CC BY
113
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 43-58
Механика
УДК 539
Развитие общих принципов теории определяющих соотношений сплошных сред
Г. Л. Бровко
Аннотация. Представлены некоторые результаты исследования актуальных вопросов теории определяющих соотношений современной механики сплошной среды: тензорное представление характеристик механических процессов, включая процессы деформации и нагружения; математическая структура тензорных отображений и уравнений, используемых в определяющих соотношениях; основные принципы построения теории определяющих соотношений, всесторонне охватывающие механические свойства тел, в первую очередь, свойства сопротивления деформированию.
Ключевые слова: объективные тензоры, диаграммы,
объективные производные и интегралы, тензорные меры напряжений и конечных деформаций, принципы общей теории определяющих соотношений.
1 Введение
Определяющие соотношения механических свойств деформируемых тел, в первую очередь, свойств сопротивления деформированию, составляют центральное звено в системе соотношений, моделирующей механические процессы в телах. Исследование специфических механических свойств деформируемых тел является наиболее важным направлением в механике сплошных сред, сохраняющим свою актуальность. В построении современной теории определяющих соотношений ведущую роль сыграли работы А.А.Ильюшина [1-10] и У.Нолла [11-16].
По оценке А.А.Ильюшина создание общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды явилось важнейшим открытием XX века, сопоставимым по значимости с созданием теории деформаций и напряжений на заре науки.
Тульская научная школа механики деформируемых сред, основанная профессором Л.А.Толоконниковым, внесла значимый вклад в развитие современной теории определяющих соотношений. Многочисленные
обсуждения этой проблемы на научных конференциях, семинарах, симпозиумах с участием Л.А.Толоконникова, его учеников и последователей, научные труды его школы во многом способствовали расширению взглядов на проблему и становлению современной теории сопротивления тел деформированию [17-36]. Тульская школа механики, оказавшая весомое влияние на формирование направлений современных исследований, занимает достойное место в отечественной науке.
В настоящей работе дано краткое изложение результатов исследований, развивающих и продвигающих основные положения и результаты работ [37-46].
2 Общая классификация тензорных механических
характеристик
2.1 Объективные тензоры. По признаку преобразования тензорных механических характеристик при замене системы отсчета
х* = жо* (Ь) + Я (Ь) ■ (х - хо), Ь* = Ь + а (1)
выделены тензоры, названные А.А.Ильюшиным объективными. Формулы преобразования для объективных тензоров ранга т ^ 2 имеют вид
^>* = <£, и(о)* = и(0), и(1)* = ф ■ и(!),
Ь(оо)* = Ь(оо), Ь(ю)* = ^ ■ Ь(ю), (2)
Ь(01)* = Ь(о1) ■ Ь(И)* = ф ■ Ь(П) ■ фт,
для объективных тензоров тЬ произвольного ранга т — вид
Ькт* = Якт кт ть, (3)
где кт — двоичный мультииндекс длины т и использована тензорная запись введенного в [43] обобщенного представления групп в тензорах.
Каждое множество объективных тензоров ранга т разбито на 2т типов объективности кт. В частности, для тензоров второго ранга установлено 4 типа объективных тензоров, включая материально ориентированные кт = (00) (известные как инвариантные [47, 48], или «лагранжевы» [49] тензоры) и пространственно ориентированные кт = (11) (индифферентные [47, 48], «эйлеровы» [49], или не зависящие от системы отсчета [13]).
2.2 Диаграммы. Введено понятие простых коммутативных диаграмм, связывающих («переплетающих») родственные по механическому смыслу объективные тензоры разных типов одного ранга т (тензоры-аналоги) [42].
Для т = 1, 2 диаграммы представляются графическими формулами
С
(1)
С
(11)
(4)
С
(0)
где £(к)(к = 0,1) — линейное пространство всех (к)-объективных векторов (и(к) € £(к)), £(к,1)(к, 1 = 0,1) — линейное пространство всех (к, 1)-
объективных тензоров (Ь(к,1) € £(к,1)), а стрелками обозначены составляющие диаграмму отображения, выраженные формулами
и(к') = А(к/,к)и(к)) ^(к/,1/) = ^(к^^кд)^^)
с невырожденными (к;, к)-0бъективными тензорами А(к/,к) и А-Цк^к), А-2(к/,к), связанными условиями
А(к,к) = 1 А(к,1) = ^-^к^
А(к,к) = !, А(к,і) = Л^к)
(і = 1, 2; к, 1 = 0,1)
(суммирование по к, 1 отсутствует).
Изучены представления объективных тензорных процессов через их интроспективы (ретроспективы), преобразующиеся при замене системы отсчета (1) при т ^ 2 по формулам
(У** (8) ,Ь*) = (<£* (8) ,Ь + а),
(«) ,і* =
и
і
(8), і + а
“(0)*
и(1)* , = (V (5) ' и(1)(5), і + а)
ьі*
ь
(00)*
і*
(10)*
і*
(01)*
і*
(11)*
(8),І* ь(10). (8) ,і* («),І*
Ь(00) (в) ,і + а ^ (8) ■ Ь(10) (в), і + а
ь
(5)
ь(;1)* (8) ,і*
(01)(8) ■ ®ІТ (8) ,і + а),
(8) ■ фіТ (8), і + а^
;ді (5) ■ ь*11)
и при произвольном т по формуле
(Ъкт* (в) ,і*) = (^ікт (в) ^ Ькт (8),і + а) •
(6)
Тем самым установлена упорядоченная иерархическая структура механических тензорных процессов, исчерпывающим образом выражающая естественные связи между родственными тензорными характеристиками,
удобная для представления определяющих соотношений различных механических свойств сред [43, 46, 50, 51].
3 Отображения и уравнения связи механических тензорных
процессов
3.1 Независимость тензорных отображений и уравнений от системы отсчета. Для отображений и уравнений, связывающих
объективные тензорные процессы (вообще говоря, различных типов и
рангов)
F : Г ^ П, F [y (т)]ТеД = п (t)
(7 = Lkm € Г C£km, п = Lim/ € П С Lim/) введено понятие независимости от системы отсчета
F * = F, (8)
что являет собой фундаментальное свойство определяющих соотношений классической механики сплошной среды [42]. Для (8) установлен критерий:
(1) отображение F инвариантно относительно сдвига временной переменной:
F [y (т - а)]Тея = F [y (т)]TiR Va =const; (9)
(2)
отображение Ф является і-изотропньїм типа (кт,1т/), то есть для любого аргумента 7 (т) = Ькт (т) и произвольного ортогонального тензорного процесса Р (т) выполнено тождество
і
Qkm (т) ' Y (т) = QIm/ (t) ' F [Y (т)]ТeR ■
т eR
(l0)
3.2 Отображения диаграмм (пакеты кондукторов). Для
каждого не зависящего от системы отсчета отображения Ф : £кт ^ £\т/ определенного типа (кт,1т/) (порождающего отображения, или индуктора) построен [50, 51] пакет 2т+т родственных отображений (кондукторов)
-(km,Im/ ) (k/m,I/m/)
: Lk
Li/ / всех других типов (k'm,l'm/) для тензоров, входящих
в диаграммы тензора-аргумента и тензора-образа исходного отображения
r(km>Im/ ) (k/m,I/m/)
где
4m
набор A
(l)
1 [Lk/ І = A(2)
/ ) [Lk/m 1 = AI/m/®1
*к , содержащий т тензоров, составлен
т т л(1)
невырожденных тензоров второго ранга А^.^.) _ переходных
тензоров диаграммы переплетений для объективных тензоров ранга т
(тензоров-аргументов), набор А2 , включающий т' тензоров, составлен
1 т/ ^1т/
A
(l)
km 0 k/1
Lk
(ll)
из числа
■rri
rri
/ (2) / /
из числа 4т' тензоров второго ранга А^. 1/.) (^ = 1, 2,..., т'; 1^, 1'^ = 0,1) —
переходных тензоров диаграммы переплетений для объективных тензоров ранга т' (тензоров-образов); тензор Ьк/т = Ак!"1 0к тЬкт — аналог типа к'т исходного тензора-аргумента Ькт.
Отображения каждого пакета эквивалентно выражают связи между родственными тензорами этих диаграмм и могут служить разными представлениями операторов, входящих в определяющие соотношения.
3.3 Объективные производные и интегралы. Все типы (кт,1т/) £-изотропии, кроме типов Ильюшина (|кт| = |1т/1 = 0), существенно специализируют математическую структуру отображения Ф, для некоторых типов — вплоть до тривиальной [42, 46, 51]. Это исключительное свойство отображений (и пакетов отображений) типа Ильюшина принято за основу для введения обобщенного понятия объективных производных.
В качестве подпакета родственных отображений диаграммы в себя с совпадающими диаграммами аргументов и образов, порожденного отображением-индуктором типа Ильюшина, а именно, оператором материального дифференцирования по времени, построена совокупность дифференциальных операторов, обобщающая известное понятие объективных производных [39, 40, 51]. Для т ^ 2 эти производные имеют лагранжево представление
о М* = ф > .
°(0) [и(0)] * = и(0), °(1) [и(1)] * = А(10) (А(10)и(1)) ,
о(00) М = Ь(00), о(10) [Ь(10^ = А1(10) , (12)
°(01) [Ъ(01)] * = (^^(К))) А2(10),
°(11) [Ъ(11)] * = А1(10) (АГ(110)Ъ(11)А2(10)) А2(10),
а для т = 1, 2 также эйлерово представление
°(1) Ы]* = и(1) - ^ ' и(1),
о(10) [^(10)] = Ь(10) — ^1 • Ь(ю),
о(01) [Ь(01)] = Ь(01) - Ь(01) • ,
°(11) 1^(11)] = ^(11) — ^1 ' ^(11) — ^(11) ' ^2 !
где использованы обозначения ^ = А(10)А(10), ^ = А^(10)А^(10) (г = 1, 2).
На основе пакетов отображений типа Ильюшина введено понятие обратной операции — объективного интегрирования:
*
ОЬЧ Ъкт (Х т) : =
*0 * (14)
ТП тп
:= Акт®(00...0) (х,^) • / А(00...0)®кт (х,Т) • Ькт (х,Т) ^г.
*0
Конкретный математический вид объективных производных и интегралов определяется выбором диаграммы.
4 Обобщенная теория тензорных мер конечных деформаций
и напряжений
4.1 Аксиомы теории. Теория предусматривает построение новых тензорных мер напряжений и деформаций. Аксиомы теории [37, 38, 42, 52] выражают общие свойства материально ориентированных тензорных мер напряжений и конечных деформаций:
• симметричность,
• независимость описания напряженно-деформированного состояния (процесса) от пространственных поворотов, сопровождающих деформацию частицы среды,
• энергетическая сопряженность,
• асимптотическое совпадение с классическими мерами в области малых деформаций.
Дополнительными аксиомами требуется, чтобы шаровые и девиаторные части новых мер имели в точности такой же смысл, как в классическом случае малых деформаций.
Предусматривается выполнение также других условий, включая требования 1) независимости формул их построения от системы отсчета, 2) склерономности и 3) изотропии их связи с известными мерами.
4.2 Классы и семейства тензорных мер деформаций и напряжений. Построен общий лагранжев класс мер, в котором выделен полный лагранжев класс тензорных мер, получаемых из известных преобразованиями типа Пиолы с помощью невырожденных тензоров второго ранга, определяющих конкретный вид диаграмм тензоров напряжений и деформаций (и соответствующих скоростей их изменения по времени).
Требования дополнительных аксиом (о шаровых и девиаторных частях) вычленяют из лагранжева класса семейство коротационных мер [38]. Требование алгебраической связи с известными классическими тензорами напряжений и конечных деформаций вычленяет семейство голономных тензорных мер [41].
Все классы и семейства содержат континуумы мер.
4.3 Обобщение определяющих соотношений на область конечных деформаций.
4.3.1 Новый подход. Определяющие соотношения сред, известные при малых деформациях, могут быть распространены на область больших деформаций путем замены тензоров напряжений и деформаций, входящих в эти соотношения, на новые тензорные меры напряжений и конечных деформаций.
Известные способы такого обобщения свойств пластичности, в том числе свойств пятимерной изотропии Ильюшина [23, 47, 48] базировались на конкретном выборе пары тензорных мер напряжений и деформаций (конкретном выборе объективной производной), и давали однозначные результаты (впрочем, не всегда удовлетворительные [53]).
Между тем, построение новых тензорных мер напряжений и конечных деформаций показывает, что классы и семейства таких мер континуальны. Поэтому указанный способ обобщения соотношений на конечные деформации принципиально неоднозначен, он зависит от выбранной пары (новых) тензорных мер напряжений и конечных деформаций (от их диаграмм и соответствующих объективных производных). При этом оказалось, что выбор тензорных мер существенно влияет на поведение модели материала. Это открывает новые дополнительные возможности для аппроксимации экспериментальных данных путем выбора этих мер из некоторого подходящего класса (семейства) даже при сохранении математической формы определяющего соотношения.
4.3.2 Реализации нового подхода. Так, в рамках специального подсемейства коротационных мер А.С. Финошкиной были получены существенно различные обобщения на конечные деформации соотношений гипоупругости, пластичности малой кривизны, теории пластического течения [54, 55].
В рамках семейства голономных мер А.С. Шуткиным построены обобщения моделей материалов с памятью формы [56], показавшие заметные различия уже при небольших деформациях.
5 Принципы построения общей теории определяющих
соотношений
5.1 Классические подходы. Широко известными и признанными подходами в теории определяющих соотношений являются подходы А.А.Ильюшина (см. [1-10]) и У.Нолла (см. [11-16]).
В основе подхода Ильюшина лежит постулат макроскопической определимости — общий постулат механики сплошной среды, охватывающий все закономерности механических свойств тел для различных классов материалов и процессов: общий и частный постулаты изотропии, свойства запаздывания, необратимости и др.
Подход Нолла основан на принципах детерминизма и причинности, локального действия и независимости от системы отсчета.
Постулат Ильюшина выражает все эти принципы в компактной форме, и походы Ильюшина и Нолла совпадают для всех классических сред (простых тел).
В классических теориях 1) все массовые силы отнесены к числу внешних и 2) учет наличия внутренних кинематических связей в теле сопровождается специальной модификацией основных принципов.
5.2 Обобщенная теория.
5.2.1 Основные принципы. Аксиоматика новой теории [42, 46] отличается от традиционных построений одновременным учетом внутренних массовых сил и возможного наличия внутренних кинематических связей в теле. Динамический процесс в теле включает не только его движение и поле тензора напряжений, но и поле внутренних массовых сил, причем движение тела лимитируется его внутренними кинематическими связями.
Принимаются аксиомы
(1) о независимости динамического процесса в теле от процессов в других телах (принцип локальной отделимости),
(2) о представимости системы определяющих соотношений в виде уравнения кинематической связи для допустимых движений и двух уравнений, выражающих полевые значения в текущий момент тензора напряжений и вектора внутренних массовых сил с точностью до неопределенных слагаемых, не совершающих (в совокупности) работу на допустимых движениях (принцип структурно-энергетического детерминизма), а также
(3) о независимости соотношений от системы отсчета (принцип материальной независимости от системы отсчета).
5.2.2 Общая теорема. Выведена общая приведенная форма системы определяющих соотношений, включающая уравнение связей, показывающая локальный характер зависимости напряжений Т от движения частицы тела и глобальный характер зависимости поля внутренних массовых сил ЬП(г) от движения всего тела (С — мера деформаций Коши, С* — ее предыстория, К — тензор полярного поворота):
т (х,*) = к (х,*) ■ д *) + т[па (х,*), (16)
Ьп« (Х *) = К 0 + ЬП« (Х *) , (17)
(15)
а также выявляющая (раздельно) свойства неопределенных полей напряжений Т“а и внутренних массовых сил Ь™^)
где V и Ю — физически допустимые поля скоростей и скоростей деформаций.
Для классических сред в случае, когда внутренними массовыми силами можно пренебречь, полученные соотношения совпадают с известными.
5.2.3 Простая классическая среда (простое тело). Эквивалентность определяющих соотношений Ильюшина и Нолла.
Деформируемое тело (среду) назовем простым телом (простой классической средой), если уравнения (15), (16) имеют простую форму:
Т (х, *) = К (х, *) ■ д ([С* (х, $)] ; х) ■ Кт (х, *) + Т1па (х, *), (20)
где р и д — отображения, выражающие свойства бесконечно малой окрестности точки х тела и определенные на предысториях правого тензора (меры) деформаций Коши-Грина С в этой же точке.
Для простых сред при отсутствии внутренних кинематических связей и в пренебрежении внутренними массовыми силами имеем
Следствие. Классические общие приведенные формы определяющих соотношений Нолла
эквивалентны друг другу, причем операторы напряжений Нолла дN и Ильюшина д\ связаны тождеством (и — правый тензор растяжений, Ео — тензор деформаций Коши-Грина)
5.2.4 Степень произвола возможной реализации полей напряжений и внутренних массовых сил при наличии кинематических связей.
Общие уравнения. Предполагая, что при заданных внешних нагрузках и условиях для данного тела существует движение, удовлетворяющее этой системе соотношений и сопровождаемое, однако, различными полями напряжений Тш<^ и внутренних массовых сил Ь™^), обозначим разности этих полей через ДТ1пё и ДЬ^). Тогда для произвольного момента * рассматриваемого движения в качестве следствия указанной системы
(18)
(19)
и Ильюшина
Т (х, *) = К (х, *) ■ д^ [и* (х, $)] ^0 ; х) ■ Кт (х, *) (21)
(22)
д N = и ■ д I ■ и.
(23)
получаем для ДТ1Ш^ и ДЬ“^) в эйлеровом описании (с независимыми переменными х,*) уравнение
ё1уДТ1па + рДЬ“(1) = 0, (24)
граничное условие
ДТ1па ■ п = 0, (25)
а также тождества
ДТ1па:Б = 0, (26)
У рДЬ[П« ■ = 0 (27)
п
для любых физически допустимых в момент * полей скоростей точек тела V и скоростей деформаций Ю (р — плотность массы в момент *).
Абсолютная деформируемость и абсолютная твердость.
Очевидно, что в тривиальном случае отсутствия внутренних кинематических связей имеем Т1пё = ДТ1па = 0, Ь™^ = ДЬ^^ = 0. В крайне
противоположном тривиальном случае абсолютной твердости тела
тождество (26) удовлетворяется любым полем ДТ1Ш^, тождество (27) — любым сбалансированным в О (с нулевыми главными векторами сил и моментов сил) полем ДЬПп(1), и система (24)-(27) сводится к системе уравнений (24), (25) для тензорного поля ДТ1пё и сбалансированного в О векторного поля ДЬПп(1). При этом, с одной стороны, очевидно, что для любого дифференцируемого и удовлетворяющего (25) тензорного поля ДТ1п<^ существует единственное векторное поле ДЬП(1), отвечающее уравнению (24), причем уравнения (24), (25), а также симметричность тензорного поля ДТ1п<^ с привлечением известного тождества
J (х — х0) х Ь ■ п^£ = J (х — х0) х ё1у1ЛУ (28)
г п
(для произвольного симметричного дифференцируемого тензорного поля Ь) показывают, что это векторное поле ДЬ^) сбалансировано в смысле (27). С другой стороны, можно показать и обратное — существование (неединственного, вообще говоря) симметричного тензорного поля ДТ1Ш^, удовлетворяющего (24) и (25) для наперед заданного сбалансированного векторного поля ДЬП$).
В общем случае нетривиальных кинематических связей поля ДТ1п<^ и ДЬ™(1) определяются системой (24)-(27), имеющей непустые множества нетривиальных решений.
Несжимаемость. Так, если внутренние кинематические связи в теле в некоторый момент времени * выражаются свойством несжимаемости,
система (24)-(27) имеет следующее множество решений:
ATind =
Ab“d) = “grad p,
“ p
где p — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая нулевому граничному условию p = 0 на dQ. Классическое описание несжимаемости (без учета произвольной составляющей внутренних массовых сил) предполагает нетривиальным только произвольное слагаемое поля напряжений в виде шарового тензора Tind = —pindI = 0 (определяемого условиями конкретной краевой задачи), а поле произвольных внутренних массовых сил считается тождественно нулевым b™(d) = 0. Прибавляя к этой паре функций решение системы (24)-(27), получаем полное множество пар неопределенных полей напряжений и внутренних массовых сил в рамках предложенной здесь теории:
Tind = —pindI — pI, b“(d) = 0 + “grad p.
“ p
Более того, если формулировка краевой задачи для данного тела допускает в момент t выполнение условия Tind ■ n = —pindn = 0 на границе тела (что возможно, например, для идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей), то, полагая p = —pind, получим Tind = 0 и
b“d) = — “grad pind.
“ p
Это значит, что (динамическое) равновесие тела в момент t обеспечивается только неопределенными массовыми силами без неопределенных (шаровых) составляющих поля тензора напряжений.
Замечания. Таким образом, при наличии кинематических связей в теле одно и то же движение тела при одних и тех же внешних воздействиях может сопровождаться разными полями внутренних контактных и массовых взаимодействий, отличающимися друг от друга соответственно на поля ATind и Abjnd) — решения системы (24)-(27).
Отметим также, что любая конкретная реализация поля неопределенных составляющих внутренних массовых сил в теле может рассматриваться как дополнительное поле внешних массовых сил и может быть физически воспроизведено в действительности или в принципе без какого-либо воздействия на движение тела, иными словами, факторизация внешних массовых сил по множеству слагаемых Ab™d), удовлетворяющих (24)-(27) (совместно с соответствующими полями ATind), не изменяет движения тела.
Это показывает, что эксперименты, на основе которых можно было бы распознать конкретный вид пары полей неопределенных составляющих напряжений и внутренних массовых сил (среди множества пар, отличающихся на решения системы (24)-(27)), принципиально невозможны. Равно невозможны эксперименты, на основе которых можно было бы обнаружить отсутствие (как в классической теории) или наличие (как в предложенной здесь теории) ненулевого поля неопределенных массовых сил в теле.
6 Заключение
Представленная теория объективных тензоров и их отображений, включая объективные производные и интегралы, привела к построению континуальных классов и семейств обобщенных тензорных мер напряжений и конечных деформаций, предоставляющих возможность многовариантного представления определяющих соотношений материалов, в том числе многовариантного обобщения соотношений, известных при малых деформациях, на область произвольных конечных деформаций.
Предложенные новые общие принципы теории определяющих соотношений позволяют охватить свойства сопротивления тел деформированию одновременно с учетом внутренних массовых сил и наличия внутренних кинематических связей в теле.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упругопластические деформации. М.: Логос, 2004. 388 с.
2. Ильюшин А.А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред // ПММ. 1954. Т. 18. Вып. 6. С. 641-666.
3. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.
4. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.)
5. Ильюшин А.А. Функционалы и меры необратимости на множествах процессов в механике сплошной среды (МСС) // ДАН. 1994. Т. 337. № 1. С. 48-50.
6. Ильюшин А.А. Несимметрия тензоров деформаций и напряжений в механике сплошной среды // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1996. N 5. С. 6-14.
7. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1959. 371 с.
8. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Мысль, 1970. 280 с.
9. Ильюшин А.А., Ломакин В.А. Моментные теории в механике твердых деформируемых тел // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 54-61.
10. Ильюшин А.А., Ильюшина Г.А. Вопросы термодинамики необратимых процессов // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1983. N 3. С. 73-80.
11. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media // Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V. 2. P. 197-226.
12. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of Mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berlin: Springer, 2004. 602 p.
13. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.
14. Noll W. Materially uniform simple bodies with inhomogeneities // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1967. V. 27. No 1. P. 1-32.
15. Noll W. A new mathematical theory of simple materials // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1972. V. 48. No 1. P. 1-50.
16. Noll W. Lectures on the foundations of continuum mechanics and thermodynamics // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1973. V. 52. No 1. P. 62-92.
17. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.
18. Матченко Н.М., Толоконников Л.А. Общая плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1973. № 3. С. 49-52.
19. Толоконников Л.А., Матченко Н.М. О представлениях предельных условий для начально анизотропных тел //Проблемы прочности. 1974. № 3. С. 54-56.
20. Толоконников О.Л., Маркин А.А., Астапов В.Ф. Свойства материалов при конечном пластическом деформировании // Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Ч. 2. Киев: 1984. С. 57-58.
21. Матченко Н.М. Некоторые вопросы теории идеальной пластичности анизотропных сред: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула: ТулПИ, 1985. 37 с.
22. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининск. ун-та, 1986. С. 49-57.
23. Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Всесоюзн. межвуз. сборник. Горький: Изд-во Горьковского ун-та, 1987. С. 32-37.
24. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1988. 38 с.
25. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Изменение упругих свойств в результате конечного пластического деформирования // Проблемы нелинейной теории упругости. Калинин: Изд-во Калинин. политехн. ин-та, 1989. С. 137-142.
26. Маркин А.А. Об изменении упругих и пластических свойств при конечном деформировании // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 2.
27. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001.
28. Комплексные задачи теории пластичности / Н.Д. Тутышкин [и др.]. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 377 с.
29. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Вариант определяющих соотношений нелинейной анизотропной термоупругости // Изв. СО РАН. Прикл. механ. и техн. физика. 2003. Т. 44. № 1.
30. Соколова М.Ю. Термомеханические модели процессов конечного деформирования анизотропных тел: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 32 с.
31. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Тонкие пластины и оболочки. М., Тула: РААСН, ТулГУ, 2005. 186 с.
32. Маркин А.А. Термомеханическая модель равновесного деформирования II Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 80-85.
33. Матченко Н.М. Об условии пластичности листовых прокатных металлов II Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 187-192.
34. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. О квазипростом упругопластическом деформировании II Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2012. С. 163-170.
35. Маркин А.А., Соколова М.Ю., Христич Д.В. Необратимые равновесные процессы в анизотропных материалах II Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2012. С. 179-187.
36. Христич Д.В., Соколова М.Ю. Упругие свойства квазикристаллов с одной поворотной осью симметрии Ц Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2012.
С. 254-259.
37. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях II Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1987. С. 68-81.
38. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях II ДАН СССР. 1989. Т. 308. № 3.
С. 5б5-570.
39. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды II Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 1. С. 54-60.
40. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред II ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. С. 814-824.
41. Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений II Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1992. №4. С. 86-91.
42. Бровко Г.Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: автореф. дис. ... д-ра. физ.-мат. наук. М.: Изд-во МГУ, 1996. 32 c.
43. Бровко Г.Л. Вопросы инвариантности в классических и неклассических моделях сплошных сред II Упругость и неупругость. М.: URSS, 2006.
С. 110-123.
44. Бровко Г.Л., Ильюшин А.А. Модели и определяющие эксперименты в теории упругопластических процессов при конечных деформациях II А.А.Ильюшин. Труды. Т. 4. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009. С. 148-159.
45. Бровко Г.Л. Подходы к построению определяющих соотношений в механике сплошной среды II Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 30-37.
46. Brovko G.L. On general principles of the theory of constitutive relations in classical continuum mechanics II Journ. Eng. Math. 2013. V. 78. P. 37-53.
47. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.
48. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка. 1987. 231 с.
49. Ogden R.W. On Eulerian and Lagrangean objectivity in continuum mechanics // Arch. Mech. 1984. V. 36. No 2. P. 207-218.
50. Brovko G.L. Invariance Types of Tensors, Tensor Processes and Their Transforms in Classical Continuum Mechanics // Proc. of the Fifth Int. Seminar on Geometry, Continuum and Microstructures. Sept. 26-28, 2001, Sinaia, Romania. Bucuresti: Editura Academiei Romane, 2002. P. 13-24.
51. Бровко Г.Л. Эффективные свойства инвариантности процессов и соотношений в механике сплошных сред // Современные проблемы математики и механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. Т. II. Механика. Вып. 1. С. 108-126.
52. Бровко Г.Л. Основы обобщенной теории тензорных мер деформаций и напряжений // Проблемы нелинейной механики. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. С. 123-132.
53. Nagtegaal J.C., de Jong J.E. Some aspects of nonisotropic work hardening in finite strain plasticity // Plasticity of metals at finite strain: Theory, Experiment and Computation. Stanford Univ. and Dept. Mech. Eng., R.P.I., 1982. P. 65-102.
54. Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6. Вып. 2. С.160-166.
55. Финошкина А.С. К построению моделей пластичности при конечных деформациях на основе определяющих соотношений, известных при малых деформациях // Упругость и неупругость. М.: URSS, 2006. С. 256-264.
56. Шуткин А.С. Подходы к обобщению определяющих соотношений деформируемых твердых тел на область конечных деформаций // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 166-180.
Бровко Георгий Леонидович (glb@mech.math.msu.su), д.ф.-м.н., профессор, кафедра теории упругости, Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова.
The development of general principles of the theory of constitutive relations in continuum mechanics
G. L. Brovko
Abstract. Here are presented some results in research of topical problems in the theory of constitutive relations in modern continuum mechanics: tensor presentations of mechanical processes characteristics including strain and stress processes; mathematical structure of tensor mappings and equations used in constitutive relations; basic principles for constructing the theory of constitutive
relations comprehensively covering mechanical properties of bodies, in the first place properties of deformation resistance.
Keywords: objective tensors, diagrams, objective derivatives and integrals, tensor measures of stresses and finite strains, principles of the general theory of constitutive relations.
Brovko George (glb@mech.math.msu.su), doctor of physical and mathematical sciences, professor, theory of elasticity department, Lomonosov Moscow State University.
Поступила 27.03.2013
