CC BY
45пии A.A. Ильюшина // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: Мат-лы VII Междунар. науч. симп. Тверь: Изд-во Твер. гос. техн. ун-та, 2011. 30-49.
50. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел. М.: Изд-во УРСС, 1998.
51. Трещёв A.A. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения. Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та, 2008.
52. Бровко Г.Л., Быков Д.Л., Георгиевский Д.В., Кийко И. А., Молодцов И.М., Победря Б.Е. Научное наследие A.A. Ильюшина и развитие его идей в механике // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 1. 5-18.
53. Васин RA. Теория упругопластических процессов и исследование структурно-механических свойств материалов // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 19-26.
54. Маркин A.A., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Постулат A.A. Ильюшина для анизотропных материалов и вариант определяющих соотношений // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2001. № 1. 38-45.
Поступила в редакцию 03.li.2017
УДК 514.86 : [531.1/3 : 539.31
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ТЕНЗОРНЫХ МЕР ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Г. Л. Бровко1
Представлена обобщенная теория тензорных мер деформаций и напряжений в классической механике сплошной среды: предложены основные аксиомы теории, построены общие формулы для новых тензорных мер, установлена теорема об энергетической сопряженности мер напряжений и деформаций, выделяющая полный лагранжев класс мер. В качестве подкласса построен простой лагранжев класс энергетически сопряженных мер напряжений и конечных деформаций, в котором выделены семейства голономных и коро-тационных мер. Сравнением тензорных мер простого лагранжева класса друг с другом и с логарифмическими мерами исследованы характеристики голономных и коротационных мер. Установлена полнота и замкнутость простого лагранжева класса и его семейств относительно выбора порождающей пары энергетически сопряженных мер. Отмечены приложения новых тензорных мер в моделировании свойств пластичности, вязкоупругости, памяти формы.
Ключевые слова: классическая механика сплошной среды, тензорные меры деформаций и напряжений, обобщенная теория, аксиомы теории, новые тензорные меры, лагран-жевы классы, теорема об энергетической сопряженности, семейства голономных и коротационных мер, приложения новых тензорных мер.
A generalized theory of tensor measures of strains and stresses in classical continuum mechanics is discussed: the main axioms of the theory are proposed, the general formulas of new tensor measures are derived, the theorem of energy conjugation is established to separate the complete Lagrangean class of the measures. As a subclass, the simple Lagrangean class of energy conjugated measures of stresses and finite strains is constructed in which the families of holonomic and corotational measures are distinguished. By comparison of measures of the simple Lagrangean class with one another and by matching them with logarithmic measures, the characteristics of holonomic and corotational measures are studied. For the simple Lagrangean class and its families, their completeness and closure are established relative to any choice of a generating pair of energy conjugated measures. The applications of the new tensor measures in modeling the properties of plasticity, viscoelasticity, and shape memory are mentioned.
Key words: classical continuum mechanics, tensor strain and stress measures, generalized theory, axioms of the theory, new tensor measures, Lagrangean classes, theorem of energy-conjugation, families of holonomic and corotational measures, applications of new tensor measures.
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glbQmech.math.msu.su.
Введение. В учебниках и учебных пособиях по механике сплошной среды [1-10], в исследованиях по механике деформируемых сред и ее разделам [11-19] используются различные тензорные меры деформаций и напряжений, в основном классического типа.
Первые подходы к построению неклассических тензорных мер деформаций и напряжений были предложены Б.Р. Сетхом [20-22] и продвинуты Р. Хиллом [23, 24]. Признание получили логарифмический тензор деформаций Генки [25-29], тензоры скоростей деформаций разных порядков — тензоры Ривлина-Эриксена [3, 4].
В отечественных исследованиях пластичности при конечных деформациях применялась логарифмическая мера Генки [14-19, 28], была введена и использовалась скоростная тензорная мера конечных деформаций [15, 30-33], был обозначен "исчерпывающий" набор семи пар сопряженных тензорных мер [17, 34].
Общие подходы к построению новых тензорных мер напряжений и конечных деформаций классической механики сплошной среды, использование новых мер в определяющих соотношениях сред, элементы соответствующего математического аппарата обсуждались в работах автора [35-47], его учеников [48-53] и коллег [54-58].
1. Тензорные характеристики механических процессов.
1.1. Характеристики деформаций. При лагранжевом (отсчетном, относительном) описании движения сплошной среды х = {(х, ¿) (х и х — положения точки тела в отсчетной и актуальной конфигурациях соответственно, £ — время) основной исходной характеристикой деформаций в смысле Коши является градиент (аффинор) деформации А = Ух^х, ¿), имеющий в силу невырожденности однозначные правое и левое полярные разложения А = рх = у рс ортогональным тензором С^. называемым тензором полярного поворота (полярной ориентации), и симметричными положительно-определенными тензорами X и ~У, называемыми правым и левым тензорами растяжений (чистой деформации), связанными очевидным тождеством V = С^ Х Одномерные собственные подпространства тензоров Хи У называют главными правыми и левыми осями деформаций соответственно.
В подходе Коши-Грина применяются мера деформаций Коши С и тензор деформаций Грина £\. определяемые формулами
С = Ат • А = X2, 51 = 1(С-1), (1)
а в подходе Коши-Альманзи — мера Альманзи В и тензор Альманзи Е:, задаваемые равенствами
В = А-^-А"1 = У"2, Е1 = ^(1-В). (2)
Равенства (1) показывают соосность тензоров X, С и £\, а равенства (2) — соосность тензоров У, В и Еь
В лагранжевых базисах {ео»}, {ед} отсчетной и {е^}, {ег} актуальной конфигураций частицы тела справедливы представления (суммирование по правилу Эйнштейна)
А = ег®е£), Ат = е^®вг, А-1 = е0г <8> ег, А"1Т = ег ® е0г,
С = д^его0е3о, £\ = ^ (д^ - д0^)ег0 ® е30, В = дщчг <8> е-7, Е1 = ^ (д^ - до^)ег ® е-7,
где <7оу = е0г • и = е^ • е^ — компоненты метрики в отсчетной и актуальной конфигурациях.
Совпадение компонент тензоров £ и Е (в разных базисах!) равносильно тождеству
Е1 = А~1Т • £\ ■ А-1. (3)
Подобно построениям (1), (2), на основе обратных к мерам деформации Коши С и Альманзи В тензоров С-1 и В-1 = Е (тензор Е называется мерой деформаций Фингера [13]) могут быть рассмотрены "взаимные" к £\ и Е1 тензоры деформаций £ц и Ец:
С-1 = А-1 • А_1Т = Х-2, 5П = 1(1-С-1),
2 (4)
Е = А Ат=Т2 = Сг С С^, Еп = ±(Е-1),
аналогично (3) удовлетворяющие тождеству Ец = А • £ц ■ Ат.
Скорости деформаций характеризуются тензором скоростей деформаций (V — поле скоростей движения точек среды) V = вутУа^, для которого справедливы тождественные представления
V = вут (А • А"1) = ^ С} • эут (X • X"1) • С}Т = А"1Т • £1 ■ А"1 = А • £и ■ Ат.
1.2. Тензоры напряжений. В классической механике сплошной среды используется тензор истинных напряжений Коши Б, отвечающий основной формуле теории напряжений
^(аз, ¿) = 8(аз, ¿) • п,
где tn(ж,í) — вектор напряжения на элементарной площадке, п — вектор единичной нормали этой площадки.
Могут быть использованы также тензоры условных напряжений Пиолы-Кирхгофа первого рода П, второго рода Р, тензор напряжений Ильюшина и "взаимный" к нему тензор 5]ц, определенные формулами
П := • А-1Т, Р := 7А"1-8-А"1Т = А-^П, £1 := А"1 • Б • А"1Т = ^Р, £п:=Ат-8-А. (5)
Попарная сопряженность тензоров деформаций и напряжений дает выражение удельной (относительно объема отсчетной конфигурации) мощности работы (преодоления) внутренних сил:
И^о = : V = П : А = Р : ¿1 = : ¿1 = ,/£„ : £и.
2. Основные положения обобщенной теории тензорных мер.
2.1. Построение материально ориентированных мер. Отображения, связывающие объективные тензоры, в общем существенно ограничены по своему математическому виду типами объективности тензоров [39, 40] — аргументов и значений этих отображений. Лишь отображения материально ориентированных (правых) тензоров в материально ориентированные — отображения типа, Ильюшина, — имеют наиболее общий вид.
Используя подход лагранжева описания к кинематике и взаимодействиям в среде и учитывая наименьшую ограничительность связей материально ориентированных (правых) тензоров по сравнению со связями тензоров других типов объективности, изберем в качестве основы для введения новых тензорных мер деформаций и напряжений их материально ориентированные аналоги, для которых объективными производными являются полные материальные производные по времени [35-37, 41, 44, 45].
2.2. Основные аксиомы.
Аксиома 1. Мера, деформации есть симметричный тензор второго ранга е, предыстория которого в любом движении полностью и взаимно однозначно определяет, процесс чист,ой деформации — удлинения, и относительные сдвиги любых элементарных материальных волокон (независимо от, жесткого движения, сопровождающего деформацию частицы среды).
Аксиома 2. Мера, напряжений есть симметричный тензор второго ранга а, который полностью и независимо от, жестких движений частицы определяет, (возможно, с привлечением, е) внутреннее напряженное состояние частицы — величины и относительную ориентацию удельных поверхностных усилий на любых элементарных материальных площадках.
Аксиома 3. В любых движениях меры напряжений а и, деформаций е энергетически сопряжены (согласованы): удельная элементарная ра,бот,а, внутренних контактных сил равна, скалярному произведению тензора напряжений а на, полное (материальное) приращение тензора деформаций (1е.
Аксиома 4. В классическом, случае малых деформаций (когда, относительные удлинения, и повороты волокон имеют порядок малости А -С 1) м,ера, деформации е, ее материальная производная, по времени е и, мера напряжений а асимптотически (с относительной погрешностью А) совпадают с классическими тензорами малых деформаций Коши, скоростей деформаций и напряжений Коши соответственно в любых сложных процессах.
Важными дополнительными к сформулированным положениям требованиями, уточняющими характер описания напряженного и деформированного состояния, являются следующие аксиомы.
Аксиома 5. Шаровая и девиат,орная части меры деформации определяют независим,о друг от, друга, соответственно процессы объемной и сдвиговой, (изохорической) частей, деформации.
Аксиома 6. Шаровая и девиаторпая части меры, напряжений определяют (возможно, с привлечением одноименных частей меры деформации) независимо друг от, друга соответственно гидростатическую и касательные составляющие напряжений.
Для различных тензорных мер деформаций и напряжений будем иметь в виду выполнение также других условий, включая естественные для многих рассмотрений требования независимости формул их построения от системы отсчета, склерономности и изотропии их связи с известными мерами.
3. Общий лагранжев класс. Всем аксиомам удовлетворяют "скоростные" меры деформаций и напряжений
5У = У Х-^Х"1 йт, £у = С^С^ = ХЕ1Х, (6)
¿0
где £\ — тензор деформаций Грина, в — тензор истинных напряжений Коши, — тензор напряжений Ильюшина, ¿о — выбранный физический ("начальный") момент времени.
Новые тензорные меры, удовлетворяющие аксиомам 1 и 2, представимы изотропными зависимостями от "скоростных" мер:
—
=Ве{[£у х,т)]г=4о, е = е\ а■ (х, I) = [£у (х, т),£у (х, , ^ = <тт,
где отображение Бе! [ • ] обеспечивает взаимно однозначную склерономную связь предысторий тензоров £у и е, а [ • ] — отображение, обеспечивающее взаимно однозначную связь предысторий тензоров 5]у и а для любой предыстории деформации £у (т.е. склерономно параметризованное предысторией £у).
При выполнении аксиом 5 и 6 соотношения (7) принимают вид раздельных зависимостей для шаровых е, и и девиаторных э, в частей тензоров е, а от шаровых £у, Еу и девиаторных Эу, Яу частей "скоростных" мер (6):
е (х, г) = я [£у (х, т)]*=4о, э (х, г) = (М [Эу (х, т)]*=4о,
Г- (8)
ст(х,£) =р[Еу(х, т),£у(х, 8 (х, = 5]у (х, г) , Эу (х, О
Аксиома 3 в общем случае выполнения аксиом 1 и 2 выражается тождеством
а : ё = £у:5у, (9)
а при дополнительном удовлетворении аксиомам 5 и 6 — парой тождеств
а ■ е = Еу • ¿у, в : э = ¿у : Эу. (10)
Аксиома 4 (для классического случая малых деформаций | А — 1| ~ А <С 1) в терминах рассматриваемых здесь материально ориентированных мер деформаций и напряжений выражается импликацией
|Х-1| ~ Д<1=>е^5ь ¿ = £у, <т^£у. (11)
Класс объективных материально ориентированных тензорных мер деформаций и напряжений е, сг, заданных соотношениями (7)—(11), удовлетворяющими условиям независимости от системы отсчета, склерономности и изотропии, назовем общим лагранжевым классом,.
4. Полный лагранжев класс. Выделим в общем лагранжевом классе достаточно широкое множество мер, задаваемых соотношениями
ё(х,*) =1Ыее (¿у(х,*)) , сг (х, ¿) = е (5]у (х, ¿)), (12)
где ИМее, Я1]ге — взаимно однозначные непрерывные (с непрерывными обратными) тензорнознач-ные (симметричные второго ранга) функции симметричных тензорных аргументов £у и 5]у, склерономно параметризованные (что показано нижним индексом е) предысторией чистой деформации
[£у (x)T)]r=í0> пРичем предполагается выполненным естественное начальное условие при t = ¿o: е = £у = 0. °
Теорема 1 (теорема об энергетической сопряженности). Если для симметричных тензорных мер е, а, заданных соотношениями (12), выполнена аксиом,а 3 (соотношение (9)); то функции Ratee (•) и Stre (•) линейны, т.е. имеют место представления,
Ratee (¿v) = МАТЕе : ¿y, Stre (Sv) = 8TRe : Sv, (13)
где MATE e и STR e — тензоры четвертого ранга, склерономно параметризованные предысторией чист,ой, деформации, и притом выполнено равенство (верхние индексы, — 1 и, Т означают обращение и, транспонирование по парам, индексов тензора четвертого ранга как отображения):
§TR~1T = RATEe. (14)
Определенный теоремой 1 класс энергетически сопряженных тензорных мер деформаций и напряжений е, а назовем полным лагранжевым классом,.
При выполнении аксиом 5 и 6 соотношения (12) задают сообразно (8) шаровые и девиаторные части тензоров é и а по отдельности, а именно в виде
é{x.,t) = re(¿y{x.,t)j , э(х, t) = rate3 ^Эу(х, , а(х, t) = р£ (Ev), s(x, t) = str3 (Sv). (15)
Следствие 1. Если для симметричных тензорных мер е, а, заданных формулами (15) (выполнены аксиомы 5 иб), справедливы, тождества (10) (выполнена, аксиом,а, 3), то функции re, rate3; р£; str3 линейны, т.е. имеют место представления,
т£ (¿v) = k£ • ¿V, rate3 (эу) = МАТЕЭ : Эу, Pe (Sy) = 1е • Sy, str3 (¿y) = STR3 : Sv, (16)
где МАТЕЭ и STR3 — тензоры четвертого ранга, отображающие операцией, ":" пространство симметричных девиат,оров в себя, склерономно зависящие от, предыстории девиат,opa, Эу, а, ке и, \е — скалярные склерономные функционалы от предыстории скаляра £у. Формулы (14) приводятся к виду
STR~1T = МАТЕЭ, 1£ = -!-. (17)
5. Простой лагранжев класс. Широкий подкласс из множества выделенных теоремой 1 линейных функций вида (13) определяется формулами
é = RATEe : ¿y = X^SyX^, а = STRe : Sy = Д'(12)"1ЕуД'^2)"1Т, (18)
где Xi, X¿ — невырожденные тензоры второго ранга, однозначно склерономно определяемые предысторией чистой деформации (предысторией тензора X либо тензора £у или самого тензора е). Требования симметричности и сопряженности мер (аксиомы 1-3) приводят (18) к виду
é = аХТ £уХ, a = -X~1J:vX-1T, (19)
а
где X — произвольный материально ориентированный невырожденный тензор второго ранга, а а ф 0 — произвольный объективный скаляр, однозначно определяемые предысторией чистой деформации.
В случае выполнения начального условия е = £у = 0 при t = ¿o имеем
t
s = j aXT£VX dr. (20)
to
Для выполнения аксиомы 4 (импликации (11)) на начальных участках процессов деформации г € [to,t], когда jt \£y\d,T = jt \£\\(1т < А <С 1 (это условие означает, в частности, малость
порядка А длины дуги начального участка траектории деформации по Ильюшину [1]), достаточно положить
а = 1, с^ X > 0, |Х — 1| ~ А < 1 — 1| = А. (21)
Формулы (18)—(21) определяют простой лагранжев класс энергетически сопряженных тензорных мер деформаций и напряжений.
5.1. Семейство простых голономных тензорных мер.
Определение 1. Тензорные меры деформаций и напряжений назовем голономными, если они определяют соответственно деформированное и напряженное состояния частицы среды в любой момент времени £ полностью и однозначно лишь своими текущими значениями в этот момент времени.
Выделим из простого лагранжева класса мер (19), (20) изотропные голономные меры е = £. а = £ следующими требованиями [38] (функции р (£\) и в (5^1, изотропны по совокупности аргументов):
£ = р(£ 1), £ = 5(£ь51)
с естественными "начальными" условиями при £\ = 0 (т.е. при X = I): £ = 0, £ = £\, X = £1, или эквивалентными требованиями (функции /(X) и у(Х) изотропны)
5 = /(Х), £ = ^(Х)Х£1Х^(Х) с "начальными" условиями при X = I:
/ (I) = 0, (/ (х))' = X , 1) = 1.
Х=1
Х=1
Решение этой задачи для функций / и (р, определенных на спектре [59] аргумента X, приводит к параметрическому (с параметром с) семейству пар функций /(X) и <£>(Х) вида
/(X) = (X - Х-1)[(1 + с)Х + (1 - с)Х-1]-1, р(Х) = ^ [(1 + С)Х + (1 - с)Х-1], -1 < с < 1,
и к соответствующему семейству правых тензоров деформаций £ = £с = /(X) и напряжений X = £с, а также соответствующих им левых (пространственно ориентированных) тензоров деформаций Ес = с параметром с € [—1; 1] (левый тензор напряжений — тензор напряжений Коши Б):
£с= (Х-Х"1) [(1 + с) X + (1 — с) Х-1]_1 = (С — I) [(1 + с) С + (1 — с) I]-1 = = 51 [I + (1 + с) 5Г1 = £\\ [I - (1 - с) 5ц]"1,
ЕеЦ^-Т"1) [а + ^у + а-^у-1] =\(1-¥-1)1(1 + с)¥ + (1-с)1} =
= Е1 [I + (1 + с) Е„] = Е„ [I - (1 - с) Е1] = ^ [(1 + с) Е„ + (1 - с) Е1] , (22)
£с = ^ [(1 + с) X + (1 - с) X"1] С^Сг [(1 + с) X + (1 - с) X"1] = = | [(1+ с) С + (1 - с) I] [(1 + с) с + (1 - с) I] =
= ^ [а+сд+а-сос-1] е„ [а+^х+а-^с-1],
где и Е[ — тензоры деформаций Грина и Альманзи из (1), (2), а £ц и Ец — взаимные к ним тензоры из (4), £1 и Хц — тензор напряжений Ильюшина и взаимный к нему тензор из (5). Все голономные меры удовлетворяют аксиомам 1-4, но не удовлетворяют аксиомам 5 и 6. Замечательно, что при с = ±1 меры (22) совпадают с известными "взаимными" наборами мер: 5_1 = £ь Е_! = Еь = £1 (с = -1) и £\ = £и, Е1 = Е„, ^ = £„ (с = 1). При других с € (-1;1) меры (22) взаимно однозначно выражаются через указанные здесь и другие известные меры. Меры £с и Ес как изотропные функции соосны тензорам X и У соответственно.
Особенное "симметричное" положение в построенном семействе голономных мер деформаций и напряжений (22) занимают меры с с = 0:
50 = (X - X"1) (X + X"1)"1 = (С - I) (С + I)"1 = £1 (I + ¿О"1 = £ц (I - 5ц)"1,
Е0 = ^ (V - Т"1) (V + Т"1) Е"1) = Е1 (I + Е„) = Е„ (I - Е1) = ^ (Е1 + Е„),
£0 = \ (X - X"1) С^Сг (X - X"1) = | (С + I) (С + I) = | (1 + С"1) £„ (I + С"1) .
Сравнение простых голономных лагранжевых мер деформаций приведено на рисунке.
а б
Х.Хфс /с/с(рс
Иллюстрация зависимости главных компонент (главных значений) тензоров деформации £с и Ес (с = 0 и с = ±1) от соответствующих главных компонент А тензоров X и Y (о) и главных компонент е тензоров е\п\ = 1пХ и ein: = lnY (б):
1 графики функций /_i = f\ip\ = — (А2 — l) = - (exp(2e) — 1) отвечают зависимостям £_i =
1 (X2 - I) = 1 (exp (2eln) -1), Et = ± (Y2 - I) = ± (exp (2eln) - I);
2 графики функций f\ = = - (l — A~2) = - (1 — exp(— 2e)) для зависимостей E\ = \ (I - X-2) = 1 (I - exp (—2ein)), E_! = \ (I - Y~2) = ± (I - exp (-2eln)):
S графики функций /0 = (A - A"1) / (A + A"1) = the для S0 = (X - X"1) (X + X"1)"1 =
thein;
4 графики функций f0fl = - (A2 - A"2) = - sh (2e) для E0 = - (Y2 - Y~2) = - sh (2eln).
5.2. Семейство простых коротационных мер. Рассмотрим теперь подмножество (семейство) простого лагранжева класса тензорных мер деформаций и напряжений, удовлетворяющих дополнительным аксиомам 5 и 6.
Применяя к (16), (17) требование (18), выделяющее простой лагранжев класс, для (19) получим
а = к£ = ^ = const = k, X = 1Z {1Z~1 = 1ZT) .
ie
Тогда (19), (20) примут вид
t
s = J klZT£vlZdT, e = кПТ£уП, a = ^ (23)
to
где к — объективный скаляр-константа; — ортогональный материально ориентированный тензор, определенный предысторией чисто сдвиговой деформации (изохорической части деформации, или деформации формоизменения), выраженной девиатором Эу пли, что равнозначно, изохорической (мультипликативной) частью X' = ■ X правого тензора растяжений X (.] = А| = с^Х).
Если к = 1 и — тензор собственного вращения, причем |Х — 1| ~ А <С 1 => — 1| ~ А, то выполнена аксиома 4, а тем самым все аксиомы 1-6. Назовем такие меры е, а коротационными и обозначим их £ц, £7?..
Примером коротационных мер являются "скоростные" меры (6) (к = 1, = I).
Другой пример дают яумапповы меры, для которых к = 1, а тензор определен соотношениями
ппТ = УУЛ, тг|4=4о = I (уул = ^ (хх-1 - х~хх
Широкое подсемейство коротационных мер введено и использовано в работах А.С.Финошки-ной [48, 49]. Оно характеризуется условием к = 1 и определением тензора уравнениями
t=to
Wj = - ÍXX"1 -Х_1Х
(24)
где j = jo ■ ехр(—m • |Wj| • (t — to)), jo и m — константы.
При jo = 1 это подсемейство включает в себя "скоростные" (т = оо) и яуманновы (т = 0) меры.
Исследованию коротационных тензорных мер могут служить следующие утверждения, опирающиеся на понятие (правого) логарифмического тензора деформаций Генки £\п = In X и сопряженного ему тензора напряжений сг\п.
Теорема 2. Для любой среды, в произвольных движениях шаровые части тензоров £у и Ху тождественно совпадают с шаровым,и частями тензоров £\п и сг\п соответственно, а для, абсолютных и, относительных уклонений друг от друга, девиат,орных част,ей Sy и sin тензоров Sy и сг\п, девиат,орных част,ей, Эу и 9in тензоров £у и £\п, а также девиат,орных част,ей, Эу и áin скоростей их изменения £у и é\n в каждый, момент времени t выполняются оценки,
sin - £
V
Ol
Sin -£у
¿V
Ol,
»In - Эу
^ ¿1 |él„| ,
Э1„ - Э
V
1э1п|
Ol, |Э1„ - Эу| ^ с/(э)
где
Г 1
to
причем W — спин т,ройки, главных осей тензора X (тензора £[„), а э = |э1П|ср — некоторое значение |э1п| на интервале времени [to,¿] (выбираемое по теореме о среднем).
Дополнительно: если для данного материала2 или в данном движении частицы среды тензоры £у и £\п соосны (т.е. тензоры S и ein = In Y соосны), то сг\п = Sy. Кроме того, в движениях с фиксированными во времени главными правыми осями деформации тензоры £у и £\п тождественно совпадают.
Приближенные значения величины ¿i на начальном участке сдвиговых деформаций отражены таблицей.
Конечные деформации, сопровождающиеся логарифмическими сдвигами 9in, по модулю не превосходящими 30 4- 40%, можно назвать умеренно большими деформациями, а совокупность таких (сдвиговых) деформаций — облает,ью (зоной) умеренно больших деформаций. Таблица показывает, что в этой зоне "скоростные" меры £у, Sy практически совпадают с логарифмическими мерами
ein, с in-
В точности по классической схеме Ильюшина [1] введем коротационный образ процесса на базе тензоров £-r.. S-7J. и формальный образ процесса на базе тензора напряжений Коши S и тензора
2Например, для изотропных материалов.
ы,% 30 40 50 60 70
¿1 0,0303 0,0542 0,0855 0,1244 0,1716
скоростей деформаций V (£ц, У.-я. — средние деформация и напряжение, Т,-л.и, V-r.u — интенсивности напряжений и скоростей деформаций, s-jz — длина дуги траектории деформации, дц — угол сближения (первый угол ориентации), Оц — угол излома траектории деформации коротационного образа процесса, а величины е, а, аи, vu, s®., 0ф. — аналогичные величины формального образа процесса).
Теорема 3. Для коротационных тензорных мер деформаций и напряжений £ц, St?. и соответствующего им коротационного варианта образа процесса при всех 7Z в любом непрерывном движении среды, для, любой материальной частицы выполнены, тождества
£тг = е, = ё = Ел = а, V-R,u = Vu,
У'-Яи = Си, S-n = = 1?ф.,
причем для любого интервала времени, такого, что vu ф 0 на всех временных подынтервалах, изломы траекторий деформации коротационного варианта, образа процесса (с любым TV) и, формального образа процесса имеют место лишь одновременно и, для, каждого излома выполнено равенство
= •
Теорема устанавливает идентичность указанных характеристик всех коротационных вариантов образа процесса с любыми тензорами 7Z (а также формального образа процесса) для произвольных движений и произвольных сред. Различие коротационных вариантов образа процесса с разными тензорами 7Z касается, таким образом, лишь параметров кривизны и кручения траекторий деформации и остальных (кроме первого) углов ориентации вектора нагружения (а также, конечно, третьих инвариантов тензоров).
Дополнительные уточнения в плане сравнения коротационных мер £ц, ^iz с разными 7Z вносит требование изотропии этих мер, сводящееся к изотропии зависимости 7Z от тензора чистой деформации X, а именно к выполнению тождества
7¿[Q0X(x,t)Q¡JX=ío = Q0tt[X(x,T)£=toQo (25)
для произвольных ортогональных тензоров-констант Qo, что приводит к следующему утверждению.
Теорема 4. В процессах деформации с фиксированными правыми главными осями деформации все изотропные в смысле (25) коротационные меры деформаций £-r, тождественно совпадают между собой и тензоры напряжений St?. также тождественно совпадают друг с другом.
Учитывая, что к числу коротационных мер относятся и скоростные меры £у. Sy, согласно последнему утверждению теоремы 2 получаем
Следствие 2. В процессах с фиксированными правым,и, главными осями деформации все изотропные коротационные меры деформаций £-r, тождественно совпадают с логарифмической мерой £\ц, а при соосности Sy и £\п все коротационные меры напряжений St?. тождественно совпадают с логарифмической мерой сг\п.
6. Некоторые общие замечания о введенных множествах мер. Основные положения представленной обобщенной теории тензорных мер деформаций и напряжений определяют достаточно широкое множество таких мер — общий лагранжев класс.
Требованием энергетической сопряженности выделен полный, лагранжев класс.
Простое подмножество мер полного (и общего) лагранжева класса составляют меры напряжений и деформаций простого лагранжева класса, включая рассмотренные здесь семейства голоном-ных и коротационных мер.
Для простого лагранжева класса мер справедливы следующие формулы связи тензорных мер е, а из (19), (20), порожденных скаляром а и невырожденным тензором X. с любыми другими мерами е' ,сг' этого класса, порожденными согласно этим же формулам каким-либо скаляром а! и тензором X' :
а = ^ X>TX-lTéX-lX>, а'= -, Х'-1Х*ХТХ'~1Т (26)
а а!
(откуда следует также формула связи самих тензоров деформаций е и е' вида (20)).
Для голономных лагранжевых мер, соответствующих разным значениям параметра с этого семейства (назовем эти значения с и с', помечая соответствующие функции нижними индексами с
и с'), формулы (26) применительно к тензорам £,Е и S из (22) дают
Ed = £с<Рс (X) [<p¿ (X)]"1, Ес/ = Ес [ifc (Y)]"1 ifc, (Y), = <pd (X) [<pc (X)]"1 sc [<pc (X)]"1 <pd (X) (C, d e [-1, i]).
Для коротационных лагранжевых мер е,а вида (23), соответствующих параметрам к, 7Z, и s',(t', соответствующих параметрам к', 72/, формулы перехода (26) принимают вид
t
е'= [-П'тПёПтП'(1т, е = -П'т ПеПтП', а' = -П'тПаПтП'. (28)
J к к к'
Í0
Формулы (26)-(28) показывают, что простой лагранжев класс тензорных мер деформаций и напряжений (равно как и по отдельности каждое из рассмотренных его семейств — семейство го-лономных изотропных мер и семейство коротационных мер) в точности порождаем любой своей энергетически сопряженной парой материально ориентированных тензорных мер деформаций и напряжений е, а. В этом смысле простой лагранжев класс тензорных мер и каждое из его семейств полны и замкнуты относительно выбора порождающей пары энергетически сопряженных мер.
7. Приложения новых тензорных мер. В работах А.С. Финошкиной [48-51] применением корректного обобщения известных определяющих соотношений при малых деформациях на конечные деформации с использованием вышеуказанного подсемейства коротационных тензорных мер напряжений и деформаций, определяемого по формулам (24) параметрами jo и т, построены различные модели гипоупругости и пластичности. Проведены систематические численные эксперименты со степенями деформаций до 600% и установлено, что выбор значений параметров производных оказывает существенное влияние на механические свойства моделей.
С использованием параметрического семейства голономных тензорных мер А.С. Шуткиным [52, 53] обобщением известной модели А.А. Мовчана построены семейства моделей материалов с памятью формы при конечных деформациях. На основе численных экспериментов показано существенное влияние выбора тензорных мер (параметра с). Разработаны и апробированы методы экспериментальной верификации и идентификации моделей.
А.В. Муравлевым предложена оригинальная схема использования двух различных тензорных мер для описания процессов конечных деформаций в пластичности [54, 55].
Е.Д. Мартыновой исследуются возможности применения новых тензорных мер к описанию механических свойств вязкоупругих материалов [56].
Н.В. Овчинниковой анализируются возможности использования тензорных мер в программных пакетах ANSYS и QFORM7 в численных расчетах с конечными деформациями [57].
З.Г. Тунгусковой изучаются возможности расширения подсемейства коротационных мер для учета термических воздействий в пластичности [58].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00669.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1973.
3. Truesdell С., Noli W. The non-linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berlin: Springer Verlag, 1965. (3d ed. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 2004.)
4. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
5. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.
6. Jaric J. Mehanika Kontinuuma. Beograd: IRO Gradevinska knjiga, 1988.
7. Победря Б.E., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: Физматлит, 2006.
8. Gurtin М.Е., Fried Е., Anand L. The mechanics and thermodynamics of continua. Cambridge; N. Y.; Melbourne; Madrid; Cape Town; Singapore; Sao Paolo; Delhi; Dubai; Tokyo: Cambridge University Press, 2010.
9. Бровко Г.Л. Основы механики сплошной среды (краткий конспект лекций, задачи, упражнения). М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2011. Ч. 1; 2013. Ч. 2.
10. Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. М.: Книжный дом "Либроком", 2013.
11. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.
12. Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.
13. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
14. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986.
15. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Нау-кова думка, 1987.
16. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука, 1990.
17. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб.: Соло, 2004.
18. Корнеев С. А. Понятия и основы локально-неравновесной термодинамики сплошной среды. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2009.
19. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013.
20. Seth B.R. Finite strain in elastic problems // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1935. 234. 231-264.
21. Seth B.R. Generalized strain measures with applications to physical problems // Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics / Ed. by M. Reiner and D. Abir. Oxford: Pergamon Press, 1964. 162-172.
22. Cemx B.P. Понятие меры деформации в технике высокоскоростного деформирования // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. 528-531.
23. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Adv. Appl. Mech. 1978. 18. 1-75.
24. Man C.S., Guo Z.H. A basis-free formula for time rate of Hill's strain tensors // Int. J. Solid and Struct. 1993. 30. 2819-2842.
25. Hencky H. The elastic behavior of vulcanized rubber //J. Appl. Mech. 1933. 1. 45-53.
26. Scrzypek J., Wroblewski A. Application of logarithmic strains to changing principal directions via progressing transformations //J. Struct. Mech. 1985. 13, N 3-4. 283-299.
27. Zhao Z. Logarithmic strain and plastic constitutive equation at finite strain // Proc. Int. Conf. Nonlin. Mech. Shanghai, Oct. 28-31, 1985. Beijing, 1985. 651-656.
28. Трусов П.В. Обобщение теории упругопластических процессов на случай больших пластических деформаций: Докт. дис. М., 1986.
29. Xiao Н., Bruhns О. Т., Meyers A. Large strain responses of elastic-perfect plasticity and kinematic hardening plasticity with the logarithmic rate: Swift effect in torsion // Int. J. Plasticity. 2001. 17. 211-235.
30. Вровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987. 68-81.
31. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1987. 32-37.
32. Маркин А. А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упруго-пластических деформациях: Докт. дис. М., 1988.
33. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении: Докт. дис. М., 1988.
34. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об "истинных" мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1987. № 5. 73-80.
35. Вровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях // Докл. АН СССР 1989. 308, № 3. 565-570.
36. Вровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // Прикл. матем. и механ. 1990. 54, вып. 5. 814-824.
37. Вровко Г. Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды // Изв. АН СССР Механ. твердого тела. 1990. № 1. 54-60.
38. Вровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1992. № 4. 86-91.
39. Вровко Г.Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: Докт. дис. М., 1996.
40. Brovko G.L. Invariance types of tensors, tensor processes and their transforms in classical continuum mechanics // Proc. Int. Seminar on Geometry, Continua & Microstructure. Sinaia, Romania, September 26-28, 2001. Bucharest, 2002. 13-24.
41. Вровко Г.Л. Основы обобщенной теории тензорных мер деформаций и напряжений // Проблемы нелинейной механики. Сб. статей. К восьмидесятилетию Л.А. Толоконникова. Тула: ТулГУ, 2003. 123-132.
42. Вровко Г.Л. Подходы к построению рациональной механики классических и неклассических сред // X Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Избранные тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011 г.). Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та им. II.II. Лобачевского, 2011. 27-28.
43. Бровко Г.Л. Математические основы механики сплошных сред: классические и неклассические теории // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2012. 20-43.
44. Brovko G.L. On general principles of the theory of constitutive relations in classical continuum mechanics / / J. Eng. Math. 2013. 78. 37-53. DOI 10.1007/sl0665-011-9508-y.
45. Бровко Г.Л. Развитие общих принципов теории определяющих соотношений сплошных сред // Изв. Тул-ГУ. Естественные науки. Ч. 2. 2013. Вып. 2. 43-58.
46. Бровко Г.Л. Элементы нелинейной механики сплошной среды в современной теории // Изв. МГТУ "МА-МИ". 2015. 4, № 2(24). 34-43.
47. Бровко Г.Л. Элементы математического аппарата механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2015.
48. Фипошкипа А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупруго-сти и пластического течения с кинематическим упрочнением // Изв. ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. 2000. 6, вып. 2. 160-166.
49. Finoshkina A.S. Usage of the new objective derivatives in models of plasticity at finite strains: the theory and numerical experiments // V Int. Congr. Math. Modeling: Book of Abstracts. Vol. I. JINR, Dubna, 2002. 35.
50. Финошкина А.С. Модели пластичности при конечных деформациях: Канд. дне. М., 2003.
51. Brovko G.L., Ivanovo, О. A., Finoshkina A.S. On geometrical and analytical aspects in formulations of problems of classic and non-clctssic continuum mechanics // Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 191. Basel/Switzerland: Birkhauser Verlag, 2009. 51-79.
52. Шуткин А. С. Подходы к обобщению определяющих соотношений деформируемых твердых тел на область конечных деформаций // Механ. композиционных материалов и конструкций. 2010. 16, № 2. 166— 180.
53. Шуткин А. С. Модели материалов с памятью формы при конечных деформациях: Канд. дне. М., 2011.
54. Муравлев А.В. Обобщение теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина на случай конечных деформаций // Вестн. Нижегород. ун-та им. П.И. Лобачевского. Механ. деформируемого твердого тела. 2011. № 4(4). 1642-1644.
55. Муравлев А.В., Девятое А. С. Развитие теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина и экспериментально-теоретических методов исследования вязкопластических свойств материалов при конечных деформациях // Пробл. машиностр. и автоматиз. 2016. № 1. 84-90.
56. Мартынова Е.Д., Стеценко Н.С. Использование однопараметрического семейства объективных производных Гордона-Шоуолтера для описания конечных деформаций вязкоупругих тел // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 6. 64-68.
57. Овчинникова Н.В. О тензорных мерах напряжений и деформаций, используемых в ANSYS для решения упругопластических задач при конечных деформациях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 5. 31-36.
58. Тунгускова З.Г. Аналитическое представление тензора напряжений в задаче о сдвиге гипоупругого тела с использованием коротационных производных определенного вида // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2016. 260-262.
59. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.
Поступила в редакцию 10.11.2017
