CC BY
192. Armstrong-Helouvry В., Dupont P., De Wit С.С. A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction // Automatica. 1994. 30, N 7. 1083-1138.
3. Kermani M.R., Patel R. V., Moallem M. Friction identification and compensation in robotic manipulators // IEEE Trans. Instrum. and Meas. 2007. 56, N 6. 2346-2353.
4. Vakil M., Fotouhi R., Nikiforuk P.N. Energy-based approach for friction identification of robotic joints // Mechatronics. 2011. 21, N 3. 614-624.
5. Iwatani M., Kikuuwe R. An identification procedure for rate-dependency of friction in robotic joints with limited motion ranges // Mechatronics. 2016. 36. 36-44.
6. Климина JI.А., Локшин Б.Я. Об одном конструктивном методе поиска ротационных и автоколебательных режимов в автономных динамических системах // Нелинейная динамика. 2017. 13, № 1. 25-40.
7. Александров В.В., Лемак С.С., Парусников Н.А. Лекции по механике управляемых систем. М.: Макс Пресс, 2012.
Поступила в редакцию 12.04.2017
УДК 531/534+539.3
ОБЩИЕ ПРИВЕДЕННЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Г. Л. Бровко1
Построена теория определяющих соотношений свойств сопротивления тел деформированию, учитывающая наличие одновременно внутренних массовых сил и внутренних кинематических связей. Предложены аксиомы теории и построена общая приведенная форма системы определяющих соотношений классических сред. Для простых тел (классических сред) установлена эквивалентность определяющих соотношений Ильюшина и Полла.
Ключевые слова: классическая механика сплошной среды, сопротивление деформированию, определяющие соотношения, внутренние массовые силы, кинематические связи, простые тела, эквивалентность определяющих соотношений Ильюшина и Полла.
The theory of constitutive relations of deformation resistance of bodies is constructed provided simultaneously by possible presence of inner kinematic constraints in a body and by-account of internal body forces. The axioms of the theory are proposed and the general reduced form of the system of constitutive relations is derived. For simple bodies (classical media), the equivalence of Ilyushin's and Noll's forms of constitutive relations is established.
Key words: classical continuum mechanics, deformation resistance, constitutive relations, internal body forces, kinematic constraints, simple bodies, equivalence of constitutive relations by Ilyushin and by Noll.
1. Сопротивление деформированию: основные понятия и принципы общей теории.
1.1. Традиционные подходы: анализ и пути обобщения. Современные основы классической механики сплошной среды представлены как в фундаментальных трудах [1, 2], так и в получивших широкое признание аксиоматизированных (соответственно шестой проблеме Гильберта [3]) построениях [4-7].
В классической механике сплошной среды при постановках краевых задач для тел различной формы и различных механических свойств предполагается выполнение в инерциальной системе отсчета общего уравнения движения Коши в области Q актуальной конфигурации тела
div S + рЪ = pw, (1)
где р — плотность массы, w — ускорение точки тела, S — тензор напряжений Коши, b — массовая плотность массовых сил, действующих в точке тела.
1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: glbQmech.math.msu.su.
Строгий вывод уравнения (1) с необходимостью предусматривает учет в величине Ь действия как внешних (по отношению к рассматриваемому телу) массовых сил массовой плотности ЬП(е), так и внутренних (со стороны остальных частей данного тела) массовых сил плотности , а именно
ь = ьп(е) + ЬпИ.
Во всех традиционных, в том числе аксиоматических, подходах к построению механики сплошной среды массовые силы относятся к числу внешних, при этом предполагается (явно или по умолчанию), что поле внутренних массовых сил известно, чаще всего пренебрежительно мало: = 0. Такое допущение, уместное для подавляющего большинства инженерных задач, представляется невыполнимым для тел больших масс и размеров, в частности тел и систем тел планетарных масштабов. Подобно полю тензора напряжений Б, определяющему в теле распределение контактных внутренних взаимодействий, поле внутренних массовых сил зависит от движения тела, его
формоизменения (деформаций, скоростей деформаций) и, как и поле тензора напряжений, подлежит отысканию в соответствии с механическими свойствами тела — свойствами сопротивления тела деформированию, выражаемыми его определяющими соотношениями.
Это обстоятельство указывает на то, что при нетривиальном учете внутренних массовых сил [8] поле Ь^(г) должно быть наряду с движением тела и полем напряжений включено в состав внутреннего динамического процесса [5, 6], выражающего свойства сопротивления тела деформированию.
Кроме того, в традиционных рассмотрениях учет наличия в теле внутренних кинематических связей ведется путем модификации принципов теории определяющих соотношений в виде утверждений, касающихся лишь поля тензора напряжений безотносительно к полю внутренних массовых сил.
Анализ классических работ [1-7] и дополнительных исследований [8-13] показал целесообразность построения единой теории определяющих соотношений свойств сопротивления тел деформированию, охватывающей одновременно учет нетривиальных внутренних массовых сил и внутренних кинематических связей.
1.2. Динамические процессы: новое общее понятие. Понятие свойств и определяющих соотношений сопротивления тел деформированию.
Определение 1. Для произвольного тела с отсчетной конфигурацией По любой набор (тройку), состоящий из заданных в области По лагранжева закона движения И. симметричного тензорного поля-процесса напряжений Б и векторного поля-процесса внутренних массовых сил , назовем (внутренним) динамическим процессом, и обозначим
Определение 2. Любое справедливое для данного тела высказывание (соотношение) о динамическом процессе (2) назовем механическим свойством тела, а свойство, из которого вытекают все другие его механические свойства, назовем определяющим свойством; определяющее свойство данного тела, выраженное математическим соотношением для динамического процесса, назовем определяющим соотношением данного тела. Любой динамический процесс, удовлетворяющий определяющему соотношению тела, назовем физически (механически, материально) допустимым для данного тела.
1.3. Основные аксиомы (принципы) общей теории определяющих соотношений сопротивления деформированию.
Аксиома 1 (принцип локальной отделимости). Для любого тела его определяющее соотношение сопротивления деформированию накладывает связи лишь на историю его собственного динамического процесса безотносительно к т,аховым, в любых других отделенных от, него телах или к внешним, условиям процесса.
Аксиома 2 (принцип структурно-энергетического детерминизма). Для любого тела Г2о определяющее соотношение сопротивления деформированию эквивалентно системе соотношений, выполняющихся в любой момент времени
(2)
Ьп(4)(х,*) = Чп (х'^)]^ +Ц$)(х,*). (5)
Здесь уравнение внутренних кинематических связей (3) имеет непустое решение (относительно движения {); х € Оо — произвольная точка тела; отображения То,, qп в (4); (5) — определенные для, данного тела однозначные отображения множества предысторий движения тела, удовлетворяющих (3), соответственно в множество объективных пространственного типа симметричных тензоров второго ранга и в множество объективных пространственного типа векторов; и Ь™^ — такие тензорное поле (симметричного тензора) и векторное поле в теле Ось что для, любого движения, удовлетворяющего (3), в любой момент времени £ выполнено соотношение
I (IV- I рЬ^ • V дУ = 0, (6)
п п
где V и, V — любые векторное поле скоростей и, соответствующее ему тензорное поле скоростей деформаций, удовлетворяющие (3) для Г2о-
Аксиома 3 (принцип материальной независимости от системы отсчета). Определяющие соотношения сопротивления деформированию всех тел не зависят, от, системы от,счет,а, т.е. определяют во всех системах от,счет,а, одно и, то же множество физически допустимых динамических процессов.
2. Общая приведенная форма системы определяющих соотношений. 2.1. Основная теорема. Главным результатом исследования является следующая Теорема. При, выполнении аксиом, 1-3 для, любых классических сплошных сред (связных тел) в любой системе от,счет,а, система определяющих соотношений сопротивления деформированию имеет следующую общую приведенную форму (лагранжево описание):
х' 6 Пд
в (х, 1) = С1(х,1)-д( [С4 (х', 5)] ;х | • С2Т (х, I) + (х, I), (8)
\ з^О /
Ьп(4) (х, 1) = 0, (хо, *) • рп ( [с* (х', «)] ; X ] + Ь^) (х, *) , (9)
\ х /
\ я^О /
где уравнение (7) выражает, внутреннюю кинематическую связь тела По/ С* — I-предыстория меры деформаций Коши С = Ат • А (А = — аффинор (градиент,) деформации); — ортогональный тензор полярного поворота; хо — произвольная фиксированная, точка тела По/ ^ — произвольный момент времени; уравнения (8), (9) определяют физически допустимые поля тензора истинных напряжений Коши в и внутренних массовых взаимодействий для любого физически допустимого движения; отображение — соответствующее механическим свойствам тела в окрест,пост,и, точки х отображение заданных в бесконечно малой окрест,пост,и, точки х полей предысторий симметричных положительно определенных тензоров в симметричные тензоры; рп — отображение полей предысторий симметричных положительно определенных тензоров в самоуравновешенные в теле векторные поля над х € По; 81пс1 и, — произвольные тензорное (симметричного тензора второго ранга) и самоуравновешенное векторное поля, удовлетворяющие условиям
= 0, (10)
рЦ$)-у£гу = о (и)
п
с любыми физически допустимыми, удовлетворяющими уравнению связей (7) полями скоростей V и, скоростей деформаций V (условия (10), (11) суть необходимое уточнение соотношения (6)).
2.2. Эквивалентные представления определяющих соотношений.
2.2.1. Общие приведенные формы определяющих соотношений для различных динамических процессов. Соотношения (7)-(9) с учетом (10), (11), являющиеся общей для данной теории приведенной формой определяющих соотношений для динамического процесса {f, S, Ь^(г)}, могут быть эквивалентно переписаны в терминах других динамических процессов, включая {f, П, } и {f, S, Ь^(г)}, где П = JS • А-1Т — тензор условных напряжений Пиолы-Кирхгофа первого рода и S = А-1 • S • А-1Т — тензор условных напряжений Ильюшина. При этом соотношения (7), (9) сохранятся, уравнение (8) для тензора П примет вид
П (х, t)= Q (х, t) ■ Gtl ( [С* (х', s)] ; х ) + nind (х, t), (12)
\ х'е«о0(х) /
\ s>0 /
а для тензора S — вид
S (х, t) = Qs ( [С* (х', s)] ; X + Sind (х, t) , (13)
\ x'e¿n0(x) /
\ s>0 /
уравнения (12), (13) равносильны уравнению (8), причем
gu = JG ^~l, Ят, = х-1 • Q • х-1,
nind _ Jgind . А-IT Sind _ А-1 . gind . A-IT
(14)
где А — аффинор деформации, X — правый тензор чистой деформации из полярного разложения А = Q X, J = |det А|.
2.2.2. Простые тела. Эквивалентность определяющих соотношений A.A. Ильюшина и У. Полла,. Для простых тел без внутренних кинематических связей при отсутствии внутренних массовых сил свойства сопротивления деформированию могут быть представлены соответственно в виде определяющего соотношения A.A. Ильюшина [1]
Е(х,*) = 01Ц54(х,в)Цо;х] (15)
и определяющего соотношения У. Нолла [4, 5]
S (х, t) = Q (х, t) ■ ÇN ( [X4 (х, s)] ; х) • QT (х, t) (16)
с тензорнозначными (симметричными второго ранга) отображениями Q\ и Q\. Здесь X — предыстория тензора X, £t — предыстория тензора деформаций Грина £ = | (С — I), где I — единичный тензор второго ранга.
Следствие. Определяющие соотношения A.A. Ильюшина (15) и У. Нолла (16) эквивалентны, причем сообразно (14)
ÖN = X-0I-X. (17)
Соотношения (15), (16) (с учетом (17)) охватывают в точности все простые тела (без внутренних связей и без учета внутренних массовых сил), т.е. все классические среды, подчиняющиеся гипотезе макрофизической определимости, а значит, и постулату макроскопической определимости Ильюшина [1].
Работа подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-01-00669).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1984.
3. Проблемы Гильберта / Под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.
4. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1958. 2. 197-226.
5. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Handbuch der Physik. III/3. Berlin: SpringerVerlag, 1965 (3rd ed. / Ed. by Stuart S. Antman. Berlin; Heidelberg; N.Y. et al.: Springer-Verlag, 2004).
6. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
7. Gurtin М.Е., Fried Е., Anand L. The mechanics and thermodynamics of continua. Cambridge; N.Y. et al: Cambridge University Press, 2010.
8. Бровко Г.Л. Основы механики сплошной среды (краткий конспект лекций, задачи, упражнения). Ч. 2. М.: Попечит. совет мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013.
9. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях // Докл. АН СССР. 1989. 308, № 3. 565-570.
10. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // Прикл. матем. и механ. 1990. 54, вып. 5. 814-824.
11. Бровко Г. Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: Докт. дис. М., 1996.
12. Brovko G.L., Ivanovo, О.A., Finoshkina A.S. On geometrical and analytical aspects in formulations of problems of classic and non-clctssic continuum mechanics // Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 191. Basel/Switzerland: Birkhauser-Verlag, 2009. 51-79.
13. Brovko G.L. On general principles of the theory of constitutive relations in classical continuum mechanics / / J. Eng. Math. Kluwer Acad. Publ. 2013. 78. 37-53. DOI 10.1007/sl0665-011-9508-y.
Поступила в редакцию 04.09.2017
