CC BY
41
УДК 531.01
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ УРАВНЕНИЙ ПУАНКАРЕ*
Р. П. Мошкин
Московский государственный университет им. М. В.Ломоносова, rmoshkin@yandex.ru
Одним из прекрасных открытий Пуанкаре является новая форма уравнений механики [1]. В этой статье мы приводим уравнения движения в форме, данной Пуанкаре, к каноническому виду и к уравнению Якоби.
Сохраняя обозначения Пуанкаре, мы понимаем выражение ХгХ^ в смысле Хг[Хк]. В этом случае уравнения Пуанкаре имеют вид
й дТ ^ дТ
¿Ь д-Пг ^ д'Пз
Примем за новые вместо щ переменные величины
дТ
У*- = я-' д'Пг
Рассматривая вариацию интеграла Гамильтона
5 = У (X) Уinг - н)сИ,
где Н(уг,хг,Ь) есть выражение
Уinг - Т + и,
в системе новых переменных хг ,уг,Ь запишем уравнения движения в канонической форме:
¿Уг дН ¿хг т-л дН г
Пусть
хг, уг,Ь) = а, ф(хг, уг,Ь) = Ь будут два первых интеграла уравнений движения; я утверждаю, что
. , \ Сю ¿ф -т-^, ¿ш ¿ф
= -1—Хг{'Ф) - -1—ХА¥) + ) = СОПвЬ
< ^ ПИ- ПИ- < ^ ПИ- П111
Су г Су.
¿ш Сф
' ¿уг ¿ук
будет третьим первым интегралом.
Пусть уравнение в частных производных первого порядка
^- + Н[Х1(У),хиЦ = О дЬ
*Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января— 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербуг, Россия. © Р. П. Мошкин, 2013
определяет V как функцию независимых переменных x\,... ,xn,t. Если полный интеграл этого уравнения
V(xi,. .. ,xn,t,ai,. .. ,an)
с n произвольными постоянными ai, из которых каждая не является аддитивной постоянной, известен, то конечные уравнения движения, т. е. интегралы канонических уравнений, будут иметь вид
dV
— = bi, Vi = Xi{V), dai
где ai, bi —произвольные постоянные.
Прекрасная идея Пуанкаре представлять уравнения движения голономной системы с помощью некоторой группы бесконечно малых преобразований [1] может быть обобщена на случай, когда связи зависят от времени.
Обозначим через xi, x2,..., xn переменные, определяющие в момент t положение системы. Если эта система имеет r степеней свободы, существует интранзитивная группа бесконечно малых преобразований
+ + ,<-,.....г,,
позволяющая перевести систему в момент t из положения (xi, x2,... ,xn) в действительное бесконечно близкое положение (xi + xidt,... ,xn + x'ndt) бесконечно малым преобразованием группы
Xi(f )dt + Xo(f )dt
и в возможное бесконечно близкое положение (xi + Sxi,..., xn + Sxn) бесконечно малым преобразованием подгруппы
J2^iXi(f).
Предположим, что преобразование Xo перестановочно с другими преобразованиями Xi и что ciks обозначают характеристические постоянные группы. Пусть Т и U — кинетическая и потенциальная энергии, причем кинетическая может быть выражена как функция t,xi,ni.
Уравнения движения приводятся к форме Пуанкаре:
d дТ ^ dT v.m тт. dt^^^ns+X^T-U).
Если ввести новые вместо r¡i переменные величины
дТ
Vi = t—,
дщ
уравнения движения примут канонический вид:
dVi \ - дН dxi \ - i дН
= ~ XÁH)> -Ж =
или
(в классическом случае Х0 = 0). Здесь Н(уг, хг,Ь) есть ^ угщ — Т + и, выраженная в системе новых переменных Ь,хг,уг. Интеграл
J УъЧФЪ — Н5Ь
есть относительный интегральный инвариант системы дифференциальных уравнений траекторий. Таким образом, достаточно найти полный интеграл
V (Ь, Х1,Х2, .. хп; 01,02,. .., ап) уравнения в частных производных
) + Н [X^ )х ,Ь]=0, и уравнениями движения будут выражения
дV
— = Ъи Уг=Х1{У) даг
с постоянными аг,Ъг. Условия того, что I(Ь,хг,уг) = с представляет собой первый интеграл канонических уравнений, есть
Хо(1 ) + (Н,1 ) = 0, где скобка (р, ф) обозначает выражение
Из тождества
^ВД) - ^хг(р)
ауг ауг
ар аф
' <-1уз ¿гц
+ У^Сэгк — —Ук-
(I, (р,ф)) + (р, (Ф,1 )) + (Ф, (I,р))=0
видно, что если р = а и ф = Ъ суть два первых интеграла уравнений движения, то (р, ф) = с есть третий первый интеграл.
Указанные результаты заключают в себе, как частные случаи: 10 классические результаты Лагранжа, Гамильтона, Якоби и Пуассона, когда группа преобразований, увеличивающих переменную х на бесконечно малую постоянную, приводится к группе перестановочных между собой преобразований; 20 уравнения, данные Пуанкаре, и теоремы, полученные в [2], когда
Х0 (г = 1,...,п)
суть нули.
Если Хо не перестановочно с подгруппой Хг(г = 1,..., г), то можно также просто доказать аналогичные теоремы.
Весьма интересная мысль Пуанкаре [1] о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна.
Рассмотрим группы перемещений. 10. Вообразим некоторую механическую систему, стесненную гладкими, голономными связями. Пусть положение такой системы определяется вещественными, в отличие от способа Лагранжа, зависимыми переменными х\,... ,хп.
Определим возможные перемещения системы некоторой интранзитивной, к-членной группой инфинитезимальных операторов
п д
¿=1 г
так, чтобы изменение функции /(Ь, х1,..., хп) на некотором возможном перемещении системы определялось соотношением
к
6/ = Е ^аха/. 1
Независимые параметры Ш1,... ,Шк определяют возможные перемещения, а их число к равно числу степеней свободы механической системы. При этом изменение функции / (Ь, Х1,..., хп) на действительном перемещении системы Пуанкаре предполагается определенным формулой
где значения вещественных независимых переменных -Ца определяют действительное перемещение системы, а оператор д/дЬ перестановочен с группой возможных перемещений Ха:
д_
,Ха = 0 (а =1,...,к).
Следовательно, группа возможных перемещений Ха(а = 1,... ,к) является подгруппой группы действительных перемещений:
д
—-Ха (а = 1 ,...,к). дЬ
Если связи предположены голономными, а операторы с! и 6 — перестановочными, то из соотношения с!6/ = 6!/ непосредственно имеем
к к к 0 = - 6'Г/ !Ь)Ха/ + ^ ^ ШаПв (ХвХа - ХаХр )/!Ь
а=1 а=1в=1
Е
¿=1
-¿¡Г - д11г - Со-Р^оЛР
а=1в=1
Хг/ = 0,
если группа возможных перемещений Ха определена своими структурными постоянными савг:
к
(ХаХв ) = ХаХв — ХвХа = ^2 СавгХг .
¿=1
Так как последнее тождество должно быть справедливо для любой непрерывной дифференцируемой функции ], то коэффициенты при Х^] обязаны быть нулями:
^ = ~ Е Е Са^^а^/З (г = 1, .. (1)
а=1в=1
2°. Если линейные голономные связи механической системы заданы непроинте-грированными уравнениями, то нетрудно построить замкнутую систему возможных перемещений Ха.
Действительно (см. [3], гл.Х), пусть линейные голономные связи механической системы заданы п — к непроинтегрированными уравнениями Пфаффа:
п
ш3 5х8 =0 (и = к +1,к + 2,...,п). (2)
8 = 1
Если связи, наложенные на механическую систему, мы предположили голоном-ными, то дифференциальные уравнения связей должны быть интегрируемы совместно. Для полной интегрируемости системы (2) необходимо и достаточно, согласно известной теореме Фробениуса, чтобы внешние формы
[ш'к+1 ,шк+2, .. .,шгиш'3 ] и = к + 1,к + 2,...,п)
все тождественно равнялись нулю. Иными словами, все билинейные коварианты ш^ должны уничтожаться одновременно с формами (и = к + 1, к + 2,... ,п).
Выберем произвольно п линейно независимых диференциальных форм Ш1, . . ., Шп.
Любая линейная форма относительно 5x1,..., 5хп будет линейно выражаться через Ш1,... ,шп. Поэтому полная вариация произвольной функции ] будет выражаться линейно относительно шз:
п
5] = £ Хз
3=1
выражения Хз ] будут независимыми и линейными относительно частных производных д]/дх1,..., д]/дхп.
Пусть 5 обозначает теперь изменение при возможном перемещении рассматриваемой механической системы, когда выполняются уравнения наложенных связей Шк+1 = 0, Шк+2 = 0,... ,шп = 0. При таком понимании 5 имеем
5] =^2 ШаХа].
а=1
Следовательно, уравнения полной системы наложенных голономных связей будут
Ха] = 0 (а =1,...,к).
Докажем, что совокупность инфинитезимальных операторов Ха(а = 1,...,к) образует замкнутую систему.
Интранзитивность совокупности Ха (а = 1,...,к) очевидна из существования п — к интегралов вполне интегрируемой системы уравнений связи (2). Внешнее дифференцирование полного дифференциала
п
5! = £ 4 Хэ I
3 = 1
непосредственно дает соотношение
n n
0 = £4ХзI + ^ ]Хг(ХзI).
3=1 г=13=1
Но п ковариантов 4 (у = 1,... ,п) всегда можно представить как внешние квадратичные формы от 41,... ,чп:
{j — — у J crsj [Шг {
r,s
[{r {s] (3)
Тогда предыдущее соотношение перепишется так:
n
о — —ЕЕ
crsj [{r {s]Xj f + y2[{r{s](Xr, Xs)f j=l r,s r,s
0 — ^[{.¿s] ^ (Xr ,Xs)f — Crsj Xj f,
j=l
откуда
(Xr ,Xs)f — J2 Crsj Xj f (r,s — l,...,n). (4)
j=l
Если связи голономны, то система шj — 0 (j — k + 1, k + 2,... ,n) вполне интегрируема. Согласно теореме Фробениуса шj (j — k + l,k + 2,... ,n) должны уничтожаться одновременно с шj (j — k + l,k + 2,..., n). Это значит, что в выражении шj (j — k + 1, k + 2,..., n) не должно быть членов без шj (j — k + 1, k + 2,... ,n). Согласно (3) отсюда имеем соотношения
crsj — 0 (r, s — 1, . . . , k, j — k + l,k + 2, .. . ,n),
из которых согласно (4) непосредственно следует, что совокупность операторов Xa(a — 1,... ,k) представляет замкнутую (полную) систему.
Литература
1. Poincare H. Sur une forme nouvelle des equations de la mecanique // Compt rend. Acad. sci. Paris, 1901. Vol.132. P. 369-371.
2. Cetajev N. Sur les equations de Poincare // Compt. rend. Acad. sci. Paris, 1927. Vol. 185. P. 15771578.
3. Картан Е. Интегральные инварианты / пер. с фр. М.; Л.: Гостехиздат, 1940. 216 с. Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.
