CC BY
10Таким образом, кривая 7;n(s) лежит внутри шара, ограниченного сферой 5, и don (Yin(s),G) > |diam[G] для любого s G [So, -Si].
Положим y = Yout/3r и введем функцию F (t, s) = don (G, ty (s)). Заметим, что к ривая y состоит из пространств y(s) единичного диаметра, а функция F (t, s) непрерывна на компакте Q = [То ,T\] х [S0,S1] С М2, где Т0 = diam[Y;n],Ti = diam[Yout], причем для любого s G [So,Si] выполняется F (То, s) < г и F(T\,s) > г. Так как F (То, s) > |diam[G] для любого s G [So, Si], то согласно лемме 6 функция F (t, s) ст рого монотонна по t, поэтому в силу л еммы 5 существует непрерывная кривая w[s], такая, что don(w[s],G) = r для любого s G [S0,S1].
Итак, мы построили непрерывную кривую w, лежащую на сфере S. Покажем, что w[So] = A. Действительно, с одной стороны, w[So] принадлежит лучу AA, а с другой — выполняется равенство don (w[So],G) = r, н0 такая точка единственна в силу леммы 6. Аналогии но w[Si] = B. Ввиду произвольности A и B заключаем, что сфера S линейно связна, что и требовалось доказать.
Автор выражает благодарность научному руководителю профессору A.A. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также профессору А. О. Иванову за полезные обсуждения.
Работа выполнена при поддержке программы Президента РФ "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1) и РФФИ (грант № 16-01-00378-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов C.B. Курс метрической геометрии. М., 2004.
2. Ivanov А.О., Iliadis S., Tuzhilin A.A. Realizations of Gromov-Hausdorff distance // ArXiv: 1603.08850, 2016.
3. Ivanov А.О., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic // ArXiv:1504.03830, 2015.
Поступила в редакцию 27.04.2018
УДК 517.442
О ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТИ КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
А. В. Павлов1
Доказана перестановочность с обратным знаком синус-преобразования и косинус-преобразования Фурье на положительной действительной оси. Из данной перестановочности вытекает совпадение по модулю синус-преобразований и косинус-преобразований Фурье, определенных на полуоси, для широкого класса функций.
Ключевые слова: преобразование Фурье, перестановочность косинус-преобразований и синус-преобразований Фурье, совпадение косинус-преобразований и синус-преобразований Фурье.
It is proved that the cosine and sine Fourier transforms are permutable with the opposite sign on the positive real axis. This property implies that the cosine and sine Fourier transforms coincide in absolute value on the semiaxis for a wide class of functions.
Key words: Fourier transform, permutability cosine and sine Fourier transforms, coincidence of cosine and sine Fourier transforms.
Основным результатом статьи является перестановочность с обратным знаком операторов синус-преобразований и косинус-преобразований Фурье: C0S0 = -S0C0, определенных на действительной полуоси, для широкого класса функций [1-6], удовлетворяющих условию Y1 (лемма 1).
Из леммы 1 вытекает как несложно проверяемое следствие равенство с точностью до знака [3-81 между синус-преобразованиями и косинус-преобразованиями Фурье на полуоси [0, C0 = —S
(теорема).
1 Павлов Андрей Валерьянович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики МИРЭА-РТУ, e-mail:
avpavlovmguQmy-post .ru.
Отметим, что данные результаты требуют в дальнейшем отдельного изучения, например с точки зрения приложений к математической физике и теории функций комплексного переменного [9, 10]. Обозначим
со со
/cos vx u(x)dx = C4*)(.)M, / sin vxu(x)dx = *>u(x)(.)(v), v e »),
со
±isx„
F±u(x)(■ )(s) = J e xu(x)dx, s e (-то, то).
—^o
Нам понадобится следующее условие Yl.
u(x) x
ствует непрерывная на полуоси [0, +то) вторая производная,
max[\u(x)\,\du(x)/dx\, \d2u(x)/x2\]\xl+s\ — 0, s — то, 5> 0; 5 = const, s e (-то, то), u(0) = 0. Лемма 1. Имеет место равенство
со со
Art it I „ixt,
f (r) = J eirtdt J e u(x)dx = о 0
со со со со
= j sin rtdt J cos txu(x)dx + J cos rtdt J sin txu(x)dx = 0,r e [0, +rc>),
о о о о
при выполнении условия Yl для функций u(x),u(-x).
Доказательство. При произвольном фиксированном p e (0, рассмотрим равенство
оо оо
А(р) = ! I е^е-х и(х)йх = е?гр I е^1 йг^ еХ1 и(х)йх = Се?гр, г е [0, +то),г = í - р. р 0 0 0
С помощью формулы интегрирования по частям получаем
А(р) — 0,р — +то, г е [0, +то),
те
при условии у е?хЬ1 и(х) йх ^ с0/{\, ^ — +то. 0
Следовательно, С = 0. С учетом соотношения
А(р) — /(г),р — 0,г е [0, +то)
(данный факт очевидно следует из равномерной по всем е [0, +то) сходимости и ограниченности внутреннего интеграла, непрерывного при всех е [0, +то) [11, 12]), получаем доказательство леммы 1.
Теорема. Имеет место равенство
Б0и(х)(-)(г) = -С0и(х)(-)(г),г е (0, то),
при выполнении условия ¥1 для функций и(х),и(-х). Доказательство. Рассмотрим оператор [7, 8]:
+те те
Пи(х)(-)(г) =1т I еЫгйг I ег?х и(х)йх,г е (-то, то).
Непосредственным следствием леммы 1 является формула
fiu(x)(-)(i) = [S0C0 - C°S°]u(—x)(^)(t),t e (0, то).
Доказательство теоремы опирается на лемму 2. В дальнейшем доказательстве теоремы, как и в лемме 2, оператор Q понимается в только что приведенной форме, в которой x e [0, +TO),t e [0, +то).
u(x)
[C0 + S0]Qu(x)(0(t) = -[C0 + S°]u(x)(-)(t),t e [0, то).
Доказательство. Отметим прежде всего существование повторных интегралов ввиду равномерной сходимости внешнего интеграла после двукратного интегрирования по частям во внутреннем интеграле с учетом абсолютной сходимостим интеграла от второй производной [11,13].
После применения к равенству
Qu(x)(0(t) = [-C0S0 + S0C0]u(-x)(-)(t),x e [0, +то)^ e [0, +то), последовательно косинус-преобразования и синус-преобразования Фурье на [0, +то) получаем
C °Qu(x)(^)(v) = [-(n/2)S0 + C0S0C0]u(-x)(0(v);
S°Qu(x)(^)(v) = [-S0C0S0 + (n/2)C0]u(—x)( )(v),v e (0, то)
(возможность использовать формулы обращения преобразований Фурье [2, 13] обеспечивают условия Y1 для функций леммы 2, из которых следует абсолютная сходимость интегралов C0u(x)(^)(t), S0u(x)(^)(t) после двукратного интегрирования по частям с учетом условия u(0) = 0).
Если применить данные операторы в другом порядке — сначала оператор Q (в виде ранее приведенного выражения с аргументами на положительной полуоси), а затем последовательно операторы косинус-преобразования и синус-преобразования Фурье на [0, +то) от функции u(-x), то будем иметь
QC0u(-x)(0(v) = [-C 0S 0C0 + (n/2)S 0]u(-x)(-)(v); QS0u(-x)(0(v) = [-(n/2)C0 + S0C0S0]u(-x)0(v),v e (0, то);
данные равенства отличаются от соответствующих выражений при использовании операторов QS0, QC0 в обратном порядке только знаком: QS0 = -S0Q, QC0 = -C0Q.
Сложив данные равенства, получаем
Q[C0 + S°]u(-x)()(t) = -[C0 + S°]Qu(-x)(^)(t),t e (0, то).
Существование интегралов S0C0 S0u(-x)(^)(v), C0S0C0(^)(v) следует из леммы 1, в которой S0c0S0 = -S0S0C0 = (n/2)C0, C0C0S0 = (n/2)C0, при этом с помощью формулы интегрирования по частям из условия Y1 с учетом u(0) = 0 получаем max[\C0u(x)(^)(t)\, \S0u(x)(^)(t)\] ^ c/t2, t — ±то, c < то, c = const [2, 10, 11, 13]. Аналогичные рассуждения обеспечивают существование выражений QS°u(-x)(^)(t), QC0u(-x)(^)(t).
Лемма 2 доказана.
Заметим, что воспользоваться перестановочностью оператора Q с сумм ой C0 + S0 при аргументе данных выражений на действительной полуоси (она следует из леммы 1) мы не можем, так как формула обращения суммы C0 + S0 [2] применима только при значениях аргумента на всей оси.
Для доказательства теоремы осталось применить к равенству леммы 2 сначала косинус-преобразование, а затем синус-преобразование Фурье на [0, +то) и сложить получившиеся выражения:
-[п/2 + C 0S0]Qu(x)(-)(t) = п[п/2 + C 0S 0]u(x)(-)(t), -[S0C0 + n/2]Qu(x)(0(t) = n[S0C0 + n/2]u(x)(-)(t),t e [0, то),
-nQu(x)()(t) - [C0S0 + S0C0]Qu(x)(-)(t) = nnu(t) + [C0S0 + S0C0]u(x)(-)(t), t e [0, то) (мы не использовали значения данных операторов на отрицательной оси). Здесь по лемме 1
[C0S0 + S0C0]u(x)(-)(t) = 0, [C0S0 + S0C0]U(x)(0(t) = 0, U(x) = Qu(t)()(x),x e [0, +то) (при выполнении условия Y1 для функции U(x),x e [0, +то)).
Мы доказали равенство
-Qu(x)(-)(t) = nu(x),t е [0, +го).
Существование приведенных выражений и уточнение доказательств вытекает из формул обращений преобразований Фурье на [0, го), при этом по лемме 1 мы использовали соотношение C°S° = -S°C°, Q = -C0S0 + S°C°, т.е. получаем
C °S°Qu(x)(-)(t) = C°S°[-C°S° + S°C°]u(x)(-)(t) =
= C°S°S°C°u(x)(-)(t) - C°S°S°C°]u(x)(-)(t) = C°C°u(x)(-)(t) - C°C°]u(x)(-)(t) = 0,
t е [0, го) (возможность применить формулу обращения синус-преобразования или косинус-преобразования Фурье к C°u(x)(-)(t),S°u(x)(-)(t) отмечалась ранее), а проверять выполнение условия Y1 именно для функции Qu(x)(-)(t) здесь необязательно, так как из леммы 1 имеем Q = -C°S° + S°C°. Равенство [C°S° + S°C°]Q = 0 проверяется с помощью простых соотношений:
[C°S° + S°C°]Q = -[C°S° + S°C°][C°S° - S°C°] = = -[C0S0C°S° - (n/2)C°C° + (n/2)S°S° - S°C0S0C°] =
= -[C°S°C0S0 - S0C°S° C°] = = C0S°S0C° - S0C0C0S0 = (n/2)C°C° - (n/2)S°S° = 0.
Применяя равенство Q = 2S°C° для четных u(x), получаем (при этом Q = 2S°C° = S°C° - C°S° как непосредственно, так и ввиду равенства S°C° = -C°S° по лемме 1) равенство Qu(t)(-)(x) = 2S°C°u(t)(-)(x),x е (-го, го), или
2S°C°u(t)(-)(x) = -nu(x),x е [0, +го).
С учетом формулы обращения синус-преобразования Фурье [2] теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Павлов А.В. Дисциплины с приоритетом коротким требованиям и идентичное обслуживание. URL: http://catalog.mforeg.ru/Inet/GetEzmeByID/300386. М.: ФГБОУ ВПО МГТУ МИРЭА, 2013.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
3. Pavlov A.V. The Dirichlet problem and disappearance of the imaginary part of the Laplace transform on the imaginary axis in connection with the Fourier, Laplace operators // RUDN Univ., Steklov Math. Inst. The 8th Int. Conf. on Differential and Functional Differential Equations. August 13-20. Moscow. M., 2017. 137.
4. Pavlov A. V. Identical service and the odd or even transform of Laplace // Moscow M.V. Lomonosov Univ., RUDN. Conf. "Anal, and сотр. meth. in probab. theor. and its appl". (ACMPT 2017), October 23-27, Moscow. M., 2017. 31-35.
5. Pavlov A. V. The correctness of geometrical methods in the theorem of Fermat; the transform of Laplace // 7th Eur. Congr. Math. July 18-22, Techn. Univers. Berlin, 2016. 84.
6. Pavlov A. V. Application of regularity of the double Laplace transform to the general properties of the integral Fourier transform // Steklov. Math. Inst. (KSA Innov. Group). Int. Conf. "Math, theory of optimal control". Proc. Int. Conf. dedicated to the 90th universary of Acad. R. V. Gamkrelidze. June 1-2. Moscow. M., 2017. 113-115.
7. Павлов А.В. Преобразование Фурье и формула обращения преобразования Лапласа // Матем. заметки. 2011. 90, № 6. 792-796.
8. Pavlov А. V. About the equality of the transform of Laplace to the transform of Fourier // Issues of Analysis. Petrozavodsk. 2016. 23, N 1. 21-30.
9. Архипов P.П., Чубариков В.П. О математических работах профессора А.А. Карацубы // Тр. Матем. ин-та РАН. 1997. 218. 7-19.
10. Лыков А.А., Малышев В.А., Чубариков В.П. Регулярные континуальные системы точечных частиц. I: Системы без взаимодействия // Чебышёвский сборник. 2016. 17, № 3. 148-165.
11. Павлов А.В. Достоверное прогнозирование функций, представимых в виде преобразования Фурье или Лапласа // Вести. МГТУ МИРЭА. 2014. 3, № 2. 78-85.
12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
13. Фихтенгольц P.M. Курс дифференциального и интегрального исчисления, II. М.: Наука, 1969.
Поступила в редакцию 04.05.2018
