CC BY
37О НУЛЯХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РЯДОВ ДИРИХЛЕ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ С. А. Гриценко (г. Москва) E-mail: [email protected]
Пусть xi (n) - характер Дирихле mod 5 такой, что Xi(2) = i,
VlÖ—2V5 - 2
к =-р-.
V5 -1
Функция Дэвенпорта-Хейльбронна определяется равенством
г/ \ 1 - iK т, ч 1 + ¿к _ f (s) = —L(s Xi) + L(s Xi).
Функция f (s) введена и исследована Дэвенпортом и Хейльбронном в 1936 г. Она удовлетворяет следующему функциональному уравнению риманова типа
g(s) = g(1 - s)
где g(s) = (5)-s/2Г(^)f (s).
Хорошо известно, что не все нетривиальные нули f (s) лежат на прямой ^s = i.
В области ^s > 1, 0 < ^s < T число нулей f (s) превосходит cT, где c > 0 - абсолютная постоянная (Дэвенпорт и Хейльбронн, 1936).
Более того, число нулей f (s) в области 1 < а1 < !Ks < а"2, 0 < ^s < < T превосходит c1T, где c > 0 - абсолютная постоянная (С.М. Воронин, 1976).
В 1980 г. С.М. Воронин доказал, что «аномально много» нулей f (s) лежат на критической прямой !Ks = 1.
Пусть N0(T) - число нулей f (s) на промежутке ^s = 1, 0 < ^s < T. С.М. Воронин получил оценку
No(T) > C2T exp{ 20 Vloglogloglog T},
где c2 > 0 - абсолютная постоянная.
В 1990 г. А.А. Карацуба существенно усилил неравенство Варонина и получил оценку
No(T) >T(log T)1/2-e, где £ > 0 - произвольно малая константа, T > T0(e) > 0.
В 1994 г. А.А. Карацуба получил еще несколько более точную оценку No(T) > T(logT)1/2 expj-caVloglogT},
где c3 > 0 - абсолютная постоянная.
В докладе будет представлена следующая теорема, доказанная автором.
Теорема. Пусть £ > 0 - произвольно малая константа. Тогда справедлива оценка
No(T) >T(logT)1/2+1/16-.
О ЛОКАЛЬНОЙ НИЛЬПОТЕНТНОСТИ ПЕРВИЧНОГО РАДИКАЛА СЛАБОАРТИНОВОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
С. А. Пихтильков, А. Н. Благовисная, О. А. Пихтилькова
(г. Оренбург)
E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Алгебра Ли L называется первичной, если для любых двух ее идеалов U и V из [U, V] = 0 следует, что U = 0 или V = 0.
Скажем, что идеал P алгебры Ли L является первичным, если фактор-алгебра L/P - первична.
Первичным радикалом P(L) алгебры Ли L называется пересечение всех ее первичных идеалов.
Подробнее теорию первичного радикала для алгебр Ли можно прочитать, например, в [1].
Назовем алгебру Ли слабоартиновой, если она удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей идеалов.
В 2001 году А.В. Михалев на семинаре механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова "Кольца и модули" поставил проблему: существует ли слабоартинова алгебра Ли, первичный радикал которой не является разрешимым?
В [2] показано, что первичный радикал специальной слабоартиновой алгебры является разрешимым. Разрешимость первичного радикала также доказана для слабоартиновых локально нильпотентных алгебр Ли [3]. Ослабленная проблема А.В. Михалева решена в [4]. Доказано, что первичный радикал алгебры Ли, удовлетворяющей условию обрыва убывающих цепочек внутренних идеалов или подалгебр - разрешим. Известно, что первичный радикал алгебры Ли слабо разрешим, но может не быть локально разрешимым [1].
