностей внутренних массовых сил b(i) и моментов m(i) (b(a) = b(i) + b(e), m(a) = m(i) + m(e)) равенства (4) позволяют представить уравнения (3) в виде полевых уравнений движения Коши-Коссера
pv = divS + pb(a), pü>incl • jv + p(u;incl x jv • u;incl - u;incl • jv x u;incl) = 6 : ST + divSincl + pm(a), (5)
где 6 — тензор Леви-Чивиты [7].
Подчеркнем, что в уравнениях (5) фигурируют массовые плотности полных (внешних и внутренних) массовых сил b(a) и моментов m(a).
Уравнения (3) и (5) обобщают известные уравнения моментной теории упругости [8].
4. Определяющие соотношения. Выражение мощности работы по преодолению внутренних сил определяет энергетически сопряженные пары обобщенных сил и обобщенных скоростей перемещений
(-рЬ(г),^ , (яушБ, V), (-ршм,, (skwБ, Пта^ - 01ПС1), (Б^сь У^псО,
где Пта;г и 0^ПС1 — тензоры скоростей вращений матрицы и включений.
Определяющие соотношения будем рассматривать как ограничения на динамический процесс
8Л(г\^8тсьтМ). (6)
х, Й, Ьч ', V, ДщсЬ т
4-1. Классические среды. Для классических сред динамический процесс (х, Б, Ь(г)) обобщает известное аналогичное понятие [4]. Предлагаемые новые принципы теории определяющих соотношений [9], учитывающие наличие внутренних массовых сил и возможное наличие внутренних кинематических связей, дают новую общую приведенную форму определяющих соотношений для классических сред:
Ф С х'Шо^О = 0, (7)
Б (х, *) = д (х, *) ■ С ([С* (х', в)] х,егПо; ^0 ; х) ■ (х,*) + (х, *) , (8)
Ь« (х, ¿) = д (хо, ¿) ■ Р ([С* (х', в)]х'бПо; ^; х) + ь«™ (х, ¿) , (9)
где уравнение (7) выражает внутренние кинематические связи, а соотношения (8) и (9) определяют отображениями С и р поле тензора напряжений и самоуравновешенное поле внутренних массовых сил в зависимости от истории процесса деформации (С — мера деформации Коши, С* — ее предыстория, д — ортогональный тензор полярного разложения градиента (аффинора) деформации А) с точностью до произвольных полей Б1па и Ь(г)1п<^, не совершающих работу на согласованных со связями (7) движениях (V — вектор скоростей, V — тензор скоростей деформаций):
Б1па : V = 0, I рЬ«1па ■ V ¿V = 0.
Для простых классических сред (простых тел) при отсутствии внутренних кинематических связей и в пренебрежении внутренними массовыми силами соотношения (7)—(9) сводятся к одному соотношению в форме Нолла [4, 5]:
Б (х, *) = д (х, *) ■ См ([X* (х, в)] ; х) ■ дТ (х, *) (X — правый тензор растяжений) или к эквивалентному ему соотношению Ильюшина [2]
Е(х,*) = С/ {[£* (х,в)]в>0 ;х)
(X — тензор условных напряжений Ильюшина, Е — тензор деформаций Грина).
4-2. Среды Коссера. Среду Коссера назовем простой, если тензоры напряжений Коши Б и Коши-Коссера Б1пс1 полностью определяются предысториями А*, 0*пс1 и УхО[пс1 аффинора деформации А, тензора ориентации включений 01пс1 и его градиента Ух01псь Для простых сред Коссера без кинематических связей примем в динамическом процессе (6) для простоты Ь(г) = 0, ш(г) = 0. Обозначив Т = (Б, Б1пс1), придем к определяющему соотношению Нолла-Коссера
Т (х, *) = д (х, *) ■ Гх* (х, в') , ОГт (х, в'') , дТ* (х, в'') ■ А^ (х, в'') ' ; х) ■ дТ (х, *) , (10)
где д — тензор полярного поворота, тензор третьего ранга А1пс1 = Ух01пс1 — градиент поворотов включений 0щс1, а 0гт = дТ ■ 0щс1 — тензор поворотов включений относительно матрицы.
При малых движениях (I — единичный тензор, I — характерная (наименьшая) длина участка монотонного изменения тензора 0тс1), когда
|А - 1| и А < 1, |01пс1 - 1| - А < 1, I |Ух 01пс1| - А < 1,
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2019. № 1
45
справедливы приближенные равенства
X = I + ^matrj Q = I + qmatrj Oincl = I + oincl, Orm = I qmatr + oinclj Q • Aincl = Vxoincb
где тензоры ematr, qmatr, oinci, 1Vxoinci — величины порядка A <C 1. При достаточно малых A (A ^ 0, l = const), используя обозначения ^matr = coaxqmatr, ^inci = coaxoinci для векторов малых поворотов матрицы и включений, получаем (10) в виде
Т (х, t) = F ((х, s') , (y[ncl (х, s") - y'matr (х, s")) , Vx^inci (х, s")] ; х) . (11)
У L -J s /
В частности, для упругих моментных сред [8] отображение F предысторий аргументов, стоящее в правой части равенства (11), сводится к функции f от текущих значений этих аргументов:
Т (Х, t) = f (ematr (Х, t) , (Ушс! (Х, t) - ymatr (Х, t)) , Vx^incl (x, t)] x) .
5. Метод механического моделирования. Предложенный А.А. Ильюшиным в [10, 11] метод механического (конструктивного) моделирования сред усложненной структуры предусматривает построение дискретной модели с детальным описанием ее элементов, специфических форм движений и взаимодействий, вывод уравнений движения и определяющих соотношений для дискретной модели и получение осредненной системы уравнений и соотношений для континуальной модели среды.
С использованием метода построены модели сред (классических, моментных, гетерогенных) [1215], свидетельствующие о принципиальной реализуемости конструктивных материалов с заданными свойствами, в том числе свойствами моментного типа, выявляющие новые формы интерактивных взаимодействий в гетерогенных средах и демонстрирующие в целом принципиальное совпадение результатов таких построений с результатами традиционных аксиоматических подходов, как в классических, так и в неклассических случаях.
Работа подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-01-00669).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1, 2. М.: Наука, 1984.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.
3. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Hermann, 1909.
4. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
5. Truesdell C., Noll W. The Nonlinear Field Theories of Mechanics (Enciclopedia of Physics. Vol. III/3). Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1965 (2nd Ed., 1992; 3rd Ed., 2004).
6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
7. Бровко Г.Л. Элементы математического аппарата механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2015.
8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
9. Brovko G.L. On general principles of the theory of constitutive relations in classical continuum mechanics // J. Eng. Math. 2013. 78. 37-53. DOI 10.1007/s10665-011-9508-y.
10. Бровко Г.Л., Ильюшин А.А. Об одной плоской модели перфорированных плит // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 83-91.
11. Бровко Г.Л., Ильюшин А.А. Модели и определяющие эксперименты в теории упругопластических процессов при конечных деформациях // А. А. Ильюшин. Труды. Т. 4: Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009. 148-159.
12. Бровко Г.Л. Об одной конструкционной модели среды Коссера // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2002. № 1. 75-91.
13. Brovko G.L., Grishayev A.G., Ivanova O.A. Continuum models of discrete heterogeneous structures and saturated porous media: constitutive relations and invariance of internal interactions //J. Phys. Conf. Ser. 2007. 62. 1-22.
14. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 1. 22-36.
15. Бровко Г.Л. Модели и задачи для наполненных пористых сред // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 33-44.
Поступила в редакцию 04.10.2017
