CC BY
24
64 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
MSC 11S40
О НУЛЯХ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С L-ФУНКЦИЯМИ ГЕККЕ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ, КОТОРЫЕ ЛЕЖАТ НА КОРОТКИХ ПРОМЕЖУТКАХ КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ
Д.Б. Демидов
Белгородский государственный национальный исследовательский университет, ул. Победы, 85, г. Белгород, 308015, Россия, e-mail: demidovnext@yandex.ru
Ключевые слова: L-функции, мнимые квадратичные поля, критическая прямая, линейные комбинации, число нулей.
Получена новая нижняя оценка числа нулей на коротких промежутках для линейных комбинаций L-функциям Гекке мнимых квадратичных полей.
Пусть N0(T) — число нулей ((2 + it) на промежутке (0,T].
В 1921 году Харди и Литтлвуд [1] доказали, что
N0(T) > Ci T, c1 > 0 — абсолютная постоянная.
В 1942 году А. Сельберг [2] получил правильную по порядку оценку N0(T):
N0(T) > c2 TlogT, c2 > 0 — абсолютная постоянная.
Для арифметических рядов Дирихле, удовлетворяющих функциональному уравнению риманова типа, но не имеющих эйлерова произведения, правильных по порядку нижних оценок для числа их нулей на отрезках критической прямой = 2 пока не получено. В 1980 году С.М. Воронин [3] доказал, что
N0(T,f) > C3T exp { ^lOglOg20°glOg T } ,
где N0(T, f) — число нулей p функции Дэвенпорта-Хейльбронна f (s) таких, что Ш.р = 2, 0 < ^p < T, c3 > 0 — абсолютная постоянная.
В 1989 году А.А. Карацуба [4] с помощью нового метода оценок снизу числа нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой показал, что
No(T,f) > TVbgT (logTГ,
где е — сколь угодно малое положительное число, T > T0(e) > 1.
В 1991 году А.А. Карацуба [5] поставил и решил своим методом 1989 года задачу о нижней оценке числа нулей линейных комбинаций L-функций Дирихле на отрезке критической прямой.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 65
В 1996 году С.А. Гриценко рассмотрел вопрос о числе N0(T,f) нулей на отрезке [0,T] функции
N
f со = a z (t,Fj),
j=i
(i)
где aj — произвольные вещественные числа, a Z(t,Fj) — аналоги функции Харди, соответствующие функциям Fj (s) из класса Сельберга степени 2 j = 1,N).
В [6] доказано, что при условии справедливости некоторых гипотез, являющихся гипотезами Сельберга и их слегка усиленными вариантами, справедлива оценка
No(T,f) » T exp {у/logloglog T }. (2)
В 1997 году С.А. Гриценко [7] доказал неравенство (4) безусловно в случае, когда Fi(s),..., Fn(s) — L-функции Гекке, отвечающие комплексным характерам Гекке одного и того же мнимого квадратичного поля.
В 2010 году И.С. Резвякова [8] применила к последней задаче метод А.А. Карацубы
[3] и получила оценку
No(T,f) » T(logT)2/h<-D> exp{-cyioglog T},
где h(-D) — порядок группы классов идеалов, c> 0.
Мы рассмотрели задачу о нулях функции f (t), определяемой равенством (3), лежащих на коротких промежутках. Основной результат изложен в следующей теореме.
Теорема. Пусть £ > 0 — произвольно малое число, T 1Ъ/1&+Ъе < H < T. Пусть Fi(s),..., Fn(s) — L-функции Гекке, отвечающие комплексным характерам Гекке одного и того же мнимого квадратичного поля вида Q(V~Ро), где p0 — простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, а функция f (t) определена равенством (3), в котором a\,a2,... ,aN — произвольные вещественные числа. Пусть N0(T, f) — число нулей функции f (t) на отрезке [0,T].
Тогда существует с> 0 такое, что
No(T + H,f) - No(T, f) » H(logT)2/h(po) exp{-c^loglogT},
где h(p0) — число классов идеалов поля Q(y/-_po )•
Литература
1. Hardy G.H., Littlewood J.E. The zeroes of Riemann’s zeta-function on the critical line // Math. Z. - 1921. - 10. - R283-317.
2. Selberg A. On the zeroes of Riemann’s zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. - 1942. -V.10.
3. Воронин C.M. О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1980. - 44, №1. - ('.63-91.
4. Карацуба А.А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейлвбронна, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1990. - 54, №2. - ('.3,03-315.
5. Карацуба А.А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1990. - 55, №.3. - С. 183-51 I.
66 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
6. Гриценко С.А. О нулях линейных комбинаций специального вида функций, связанных с рядами Дирихле из класса Сельберга // Изв. РАН.Сер. матем. - 1996. - 60, №4. - С.3-42.
7. Гриценко С.А. О нулях линейных комбинаций специального вида функций, связанных с L-функций Гекке мнимых квадратичных полей // Изв. РАН.Сер. матем. - 1997. - 61, №1. -
С.45-69.
8. Резвякова И.С. О нулях линейных комбинаций L-функциями Гекке мнимых квадратичных полей // Изв. РАН.Сер. матем. - 2010. - 74, №6. - С.183-222.
ABOUT ZEROS OF LINEAR COMBINATIONS OF SPECIAL TYPE FUNCTIONS CONNECTED WITH HECKE’S L-FUNCTIONS OF IMAGINARY QUADRATIC FIELDS WHICH LIE IN SHORT INTERVALS OF CRITICAL STRAIGHT LINE
D.B. Demidov
Belgorod State University,
Pobedy Str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: demidovnext@yandex.ru
Key words: . L-functions, imagine quadratic fields, critical straight line, linear combinations, zero number.
