CC BY
69Термодинамика и классическая механика
Сомсиков В.М. (nes@kaznet.kz) Институт ионосферы, Алма-Ата, Казахстан.
1. Введение.
Стремление подвести строгую базу под феноменологическую теорию термодинамики с момента ее создания и до настоящего времени определяет возникновение и развитие многих областей физики. Под строгим обоснованием термодинамики, как правило, подразумевается обоснование ее постулатов и законов на основе классической механики. При этом основная проблема обоснования связана с объяснением механизма необратимости.
В результате поиска взаимосвязи между классической механикой и термодинамикой возникли статистическая физика и кинетика [1-4]. Их предмет составляет изучение закономерностей систем многих тел, а основная задача заключается в том, чтобы определить свойства систем, зная свойства элементов и характер их взаимодействия [2, 3]. Основное отличие между статистикой и кинетикой в том, что в статистической физике ищется стационарная функция распределения элементов равновесных систем, а в кинетике ищут функцию распределения неравновесных систем.
В основе методов статистической физики лежат статистические закономерности вероятностного характера. Именно они позволяют эффективно описывать коллективные свойства систем, отказавшись от немыслимой задачи расчета динамики каждого элемента. Так, к примеру, метод ансамблей Гиббса [2, 4] заключается в разбиении равновесной системы на подсистемы и изучении подсистем, опираясь на вероятностные закономерности в предположении выполнения эргодической гипотезы, которая предполагает возможность исключения взаимодействия подсистем и наличие зависимости их статистического распределения от начальных условий[5].
Начало кинетики было положено Больцманом при попытке связать классическую механику с термодинамикой. Он получил кинетическое уравнение и доказал ^теорему. Согласно этой теореме системы многих тел должны стремиться к равновесному состоянию. Но обосновать используемое при доказательстве приближение хаотических фаз на основе законов классической механики Больцману не удалось [1, 5, 6] и проблема необратимости осталась открытой.
Сейчас уже ясно, что методы кинетики не подходят для обоснования термодинамики, так как они, как и методы статистической физики, опираются на статистические закономерности и неприемлемые для механики допущения [3, 7].
Наряду с попытками обосновать термодинамику на основе статистических теорий искались подходы, непосредственно опирающиеся на механику. Лиувиллем было доказано, что интегрируемы только такие системы многих тел, которые путем канонических преобразований независимых переменных расщепляются на системы с одной степенью свободы [7-9]. Т.е., когда между системами можно исключить взаимодействия. В тоже время Пуанкаре доказал теорему, согласно которой динамические системы, как правило, не интегрируемы [7-9]. Значит исключение действующих между подсистемами сил возможно только в исключительных случаях. С другой стороны, если из условия потенциальности сил взаимодействия элементов следует потенциальность сил между системами этих элементов, то, как следует из формализма Гамильтона [7], такая система сводима к независимым интегрируемым системам с одной степенью свободы. Но тогда возникает противоречие. С одной стороны, доказано, что класс интегрируемых систем очень узок. С другой стороны, потенциальность сил взаимодействия должна обеспечивать возможность сведение систем к интегрируемым системам [8]. Это одно из принципиальных противоречий на пути обоснования термодинамики.
Открытие детерминированного хаоса привело к возникновению стохастической динамики. С помощью методов стохастической динамики, в частности, была установлена связь между энтропией и показателями Ляпунова, характеризующими динамику систем. Но попытки объяснить механизм необратимости на основе методов стохастической динамики наталкиваются на проблему объяснения механизма усреднения «coarse-grain» [7,10].
Имеются работы, объясняющие необратимость за счет неустойчивости динамики систем многих тел при сколь угодно малой неопределенности внешних факторов [20]. Но этот сценарий необратимости можно свести к усреднению или огрублению начальных и граничных условий. Поэтому фактически такое объяснение необратимости также упирается в проблему «coarse-grain».
Недавно возник метод не экстенсивной термодинамики, развитый для анализа стационарных неравновесных систем [11]. С его помощью, к примеру, можно найти функцию распределения неравновесных систем, изучать связь между силой и энтропией. [12]. Так как этот метод также опирается на вероятностные закономерности, то его также сложно использовать для обоснования термодинамики.
Определенные успехи в изучении неравновесных систем были достигнуты в рамках статистической теории открытых систем [13]. Особенность предлагаемого там подхода заключается в учете структуры сплошной среды на всех уровнях описания. Но и в рамках статистической теории открытых систем проблема необратимости не могла быть решенной. Более того, она существенно ограничивала возможности предлагаемого подхода к изучению неравновесных систем.
К сожалению, в объеме статьи невозможно затронуть многие, достаточно оригинальные варианты предлагаемых решений проблемы необратимости, привлекающей огромное внимание из-за ее чрезвычайной важности для всей физики. Но все они, как правило, по существу сводятся к упомянутым выше подходам.
Анализ существующих работ позволяет заключить, что на данный момент времени ни одна из областей физики не позволила решить проблему необратимости. Пригожиным бы ло высказано предположение, что, возможно, это связано с ограниченностью формализма классической механики [7].
В процессе решения проблемы необратимости для систем твердых дисков мы пришли к заключению, что необходимое расширение формализма Гамильтона возникает при отказе от условий консервативности систем и от требования потенциальности их взаимодействий [14-17]. Благодаря такому расширению, в [16, 17] был предложен механизм установления равновесия в системе твердых дисков. Обоснование механизма опирается, как на установленную зависимость силы взаимодействия упругих дисков от их относительных скоростей, так и на необходимое условие необратимости, вытекающее из обобщенного уравнения Лиувилля. Им является непотенциальность сил взаимодействия подсистем. Но силы взаимодействия элементов в реальных системах потенциальны. Поэтому вопрос: как возникает непотенциальное взаимодействие подсистем, состоящих из потенциально взаимодействующих элементов, является ключевым на пути обоснования термодинамики.
Цель данной работы: изучение механизма установления равновесного состояния и доказательство возможности обоснования термодинамики для потенциальных систем. Для этого мы расширим формализм Гамильтона. Расширение состоит в отказе от условия консервативности. Затем докажем существование непотенциальных сил между взаимодействующими системами при условии потенциальности сил между их элементами.
Работа строится следующим образом. В качестве моделей берется неравновесным образом приготовленная система. Эквивалентность этой системы открытой состоит в том, что процесс приготовления неравновесного состояния обусловлен внешним воздействием на систему. Система разбивается на подсистемы. Положим, что неравновесная система
может быть представлена множеством равновесных подсистем. Тогда неравновесность будет заключаться в движении подсистем относительно друг друга. Правомерность использования такого подхода имеет достаточно серьезное физическое обоснование [2]. Будем так адаптировать формализм Гамильтона, чтобы его можно было применять для открытых систем. Это продиктовано тем, что именно учет взаимодействия и обмен энергией подсистем является необходимым условием для установления равновесия.
Для выделенной подсистемы получим обобщенные уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля. Эти уравнения называем обобщенными, поскольку они выводятся без ограничения на потенциальность сил взаимодействия подсистем. Силы взаимодействия подсистем также будем называть обобщенными. Опираясь на обобщенное уравнение Лиувилля, найдем необходимое условие необратимости. Оно состоит в зависимости сил взаимодействия подсистем от их относительных скоростей. Получим уравнение движения для твердых дисков и с его помощью покажем выполнение условия необратимости для неравновесных систем твердых дисков.
Чтобы обобщить полученные результаты на реальные системы, получим уравнение движения для взаимодействующих подсистем, между элементами которых действуют потенциальные силы. С его помощью докажем непотенциальность обобщенных сил и возможность существования необратимой динамики для неравновесных систем. Покажем, как из уравнения движения подсистемы следует связь между классической механикой и термодинамикой. Получим формулу, выражающую энтропию через обобщенные силы.
Каноническое уравнение Лиувилля лежит в основе статистической физики. Оно выводится для гамильтоновых систем при условиях не слишком больших времен, когда можно пренебречь обменом энергии между подсистемами [2, 3]. Но для открытых систем следует отказаться от этих ограничений. В этом случае мы получим обобщенное уравнение Лиувилля. Оно выводится следующим образом [14, 15]. Берется неравновесным образом приготовленная замкнутая система. Она разбивается на подсистемы так, чтобы каждую из них можно считать равновесной. Разбиением системы на равновесные подсистемы мы добьемся того, что неравновесность будет определяться энергией относительного движения подсистем. То, что так можно делать, убедительно обосновано в [2]. Отказываемся от требования потенциальности обобщенных сил. Как будет показано ниже, необходимость отказа от потенциальности этих сил для твердых дисков следует из уравнения их движения. Для неравновесных систем потенциально взаимодействующих элементов, непотенциальность взаимодействия подсистем следует из уравнения движения подсистем. Выбираем одну из подсистем и с помощью уравнения Даламбера вариационным методом получаем для нее уравнение Лагранжа. В его правую часть войдет обобщенная сила. Правая часть отлична от нуля только при непотенциальном взаимодействии подсистем [15-17]. Обобщенная сила войдет и в правые части уравнений Гамильтона и Лиувилля.
Отметим, что обобщенное уравнение Лиувилля можно получить проще, считая силы диссипативными [18]. Но использование условия диссипативности сил не позволяет применять полученное таким образом уравнения Лиувилля для изучения необратимости, так как принятие условия диссипативности сил фактически означает введение необратимости. Мы же получили при выводе обобщенного уравнения Лиувилля в рамках законов классической механики. Фундаментальность полученного таким образом уравнения позволяет использовать его для описания классических систем.
Обобщенное уравнение Лиувилля имеет вид [14, 15]:
2. Обобщенное уравнение Лиувилля.
Ш
Здесь fp = fp (г, p, t)- нормированная функция распределения элементов одной из подсистем, обозначенной индексом p ; к -номер диска подсистемы, к = 1,2,...P; P - число дисков в подсистеме; s - внешние диски по отношению к подсистеме; Fkp - действующая на к -й диск сила со стороны внешнего s -го диска.
t P д
-10 (Z )dt
Решение уравнения (1) имеет вид: fp = const • e к= k
Из общего вида уравнения (1) и его решения можно сделать следующие выводы.
1. Правая часть уравнения (1), равна нулю, как при условии потенциальности сил, так и в равновесном состоянии при условии отсутствия относительного движения подсистем, что эквивалентно отсутствию обобщенных сил.
2. По своей физической сути правая часть (1) является интегралом столкновений.
3. Интеграл столкновения может быть найден с помощью уравнений движения элементов системы.
Пусть в подсистеме существует стационарный внешний поток энергии. Учтем, что
-f = -f + Z (Г&д-^ + p& -f.). Тогда для уравнения (1) получим [16]:
dt dt к=1 drк дРк
£[&Г + К f] = -fp±~^Fkp (2)
k=1 dpk k=1 dpk
Уравнение (2) подобно уравнению, описывающему флуктуации функции
df
распределения в неравновесном стационарном газе [22]: Z &—- = Stf . Здесь Stf -
= drk p
интеграл столкновений. Но в отличие от уравнения для флуктуаций функции распределения, в левой части (2) имеется еще один член, обусловленный градиентом функции распределения в пространстве импульсов и наличием сил между подсистемами.
Так как уравнения (1) получено из фундаментальных законов классической механики, то его можно называть «мастер уравнением». При соответствующих предположениях из него должны вытекать известные кинетические уравнения.
Очевидно, что для использования полученных обобщенных уравнений для изучения открытых систем, надо знать обобщенные силы. Но некоторые важные свойства динамики непосредственно следуют из анализа обобщенного уравнения Лиувилля.
Рассмотрим важную закономерность, обусловленную взаимосвязью динамики отдельных подсистем с динамикой системы в целом. Она вытекает из условия консервативности, согласно которому фазовый объем системы перераспределяется между подсистемами при условии сохранения его полной величины.
R P
Для всей системы выполняется равенство ZZ Fp =0. Отсюда следует справедливость
p=1 к=1
уравнений — - = 0, f + vk f + & = 0, где fR -функция распределения дисков
dt д¥к дГк dt дгк dpk
системы, LR - канонический Лагранжиан системы. Так как система консервативна, то ZR=j divJp = 0. Здесь Jp = (& &)- обобщенный вектор тока. Из решения уравнения (1)
R P
п д
следует: ]0 (ZZя—Рк № = 0 . Тогда из условия согласованности уравнения Лиувилля для
р=1 к=1 Рк
всей системы, с обобщенными уравнениями Лиувилля для подсистем, вытекает возможность существования двух типов динамики.
Первый тип динамики определяется тем, что в фазовом пространстве существуют области, в которых для показательной функции решения (1) выполняется условие:
t P д
1о (Ет—Fk )dt ^ const при t ^ да (3)
k=\дРк
Этот тип соответствует необратимой динамики. При отсутствии диссипации он возможен при условии такого необратимого перераспределения фазового объема между подсистемами, при котором сохраняется его полная величина.
р „
Ед
—Fkp является
k=i дРк
периодической функцией времени. Это соответствует обратимой, периодической динамики. Обратимость возможна при условии, что приготовленная система окажется в точке инвариантного множества фазового пространства. При этом происходит периодическое изменение фазового объема подсистем при условии сохранения фазового объема системы и периодического возвращения системы в исходную точку [7, 10].
Таким образом, необходимым условием для необратимой динамики является зависимость сил взаимодействия подсистем от скорости. Наличие такой зависимости снимает запрет на необратимость, накладываемый теоремой Пуанкаре о возврате [i0], поскольку эта теорема справедлива только при условии потенциальности сил взаимодействия. Поэтому задача о существовании необратимости сводится к доказательству наличия зависимости обобщенных сил от скоростей движения подсистем в неравновесных системах. Сначала покажем, что такая зависимость имеет место для системы жестких дисков.
Приведем уравнение движения сталкивающихся жестких дисков. Оно выводится на основе матрицы столкновения из законов сохранения энергии и импульса [16,17].
Vf =ФjS^j (t))Akj (4)
t
¥kj = [| lkj(t ^ - D]/ |A J ; S(Vkj) -дельта функция; l,j (t) = zkj. +JA kjdt - расстояния
0
между центрами k и j дисков; Ф j = i(lkj A j )/(| lkj\ |A kj |); i - мнимая единица; t - время;
4 = zk0 - z00 -начальные значения координат дисков; Akj. = Vk - Vj - относительные
скорости дисков; D -диаметр диска. Удары считаются центральными и парными, трением пренебрегается. Массы и диаметры дисков приняты равными единице. Моменты столкновений k и j дисков определяются условиями у/щ = 0.
Уравнение (4) неньютоновское, так как в нем сила зависит от относительных скоростей дисков. Его можно рассматривать как уравнение, определяющее не диссипативное перераспределение кинетической энергии между сталкивающимися дисками, минуя стадию преобразования этой энергии в потенциальную. Т.е. можно описать динамику системы твердых дисков без привлечения понятия о потенциальной энергии. Действительно, при условии абсолютной упругости у дисков нет внутренних степеней свободы, поэтому введение потенциальной энергии для таких систем не вполне корректно.
Поскольку сила, действующая на каждый диск подсистемы, зависит от относительных скоростей сталкивающихся дисков, то и сила, действующая на подсистему, также будет зависеть от скоростей. Причем эта обобщенная сила определяет характер перераспределения кинетической энергии между дисками без ее диссипации. Т. е. обобщенная сила не диссипативная. А поскольку обобщенная сила зависит от скоростей элементов, то согласно обобщенному уравнению Лиувилля, для дисков возможна необратимая динамика. Необратимость возможна и в сильно разреженных системах потенциально взаимодействующих элементов [15]. Это следует из того, что для таких систем в пределе сильной разреженности справедливо уравнение движения (4).
Существование зависимости обобщенных сил от скоростей в неравновесных системах согласуется с приведенным в [2] доказательством, согласно которому «в термодинамическом равновесии замкнутая система может совершать лишь равномерные поступательное и вращательное движения как целое; никакие относительные движения подсистем невозможны». Приведем это доказательство. Оно также потребуется в дальнейшем для обоснования формулы, выражающей энтропию через обобщенные силы.
Пусть Мр, Ер, Рр - масса, энергия и импульс выделенной р - подсистемы. Энтропия р - подсистемы является функцией ее внутренней энергии. Тогда энтропию всей системы можно записать так [2]:
R р2
S = У Sp (Ep--p—), (5)
p=1 p p 2M p V '
где R -количество подсистем; p -номер подсистемы. Аргументом для выражения
энтропии подсистемы является ее внутренняя энергия.
Так как вся система замкнута, то помимо энергии сохраняются полный импульс и
R R
полный момент импульса, т.е. ^Pp = const, ^[rpPp ] = const. Здесь rp -радиусы-векторы
p=i p=i
подсистем. В состоянии равновесия полная энтропия тела, как функция импульсов подсистем, имеет максимум при выполнении этих условий. Тогда, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, найдем необходимые условия максимума, приравняв к нулю производные по импульсу от выражения:
¿{Sp + aPp + b[rpPp ]}, (6)
p=1
где a,b - постоянные множители.
Дифференцируя Sp по Pp, в силу определения температуры, получим:
а _ p' pv у
8„ (Ер--) =--=--. Следовательно, дифференцируя (6), будем иметь:
дРр р р 2Мр МрТ Т
уа = Та + [0гр ], где и = Та, О = ТЬ.
Полученный результат означает, что вне рамок термодинамического равновесия подсистемы совершают относительное движение.
Кроме того, из данного результата следует важный вывод. Мы видим, что равновесие характеризуется состоянием, в котором при любом разбиении системы на подсистемы импульсы подсистем (считается, что центр масс всей системы покоится) равны нулю, т.е. Рр = 0. Следовательно, по мере приближения системы к равновесию, импульсы
подсистем, а значит, энергии их относительного движения должны стремиться к нулю.
Таким образом, движение системы к равновесию должно быть связано с работой обобщенных сил. При этом их работа должна преобразовывать энергию движения подсистем во внутреннюю энергию. Такое преобразование энергии связано с изменением функции распределения всей системы. В результате энергия относительного движения подсистем исчезает и система становится равновесной.
Как видно из формулы (5), неравновесность определяется кинетической энергией относительного движения подсистем. Поэтому становится ясным, почему для правильного описания динамики неравновесной системы с помощью принятого нами подхода, система должна быть разбита на равновесные подсистемы. Строго доказать возможность использования этого условия для любых неравновесных систем пока невозможно. Но, тем не менее, это условие является достаточно общим [2]. Например, ему удовлетворяют системы с локальным равновесием.
Как следует из обобщенного уравнения Лиувилля, необратимость возможна при зависимости обобщенных сил от скоростей подсистем. Мы показали выполнение этого условия для систем твердых дисков. Это было сделано с помощью неньютоновского уравнения движения сталкивающихся дисков. Но все природные силы потенциальны [19]. Значит, чтобы доказать существование необратимости в реальных системах, надо показать зависимость обобщенных сил от скоростей при условии потенциального взаимодействия элементов системы. Это доказательство можно выполнить с помощью уравнения движения подсистем.
3. Уравнение движения подсистем.
Нами используется условие, что неравновесные системы характеризуются относительными движениями подсистем. Как следует из обобщенного уравнения Лиувилля, для существования необратимости в неравновесных системах потенциально взаимодействующих элементов, необходима зависимость от скоростей обобщенных сил и их стремление к нулю. Т.е. установление равновесия связано с работой обобщенных сил, которая ведет к трансформации энергии относительного движения подсистем во внутреннюю энергию. Так как по условию задачи полная энергия всей системы не меняется, то уменьшение энергии относительного движения может быть обусловлено только ее трансформацией во внутреннюю энергию подсистем при изменении функции распределения системы. Т.е. установление равновесия связано с работой обобщенных сил, которая ведет к трансформации энергии относительного движения подсистем во внутреннюю энергию.
Покажем, что, несмотря на потенциальность сил в уравнениях движения элементов, силы взаимодействия их подсистем зависят от скоростей подсистем.
Рассмотрим систему потенциально взаимодействующих элементов. Пусть энергия
1
N
системы равна: EN = TN + UN = const, где TN = — ^ vf - кинетическая энергия, UN (rij) -
2 i=i
потенциальная энергия, ri}. = ri - rj - расстояние между i и j элементами, N -число
элементов системы. Массы элементов равны единице.
Уравнение Ньютона можно получить, продифференцировав по времени выражение
N dU
для ее энергии. Оно имеет вид: & = - ^ —— .
j=1, j *i drij
Уравнение Ньютона обратимо. С точки зрения дальнейшего анализа важно, что градиент потенциальной энергии является силой. Она определяет скорость, с которой осуществляется переход кинетической энергии в потенциальную энергию. Величина силы однозначно определяется точкой пространства. Но уже для системы двух тел сила зависит от самого движения этих тел. Это объясняется тем, что помимо кинетической и потенциальной энергий в системах взаимодействующих тел появляется третий тип энергии - энергия связи элементов системы. Для двух тел путем перехода в систему координат центра масс этот тип энергии удается исключить и найти решения задачи двух тел с помощью уравнений Ньютона. Для трех тел такое исключение в общем случае становится невозможным. Поэтому задача трех тел с помощью уравнения Ньютона не решается. Отсюда следует, что нельзя априори утверждать о потенциальности взаимодействия систем многих тел при условии потенциальности парных взаимодействий элементов.
Получим уравнения движения для подсистем и покажем, как из них следует непотенциальность обобщенных сил, т.е. сил взаимодействия подсистем. Представим энергию системы в виде суммы кинетической энергии движения подсистемы как целого -
JT tr т7 ins
N , кинетической энергии движения ее элементов относительно центра масс- TN и
потенциальной энергии их взаимодействия - . Энергию Е™ = Т^т + и%Г назовем связанной. При отсутствии внешних сил энергии Т^ и Е™ будут интегралами движения.
Кинетическая энергия Т^ является функций скорости центра масс, а связанная
энергия определяется относительными скоростями элементов и расстояниями между ними. В уравнениях движения сделаем такую замену переменных, в которых связанная энергия и кинетическая энергия движения системы будут записаны через независимые переменные. Такими переменными являются относительные скорости элементов и скорости движения центра масс подсистем.
Предположим, что система так приготовлена неравновесным образом, что она представляет собой две равновесные подсистемы. Результаты анализа этого случая легко обобщаются на любые неравновесные системы и для любого их разбиения.
Продифференцировав энергию системы по времени, сгруппировав члены, соответствующие элементам подсистем, получим уравнения, определяющие обмен энергией подсистем в новых переменных: относительные скорости элементов, расстояния между элементами и скорость центра масс. Эти уравнения будут иметь вид [21]:
Ь Ь-1
2 2 I ' V
1=1+1 1=1
ьу№ +УУ<у,
& ди
Ь + дг
К Ь
ди
= д— (7а)
1к =1гЬ =1 д\1к
К К-1
КУЛ +
] =1+11=Ь+1
& ди — + —
К дг
V
КЬ
ди
1К =1Ь =1 1ь1к
Здесь принято условие неподвижности центра масс системы, т.е. ЬУЬ + КУК =0, где
УЬ и УК -скорости движения центра масс подсистем. Подсистемы состоят из Ь и К
элементов, V, - относительная скорость 1 и , элементов. Двойные индексы приняты для
обозначения, каким подсистемам принадлежат элементы.
Левые части в (7а, 7б) определяют изменения энергий подсистем в результате их взаимодействия. Первые члены задают изменение кинетической энергии движения подсистем как целого. Вторые члены описывают преобразование связанной энергии. Правая часть (7а, 7б) определяет изменение энергии взаимодействия подсистем. Из (7а, 7б) для случая Ь = К находим уравнение движения одной из подсистем:
К Ь ди
У& = —— >>1У
Ь У Т 11
у Ь^ 1=1+11=1
&+ди
Ь дг,.
1
(7)
}к =1'ь =1 дгч1'к
Уравнение (7) определяет движение подсистем в результате действующих между ними обобщенных сил. Как следует из вида правой части уравнения (7), обобщенная сила зависит от относительных скоростей элементов подсистемы, несмотря на потенциальность взаимодействия самих элементов системы. Зависимость обобщенной силы от скорости обусловлена появлением в уравнении движения члена, определяемого связанной энергией. Таким образом, принятое нами разбиение энергии подсистемы на три типа оказалось принципиальным. Это позволило увидеть, что помимо потенциальной и кинетической энергий, в системе появляется еще один важный тип энергии. При отсутствии взаимодействия подсистем эти типы энергии сохраняются. При У&Ь =0, (7)
энергия относительного движения подсистем исчезает. В этом случае она вся содержится в потенциальной и кинетической энергиях относительного движения элементов. Таким образом, зависимость обобщенной силы от скорости доказана.
Обсудим отличие уравнения движения подсистем от уравнения Ньютона.
Уравнение Ньютона для отдельных элементов можно трактовать, как уравнение для сил, работа которых определяет преобразование кинетической энергии элемента в его потенциальную энергию. При этом соблюдается условие сохранения суммарной кинетической и потенциальной энергий элемента. Таким образом, в уравнение Ньютона
силы полностью определяется градиентом потенциальной энергии частиц. Работа силы определяет, сколько кинетической энергии должно перейти в потенциальную энергию при переходе системы из одной точки пространства в другую. Таким образом, силы и потенциальная энергия однозначно связаны и зависят только от координат. Поэтому работа потенциальных сил по замкнутому контуру равна нулю. Такая связь силы и работы обуславливает обратимость.
Уравнение движения подсистем определяет обобщенные силы. В отличие от ньютоновских сил, их работа преобразует кинетическую энергию движения подсистемы не только в их потенциальную энергию, но и в другой тип энергии, которую мы назвали связанной. Связанная энергия является суммой кинетической энергии относительного движения элементов и их энергии потенциального взаимодействия. Она зависит от вида функции распределения частиц подсистемы по скоростям и равна полной энергии подсистемы за вычетом потенциальной энергии ее взаимодействия с другими подсистемами и кинетической энергии движения подсистемы как целого. Из-за возможности преобразования кинетической энергии движения подсистем в их связанную энергию работа обобщенных сил по замкнутому контуру отличается от нуля. Функция распределения скоростей элементов подсистемы относительно центра масс сферически симметрична. При отсутствии взаимодействий связанная энергия, как и энергия движения подсистемы, является инвариантом движения.
Таким образом, уравнение Ньютона описывает только преобразование кинетической энергии в потенциальную. Но когда появляется иной тип потока энергии, например, как в данном обусловленный с изменением связанной энергии, определяемой относительным движением частиц подсистемы, тогда уравнение Ньютона не применимо. Возникает вопрос, а почему для всей замкнутой системы уравнение Ньютона справедливо? Это объясняется тем, что работа непотенциальных сил внутри всей системы всегда равна нулю
[15].
Преобразование кинетической энергии подсистем в их связанную энергию благодаря работе обобщенных сил, приводит к уменьшению относительных скоростей подсистем. Это преобразование происходит в результате изменения функции распределения элементов подсистемы по скоростям, при котором уменьшается скорость движения подсистемы. В равновесии относительное движение подсистем отсутствует. Возврат связанной энергии в кинетическую энергию подсистемы невозможен. Действительно этот возврат возможен только при условии спонтанного появления внутри подсистемы обобщенных сил, а их появление означает нарушение симметрии, поскольку силы являются векторными величинами.
Отметим, что динамика упругих дисков также подчиняется уравнению (7), если исключить из него потенциальную энергию. Как в системах упругих дисков, так и в системах потенциально взаимодействующих элементов, природа необратимости одинакова. Она обусловлена трансформацией энергии относительного движения подсистем в связанную энергию за счет работы обобщенных сил.
4. Классическая механика и термодинамика
Рассмотрим взаимосвязь классической механики с термодинамикой. Наличие двух инвариантов движения Е1т и Т'г, а также характер их трансформации при
взаимодействии систем, определяемый уравнением (7), позволяют заметить глубокую аналогию между уравнением (7) и основным уравнением термодинамики [2, 3]: ёЕ = dQ -PdY. Здесь, в соответствии с принятой терминологией [2], Е -внутренняя энергия подсистемы, Q -тепловая энергия, Р - давление, У -объем.
Изменение энергии выделенной подсистемы обусловлено работой внешних сил. Поэтому изменению полной энергии подсистемы соответствует ёЕ .
Изменение кинетической энергии движения подсистемы как целого соответствует величине РЖ. Действительно, йТ* = УйУ = уУвИ = У&г = РЖ.
Рассмотрим, чему соответствует изменение связанной энергии подсистемы. Из теоремы о вириале следует, что если потенциальная энергия является однородной
функцией второй степени от всех радиус-векторов, то Егт =2 Тгт =2 и1Ш. Черта означает усреднение по времени. Мы показали, что связанная энергия подсистемы увеличивается за счет энергии Т'г. Но обратный процесс невозможен. Поэтому энергии Е1т можно поставить в соответствие величину Q.
Рассмотрим систему вблизи равновесия. Пусть выбранная подсистема состоит из N т элементов. Тогда средняя энергия каждого элемента, Т0= Егт/Nm. Пусть Егт увеличивается на dQ . С учетом теоремы вириала с точностью до членов первого порядка малости будем иметь: dQ « Т0п[йЕ1т/Т0п]= Т0п[dv/v0], где v0- средняя скорость
элемента, а dv -ее изменение. Так как подсистема находится вблизи равновесия, то dv / v0~ dГm /Гт, где Гт - фазовый объем подсистемы, а dГm - его увеличение за счет поступления в подсистему энергии dQ. Пренебрегая членами второго порядка малости, получим: dQ « к Е™ dГm /Гт = к Егт d1п(Гщ), где Т01п = кЁгт. Но по определению [2, 3] d 1п(Гщ )= dS'm, где Sгm- энтропия подсистемы. Отсюда следует, что в близи равновесия dQ «к EгnsdSг"s. Т.е. увеличение Егт пропорционально увеличению средней кинетической энергии ее элементов на величину Тг0тdSгns ~TdS .
5. Связь обобщенных сил с энтропией.
Рассмотрим связь обобщенных сил с энтропией. Согласно формуле (5), величина энтропии неравновесной системы, состоящей из равновесных подсистем, определяется связанной энергией. Связанная энергия увеличивается за счет энергии относительного движения подсистем. С течением времени относительные скорости подсистем, а значит, обобщенное поле сил, обращаются в ноль, энергия относительного движения подсистем переходит в связанную энергию и система приходит к равновесию. Поэтому отклонение энтропии системы от ее равновесного значения будет определяться формулой [15-17]:
^=2 212 ^} (8)
1=1 ^Е к=1 5 J
Ещ -кинетическая энергия элементов подсистемы. Число элементов у всех подсистем равно щ1 , Я - количество подсистем; 5- внешние диски, сталкивающиеся с к диском
вдоль всей траектории.
Интегрирование в (8) выполняется до тех пор, пока поле обобщенных сил не обратится в ноль. Это эквивалентно обращению в нуль энергии относительного движения всех подсистем. Т. е. интеграл в (8) определяется энергией относительного движения подсистем, которая преобразуется в связанную энергию, Это соответствует феноменологическому определению энтропии Клаузиуса [3].
Формула (8) согласуется с формулой (5) для энтропии. Действительно, если я дS
Е\т >> Т{г, то dS = 2=1—^Т^, что соответствует (8). Как в (5), так и в (8) прирост
дТ1
энтропии определяется изменением энергий относительного движения подсистем.
Таким образом, уравнение (8) связывает динамический параметр - действующую на подсистему силу, с термодинамическим параметром - энтропией. Т.е. она устанавливает связь между параметрами классической механики и термодинамическими параметрами,
такими, как энтропия. Отсюда следует, что отклонение системы от равновесия характеризуется отношением энергии относительного движения подсистем к полной энергии системы.
Заключение.
Основное противоречие между классической механикой и термодинамикой состоит в том, что все Гамильтоновы системы обратимы, в то время как в термодинамике имеет место второй закон об увеличении энтропии. Изучение этого противоречия нами был начато с анализа динамики неравновесных систем жестких дисков. Оказалось, что описание их динамики невозможно без учета обмена энергиями между подсистемами. Чтобы учесть этот обмен, было получено обобщенное уравнение Лиувилля.
Из обобщенного уравнения Лиувилля следует, что необратимость возможна при условии непотенциальности сил взаимодействия подсистем. Таким образом, задача обоснования необратимости свелась к выяснению вопроса о характере сил взаимодействия подсистем. Чтобы найти эти силы, было получено уравнение движения для подсистем, состоящих из потенциально взаимодействующих элементов. Из него следовала непотенциальность сил взаимодействия подсистем в неравновесных системах. Все это позволило предложить следующий механизм необратимости.
Подсистемы в неравновесных системах обладают относительным движением. Энергия относительного движения в результате работы обобщенных сил преобразуется, как в потенциальную энергию, так и в связанную энергию подсистем. Процесс увеличения связанной энергии идет за счет увеличения энергии элементов подсистемы, определяемой их относительными скоростями. Это увеличение обусловлено бездиссипативным перераспределением энергии относительного движения подсистем между их элементами. Такое перераспределение необратимо. Его необратимость объясняется невозможностью увеличения скорости движения подсистем за счет их связанной энергии. Преобразование энергии относительного движения подсистем в связанную энергию идет до полного исчезновения кинетической энергии относительного движения подсистем. Т. е. вся энергия движения подсистем идет на увеличение энтропии.
Предложенный механизм необратимости получен только в рамках законов классической механики, а используемая модель имеет место в реальном мире. Взаимодействия элементов систем друг с другом является определяющим для процесса установления равновесия. Поэтому этот механизм не применим для идеального газа и броуновских частиц, поскольку в этих системах установление равновесия определяется взаимодействием элементов системы с внешней средой, а не между собой [23, 24].
Таким образом, ключевые положения в решении проблемы взаимосвязи классической механики и термодинамики заключаются в следующем. В неравновесных системах обобщенные силы взаимодействия подсистем непотенциальны. Работа этих сил приводит к увеличению связанной энергии. Увеличение связанной энергии подсистем происходит в результате такого изменения функции распределения скоростей элементов системы, при котором уменьшается скорость относительного движения подсистем.
Взаимосвязь классической механики с термодинамикой вытекает из уравнения движения для подсистем.
Список литературы:
1. Cohen E.G. D. Boltzmann and statistical mechanics. Dynamics: Models and Kinetic Methods for Non-equilibrium Many Body systems. NATO Sci. Series, Series E: Applied Sciences-Vol. 371, p. 223.
2. Landau L.D, Lifshits Ye. M. Statistical Physics. Moscow, 1976, .
3. Rumer Yu.B, Ryvkin M. Sh.. Thermodynamics. Stat. Physics and Kinematics. M., Nauka, 1977, 552 p.
4. Gibbs J.W. Elementary principle in statistical mechanics. Yale University press. New Haven, 1902.
5. Sinai Ya.G. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1996, l5, p.1137
6. Lebowitz J.L. // Phys. Today. Sept. 1999, p.32.
7. Prigogine I. From the being to becoming. М. 1980, 343 p.
8. Lanczos C. The variation principles of mechanics. University of Toronto press. 1962, 408 p.
9. Арнольд B. Математические методы классической механики. М.: Мир, 1976, 378 p.
10. Zaslavsky G.M.. // Physics Today. August. Part 1, 1999, p.39.
11 .Tsallis C, Baldovin F., Cerbino R.., Pierobon P. // Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics and Thermodynamics, InternetPreprintarXiv:cond-mat/03094093, (2003), 4 Spt, 24 p.
12. Canessa E. // Possible Force-Entropy Correlation. Internet Preprint arXiv: cond-mat/0403724, v.1, 30 Mar., 2004, 7 p.
13. Klimontovich Yu.L. Statistical theory of the open system. Moscow. Yanus. 1995, 476 p.
14. Somsikov V.M., Matesov D. S. // Izv. MON RK. Ser. Phys., 2001, №4, p. 92.
15. V.M. Somsikov. // AIP, 20, 2002, p. 149.
16. Somsikov V.M. // The approach to the analysis of the dynamic of non-equilibrium open systems and irreversibility. Internet Preprint arXiv: cond-mat/0311185, v.1 8 Nov., 2003, 11p.
17. Somsikov V.M. // Int. Jour. Bifurc. And Chaos V.14, No 11, 2004, p. 1.
18. Tarasov V.E. // Classical Canonical distribution for dissipative Systems. Internet Preprint arXiv: cond-mat/0311536, v.1, 24 Nov., 2003, 6 p.
19. Hooft T.G. //. Sci. American, June 1980, v 242, p. 90.
20. Кадомцев Б.Б. // УФН. Т.173, № 11, 2003, с. 1221.
21. Somsikov V.M. // JPEOS, V. 6, Т.1, 2004, p. 49.
22. Lifshits Ye.M., Pitaevsky А.Р Physical kinetics. Moscow, 1979, .
23. Эйнштейн А.Э., Смолуховский М.. Брауновское движение. Сборник статей. ОНТИ, 1936, 276 p.
24. Смолуховский М. Границы справедливости второго начала термодинамики // УФН. Т.93. вып. 4, с. 724.
