CC BY
90
Сер. 4 2007 Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ФИЗИКА
УДК 530.10
Г. А. Скоробогатов
РАЗРЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ ЛОШМИДТА И ЦЕРМЕЛО-ПУАНКАРЕ
1. Н-теорема Больцмана. Рассматриваем в замкнутом объеме газ, состоящий из нескольких сортов частиц. Сорт частиц будем обозначать индексом а или Ъ. Если ввести функцию распределения /а(р, г, () по времени импульсам р и координатам г частиц, то для плотности числа частиц сорта а единице объема получим выражение
\/аФа=Па ,
а для полного числа частиц а-го сорта — аналогичное выражение
Внутренние степени свободы молекул можно учесть введением дополнительного аргумента в функции распределения /а(ра,га,з,0 ■ Но молекулы являются квантовыми объектами, а потому их внутренние состояния характеризуются квантовыми числами, пробегающими дискретный набор значений. Поэтому молекулы сорта а в различных внутренних состояниях могут рассматриваться как частицы разных сортов, так что вместо одной функции распределения /а(ра,?а,з,0 удобнее ввести набор функций /аз(ра,га,() ■ Для описания временной эволюции функций распределения Л. Больцман в 1871 г. предложил следующее интегро-дифференциальное уравнение [1]:
д/а(Ра,Г„0 | - ШРаЛ, 0 , р- ШРа>К,0 = д( ° д?а " дра
ь
- ХКь (Ра ,Рь\Ра,Рь )8(А, + Рь~ Ра-Рь ЖЕа + ЕЬ ' Еа ~ ЕЬ )ФьФаФЬ
где Уа —скорость частиц сорта а, Ёа —внешняя сила, действующая на частицу газа сорта а, § — дельта-функция Дирака, и, наконец, произведение
Кь (Ра > РЬ |Ра > Рь Ж Д, + РЬ ~ Ра ~ РЬ ЖЕа + ЕЬ ~ Еа ~ ЕЬ ) = ™аЬ (Ра > Рь |Ра> Рь ) (2)
представляет собой вероятность перехода в результате соударения частиц сорта а и сорта Ъ из начального состояния (с энергиями Еа и Еь и импульсами ра, рь) в конечное (с энергиями Е'а, Еь и импульсами р рь). В роли внешней силы может выступать, к примеру, сила тяготения Земли Ра = та£ , где та — масса молекул газа сорта а. Если же частицы сорта а имеют заряд еа, то для них наличие внешнего электрического и магнитного полей приведет к появлению силы Лоренца.
© Г. А. Скоробогатов, 2007
Величину (2) можно записать в другом виде:
Кь^Ро'Рь^а'Рь^а =\Ь<1ал<1ЁаУ (3)
где й'о^ =<3<заЬ(уаЬ,д,(р) —эффективное сечение рассеяния частиц а и Ъ при их столкновении с разлетом в элемент телесного угла ¿/оп = бш 0й?0й?ф; у^ — относительная
скорость сталкивающихся молекул = —— — . В результате, кинетическое уравне-
т т.
а о
ние (1) можно переписать в более компактном виде:
^ + V. |г + К Щ- = 1\{/а/ь - ЛЛ >(4)
Рассмотрим газ в отсутствие внешних сил, считая распределение частиц пространственно-однородным. Тогда уравнение (4) упрощается:
Введем так называемую Н-функцию Болъцмана:
= (б)
а
Дифференцирование обеих частей уравнения (6) дает:
^ = (7)
Здесь правую часть можно модифицировать с помощью уравнения (5):
1|[1 + 1п/а]{/а/ь - Мь уаь^аьфафь = аЬ
4Х1 [2 + Ш/ь - ЦъУь^ЖФь = , (8)
ой
={I Я2+^(/.л) -2 - м/0л')]{/;/; - /а/ь ^алфафь
' иЬ
где в последнем равенстве учтено то обстоятельство, что фафь = фафь, а в (3) относительная скорость у/аЬ и дифференциальное сечение не меняются при замене импульсов до соударений (без штрихов) на импульсы после соударений (со штрихами). Таким образом, формулу (7) можно переписать в виде:
^ = " Мъ ]^алфвфь. (9)
х
Под знаком интеграла в (9) находится функция вида 7г(х,>') = (х->')-1п—, ко-
У
торая всегда неотрицательна. В результате из (9) следует, что всегда
^<0. (10)
Л. Больцман первым обратил внимание на то, что если функцию -Н идентифицировать с энтропией Б, то из (10) вытекает закон возрастания энтропии:
2. Метод Н. Н. Боголюбова. Рассмотрим систему из N однотипных частиц массы т. Не будем учитывал» граничных эффектов, т. е. переходим к асимптотическому пределу бесконечно большого объема и бесконечного числа частиц, но при конечной средней плотности. Это означает, что принимаем функцию Гамильтона в виде
£т 1=1 ^
где Ф — центральный закон парных взаимодействий между частицами.
Введем далее самую детальную /^-частичную функцию распределения
(13)
по координатам г. и импульсам р. всех частиц. Функция (13) нормирована на единицу: Согласно теореме Лиувилля [2], с, 347], функция (13) подчиняется уравнению
¿к, дк, А 1дР\, , эк,,
N — N |
I=0. (14)
Ш ~д1 [ дг, ЭД л ЭЯ л эя
Поскольку а; =- и р, =——-, то «уравнение движения» (14) для всей систе-
ЭД дп
мы N частиц можно переписать в форме уравнения Пуассона
^ = (15)
где использован символ обобщенных скобок Пуассона ([2], с. 340):
ЭЯ эк„ эя эк„
Ы [ За; ЭД ЭД Эа;
Считается [2-4], что уравнение (15) однозначно описывает всю временную эволюцию рассматриваемой системы N частиц, но при моделировании реального газа, состоящего из миллиардов и триллионов частиц, оно оказывается неразрешимым ни аналитически, ни численно. Поэтому необходимо поступиться строгостью и перейти к менее детальному описанию рассматриваемой системы. Для этого определим из (13) менее детальные одно-частичную , двухчастичную Р1{1,гпгррпр]) и т. д. функции распределения:
• ••<#5-1 • --^Ы Ф\ ■ • -Ф,-! Фм ■ ■ -Фи ' (16)
= V2]>„(Г,а;..,• • ¿?м ..Лг..фх..фм.. ф...фы
Проинтегрируем уравнение (15) по фазовым пространствам (N-3) частиц: Если подставить сюда функцию (12), то получится [3, 4]:
Л 1 у д. ЭР, | 1
V' д( V* ^ т дг1 э/■ ЭД.
+
ЭЯ
/=1 др!
СГГ.ф;-
V
1
| 3 N
т
drJdpJ +
(19)
XX
К (=1 ./=*+!
Эг, фу Л
IV1
" г
■XI
и=*+1
дк
др,
df¡dfJфidpJ
Функция Гамильтона (12) никак не учитывает наличия стенок, которые ограничивают газ. Поэтому наличие стенок делает оправданным следующие граничные условия:
П 14
—-—>0 при \г —
11
э/7 I
-г-2-->0 при дру 1 л
(20)
Условия (20) сразу обращают в нуль три последних слагаемых в уравнении (19). Кроме того, если ограничиться рассмотрением подсистем 5 частиц (.у <§://), то
^ дп Эр, 7 7
В результате уравнение (19) значительно упрощается:
Эр,
1 + э^
Э/; Эр,
(21)
где (V}—это объем, приходящийся в среднем на одну частицу, а 77м обозначает функцию Гамильтона для замкнутой системы из 5 частиц.
Итак, из одного уравнения (15) для 6?/-мерной функции распределения ^ мы получили цепочку уравнений (21) для функций распределения 7^, 7^, 7^, ... 7^,, где
1 « N'« N. При этом в уравнении для Fs под знаком интеграла присутствует функция F , т. е. при строгом подходе необходимо решить сразу все уравнения (21) для s= 1, 2,...N'. Но даже в 1 мм3 газа при нормальных условиях содержится 2,6-1016 молекул, так что число N' исчисляется квадриллионами, а цепочка уравнений (21) остается столь же неразрешимой, как и исходное уравнение (15). Поэтому необходимо поступиться строгостью и на основании тех или иных модельных представлений оборвать цепочку (21) на каком-то значении s, придав ближайшей из выпавших функций (т. е. F ) готовый аналитический вид. Различные варианты обрыва этих цепочек, помимо H.H. Боголюбова [4], предлагали также М. Борн, Г. Грин, Дж. Кирквуд, Дж. Ивон и другие теоретики [3]. Поэтому метод получения из (14) конечного числа уравнений для функций распределения Fp ... Fs называют методом ББГКИ.
Представленные выше кинетические уравнения Больцмана (1), (4) имеют общий вид:
dF
^ = (22) dt
где L—соответствующий оператор. Иными словами, больцмановское уравнение (1)—это цепочка (21), оборванная уже на первом уравнении. Чтобы достигнуть прогресса по сравнению с кинетической теорией Больцмана, надо в цепочке (21) сохранить хотя бы два уравнения:
МЩА^ЫА=[я®/^-,?, а, А)]+
| 1 г[эф(М1) э| ЗФО^-^!) щцм.Р^^Р,) (K>J{ ;>г ад щ У)р,
где вместо F3 должна быть подставлена подходящая готовая функция. Так, Н. Н. Боголюбов [4] предложил аппроксимацию:
Чтобы получить кинетическое уравнение (22), необходима какая-то аппроксимация двухчастичной функции распределения F. Так, из (23) видно, что между изменениями во времени F} и F2 имеется определенная корреляция. Если время согласования (т2) изменения F2 с изменением F{ меньше характерного времени эволюции функции Fv то можно ввести модельное представление, согласно которому возмущенная функция F2 релаксирует за время т2 в соответствии со значением функции Fp остающимся почти постоянным в интервале времени %г Поэтому для функции F2 допустимо вместо явной зависимости от времени оставить лишь неявную зависимость через функцию Fl меняющуюся медленее:
F1^F2(rl,72,pi,p1;Fi). (25)
При этом и для остальных функций F (s = 3, 4,...) цепочки (21) допустимо ограничиться исследованием только «медленной» временной эволюции Fs =F(F;).
Для того чтобы продвинуться от уравнения (23) к уравнению Больцмана (1), необходимо принять для бесконечного прошлого (I —> -оо) «условие факторизацию) для всех функций распределения 7^(5 = 2, 3,...):
(26)
В [3, с. 27] признается, что это условие не связано с динамическим рассмотрением и имеет вероятностную природу законов массовых явлений. Одного этого условия достаточно, чтобы стало возможным доказательство Н-теоремы Больцмана, и газ стал проявлять свойства термодинамической необратимости. При наличии начального условия (26) функция (25) представляется в виде произведения
р2 = ^Л[2) (27)
где
^=Нш|; = Нш^Д, (28)
Т—М-ОО I
т
где — оператор динамического сдвига частиц, преобразующий координаты частиц х ,...,х в координаты Хр..., которые частицы принимают через время /, если система в течение этого промежутка времени оставалась замкнутой. В результате, для механической системы, описываемой гамильтонианом (12), уравнение (23) приобретает вид
ЭЪ(1,г,р) Ь1
2т
+ (29)
Если в (29) раскрыть скобки Пуассона, то получится точно уравнение (1), но без члена, содержащего внешнюю силу , которую мы здесь и не учитывали.
3. Теорема А. Пуанкаре. Корреляционная сфера по Г. А. Мартынову. Может сложиться впечатление, что метод Н. Н. Боголюбова логически безукоризнен и завершает обоснование кинетической теории Больцмана. Однако это не так. Более того, введение иерархии уравнений ББГКИ по-прежнему не позволяет ответить на ряд принципиальных вопросов, поставленных еще перед Л. Больцманом его оппонентами.
Одну из тяжелых проблем для кинетической теории, которую Л. Больцман не смог разрешить логически строго, порождала теорема Пуанкаре о возвратах. А. Пуанкаре ограничился классом гамильтоновых консервативных систем, совершающих финитное движение. К примеру, о дно компонентный газ, заключенный в сосуд с абсолютно твердыми стенками, является примером таких систем, поскольку для него может быть записана функция Гамильтона (12), полная энергия частиц газа сохраняется (это — консервативность) и ни одна из частиц не уходит на бесконечность (это — финитность). Рассматриваем некоторую область (А) фазового пространства, в которой выбираем точку г0 в качестве начальной точки траектории. Тогда на основании теоремы Лиу-вилля о сохранении фазового объема [2] можно доказать, что по истечение некоторого времени система вернется в область (А). (Исключение могут составлять лишь точки множества меры нуль.) Отсюда следует более сильное утверждение: гамильто-нова консервативная финитная система будет возвращаться в область (А) бесконечное число раз. Эти возвраты называют циклами Пуанкаре. Промежутки между возвратами могут подчиняться любому закону и даже быть случайными величинами,
но в любом случае, как указал Э. Цермело в 1896 г., теорема Пуанкаре о возвратах и Н-теорема Больцмана оказываются абсолютно несовместимыми. Как же удается с помощью иерархии ББГКИ из обратимой гамильтоновой системы (12) получить необратимое болъцмановское уравнение (29)?
Цепочка уравнений (21), содержащая N уравнений для функций Б5 (з = 1,..., И), полностью эквивалентна одному уравнению Лиувилля (14) для функции , а потому эквивалентна набору уравнений Ньютона для N частиц и не приводит к эффектам необратимости во времени. Если оборвать иерархию уравнений ББГКИ, к примеру, ограничившись двумя уравнениями (23) и (24), эффект необратимости отнюдь не появится. Выше мы усмотрели источник введения необратимости в эти уравнения в использовании немеханического постулата факторизации (26) для всех функций распределения (б >2) в момент времени 1 = -оо.
Г. А. Мартынов [5] обратил внимание на то, что при выводе иерархии уравнений ББГКИ никак не учитывается факт неустойчивости решений уравнений Ньютона для системы молекул, поверхность которых всегда обладает отрицательной кривизной [6,7]. Через 7-10 столкновений неопределенность углового распределения сталкивающихся молекул оказывается больше 2л, в результате чего однозначный расчет траекторий частиц оказывается в принципе невозможным. Тогда остается один вариант—описывать систему методами теории вероятностей, т. е. перейти к ансамблю Гиббса, глобальной вероятности У7^ и уравнению Лиувилля для определения 1ГЫ. Но, поскольку через 7-10 столкновений происходит стохастизация траекторий, в иерархии функций распределения (16)—(18) бесполезно учитывать члены со значениями индекса 5 выше некоторго предела 5*. Иными словами, на состояние вещества в данной точке влияют только несколько десятков (сотен) частиц, а для остальных частиц допустим переход к термодинамическому пределу:
Таким образом, в иерархию уравнений ББГКИ попадает буквенный параметр п0, который станет известен только после наступления в системе термодинамического равновесия. А это нарушает принцип причинности, поскольку решения уравнений ББГКИ, имеющие физический смысл, могут зависеть только от параметров, определенных в момент ('<1, т. е. никак не могут зависеть от п0 =п(г, ? = °°). Чтобы все-таки получить физически осмысленные уравнения, Г. А. Мартынов предложил [5] ввести подходящий малый параметр, а затем разложить по нему уравнения иерархии ББГКИ.
Итак, состояние вещества в данной точке реально определяют несколько десятков (сотен) молекул, ограниченных корреляционной сферой радиуса Яс, а все остальное множество молекул образует термостат с заданной температурой и давлением. Характерное время установления равновесия внутри этой сферы равно (с. Для всей рассматриваемой изолированной макроскопической системы введем два глобальных параметра: размер системы Ь, а также характерное время релаксации (г. Теперь в теорию можно ввести два безразмерных параметра
Простейшие оценки показывают, что для большинства макроскопических систем
N —» оо5 V —> оо?
= п0 = сож1.
(30)
(32)
Все гидродинамические переменные макросистемы заметно меняются только на расстояниях порядка Ь и за времена порядка /, а потому они являются функциями безразмерного расстояния г/Ь и безразмерного времени ///г
Р = Р
'г
Г/
Г/
т=т
VI
(33)
Гидродинамические переменные связаны с одночастичной функцией распределения , а потому и они зависят от тех же безразмерных переменных (33) и еще от безразмерного импульса рГ?\
К
Гр'/
= ехр < со
'(о
г р I
Т'р'7
(34)
Функция вместе с гидродинамическими переменными образует группу
«медленных» функций. Учитывая условие ослабления корреляций (26), для многочастичных функций распределения можно записать:
.....^=ехр(П,.....(0,^0)
(35)
( Г
где £2. . = £2
ю
Я
Ijl.PL ' р
' р
—» 0 При Г., —>
Введенные таким способом функции Ф(8<1) описывают взаимную корреляцию частиц внутри корреляционной сферы. Они образуют группу «быстрых» функций, существенно меняющихся за времена и на расстояниях порядка Яс, но равных нулю вне корреляционной сферы.
В силу неравенства (32) все медленные функции остаются почти постоянными на расстояниях порядка Яе, а потому при решении уравнений для функции р! и (33) можно считать постоянными и не зависящими от г. После подстановки (34) и (35) в уравнения иерархии ББГКИ (21) получается также иерархия уравнений для функций о»! и П, 5, , но которая содержит малые параметры £ и х, по которым можно производить разложение искомых функций:
(О, =(О,(0)+£•<+...,
^ = + £•/?■>+... = (1 + е • (о[° +...) (е = х)
(36)
а,
а затем использовать обычную процедуру теории возмущений. В (36) и ниже для простоты выкладок принято е = х-
Цель разложения иерархии уравнений ББГКИ по малому параметру е не только (и не столько) в их упрощении, сколько в выделении группы тех уравнений, которые действительно описывают физические процессы. Поэтому Г. А. Мартынов указывает [5], что такое разложение является столь же принципиальным шагом по пути развития теории ББГКИ, как и сам переход от уравнения Лиувилля к иерархии ББГКИ. В первом порядке по е из (36) получается уравнение для со
О)-
Эсо[0) дЭоГ _ тшЭсоГ — + —--/(1) +
Э/ т дк
Э рх
где —сила, действующая на частицу со стороны всех остальных частиц, Г||[] —источник корреляционной энтропии. По методу Энскога-Чепмена в области небольших отклонений от состояния равновесия функцию ©(0) можно представить в форме
л7
со(0) = 1п
п(г, ()
(38)
2тТ(г, ()
Подставляя это вьфажение в (37) и используя уравнения гидродинамики Эйлера [1] для «медленных» переменных, получаем
э <оГ А Щ
Э/ т дг.
ГЭР(0М \р*а 1 дп \р*2 1(дТ*0)
дп
А
т пдг„ 2тТ п
ВТ
1 дТ
т Т дг„
тТ
/р*2 тТ
(39)
3 Эг
= ^Х(к)х(к\
к=1
где р* ~ р-т{у
). а*=
эа ал
+-
дгя Эг„
—тензор деформации скоростей, хР^—гра-
диенты гидродинамических переменных
дп
(2) ВТ хК ' = —
— х(3) - £>
_ — , — и,
ар
х(4) =
дгп
Э г' дг'
и Хк)— соответствующие им множители в формуле (39).
Чтобы получить уравнения переноса первого порядка по е, следует обратиться к точным уравнениям баланса числа частиц, импульса и температуры [1]. Стоящие в левой части этих уравнений производные гидродинамических переменных не должны разлагаться в ряд, поскольку они равны своим точным значениям, а разлагаться должны правые части, содержащие тензор напряжений Р/к и поток тепла
Р _ X Р<0) Л (л) Эл , (Т) ЭГ , (£)) п
(л) Эл
з--^
э Эг
Л-а! -
Л)
(40)
В случае многокомпонентных систем к соотношениям (40) следует добавить аналогичные формулы для потоков массы каждого компонента. Подстановка (40) в уравнения баланса дает обобщенную систему уравнений переноса Навье-Стокса-Фурье, справедливую с точностью до членов порядка е2:
дп Э(/!<УЯ» д*
ЭГЧО Э Г1МЭ(у7)^
/Ну,)), ЭР(0) э
л
Ьг„ дгп
Эгс (
■ = 0,
Э/-0
огл
дгя
(41)
(42)
АЮ
ей
Ц Эгв
Эг.
э т
V
д г„
На
Эг.
(43)
Для многокомпонентных систем к этим уравнениям следует добавить уравнения сохранения массы каждого /'-го компонента, по структуре аналогичные уравнению (43).
Уравнения (41)—(42) образуют замкнутую систему уравнений для определения пяти искомых гидродинамических переменных п, (уа}, Т и имеют смысл закона сохранения числа частиц, импульса и температуры соответственно. В отличие от обычных уравнений Навье-Стокса или Фурье, уравнения (41)—(43) содержат члены, учитывающие градиенты всех гидродинамических переменных, т. е. описывают «перекрестные» явления, которыми в обычных уравнениях переноса пренебрегают Уравнения (41)—(43) являются основой неравновесной термодинамики И. Пригожина в области небольших (линейных) отклонений от равновесия. Для получения уравнений переноса в области более значительных отклонений следует использовать все более точные разложения по параметру е; сначала с точностью до е3, затем с точностью до е4 и т. д.
В отличие от п, (уа), Т энтропия не попадает в число сохраняющихся гидродинамических переменных. Причина этого в том, что корреляционная сфера, определяющая все локальные параметры вещества, является открытой системой, непрерывно обменивающейся частицами, импульсом и энергией с окружающим ее «термостатом». При этом локальная энтропия ¿(г, 0 (в отличие от глобальной энтропии всей замкнутой системы N частиц) не обязана всегда возрастать. Так, глобальное возрастание хаоса во всей изолированной системе может сопровождаться локальным увеличением порядка, например, появлением кристаллических зародышей в переохлажденной жидкости или возникновением биологических структур в растворах.
Но механическая энтропия изолированной системы N частиц обязана бьггь постоянной величиной вместе с полным импульсом и энергией такой системы. И теорему Пуанкаре все вышеизложенные построения отнюдь не отменили. Как же примирить это с хорошо установленным в термодинамике фактом возрастания глобальной энтропии? Чтобы разобраться с этим вопросом, Г. А. Мартынов [5] использовал понятие локальной корреляционной энтропии
5(/)(0 = 1п(г,1)з{,)(г,1)с1ъг. (44)
Поскольку энтропия пропорциональна интегралу от <х>(/), то при />б* (где б*—максимальное число частиц в корреляционной сфере) обращается в нуль из-за того, что <о( =0. Поэтому
«а = о при
а
(45)
где
3
о
дв>иы ¥
Эг, Вр1
¿(1)...</(/ + 1).
•/^ = 0, следовательно равенство (45) сохраняется для всех />з*, кроме /=1Ч:
«В™
а
■>о.
(46)
Энтропия рождается в корреляционной сфере, т. е. при /<в*. Роль стока энтропии играет И-частичная корреляция, а все промежуточные корреляции с номерами в* </<>!-1 играют роль проводников энтропии, переносящих ее без потерь от источника к стоку.
Мощность источника определяется тем, что происходит внутри корреляционной сферы, а мощность стока—реакцией всей системы. При переходе к термодинамическому пределу «сток» уходит на бесконечность и исчезает, а глобальная энтропия, отнесенная к одной частице, уже не обязана бьггь постоянной. Так устраняется главное препятствие на пути механического обоснования законов термодинамики.
Однако вышеизложенное механическое обоснование термодинамики в [5] удалось совершить ценой неконструктивных (в смысле метаматематики) операций перехода к термодинамическому пределу и ухода на бесконечность. Для «обычной» теоретико-множественной математики XIX в. уход на бесконечность является процедурой, не вызывающей сомнений. Но в конструктивном математическом анализе XX в. абстракция актуальной бесконечности отсутствует. Грубо говоря, неконструктивной (т. е. строго не формализуемой и не конечной) операцией перехода к бесконечности можно обосновать «все, что угодно». Показательно, что в [5] удалось доказать непостоянство глобальной динамической энтропии, но не удалось доказать, что она только возрастает (см. (11)). Автор [5] ограничился лишь следующим оптимистичным утверждением: «кажется маловероятным», что дальнейшие изыскания не снимут противоречия между механикой Ньютона и термодинамикой. Но такие многоопытные специалисты, как Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц констатировали, что «неясно, может ли закон возрастания энтропии вообще бьггь выведен на основе классической механики» [8].
Мы можем признать, что Г. А. Мартынову удалось вывести термодинамику из уравнения Лиувилля (т. е. из ньютоновой механики), если закрыть глаза на то, что дня этого пришлось использовать неконструктивную операцию ухода на бесконечность. А выводить из механики кинетическую теорию Больцмана Г. А. Мартынов даже не пытался [5], считая некорректным и вывод Н. Н. Боголюбова (26)-{29). Дело в том, что в методе Боголюбова сходятся только первые два члена ряда по п0, а_все остальные расходятся. Причина—во введении в иерархию ББГКИ параметра п0 - п(г, / = , который нарушает принцип причинности [5]. Таким образом, разложение по п0 приводит к нефизическим результатам.
Г. А. Мартынов считает некорректным и другой прием, использованный Н. Н. Боголюбовым. Напомним, что в столкновительном интеграле в правой части уравнения (1) стоят одночастичные функции распределения, определенные в моменты времени ¡-х и /+х, т. е. до и после столкновения, причем переход к пределу х —► 0 невозможен, так как тогда теряет смысл само понятие столкновения. Между тем, в иерархии уравнений ББГКИ все функции распределения У7 заданы в один и тот же момент времени 1, а понятие траектории вообще исключено. Иными словами, теория Больцмана и иерархия ББГКИ несовместимы друг с другом, а способ Боголюбова учета траектории в иерархии ББГКИ с помощью оператора сдвига (28) Г. А. Мартынов не считает дедуктивным, ибо этот оператор вводит в иерархию новое время (-х, которого в ней не было. В итоге, кинетическую теорию Больцмана нельзя считать предельным случаем иерархии ББГКИ, справедливым при р-+0. (С этим выводом мы согласны.) Но отсюда, как отмечает Г. А. Мартынов, не следует, что теория Больцмана ошибочна, ибо теория Больцмана имеет право на самостоятельное существование как приближенная теория, аналогично тому, как уравнение состояния Ван-дер-Ваальса является одним из лучших уравнений состояния, хотя тоже не может быть выведено из точных уравнений статистической механики. И вот здесь мы не просто согласны с Г. А. Мартыновым, но придерживаемся более радикальной позиции относительно того, какие уравнения (Больцмана или Лиувилля с ББГКИ) являются приближенными, а какие—точными Обсуждение этого вопроса отложим до п. 6.
4. Детерминизм ньютоновой динамики. Теоремы Пуанкаре, Хинчина и др. Математическим аппаратом классической динамики является теория дифференциальных
уравнений (ДУ) — обыкновенных, и в частных производных. Для описания классических динамических систем по Биркгофу [9] строится система ДУ
^ХДх,,^,...,*,), (/ = 1,2,..„и) (47)
где правые части являются непрерывными функциями точки р(х{, х2,..., хп) в замкнутой области D и-мерного евклидова фазового пространства. При этом предполагается, что эти функции удовлетворяют дополнительному условию (условию Липшица), обеспечивающему единственность решения, определенного начальными данными
х=х«*>, х, =*,«>, ...,*,=*<» при f=0, (48)
где р0(х®\ х2(0), ...,хл(0)) — начальная точка движения. Для ДУ (47) с условиями (48) доказан ряд общих свойств движения. Так, теорема Коши гласит [10]:
Дана система ДУ
щ.....1Я,= 0
где ряды сходятся в области |x-x0|<p, \yk~yk\<r, k- 1, ..., п. Тогда существует, и при том единственное, непрерывное решение системы (49) с начальными значениями
(50)
При наличии же условия Липшица получен более сильный результат, а именно—теорема Пикара:
Система ДУ .
-^ = ЛЫ>У2)> = (51)
ах
задана в области <а, \yk~yk\<,b, (k= 1, 2), так что /[; /2 непрерывны, т.е.
<М= const. Если при этом fx и f2 в указанной области удовлетворяют условию Липшица по переменным и у2
I/*(*>У\> yj-A&y? y2)W\y*ry№\-y2\), (k=\,2)
где L = const>0, a x,yl,y2,y*i,y*2—произвольны, то существует решение системы (51), удовлетворяющее условию
Ук(х) ^Ук° при х х0, (к = 1, 2), (52)
причем это решение непрерывно, дифференцируемо, единственно и существует по край-
ней мере в области |x-x0|<A = min
а,— v м ;
Важна также теорема о непрерывной зависимости решений от параметров: Пусть дана система ДУ
dx
где/J, ...Jn определены относительно x,yr ...,уп, в области \х~х0\<а, \yk~y£\<.b, (Jc= 1,..., п) и относительно Xv...,Xm в области (к= 1,..., п). Далее, пусть fk непрерывны от-
носительно всех своих переменных в указанных областях и, следовательно, ограничены \fk(x, ур А.)| <,М= const, где (х, у) и X—любые точки из указанных областей. Затем, пусть f (Лг= 1, ..., и) удовлетворяют условиям Липшица в этих же областях относительно yv ...,уп
где Ь не зависит от (х,у, X). Тогда система ДУ (53) имеет единственное решение
у-у^х^,...^ (к=1,...,п), (54)
удовлетворяющее начальным условиям
У№=ук\ (к=\,...,п). (55)
Это решение определено и непрерывно дифференцируемо как функция от х в интер-
вале |x-xJ<A = min
Кроме того, относительно Xv ...,Хт решение (54) равно-
( Ь ' 1 а,—
I
мерно непрерывно в указанных интервалах, т. е. |>^(х, Х)-ук(х, А.*)|<е, где для любого е найдется такое 8, чтобы <8. (Аг= 1, ..., и)
Если правая часть ДУ непрерывна (что как раз имеет место для динамических систем (47)), то справедлива теорема Пеано:
Пусть дано ДУ
(56)
правая часть которого определена в области |х—х0| <,а, \у—_у0| <6, где а и Ь — заданные положительные числа. Если при этом функция Дх, у) непрерывна и, следовательно, ограничена в К (т. е. для всех точек (х,у) из К и положительного числа М выполняется неравенство Лх,у)<,М), то ДУ (56) имеет, по крайней мере, одно решение
У=<№, (57)
удовлетворяющее начальным условиям
у = у0прих=х0. (58)
Это решение определено и непрерывно вместе с первой производной в промежутке
|х-х0 <й,
где h = min
а,
М
Доказанные теоремы (49)-(58) позволяют выявить ряд общих свойств движений, определенных системой (47):
(A) Всякое решение либо может быть неограниченно продолжено при t—>±<х>, либо достигает границы области О при конечном значении t = (*.
(Б) Для системы ДУ (47) всякое решение
*,=/(*, х« ...,*«>),(/= 1,2, .... л)
является непрерывной функцией от времени I и координат начальной точки.
(B) Поскольку правые части ДУ (47) не зависят от времени, то если движение, начинающееся в точке р в момент времени достигает точки р а движение, начинающееся
в рр в момент /2 достигает точки р2, то первое движение достигает точки р7 в момент / +/ (свойство группы).
Перечисленные универсальные свойства (А, Б и В) динамических систем и являют собой механический детерминизм: можно сколько угодно увеличивать время но решение динамической задачи (47) будет однозначным. Напротив, можно двинуться по траектории вспять и вплоть до /—»-со восстановить однозначно историю движения механической системы. Неотвратимость и единственность решений динамических уравнений (47) такова, что позволила П. Лапласу изречь: «Дайте мне начальные условия, и я предскажу будущее Мира». Именно после работ П. Лапласа детерминизм ньютоновой динамики перенесли на все явления природы и стали называть лапласовым детерминизмом.
Под влиянием «поистине триумфального шествия» [11] механики с ее детерминизмом и теоремами единственности до сих пор считается «делом чести, доблести и геройства» любую другую науку доводить до уровня строгости механики, т. е. делать детерминистской. «Принцип детерминизма служит руководящим началом во всех областях научного знания, эффективным орудием постижения истины» [12]. В материалистической философии отклонения от детерминизма приравнивались к отрицанию причинности, а недетерминистские теории катастроф обвинялись в протаскивании веры в Бога [13]. Напротив, сторонники философского индетерминизма обвиняли сторонников детерминизма в фатализме [14].
Посмотрим, как обстоят дела с детерминизмом и причинностью в классической механике с современных позиций. Если взглянуть на теоремы Коши, Пикара и Пеано, то отмахнуться от обвинений в фатализме невозможно. Правда, в наше время уже известен класс ДУ, решения которых имеют точки ветвления [15]. Так, рассмотрим систему ДУ в векторной форме
^ = (59)
где х=(хг,х2, ...,хл),— искомый вектор пространства Еп, /=(/{,/2, ...,/„) и g = (gl, g2, gn)—заданные вектор-функции со значениями в Еп, непрерывные по совокупности аргументов (I, х, X) е (~оо, +оо) х О х А и со — периодические по I. Предполагается, что /голоморфна по х, а £-голоморфна по (х, Х)е вхА. Пусть ф(/) = (ф,(/), ...,фп(/))еС—какое-нибудь со—периодическое решение порождающей системы ДУ
Ставится задача о нахождении при достаточно малых |А,| всех непрерывных и ю — периодических решений X) системы (59), удовлетворяющих условию
0)=ф(0
(это задача Пуанкаре). Доказаны теоремы [15], согласно которым ДУ (59) и (60) имеют ветвящиеся решения. Но правая часть ДУ (59) зависит от времени а в уравнениях (47) для динамических систем правые части являются только функциями точки р(хр х2, ..., хп) фазового пространства. Поэтому пока не видно, чтобы имелась какая-то лазейка для нарушения детерминизма и однозначности решений динамических уравнений (47). Может быть, это возможно в условиях появления неустойчивых (по Ляпунову) решений ДУ (47)?
Теория устойчивости решений ДУ была развита А. Пуанкаре, А. М. Ляпуновым, и др. [9, 10, 16-18]. Пусть динамическая система М задана в локально-компактном метрическом пространстве Я. Движение называют положительно (отрицательно)
устойчивым по Лагранжу, если его полутраектория fip\ 0, +оо) или, соответственно, f(p; О, -со), лежит в компактном множестве пространства R.
Система ДУ (49) в векторной форме может быть записана более компактно:
f=/(',y> (61)
Выделим некоторое движение у = ф(Осистемы (61) и назовем его невозмущенным. Движение у = ф(0 называют устойчивым по Ляпунову, если для всякого s>0 можно указать такое 6>0, что из неравенства ||у('0)~ф(?0)|| <0 следует неравенство 11у(0~ф(011<е при t>tQ. Здесь у(/) означает любое другое решение системы ДУ (61), определяемое начальными условиями y = y(tQ) при t = tQ.
Указанное движение назьшают асимптотически устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, существует такое число h > 0, что
lim||y (t)-9(t)|| = 0, если ||у (t,)-< h. (62)
Если условие (62) выполняется равномерно по отношению к /0, то асимптотическую устойчивость называют равномерной относительно tQ. Для автономной системы, т. е. для ДУ (47), асимптотическая устойчивость всегда равномерна относительно начальных данных. Точку р назьшают положительно (Р+) устойчивой по Пуассону, если для любой окрестности U точки р и для любого Т>О найдется значение t>T такое, что ф(/, р) е U. Аналогично, если найдется такое t<-T, что ф(/, р) е U, то точка р отрицательно (Р~) устойчива по Пуассону. Если точка устойчива одновременно Р* и Р~, то она (просто) устойчива по Пуассону (Р устойчива). Инвариантное замкнутое множество V называют центром притяжения движения ф(?, р) при /—» +со (-со), если вероятность пребывания точки р в S(V, б) при любом е>0 равна 1:
Р(ф(/,^))еад6) = 1. (63)
Если множество V не допускает подмножества, тоже являющегося центром притяжения, то V назьшают минимальным центром притяжения.
Теорема I [9]. Если движение y(t,p) положительно (отрицательно) устойчиво по Лагранжу, то имеется минимальный центр притяжения для <р(/,р) при i—>-к»(-со).
Рассмотрим линейную систему ДУ
% = A(t)y+A0, (64>
at
где A(t) и fit) — непрерывные (пхп) и (пх 1) матрицы с общим периодом со > 0.
Теорема II [18]. Пусть однородная система ДУ (64) допускает k линейно независимых ю — периодических решений ф,(0> ■ ■, ф/0 (1 <k<,ri). В этом случае неоднородная система (64) имеет единственное ю — периодическое решение тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности
J(v,(0,/(0>ft = o, (J = 1, ...,*)
о
где \|/.(0 (/'= 1, ...Д) — линейно независимые <в—периодические решения сопряженной системы
Теорема III (Массера) [18]. Если система (64) имеет ограниченное решение y(t) (t> 0), то у 5тйй системы существует <а — аертцжеекве решение.
Следствие: Если система ДУ (64) не имеет ©-периодических решений, то все решения этой системы не ограничены как на полуоси />0, так и на полуоси |
Эти теоремы приведены для иллюстрации того факта, что даже неограниченные решения ДУ обладают свойствами единственности. А для ограниченных решений действует неотвратимый детерминизм, крайним выражением которого являются «теоремы возвращения» [9]:
Теорема IV Пуанкаре-Каратеодори о возвращении множеств. Пусть в пространстве R динамической системы (61) существует инвариантная мера р, где \xR = 1. И пусть AcR измеримое множество меры \iA = m>0. Тогда найдутся такие значения t (|/|>1), что ц[А-ср(/,Л)]>0.
Теорема V. Пуанкаре-Каратеодори о возвращении точки. Если для динамической системы ф(t,p) в пространстве R со счетной базой для инвариантной меры |i имеем (JjR = 1, то почти все точки peR (в смысле меры ц) устойчивы по Пуассону, т.е. для множества (Е*) точек, неустойчивых по Пуассону, имеем \±Е* = 0.
Теорема IV утверждает только, что для любого множества Е (|л£">0) существуют сколь угодно большие по абсолютной величине значения / (такие, что ц(Е • ф(/, Е)) > 0). Но теорема IV не дает оценки верхнего предела значения меры пересечения. К тому же из теорем Пуанкаре-Каратеодори не совсем очевидны «физические следствия» их утверждений. Эти недостатки устраняет теорема А. Я. Хинчина [9].
Теорема VI Хинчина. В условиях теоремы IV для всякого измеримого множества Е {\iE-m >0) и любого t (-со < t < +со) неравенство
выполняется для относительно плотного множества значений I на оси -со</<+оо (при любом А.< 1).
Теорема IV перестает действовать, если мера всего пространства К бесконечна. Тогда уже нельзя утверждать, что почти все движения устойчивы по Пуассону. При этом точку р называют уходящей при / —> +оо, если траектория ф(/, р) не имеет со —предельных точек. В этих условиях действует
Теорема VII Гопфа. Пусть дано локально-компактное метрическое пространство движений со счетной базой; в нем определены инвариантная мера ц, имеющая следующие свойства: = +со, а для любого компактного множества ЕаЯ мера (х/7 конечна. Тогда почти все точки peR при /->+оо или устойчивы по Пуассону, или являются уходящими.
Из теоремы Хинчина видно, что сколько бы раз траектория не побывала в любой точке ограниченного фазового пространства Л, она вновь и вновь «посещает» эти точки.
Для наших целей представляется важным узнать, а как быстро уходят на бесконечность неустойчивые точки? Рассмотрим голономную материальную систему в положении равновесия (когда все лагранжевы координаты ..., равны нулю). Для не очень сильных отклонений от положения равновесия можно принять выражения для живой силы Т и потенциальной функции V в виде квадратичных форм
ц(0 = ц(£-<р(/, Е))>Ъп2
(65)
1
•j
где ау = а ( Ь(. = Ъ Если подставить (66) в уравнение движения (уравнение Лагранжа второго рода [2]), то получим
* J
При переходе к нормальным координатам [17] функции (66) упрощаются:
где X ..., "к—корни алгебраического уравнения
А(к) = \\\а-Ь,)\ = 0. (68)
При этом уравнения Лагранжа (67) сводятся к набору п независимых уравнений
хк+Кхк=0. (к = 1,...,«). (69)
По теореме Сильвестра [17] все корни уравнения (68) оказываются вещественными. В результате, решения уравнений (69) имеют вид:
хк = Ак соэ+ Вк ) для Хк > О, хк = Ак1 + Вк для Хк = О,
X. = Аке^' + Вке^' для \ < О,
(70)
где Ак, Вк—постоянные интегрирования, определяемые начальными данными.
Из (70) видно, что только в том случае, когда все корни уравнения (68) положительны, равновесие устойчиво и возвращение приводит к гармоническим колебаниям нормальных координат хк с частотами соответственно. Если хотя бы один корень уравнения (68) не положителен, то состояние равновесия оказывается неустойчивым. При малейшем (бесконечно малом) возмущении координата х*, отвечающая неположительному корню начинает расти с течением времени по линейному (если Хк*-0), либо экспоненциальному закону. Тем не менее, как бы далеко ни ушла нормальная координата х^* от начального положения х^*=0, если совершить операцию инверсии времени (т. е. заменить / на -/ и все скорости хк на - хк), все координаты неотвратимо вернутся в исходное положение х^=0 по достижении исходного значении /=0. (Такую процедуру для газа впервые предложил осуществлять И. Лошмидг в 1876 г, с целью опровержения теории Больцмана.)
Приведенный пример устойчивости или неустойчивости нормальных колебаний кажется с первого взгляда очень частным. Но в нем, тем не менее, представлены все характерные черты устойчивости, неустойчивости и детерминизма движений динамических систем (47). Более того, доказано в общем случае [16], что вопрос об устойчивости любого решения ДУ можно свести к вопросу об устойчивости нулевого решения. Ну, а вблизи точки равновесия (если она существует) можно всегда отбросить высшие члены разложения Т и V в правой части (49), в результате чего получатся представления в виде квадратичных форм (66).
Если все корни уравнения (68) положительны, то нормальные координаты колеблются около положения равновесия в соответствие с верхней строкой (70). При этом амплитуда колебаний постоянна и определяется величиной первого отклонения Ак„ вызванного возмущающим импульсом. Такое движение устойчиво по Ляпунову и число к в формуле (62) определяется амплитудами А В общем случае устойчивое
(по Ляпунову) движение можно представить как кривую в (п + 1)-мерном пространстве ..., qn, t, окруженную трубкой [11], обладающей тем свойством, что любое решение, попавшее однажды внутрь этой трубки, остается внутри нее сколь угодно долго.
Движение набора невзаимодействующих частиц полностью неустойчиво. При этом все \ = 0 и, если каждая нормальная координата получила возмущающий импульс, пропорциональный Ак, то все координаты продолжают удаляться от первоначального положения покоя в соответствие со второй строкой (70), т. е. по линейному закону. Наконец, если какие-то корни уравнения (68) оказываются отрицательными, то любой (даже бесконечно малый) возмущающий импульс приводит к ненулевым значениям Ак и Вк с тем же значением ¿ив дальнейшем эта нормальная координата хк отклоняется от положения равновесия по экспоненциальному закону (см. третью строку (70)). Еще раз отметим, что во всех вышерассмотренных случаях после операции инверсии времени траектория поворачивается вспять и абсолютно детерминировано идет назад по проложенной траектории, пока не вернется в исходную точку, из которой она и вышла в момент времени t = 0. Но возможна ли стохастизация и потеря детерминизма в классической динамической системе?
Рис. 1 показывает, что при упругих столкновениях легкой частицы с неподвижными (т. е. очень тяжелыми) абсолютно упругими и непроницаемыми шарообразными «атомами» движение легкой частицы после десятков и сотен столкновений приобретает черты броуновского (диффузионного) движения, т.к. вероятность обнаружить легкую частицу через время t на расстоянии г от исходной точки q0 растет по закону диффузии:
г = const yft = const^N, (71)
где N—число столкновений. Но как бы далеко ни ушла легкая частица от исходной точки q0 в результате N столкновений, после операции инверсии времени после N
столкновений в попятном движении легкая частица вернется в исходную точку qQ.
Рис. 2 показывает, что в повторном опыте при малейшем возмущении исходной траектории (на малый угол а0) уже после двух столкновений легкая частица качественно изменит свой путь и не пойдет по прежней траектории. Однако можно не сомневаться, что и в повторном опыте операция инверсии времени после N столкновений вернет легкую частицу назад в точку q0 в результате N попятных столкновений. Поэтому в классической динамике (детерминистской в принципе) остается важным вопрос о причине возникновения возмущения а0.
Детерминизм классического движения не изменится, если вместо непроницаемых шаров рассматривать, к примеру, точечные частицы с отталкивательным кулоновским потенциалом. Если отталки-вательные кулоновские центры воспроизведут траекторию рис. 2, то тоже появится
У *
Рис. 1. Траектория легкой точки массы т в математическом газе Лоренца, т. е. в газе, образованном фиксированными регулярно расположенными абсолютно упругими и абсолютно непроницаемыми шарами («атомами») диаметра /1; расстояние между слоями /.
«диффузионная» закономерность (71). Однако при сколь угодно большом / (или ЛО операция обращения времени заставит двигаться легкую частицу вспять по проложенной траектории, пока она точно не вернется в исходную точку д0 после N попятных столкновений. Поэтому «потеря памяти» не происходит, вопреки прогнозу [19], если только не совершать неконструктивных операций ухода в бесконечность, перехода к термодинамическому пределу и т. п.
Г. А. Мартынов [5] доказал непостоянство глобальной динамической энтропии, но не доказал, что она только возрастает (см. (11)). Так что вряд ли оправдаются его оптимистичные утверждения о том что будущее развитие наукой ликвидирует про-тиворечея между классической механикой Ньютона и термодинамикой. Тем более что на основании теорем возвращения Пуан-каре-Каратеодори и, особенно, теорем Хин-чина и Гопфа, мы можем констатировать, что не видно никаких перспектив снять это противоречие. Да и не надо забывать о и многоопытных специалистах Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшице, которые правильно почувствовали, что закон возрастания энтропии не может быть выведен из классической механики [8]. Тогда возникает крамольная мысль, а все ли в порядке с классической ньютоновой механикой? И, вообще, является ли механикой весь созданный за 300 лет гигантский массив знаний, ныне именуемый аналитической (теоретической) классической механикой?
5. Реалистичная механика. Разрешение парадоксов Пуанкаре и Цермело. Напомним, что уже с 1869 г У. Томсон и Г. Гельмгольц разрабатывали теоертичесчкую модель вихревых атомов, а У. Рэнкин работал над ней еще в 1850 году. К концу XIX в. было экспериментально установлено, что атомы, молекулы и все вещество в мире состоит из заряженных частиц. При этом еще в 1839 г. С. Ирншоу доказал теорему о том, что система зарядов не может быть статической и не описывается детерминированными параметрами. Поэтому еще до открытия квантовой механики и вне всякой связи с ней Л. Боль-цман и все его оппоненты, начиная с А. Пуанкаре, должны были бы сделать твердый вывод, что атомы, молекулы и все прочие формы вещества в мире не являются детерминистскими объектами, но характеризуются вероятностными параметрами (математическими ожиданиями, дисперсиями, ковариациями и т. д.). Что касается макротел, то они тем более не являются детерминистскими объектами, ибо звезды эволюционтруюг, пульсируют, взрываются, а на планетах происходит горообразование, дегазация, накопление газовой или жидкой оболочки Так что даже если абстрагироваться от процессов аккреции, космические объекты не могут моделироваться застывшими бесструктурными бесконечно-малыми точками или бесструктурными абсолютно упругими неразрушаемыми биллиардными шарами. Все механические объекты являются стохастическими и характеризуются математическим ожиданием их центра тяжести или диаметра и бесконечным набором (счетной мощности) моментов. Следовательно, изображение механических объектов бесконечно-малыми точками (неконструтивной 6-функцией Дирака), либо абсолютно
О о о о
о о о о о о о
о/о ы ро
о о <?С о о
Рис. 2. «Потеря памяти» в неустойчивой системе, согласно [19].
Двумерные траектории, вышедшие из одной точки в близких направлениях (с небольшим углом а0 между ними) очень быстро расходятся и их направления становятся качественно разными.
упругими биллиардными шарами (т. е. У-функцией Хевисайда, производная которой является той же неконструктивной 5-функцией Дирака) допустимо в абстрактной науке—математике, но недопустимо в механике, имеющей дело с реальными механическими (физическими) объектами. Строго говоря, все, что было сделано за последние 300 лет Ньютоном, Лагранжем и десятками тысяч их последователей—это не механика, а абстракт-пая механическая математика (АММ), т. е. раздел абстрактной математики, задачи которой навеяны механическими проблемами. Истинная же реалистичная математическая механика (РММ) должна рассматривать механические тела, обладающие структурой, которая, как минимум, характеризуется набором вероятностных параметров—математическим ожиданием положения центра тяжести (диаметра) и набором моментов.
Отсюда следует, что математический аппарат РММ должен радикально отличаться от аппарата АММ. Но может быть, достаточно ввести ненулевую дисперсию в начальные условия задачи Коши для ньютоновых уравнений (47)? Вот и будет учтена структура маханического объекта! Но это — не решение проблемы. Чтобы убедиться в этом, приведем теорему Т. Нишигори [20].
Ограничимся простейшим случаем двумерного векторного пространства образованного векторами Х(0 и У (О с внутренним произведением (Х,У). Пусть указанные вектора эволюционируют во времени согласно уравнениям
а (72)
^- = <1Х(() + сУ(() dt
с начальными условиями Х(0)=Х,у(0) = У. Ортогональный базис в £ образуют вектора Хя У*, т. е. (У*,Х) = 0, где 7* найден стандартной процедурой ортогонализации по Шмидту. Введем новый вектор
У*(/) = У(/)->Щ/), где^ОУОДОО-1,
так что У*(0) = У*. Тогда уравнения (72) преобразуются в следующие:
¿Щ/)
dt dY*(t)
= aX(t) + bY*(t), = mt) + lY*(t),
(73)
dt
где a-a + bw, (3 = <i + cw-wa, y = c-wb. Исключая переменную 7*(t) из (73), получаем dX(t)
= aX(t) + b\N(t-V)$X(V)dV +bF(t), (74)
0
dt
где функции yV(t)=exp(y/) и F(t)=N(t)Y* удовлетворяют соотношениям
(F(t),X( 0)) = 0,
При фиксированных начальных условиях имеем детерминистскую функцию F(t). Если же начальные переменные 7 и/или X имеют статистическое распределение, то 7* и F(t) становятся случайными переменными, а уравнение (74) оказывается немарковским уравнением Ланжевена, где верхнее соотношение (75) выражает условие причинности,
а нижнее — флуктуационно-диссипационную теорему. При этом скалярное произведение является средним по начальному распределению.
Из теоремы Нишигори следует, что при детерминистском начальном распределении, представимом 5-фнукдией Дирака, временная эволюция системы описывается детерминистским решением задачи Коши для соответствующих ДУ. Но как только в начальных условиях окажется малейшая неопределенность (стохастичность), аппарат классической ньютоновой абстрактной механической математики (т. е. задачи Коши для уравнений (47)) должен быть заменен стохастическим аппаратом типа уравнений Ланжевена. Ну а в стохастических процессах теоремы о возвратах Пуанкаре, Гопфа, Хинчина и других отнюдь не действуют! Там действуют эргодические теоремы [21, 22].
Теоремы и выводы РММ в корне отличаются от теорем и выводов АММ. Только в редких случаях, когда имеется устойчивое движение с почти постоянным сечением трубки вокруг устойчивой траектории, решение начальной задачи для стохастического ДУ может факторизоватъся в произведение вероятностного распределения начальных условий РММ и устойчивой траектории, полученной в рамках АММ. На рис. 3 представлена картина реального движения в рамках РММ, обобщающая абстрактное (математическое) движение в рамках АММ, соответствующее уравнениям (61) в случае устойчивого движения с трубкой постоянного сечения 2а. Если в начальный момент плотность вероятности представлена нормальным распределением [21]
р(м)=;&ехр
{у-уо)1 2о2
(76)
то в ситуации, представленной на рис. 3, можно сразу получить Р(у, в любой последующий момент времени:
\2 '
р(у> 0=7=—ехР
v 2па
(у-у(0)
2(5
(77)
Рис. 3. Реалистичная динамическая система, соответствующая уравнениям (61), порождающим устойчивое (по Ляпунову) движение с трубкой постоянного сечения 2а.
Здесь у(/) — явная функция времени, полученная в рамках АММ в результате решения задачи Коши для детерминистского уравнения (61). В частности, это может быть верхняя строка формулы (70).
Теперь перейдем к простейшему неустойчивому движению в рамках РММ, соответствующему второй строке в (70). Тогда картина движения будет представлена левой частью рис. 4. Здесь еще имеется возможность построить функцию Р(у, /), если известна «математическая» траектория у(/). На левой части рис. 4 показано, что нормальное распределение для Р{у, /) сохраняется на участке «разлетного движения» N частиц от ¿0 до Но в отличие от ситуации рисунка 3, на рис. 4 дисперсия растет линейно со временем (от ст0 в начальный момент времени ¡0 до 2а0 в момент времени При первом же столкновении в момент времени 1г ситуация катастрофически меняется (это изображено на правой части рис. 4, эклектически сшитой с левой частью). После первого же столкновения плотность вероятности Р(у, /) не только теряет симметричный вид (77), но приобретает разрывы и другие особенности.
Теперь становится ясно, что из всего, сделанного за 300 лет «победного шествия парадигмы N тел» [11], к физической механике реальных (а не абстрактных бесструктурных) тел можно применять только результаты, полученные для устойчивых «математических» движений. Значит, и теорема возвратности Пуанкаре, и парадоксы Церме-ло или Лошмидта справедливы только в рамках АММ, т. е. для бесструктурных математических объектов. Для реальных же механических объектов, обладающих структурой, теорема Пуанкаре и парадокс Цермело применимы исключительно в классе устойчивых движений с постоянной трубкой. Для неустойчивых движений реальных объектов теоремы Пикара, Пуанкаре, Хинчина и т.п. должны быть заменены предельными теоремами теории стохастических процессов, т. е. в РММ исчезает лапласов детерминизм. К примеру, по теореме Хинчина траектория бесструктурной математической точки вновь и вновь посещает любую точку ограниченного фазового пространства. А в РММ любая конфигурация, если она не является предельной, повторяется лишь с вероятностью ме-
Рис. 4. Реалистичная динамическая система, соответствующая (до первого столкновения в момент времени /2) линейному нарастанию неустойчивостей, характеризуемому второй строкой формулы (70).
Эклектически подсоединенная правая часть рисунка изображает в двумерном пространстве (х,у) два реальных (физических) столкновения, соответствующих двум «математическим столкновениям» на рис. 2.
ры нуль. Иными словами, в РММ, в отличие от АММ, имеет место следующая эрго-дическая замена теоремы Хинчина: если движение неустойчиво, то пучок траекторий, выходящих из начального множества Е при t=t0, при всех последующих 1>10 может собраться в Е лишь с вероятностью меры нуль, если только множество Е не является эргодическим (т. е. заполняющимся неустойчивыми траекториями при I —> оо).
В РММ должна существовать замена и для теоремы Лиувилля. Чтобы найти ее, сделаем небольшой экскурс в теорию стохастических дифференциальных уравнений
(СДУ) [23]. В теории броуновского движения известно уравнение Ланжевена:
^и (78)
где т—масса частицы, V—внешний потенциал, —сила трения, /^(7)—нормально
распределенная (гауссовская) случайная сила, корреляционная функция которой равна
(т^А))=вд - о=- о=2кшищ - (2).
Уравнение Ланжевена является очень частным случаем общих СДУ И то для случайных величин зависящих от времени V.
0 = а((£(0)а + (79)
где а и Ь—обычные (детерминистские) функции, м>{1) — случайный винеровский процесс, т. е. однородный гауссовский процесс с независимыми приращениями, для кото-
1 4 --
рого Ц0) = 0, (40) = 0, ЪоЪ.{а<М1)<Ъ}=-1=\е
При определенных условиях (когда функции а(1,х) и удовлетворяют
условиям теоремы существования и единственности для СДУ) решения СДУ (79) оказываются эквивалентными [23] решениям следующего обратного уравнения Колмогорова диффузионного типа:
;» ; + а(1,х) ;+-<52(1,х) у = 0, (80)
ш ах 2 дх
где о(/,х) = лУ^(/,х), а функция и является математическим ожиданием от произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции Дх):
"(',*) = (/&»)), где 0<(<*, хе (-00,00). (81)
И. И. Гихман и А. В. Скороход [23] показали, что уравнения Ито (79) далеко не исчерпывают все типы случайных процессов. А именно, в самом общем случае процессов без последействия случайная величина зависящая от времени (, должна подчиняться СДУ Ито-Гихмана-Скорохода:
0 = аШ+ Ь((,ШМ0 + (82)
где а, Ъ и с — обычные (детерминистские) функции, \и(к,А) —пуассоновская случайная мера _
уаОг,А) = Уа{Ь,А)-Ьиа(А),
(83)
—стандартная пуассоновская мера Ш(Л) = (у(/,Л)) = /)2{у}, порождаемая пуас-соновским распределением
х!
Непрерывный случайный процесс Ито (79) получается из более общего процесса (82), только если скачковая функция с(/, х, г) тождественно равна нулю.
Если СДУ (82) удовлетворяет условиям существования и единственности, а функции а, Ъ и с вместе с их градиентами интегрируемы с квадратом, то для функции (81) оказывается справедливым [23] следующее обратное уравнение Колмогорова-Гихмана-Скорохода:
Щ^-пи((,х) + (а((,х)-Ц(,х))Уи((,х)+-зр(У2и((,х)Ь((,х)Ь*{(,х))+ ш 2
X + с(/,х,2))П(с&) = О, где интенсивность скачков равна л = |п(ск), а их средняя амплитуда
Получено и прямое уравнение Колмогорова-Гихмана-Скорохода — ' + X= -X V -- + пР+\Р(1,х-,х,у-с*(1,у,2)р(у)Щ&), (84)
где я, = а, (/, х) = а. (/, х) - А,, (/, х), а /)(>■) — функциональный определитель обратного отображения у-и — с*(х,и,г). В СДУ (84) второй член слева является детерминистским «дрейфовым» членом, первый член справа—диффузионный член, соответствующий непрерывным бесконечно малым скачкам, а второй и третий члены справа дают вклад дискретных скачков конечной амплитуды.
Теперь можно вместо детерминистского 2-го закона Ньютона АММ записать стохастическое уравнение движения РММ для системы N частиц, описываемых га-мильтоновой функцией (12):
Эг &\Ъг,Ър, др, дп\ ¿ 2
¿дг2(Аг,,у,0 Л
д2К, 1
э* 2
Ж
др]
•,(85)
где —У-частичная нормированная к 1 функция распределения (13);
о2 и о2( (86)
—дисперсии координаты и импульса, соответственно, частицы 7-го сорта; V, —скорость 7-ой частицы, —ее ускорение. Чтобы получить временную эволюцию системы, следует решить задачу Коши для ДУ (85) с начальным условием в момент времени 1-(0, например, гауссовой формы:
N 1 , (РгР/рУ
Если абсолютно все дисперсии (86) постоянны (что имеет место для устойчивого движения), то их производные по времени равны нулю и правая часть уравнения движения (85) исчезает, а уравнение (85) вырождается в уравнение Лиувилля (14). Из последнего немедленно следует теорема Лиувилля о постоянстве объема «фазовой жидкости», парадоксы Пуанкаре и Лошмидта, уравнения иерархии ББГКИ-Мартынова, неизменность во времени глобальной энтропии и несовместимость с кинетическим уравнением Больцмана и его Н-теоремой. Такая математическая ситуация соответствует верхней строчке (70), но в реальности точно не достигается даже на планетных орбитах. В результате, «планетный газ» вокруг Солнца постепенно «испаряется»: в ближайшие 2-4 млрд лет можно ожидать, что одна из планет (возможно, Плутон) покинет солнечную систему.
Но если хотя бы одна из дисперсий (86) имеет не равную нулю производную, уравнение (85) сохраняет диффузионную природу, из которой немедленно следуют эргодические теоремы случайных процессов, в том числе—закон возрастания энтропии [24]. Таким образом, с кинетическим уравнением Больцмана и его Н-теоремой несовместима абстрактная математическая теория — ньютонова механическая математика, но реалистичная математическая механика немедленно порождает закон возрастания энтропии даже для системы двух частиц, т. е. без перехода к термодинамическому пределу и без прочих неконструктивных манипуляций с бесконечностями. Заметим, что наш результат более «либерален» в сравнении с теоремой Нишигори. Последняя гласит, что детерминистская ньютонова динамика теряет свою силу уже при малейшей неопределенности начальных данных. Из нашего же уравнения (85) видно, что детерминистская АММ теряет силу лишь при ненулевой производной хотя бы одной из дисперсий. Но противоречия здесь нет. Просто при ненулевой, но фиксированной дисперсии (что соответствует устойчивому движению в трубке постоянного сечения) имеет место факторизация (77), когда уже применим стохастический аппарат, но ньютоновская АММ еще не потеряла своей действенности.
Приведем решения задачи Коши для ДУ (85) с начальным условием (87) в двух простейших случаях. Первый случай—устойчивое одномерное движение частицы с массой т и с ускорением g. Устойчивость движения означает, что дисперсии (86) функции распределения и по координате (о2 = (Дх)2и по импульсу (о2 = (А/?)2) постоянны.
с1 Д
Тогда обе производные —а2 и —о2 равны нулю и ДУ (85) упрощается:
Ж Ж
Э/ т Эх др
Начальное условие (87) здесь приобретает следующий вид:
1 (*-*>)* 1 (.Р-Ро)г
Г(0,х,р) = —ие ^ —^е . (89)
Шл/2 п Ары2п
Решение задачи Коши для ДУ (88) с начальным условием (89) по стандартной методике [25] дает
(х-х0-(р/т)1-(еПт)12)1 (я-А>-г02
1 ОМ,!1 1
Г«,х,р) = -~е ^ 2^ . (90)
Шл/2 п ару]2п
Второй пример—одномерное равномерное неустойчивое движение одной частицы с массой т и скоростью V . Здесь дисперсия импульса постоянна, а дисперсия координаты растет со временем:
о2=(Ах)2+у2/2, о2 = (Ар)2. (91)
Уравнение движения (85) приобретает следующий вид:
Э/ Эх Эх2
Решение задачи Коши для диффузионного уравнения (92) с начальным условием (89) таково:
F(t,x,p) = . \ ехр
( (х — х0 — v/)2 ^
1
-ехр
\
2(Ар)
(93)
^2тс(Дх2+у2/2) [ 2(Дх2+у2/ ) j4p>/27c
Полученные простейшие результаты (90) и (93) демонстрируют коренное отличие РММ от ньютоновской АММ: вместо 1-го закона Ньютона (тело, предоставленное самому себе, в любой момент времени сохраняет состояние равномерного прямолинейного движения) формула (93) выражает закон потери информации о состоянии изолированного тела по мере роста времени после момента последнего измерения. Равномерно движется лишь максимум функции распределения, но вероятность в максимуме неуклонно падает с течением времени, а дисперсия неуклонно растет по закону (91). Так что в реальности П. Лаплас не смог бы предсказать не только будущее мира, но даже столкновение двух достаточно удаленных (на расстояние х*) реальных биллиардных шаров спустя некоторое конечное время (т) после измерения (в момент времени /0) положения и скоростей этих шаров, нацеленных друг на друга «лоб в лоб». А для расстояний х<х*, когда касательное столкновение шаров еще было возможным, П. Лаплас смог бы лишь с некоторой вероятностью <1 рассчитать углы рассеяния. В РММ глобальная энтропия неуклонно растет даже для системы двух реальных частиц [24], так что для получения 2-го начала термодинамики из РММ не требуется совершать неконструктивную процедуру перехода к термодинамическому пределу. Что касается уравнения (88), то оно идентично уравнению Лиувилля для прямолинейного движения частицы, а потому эквивалентно и 1-му, и 2-му законам Ньютона для абстрактной точечной частицы массы т, движущейся в трубке постоянного сечения. Так что формула (90) совпадает с ранее полученным результатом (77). Здесь глобальная энтропия не растет, т. е. из абстрактной ньютоновой динамики для абстрактных точечных бесструктурных частиц 2-е начало термодинамики не получить.
Интересно, что кинетическое уравнение Больцмана (1) имеет структуру уравнения (84) с нулевым диффузионным членом, но со столкновительным интегралом, выступающим в роли «скачкового интеграла» в правой части (84). Поэтому, перефразируя Г.А. Мартынова, скажем, что именно уравнение Больцмана (1) является точным уравнением РММ, а вот механика Ньютона, теорема Пуанкаре, уравнение Лиувилля и вся иерархия ББГКИ — весьма абстрактной (т. е. приближенной) моделью объективной реальности, хотя и имеют право на существование как красивые, познавательные и очень важные абстрактные математические построения.
Summary
Skorobogatov G.A. A solution to the Loschmidt and Zermelo-Poincare paradoxes.
Instead of 2nd Newton's law of motion for the speculative structureless massive points, new stochastic dynamical equation (NSDE) was proposed for the real structurized mechanical bodies. Since NSDE
is a parabolic-type differential equation, it provides a realization of Boltzmann's H-theorem as well as the entropy growth even for a finite number of real molecules. As for the Loschmidt and Zermelo-Poincare paradoxes, they were obtained in the frame of abstract newtonian mechanical mathematics for the mythical structureless massive points instead of real molecules.
Литература
1. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. М., 1971. 2. СингДж.Л. Классическая динамика. М., 1963. 3. Гуров К. П. Основания кинетической теории. Метод Н.Н.Боголюбова. М., 1966. 4. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М., 1946. 5. Мартынов Г. А. // Успехи физ. наук. 1996. Т. 166. N 10. С. 1105-1133. 6. Заславский Г. М., СагдеевР.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М, 1988. 7. Гапонов-ГреховА.В., РабиновичМ.И. //Природа, 1981. N 2. С. 54-65. 8. Лан-дауЛ.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М., 1964. С. 48. 9. Немыцкий В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M-JL, 1947. 10. ЕругинН.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, 1970. 11. Арнольд В. И. //Природа. 1987. N 8. С. 5-15. 12. Кузнецов КВ. // БСЭ: 3-е изд. М„ 1972. Т. 8. С. 146-147. 13. Теория катастроф//БСЭ: 2-е изд. М., 1953. Т. 20, С. 365-366. 14. Огурцов А. П. //БСЭ (3-е изд.), 1972. Т. 10. С. 186. 15. ВайнбергМ.М., ТреногинВ.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., 1969. 16. БеллманР.Б. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 1954. 17. ЧетаевН.Г. Устойчивость движения. М., 1965. 18. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М, 1967. 19. Синай Я.Г. II Приророда. 1981. N 3. С. 72-80. 20. Nishigory Т. //Prog. Theor. Phys., 1979. Vol. 62. N 4. P. 1156-1158. 21. ГнеденкоБ.В. Курс теории вероятностей. М, 1961. 22. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М., 1968. 23. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев, 1968. 24. Тертычный-Даури В.Ю. Стохастичечская механика. М., 2001. 25. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955.
Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.
