Линейная связность сферы в пространстве Громова--Хаусдорфа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.124

ЛИНЕИНАЯ СВЯЗНОСТЬ СФЕРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ГРОМОВА-ХАУСДОРФА

Р. А. Цветников

1

Изучается линейная связность сфер в пространстве Громова-Хаусдорфа, а именно доказываются следующие два утверждения: (1) каждая сфера с центром в одноточечном пространстве линейно связна; (2) для каждого метрического компакта X существует такое число Rx , что все сферы с центром в X и радиусом r ^ Rx являются линейно связными.

Ключевые слова: метрика Громова-Хаусдорфа, линейная связность.

The path connectedness of spheres in Gromov-Hausdorff space is studied. The following two assertions are proved: (1) each sphere centered at one-point space is path connected; (2) for any metric space X there exists a number RX such that each sphere with the center at X and radius greater than RX is path connected.

Key words: Gromov-Hausdorff metric, path connectedness.

Важным геометрическим объектом является расстояние Громова-Хаусдорфа, введенное Д. Эд-вардсом в 1975 г., а затем переоткрытое и обобщенное М.Л. Громовым в 1981 г. Оно измеряет "различие" между двумя произвольными метрическими пространствами и фактически является мерой наилучшего "совмещения" пространств. На основе этого расстояния вводится пространство Громова-Хаусдорфа, точки которого суть классы изометричности компактных метрических пространств. В нем, как известно, расстояние Громова-Хаусдорфа является метрикой. Известны различные приложения расстояния Громова-Хаусдорфа, например в теории распознавания образов.

1. Основные определения и предварительные результаты. Введем базовые определения, необходимые для работы.

Определение 1. Пусть X 'и У' — два непустых подмножества метрического пространства М. Тогда расстоянием по Хаусдорфу (н (X', У') межд у X 'и У' называется точная нижняя грань чисел (, таких, что (-окрестность множества X' содерж ит У 'и (-окрестность множества У' содерж ит X Эквивалентное определение: если \ху\ — расстояние между х и у в М, то

Определение 2. Пусть X и У — произвольные компактные метрические пространства. Тройку (X' ,У' , 2), состоящую из метрического про странства 2 и двух его подмножеств X 'и У', изомет-ричных соответственно X и У, назовем реализациеи пары, ).

Определение 3. Расстоянием (он по Громову-Хаусдорфу между X и У назовем точную нижнюю грань чисел р, для которых существует реализация (X',У',2) пары (X,У), такая, что

Хорошо известно [1], что определенная выше функция doH является метрикой на множестве M компактных метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии. Цель настоящей работы — выяснить, являются ли сферы в пространстве M линейно связными.

Определение 4. Отношением, между множествами X и Y называется каждое подмножество декартова произведения X х Y.

Множество всех непустых отношений между X и Y обозначим через P (X,Y). Через пх и пу обозначим канонические проекции пространства X х Y на его сомножители, т.е. пх(x,y) = x и пУ (х,У) = У-

Определение 5. Отношение R между X и Y называется соответствием,, если ограничения канонических проекций пх и пу на R — сюръекции.

Множество всех соответствий между X и Y обозначим через R(X,Y).

Пусть X — метрическое пространство, a,b G X. Расстояние между a, b будем обозначать через \ab\, подразумевая, что расстояние считается в X.

1 Цветников Роман Александрович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: 1995roma®maïl.ru.

dH(X1 ,Y') = max \xy\ ), sup ( inf \xy\ )

yçy' xÇ.X'

dH (X1, Y') < p.

Определение 6. Пусть Х,У — метрические пространства. Для каждого отношения а € Р(Х, У)

определим его искажение

dis а = sup j |\xx'\ — \yy'\\: (x, y) G a, (x', y' ) G

Хорошо известно [1], что

dGH(X,Y) = i infjdis R : R<eK(X,

Определение 7. Оптимальным соответствием К, К € /Я,(Х,У), называется соответствие, на котором достигается расстояние по Громову-Хаусдорфу:

с1сн(Х,У) = ± К

Множество всех оптимальных соответствий между X и У обозначим через ^ор1-Обозначим через А1 одноточечное метрическое пространство.

Для А € М и вещественного Л > 0 через ЛА будем обозначать метрическое пространство, которое получается из А умножением всех расстояний в нем на Л.

Определение 8. Диаметром ё1аш[А] метрического пространства А называется точная верхняя грань расстояний между его точками.

Предложение 1 [1]. Для любых Х,У €М имеет место неравенство

йсн(Х,У) ^ ^ тах{(Нат[Х],сЦат[У]}.

Предложение 2 [1]. Для любых Х,У €М выполняется неравенство

|ё1аш[Х] - ё1аш[У]| < 2 йен(Х,У).

Предложение 3 [1]. Для любого Х €М имеем

йен(Х, А1) = ё1аш[Х]/2.

Предложение 4 [2]. Для любых Х,У € М множество /Я,ор1(Х,У) непусто. Предложение 5 [2]. Для любых Х, У € М и каждого К € 'Кор\,(Х, У) семейство Кг,Ь € [0,1], компактных метрических прост,ранет,в, т,аких, что К0 = Х,К1 = У и для Ь € (0,1) пространство Кг есть (К,рг), где

(х, у), (х', у')) = (1 - Ь)\хх'\ + Ь\уу'\,

является кратчайшей кривой в М, соединяю щей Х и У.

Предложение 6 [1]. Для любых Х, У € М, Л> 0 имеем,

йен(ЛХ, ЛУ) = Лйен(Х,У).

Предложение 7 [1]. Для любого Х € М, Л^Л2 > 0 выполняется соотношение

йен(Л1 Х,Л2У) < \Л1 - Л2\йен(Х, У).

2. Основные результаты. Докажем ряд вспомогательных лемм.

Лемма 1. Если 7(Ь),Ь € [а, Ь], — непрерывная кривая в М, то ё1аш[7(£)] — непрерывная функция.

Доказательство. Покажем непрерывность ё1аш[7(Ь)] в точке ¿о- В силу непрерывности 7(Ь) получаем, что для любого £ > 0 и для люб ого Ь существует такое 5 > 0, что если \Ь — Ьо \ < 5, то йен(7(Ь),7(Ь0)) < £■ Согласно предложению 2 имеем

|ё1аш[7(£)] — ё1аш[7(Ьо)] | < 2 йен(7(Ь)л(Ьо)) < 2 £,

откуда немедленно вытекает непрерывность функции ё1аш[7(£)], что и требовалось.

Лемма 2. Если Л(Ь), Ь € [а, Ь], — непрерывная положительная функция, а ^(Ь) — непрерывная кривая в М, то Л(Ь)7(Ь) — непрерывная кривая в М.

Доказательство. Покажем непрерывность Л(Ь)ч(Ь) в точке Ьо. По лемме 1 ё1аш[7(Ь)], Ь €

[а, Ь]

ченной является непрерывная функция Л(Ь). Пусть Л(Ь) < М, ё1аш[7(Ь)] < М для любого Ь. В силу непрерывности 7(Ь) получаем, что для любого £ > 0 и для любого Ь существует 51 > 0, такое, что если \Ь — Ьо\ < 51, то йен(7(Ь),7(Ьо)) < £• А в силу непрерывности Л(Ь) получаем, что для любого £ > 0 Для любого Ь существует 52 > 0 такое, что если \Ь — Ьо \ < 52, то \Л(Ь) — Л(Ьо) \ < £. Тогда если положить 5 = шт{51,52} и учесть, что \Ь — Ьо \ < 5, то, применяя неравенство треугольника в метрическом пространстве М [1] и пользуясь предложениями 3 6 и 7, будем иметь

йен(Л(Ь)7(Ь), Л(Ьо)7(Ьо)) < йен(Л(Ь)7(Ь), Л(Ь)^(Ьо)) + йен[Л(*Ь(¿о), Л(ЬоЬ(*о)) <

< Л(Ь) йен(7(Ь), 7(*о)) + 1/2 \Л(Ь) — Л(Ьо)\ diaш[7(Ьо)] < £ (л(Ь) + 1/2 ё1аш[7(Ь)^ < 2еМ,

отсюда и вытекает требуемое.

Лемма 3. Кратчайшая кривая 7; соединяющая, пару произвольных точек А и В из М с ненулевым диаметром (т.е. отличных от, А{), не проходит через А1.

Доказательство. Допустим, что 7 проходит через А1. В таком случае она не будет кратчайшей, так как, с одной стороны, согласно предложению 1 имее м йен (А, В) ^ 1/2 шах{^аш[А], ^аш[В ]}, а с другой — согласно предложению 3 и работе [3] длина кривой 7 равна йен (А, А1) + йен (В, А1), что строго больше, чем 1/2 шах{^аш[А],^аш[В]}. Противоречие.

Лемма 4 [1]. Искажение каждого соответствия К € ^(Х, У) для компактных Х и У достигается на некоторой паре ((х,у), (х',у')), (х,у), (х',у') € К.

А1

Доказательство. Пусть 5 — сфера радиуса г > 0 с центром в одноточечном компакте А1. Рассмотрим А и В € Б. Согласно предложению 5 их соединяет некоторая кратчайшая кривая 7. По лемме 3 диаметр всох точек 7 ненулевой. Зададим отображение 5 [а, Ь] — М следующим образом: 5Ь — (2г/^аш[7(Ь)])7(Ь). В силу лемм 1 и 3 2г/^аш[7(Ь)] — непрерывная ограниченная функция, тогда из леммы 2 получаем, что 5(Ь) — непрерывная кривая. При этом вся кривая 5 лежит в Б.

А В А1

требовалось.

В дальнейшем нам потребуются следующие технические леммы.

Лемма 5. Пусть То, Т1; Бо, Б1 € М, а Г [То,Т1 ] х [Бо,Б1 ] — М — непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1) при каждом, в € [Бо,Б1] функция /3(Ь) = Г(Ь,в) строго монотонна;

2) существует такое г, что при всех в € [Бо,Б1 ] выполняется Г (То,в) <г < Г (Т1,в). Тогда, множество {Г = г} — образ вложенной непрерывной кривой.

Доказательство. В силу строгой монотонности функции /3(Ь) и условия /«(То) < г < /3(Т0 при каждом в существует и единственно число Ь3, такое, что /3(Ь3) = г. Положим 7(в) = (Ь3,в) и покажем, что отображение 7 непрерывно. Пусть функция 7(в) разрывна в некоторой точке во- Тогда существует £ > 0 такое, что для любого 5 > 0 найдется точка вг, для которой Ц7(во) — 7(вв)||м2 > £, при этом \вг — во \ < 5. Обозначим открытую £-окрестность точки 7(во) через Ое, а [То,Т1] х [Бо,Б1] обозначим через П. Заметим, что из компактности П следует компактность П \ Ое. Фиксируем £ и положим 5п = 1/п. Получим последовательность ^(в$п). Все точки 7(вгп) будут лежать в П \ Ое. В силу компактности множества П \ Ое эта последовательность сходится к некоторой точке (Ь', во), для которой \Ь' — Ь30\ ^ £ и Г(Ь',во) = г. Таким образом, /30(Ь30) = г и /30(Ь') = г, что противоречит строгой монотонности функции /30, что и требовалось доказать.

Лемма 6. Пусть даны произвольные классы, изометрий С,С € М, такие, что йен (С, С) > ^аш[С]/2. Тогда, функция Г (Л) := йен (С,ЛС) строго монотонно возрастает при Л ^ 1.

Доказательство. По лемме 4 существуют две пары (с1,^1), (с2,д2) € К, на которых достигается К

^К = | \с1с2 \ — \д1д2 \ | ^ 2йен(С, С) > ^ашС. Так как \д1д2\ — \С1С2 \ ^ diaшС, то disК = \С1С2 \ — \д1 д2 \ > 0 и, значит, для любого Л ^ 1 выполняется

Л \ С1С2 \ — \дд \ > 0.

Для каждого соответствия К € 'Я-(С, С) и Л > 0 через К\ будем обозначать то же самое соответствие К, но рассматриваемое как элемент из *Я*(С, ЛС). Тогда для любого Л ^ 1 имеем

ё18Ел = вир{|Л\с'1с/2\ - \д[д/\| : (с^д!), (с/,д'2) е я} ^ \Х\сю2\ - \д\д2\ \ =

= Л\с1 С2\ - \дд\ ^ \ С1С2 \ - \д1 д/\ > diamС.

Отсюда аналогично проделанному выше получаем, что если искажение соответствия Ял достигается на (сл,дл), (слЛ,длЛ) е Я, то disЯл = Л \с^с^Л\ - \д'ЛдлЛ\ > 0 и, значит, для любого Л' ^ Л выполняется Л' \с^с^ \ - \длд2 \ > 0. Пусть теперь 1 ^ Л1 < Л2, тогда

disЯл2 ^ |Л/ \ сЛ1 с^^ - \ дЛ1 дЛ1 \ \ = Л/ \ сЛ1 - \ дЛ1 д?\ > Л1 \ сЛ1 с Л 1 \ - \ дЛ1 дЛ1 \ = disЯл1,

так что для каждого Я е К-(С, С) функция disЯл параметра Л строго монотонно растет при Л ^ 1. Пусть опять 1 ^ Л1 < Л2, а Я — такое соответствие, на котором достигается (он (С, Л2С). Тогда

2(он(С, Л/С) = disЯЛ2 > disЯЛl ^ 2(он(С, Л1С),

что и требовалось доказать.

Теперь мы докажем линейную связность сферы достаточно большого радиуса с центром в произвольной точке С е М.

Теорема 2. Любая сфера Б еМ с центром в С еМ и радиусом, г > diam[С] линейно связна. Доказательство. Рассмотрим пару произвольных точек А и Б, лежащих на сфере Б С М радиуса г. Так как г > diam[G], то А и Б отличны от Д1, поэтому существуют Л1, Л2, для которых diam[Л1A] = diam[Л2Б] = 3г. Через 7ои1;(в), в е [Бо,Б1], обозначим непрерывную кривую, состоящую из метрических пространств с одним и тем же диаметром, определенную нами в доказательстве теоремы 1, такую, что 7ои1;(Б0) = Л1А и 70^ (Б1) = Л2Б. Согласно предложению 2 для любого в е [Б0,Б1 ] верно, что

|diam[7out(s)] - diam[G]| = 3г - diam[G] ^ 2(он{7ош(в),С).

Так как г > diam[С], то 2(он(70м(в),С) > 2г, поэтому кривая 70й не пересекает сферу Б и, более того, лежит вне шара, ограниченного этой сферой.

Из предложения 1 вытекает, что для каждого V е Б выполняется

г = Лсн{С,У) ^ ^ тах|(Иат[С], (Пат[У] | =

(максимум не может достигаться на diam[G], так как г > diam[G]). В итоге для любого V е Б выполняется diam[V] ^ 2г. Зафиксируем е > 0, такое, что г > diam[С] + е (оно существует в силу условия г > diam[С]). Для любого V е Б получаем

2diam[V] ^ 2г > 2(diam[С] + е).

Б

Положим 7т = Это непрерывная кривая, состоящая из метрических пространств

одного и того же диаметра, равного 2diam[G]+е. Исходя из предложений 2 и 1, получаем для любого в е [Б0,Б1 ] цепочку неравенств

|diam[G] — diam[7;n(s)]| ^ 2dGH(7m(s),G) ^ max|diam[7;n(s)],diam[G] j.

Так как diam[7;n(s)] = 2diam[G] + e для любого s £ [S0, S1], то

|diam[G] — diam[7;n(s)]| = diam[7;n] — diam[G] = (2diam[G] + e) — diam[G] > diam[G]. Вспомнив, что r > diam[G] + e, для любого s £ [So, Si] имеем

max|diam[7in (s)], diam[G] j = max |2diam[G] + e, diam[G]} = 2diam[G] + e < 2r.

Из вышеперечисленных неравенств получаем, что для любого s £ [So,Si]

diam[G] < 2dGH(7in(s),G) < 2r.

Таким образом, кривая Yin(s) лежит внутри шара, ограниченного сферой 5, и don (Yin(s),G) > |diam[G] для любого s G [So, -Si].

Положим y = Yout/3r и введем функцию F(t, s) = don {G, tY(s)). Заметим, что кривая y состоит из пространств y(s) единичного диаметра, а функция F (t, s) непрерывна на компакте Q = [То , Ti] х [S0,S1] С М2, где Т0 = diam[Yin],Ti = diamÎ70ut], причем для любого s G [So,Si] выполняется F (То, s) < г и F(T\,s) > г. Так как F (То, s) > |diam[G] для любого s G [So, Si], то согласно лемме 6 функция F (t, s) ст рого монотонна по t, поэтому в силу л еммы 5 существует непрерывная кривая w[s], такая, что don(w[s],G) = r для любого s G [S0,S1].

Итак, мы построили непрерывную кривую w, лежащую на сфере S. Покажем, что w[So] = A. Действительно, с одной стороны, w[So] принадлежит лучу AA, а с другой — выполняется равенство don (w[So],G) = r, н0 такая точка единственна в силу леммы 6. Аналогии но w[Si] = B. Ввиду произвольности A и B заключаем, что сфера S линейно связна, что и требовалось доказать.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору A.A. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также профессору А. О. Иванову за полезные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке программы Президента РФ "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1) и РФФИ (грант № 16-01-00378-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов C.B. Курс метрической геометрии. М., 2004.

2. Ivanov А.О., Iliadis S., Tuzhilin A.A. Realizations of Gromov-Hausdorff distance // ArXiv: 1603.08850, 2016.

3. Ivanov А.О., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic // ArXiv:1504.03830, 2015.

Поступила в редакцию 27.04.2018

УДК 517.442

О ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТИ КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

А. В. Павлов1

Доказана перестановочность с обратным знаком синус-преобразования и косинус-преобразования Фурье на положительной действительной оси. Из данной перестановочности вытекает совпадение по модулю синус-преобразований и косинус-преобразований Фурье, определенных на полуоси, для широкого класса функций.

Ключевые слова: преобразование Фурье, перестановочность косинус-преобразований и синус-преобразований Фурье, совпадение косинус-преобразований и синус-преобразований Фурье.

It is proved that the cosine and sine Fourier transforms are permutable with the opposite sign on the positive real axis. This property implies that the cosine and sine Fourier transforms coincide in absolute value on the semiaxis for a wide class of functions.

Key words: Fourier transform, permutability cosine and sine Fourier transforms, coincidence of cosine and sine Fourier transforms.

Основным результатом статьи является перестановочность с обратным знаком операторов синус-преобразований и косинус-преобразований Фурье: C0S0 = -S°C°, определенных на действительной полуоси, для широкого класса функций [1-6], удовлетворяющих условию Y1 (лемма 1).

Из леммы 1 вытекает как несложно проверяемое следствие равенство с точностью до знака [3-81 между синус-преобразованиями и косинус-преобразованиями Фурье на полуоси [0, C0 = —S0

(теорема).

1 Павлов Андрей Валерианович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики МИРЭА-РТУ, e-mail:

avpavlovmguQmy-post .ru.