Локализация малых нулей синус- и косинус-преобразований Фурье финитной положительной неубывающей функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4

35

5. Сорокин В.Н. Теорема Апери // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 3. 48-52.

6. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о ((3) // Матем. заметки. 1996. 59, № 6. 865-880.

7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

УДК 517.547.28

ЛОКАЛИЗАЦИЯ МАЛЫХ НУЛЕЙ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ ФИНИТНОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Пусть функция f интегрируема, положительна и не убывает в интервале (0,1). Тогда по теореме Пойа все нули соответствующих косинус- и синус-преобразований Фурье вещественны и просты, причем положительные нули лежат по одному соответственно в интервалах (п(п — 1/2),n(n + 1/2)), (nn,n(n + 1)), n g N. В случае синус-преобразований требуется, чтобы f не была ступенчатой функцией с рациональными точками разрыва. В данной статье нули функций с малыми номерами заключены в интервалы, являющиеся собственными подмножествами соответствующих интервалов Пойа. Как следствие получена локализация малых нулей функции Миттаг-Леффлера E1/2 —z2; ¡), ¡ g (1, 2)U (2, 3).

Ключевые слова: синус- и косинус-преобразование Фурье, нули целой функции, функция Миттаг-Леффлера.

Let a function f be integrable, positive, and nondecreasing in the interval (0,1). Then by Polya's theorem all zeros of the corresponding cosine- and sine-Fourier transforms are real and simple; in this case positive zeros lie in the intervals (n(n —1/2), n(n +1/2)), (nn, n(n +1)), n g N, respectively. In the case of the sine-transforms it is required that f cannot be a stepped function with retional discontinuity points. In this paper, zeros of the function with small numbers are included into intervals being proper subsets of the corresponding Polya intervals. A localization of small zeros of the Mittag-Leffler function £i/2(—z2; ¡i), ¡ g (1, 2) U (2, 3) is obtained as a corollary.

Key words: sine- and cosine-Fourier transform, zeros of entire function, Mittag-Leffler's function.

1. В разделах анализа, существенно использующих целые функции, например в спектральной теории, часто необходимо знать асимптотику нулей встречающихся по ходу дела целых функций. Однако в некоторых случаях не менее важной является задача о поведении малых нулей, т.е. нулей с малыми номерами при естественной нумерации в порядке неубывания модулей. Цель данной статьи состоит в том, чтобы локализовать малые нули косинус- и синус-преобразований Фурье функций, определенных в интервале (0,1), т.е. целых функций вида

Поступила в редакцию

01.12.2008

А. М. Седлецкий

1

(1)

где интегрируемая функция f положительна и не убывает.

1 Седлецкий Анатолий Мечиславович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: [email protected].

36

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4

Введем последовательности интервалов

7Г{П~1) ,7Г(П + 1)) ' (3)

(пп, п(п + 1)), п е М, (4)

17 (П ~~ '7ГП) ' П ^ ^

(п(2п - 1), 2пп), (2пп,п(2п + 1/2)), п е М, (6)

Назовем функцию /(Ь),Ь е (0,1) исключительной, если она является ступенчатой функцией с рациональными точками разрыва.

Известны следующие результаты, из которых теорема А и часть теоремы Б, относящаяся к нулям функции и, принадлежат Г. Пойа [1], а часть теоремы Б, касающаяся нулей функции V, — автору [2].

Теорема А. Пусть функция /(Ь) положительна и не убывает в интервале (0,1) (и не является исключительной функцией). Тогда все корни функции и (г) (функции V (г)) вещественны и просты, причем все положительные корни функции и (г) (функции V (г)) располагаются по одному в интервалах (3) (в интервалах (4)).

Теорема Б. Пусть функция /(Ь) положительна, возрастает и выпукла в интервале (0,1) (и ее правая производная не является исключительной функцией). Тогда все корни функции V(г) (функции и (г)) вещественны и просты, причем все положительные корни располагаются по одному в интервалах (6) (в интервалах (5)).

В данной статье в предположениях теорем А, Б и при дополнительных условиях, что величина

/ := Г (/(Ь) - /(1 - ШЬ

Л/2

I = I

11/2

не слишком велика, а / (+0) > 0, мы заключаем нули функций и (г), V (г) с малыми номерами в интервалы, являющиеся собственными подмножествами соответствующих интервалов (3)—(6). В качестве следствий получим локализацию малых нулей функции

Е1/2(-г2; /), / е (1, 2) и (2, 3),

где

— известная функция Миттаг-Леффлера (см., например, [3]).

Обозначим через ип (ип), п е М, положительные нули функции и (г) (функции V (г)), занумерованные в порядке их возрастания, т.е.

п(п - 1/2) <ип <п(п + 1/2), пп<ьп <п(п + 1), п е N.

Теорема 1. Пусть функция /(Ь) не убывает в интервале (0,1) и /(+0) = 1. Тогда: 1) если при некотором N е N

7 < мхТЩ' <7>

то

7ГП — атс8т(ттп1) < ип < ттп + агс8т(7г(п + 1/2)1), п = (8)

2) если, кроме того, функция / возрастает, выпукла и ее правая производная не является исключительной функцией, а также если при некотором N е N

' < ш- (9)

то

7Гп ~ агсвпфтп1) < ип < 7Гп, п = 1, N.

Теорема 2. Пусть функция /(^ не убывает в интервале (0,1) и не является исключительной функцией. Пусть / (+0) = 1. Тогда: 1) если при некотором N £ N

^ < (Ю)

пN

то

2тт — агссо8(1 — 2жп1) < У2П-1 < 2ттп, п = 1, Ж; (11)

2) если при некотором п £ N

21 < 1

+ 1/2)

то

2ттп<У2п<2ттп + атссо8(1-тт(2п + 1)1), п = 1, АГ; (12)

3) если, кроме того, функция / возрастает и выпукла в (0,1) и при некотором N £ N

21 < ШТТЩ' (13)

то

2тт < у2п < 2ттп + агссо8(1 - тт(2п + 1/2)1), п = 1, N.

Отметим, что в силу условий, наложенных на I, все величины теоремы 2, записанные в виде арккосинуса, находятся в интервале (0,п/2).

В доказательстве будет использовано следующее неравенство Стеффенсена (см. [4]).

Теорема В [4]. Пусть функция /(^ интегрируема, положительна и не убывает в интервале (0,1), а

0 ^ д(Ь) < 1, 0 <Ь< 1 и д £ Ь1(0,1).

Тогда 1 1

[ /(t)g(t)dt < [ /(гЩ

J0 ./1-е

где

с = / g(t)dt. ./о

с!

/о

Предположим, что функция / та же, что в теореме В, а

1/

-а ^ С(Ь) ^ а (а > 0), 0 <Ь< 1, С £ Ь1(0,1). (14)

Тогда для функций / и д, где

т =

' 2а ' выполнены условия теоремы В; по этой теореме

г1 С(Ь) + а о

где

1 1 Г1

Мы видим, что верна

Лемма. Пусть функция /(Ь) интегрируема, положительна и не убывает в интервале (0,1), а функция С(Ь) удовлетворяет условиям (14). Тогда

[ /(^С^ < а(2 [ /(t)dt - [ /(^ о 1-е о

где с вычисляется по формуле (15).

Доказательство теоремы 1. Из формулы (1), в которой положим z = x, вычтем почленно формулу

sin x f1

-= / cos xtat.

x J 0

Получим, что в нулях функции U, вещественных по теореме А, выполняется условие

sin x

= / (f (t) - 1) cos xtdt.

0

x

Пусть n нечетно. Если x = un = пп, то доказывать нечего. Пусть x = un = пп. Тогда по теореме А

sin x ^ 0 при x ^ пп, (16)

и, следовательно, в формуле

sin(±("rn — x)) А1,,, ч w ч, ^

-= / {j{t) — cos xt)at при х = ип^тт

x0

x

обе части положительны. Функции

f (t) — 1 и ^ cos xt удовлетворяют условиям леммы 1с a = 1. По этой лемме

(17)

x

где

•m(±,I"-,i<!f(í(t)-i)i.-f(№)-« (18)

J1-c J0

1 1 1 sin x

C=2\1 + J Tcosxtdtj=-^lT—)- (19)

Из (16) следует, что c ^ 1/2, и, значит,

sin(±("rn — x))

(2 //2 — Г) (f(t) — 1)dt = L

< [2 — (f(t) — 1)dt = L. (20)

Нами доказана оценка (20) для нечетных п.

Если п четно, то в (16) неравенства для sin x меняются на противоположные. Поэтому в правой части (17) знаки ^ меняются местами; при этом обе части в (17) положительны. После применения леммы получаем неравенство (18), где c вычисляется по формуле (19), в которой знаки ^ также меняются местами. С учетом знака синуса видим, что снова c ^ 1/2. Значит, оценка (20) верна и для четных п. Из (20) следует, что

0 < sin(7m — х) < тгni, если тг ^п — ^ < х < тгщ (21)

0 < sin(a; — тгп) < тг ^п + ^ /, если тгп < х < тг ^п + ^ .

С учетом условия (7) эти неравенства и дают требуемые неравенства (8). Утверждение 1 доказано.

Если f выпукла, то по теореме Б x = un Е (п(п — 1/2),пп), и с учетом (9) утверждение 2 следует из (21). Теорема 1 доказана. □

Доказательство теоремы 2. Теперь из формулы (2), в которой положим z = x, вычтем почленно формулу

1 — cos x f1

-= / sm xtat.

x J 0

Тогда для корней функции V, вещественных по теореме A, будем иметь

1 cos x

= / (f(t) — 1)(— sinxt)dt.

0

x

По теореме A здесь обе части положительны. По лемме 1 при x = vn получим

1 — cos x

^ 2

x

i (f (t) _ i)dt — [ (f (t) - 1)dt, J1-c J0

где

Значит, с ^ 1/2, и потому

Так как по теореме А то из (22) следует, что

if f \ if 1 _ cos x

c = -[l + JQ(-smxt)dt)=-[l--—

1 — cos x , . -< J, ж = vn. 22

x

n(2n — 1) < V2n-1 < 2nn < V2n < n(2n + 1), (23)

сов(2пп — х) > 1 — 2пп1, если х = У2п-1; сов(х — 2пп) > 1 — п(2п + 1)1, если х = у2п. Значит, соответственно верны неравенства

2пп — х < агссов(1 — 2пп1), х = у2п-1;

х — 2пп < агссов(1 — п(2п + 1)1), х = у2п.

Вместе с (23) они дают требуемые неравенства (11) и (12). Утверждения 1 и 2 доказаны.

Если / возрастает и выпукла, то в силу теоремы Б вместо правого неравенства (23) имеем неравенство

п

у2п < 2тт + -.

Внося это изменение в только что проведенные рассуждения, получаем утверждение 3. Теорема 2 доказана. □ 2. Переходим к интересующим нас следствиям. Они основаны на формулах

1 !' 1

Е1/2(-г2;/л) = _ 1) у ^>1;

1 f 1

E1/2(-z2-ij) = t^_2)z j (1 " tr~3 sin ztdt, /I > 2

1

- 2)z jo

(см. [3]), показывающих, что функции

Г(1 — ОД/2 (—г2; ¡), Г(1 — 2) гЕ/ (—г2; ¡) имеют вид и (г) и V (г) (см. (1), (2)), где соответствующие функции / (Ь) задаются формулами

/(Ь) = (1 — Ь)^-2 при 1 <1< 2

и

/(Ь) = (1 — Ь)^-3 при 2 <1< 3.

В этих формулах мы ограничили значения ц не случайно: при сделанных предположениях относительно 1 функция / (Ь) удовлетворяет условиям теорем 1 и 2 соответственно и является выпуклой в (0,1). Следовательно, для применения этих теорем нам остается выразить величину I и содержащиеся в теоремах 1, 2 условия на I через параметр ¡.

Имеем

2— — 1

I =- при 1 < и < 2,

1 — 1

2 ^ — 1

I =- при 2 < и < 3.

i — 2

Значит, если 1 < ¡ < 2, то условие (9) принимает вид

2— — 11

-1ГГГ < ^ (24)

а если 2 < 1 < 3, то условия (10), (13) принимают соответственно вид

_ 1 1 23_м - 1 1 /I-2 < 27г/У' /I-2 < тг(2ЛГ + 1/2)' ^^

Обозначив через хп = хп(1), п £ N нули функции Е1/2(г; ¡) и учитывая, что

(—хп)1/2 = ип при 1 < 1 < 2, (—хп)1/2 = уп при 2 < 1 < 3,

из теорем 1, 2 получаем следующие утверждения о нулях хп с малыми номерами.

Следствие 1. Пусть 1 < 1 < 2. Тогда если при некотором N £ N выполняется условие (24), то

( 22~'и — 1\ _

ттп — агсвт ( ттп- ] < (—хп)1/2 < ттп, п = 1, N.

1—1

Следствие 2. Пусть 2 < 1 < 3. Тогда:

1) если при некотором п £ N выполнено первое условие (25), то

(23—/i _ j\ _

1 — 2тт-— ] < (—X2n-i)1^2 < 2ттщ п = 1, N;

¡ — 2 J

2) если при некотором N G N выполнено второе условие (25), то

(/ ] \ 23—А1 — 1 \ _

l-7rÍ2n + -J—-—— J , n = l,N.

Следствия 1, 2 позволяют судить о скорости приближения точек к положительным корням

функций sin z и 1 — cos z соответственно при ¡i ^ 2 — 0 и ¡i ^ 3 — 0. Обозначим

Pn(l) = nn — (—Xn(l))l/2 при 1 <¡< 2, p2n— 1 (i) = 2nn — (—X2n-l(l))1/2, P2n(¡) = (—X2n(l))1/2 — 2пП при 2 < ¡< 3.

Так как

arcsina; ~ x, arccos(l — x) ~ V2x, x +0,

то из следствий 1, 2 получаем

Следствие 3. При любом фиксированном n G N

^ 7rnlog2,

2 — i

Условия (24), (25) содержат трансцендентность. Если воспользоваться неравенством

2Ж — 1 <x, 0 <x < 1,

то эти условия можно заменить на более грубые, но зато более простые условия применимости след-

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-01-00225.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Polya G. Über die Nullstellen gewisser ganzer Funktionen // Math. Z. 1918. 2. 352-383.

2. Sedletskii A.M. Addition to Polya's theorem on zeros of Fourier sine-transforms // Integral Transforms and Special Functions. 2000. 9. 65-68.

3. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука,

ствий 1, 2:

1

n(2N + 1/2) + 1

< ß < 2, 1

< ß < 3.

1966.

4. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

Поступила в редакцию

26.11.2008