О некоторых свойствах границ надэквидистант Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

И.В. Поликанова

О некоторых свойствах границ надэквидистант

В евклидовом гг-мерном пространстве для любых двух точек X и У обозначим: [ХУ) -луч с началом X, проходящий через У, [ХУ] -отрезок с концами X и У, \ХУ\ - его длину. Используем также обозначения: МС, с1С, дС, СС, СопуС соответственно для внутренности, замыкания, границы, дополнения и выпуклой оболочки множества С; в случае конуса считаем, что МС и СС включают еще и вершину конуса С, т.е. сами являются конусами.

Пусть - замкнутое множество, рр (X) -расстояние от точки X до рр (X) = М \ХУ |. Проекцией точки X на назовем всякую точку У £ -Р, для которой \ХУ\ = рр (X). Если У - проекция точки X на то луч [ХУ) назовем проектирующим для точки X. Обозначим через N (X) выпуклую оболочку всех проектирующих лучей точки X, через Т (X) - полярный к нему конус. Если X ^ Р, то N (X)-непустое множество.

Пересечение конуса К с шаром радиуса а с центром вершине конуса К назовем конусом высоты а эквивалентным К и обозначим А", с исключенной вершиной - Кд .

Сумму Минковского множеств и С относительно выделенного в пространстве полюса обозначим х С. Если С = Ка, а полюс - вершина конуса Ка, то сумма Минковского х Ка называется конус-цилиндром над множеством Р.

Для замкнутого непустого множества и любого положительного числа г определим множества

Рг = {Х\рр (X) = г},

Р+ = {Х\рр {Х)>г}, р-={Х\0<рр (Х)<г},

которые назовем соответственно эквидистантой, надэквидистантой и подэквидистантой множества Р. Для достаточно малых г все они непусты. Очевидно <9_РГ+ = С дР~.

Точку I £ ^ назовем неособой, если она не содержится в выпуклой оболочке своих проекций. В случае неособой точки X конус Т (X) гг-мерный.

Лемма. Пусть В - строго выпуклое тело, 5+ - подмножество границы, состоящее из точек, для которых исходящие из них в направлении вектора 7?" лучи не имеют других общих точек с дВ.

Обозначим через ХУ объединение всех отрезков [МЖ] таких, что М £ 5+ и 7?". Тогда

-г>-

для любого вектора Ь такого, что

t

и

< |7г|, тело В', получающееся из В парал-

содержится в

лельным переносом на вектор Ь

виш.

Доказательство. Если У £ В1 \ В, то существует точка X £ В такая, что Х^ = 1?. Луч [ХУ) пересекает границу строго выпуклого тела В не более чем в одной точке, отличной от X. Пусть Х\ = [ХУ) П дВ (возможно, что Х\ = X ). Тогда Хг £ [ХУ] и луч [ХхУ), сонаправ-ленный с 7?" не имеет других общих точек с дВ. Так как Х^ ТТ и Х^ < Т* < 1^1, то У Е ИЛ Таким образом В' £ В И\У.

Теорема 1. Пусть X - неособая точка множества Для любого замкнутого выпуклого конуса К с вершиной X, содержащегося в ггЛТ (X) , найдется число а > 0 такое , что К" С

Доказательство. Пусть замкнутый выпуклый конус К с вершиной X содержится в ггЛТ (X), К* - полярный к нему конус. По свойствам полярных конусов N (X) = Т (X)* С 1гйК*. Пусть В (X) - шар с центром X радиуса рр (X). Обозначим: 5" = МК*П дВ (X), 5+ = дВ (X) \ 5". Заметим, что дВ (X) П Р С дВ (X) П N (X) С дВ (X) П МК* = 5". Поэтому 5+П Р = 0, т.е. 5+ С СР. Ввиду компактности множества 5+ число а = \ гп/ рр положитель-

ное. Тогда сумма Минковского 5+ х В (где В - шар радиуса а с центром X, который принимаем за полюс), представляющая собой объединение всех шаров радиуса а с центрами в содержится в СР. Поскольку Ка С В, то конус-цилиндр 5+х Ка также содержится в СР. Убедимся, что для всех точек Р £ К" выполнено неравенство рр (Р) > рр (X) .

Пусть Р £ Кд ,В (Р) - образ шара В (X) при параллельном переносе на вектор По лемме В (Р) С В (X) и (5+ х В). Тогда В (Р) П Р С В (X) П Р и (5+ х В) П Р С В (X) П Р и 0 = В (X) П Р.

Заметим, что 5+ есть объединение полусфер, высекаемых на д В (X) замкнутыми полупространствами, каждое из которых ограничено гиперплоскостью, проходящей через точку X перпендикулярно некоторому лучу конуса К и содержит этот луч. Так как шары В (Р) и В (X)

ГЕОМЕТРИЯ И АНАЛИЗ

одного радиуса, то множество В (Р) П дВ (X) лежит по ту же сторону гиперплоскости, проходящей через середину отрезка [ХР] перпендикулярно ему, что и точка Р, а поскольку [ХР) С К, то оно содержится в одной из таких полусфер - в той, что опирается на гиперплоскость, проходящую через точку X перпендикулярно лучу [ХР). Следовательно, В (Р) П дВ (X) С И мы можем записать следующую цепочку включений: В (Р) П F С В (Р) П (В (X) П F) С В (Р) П (дВ (X) Г\ F) = (В (Р) П дВ (X)) ПР С S+ r\F = 0.

Значит, В (Р) С CF. Поскольку шар В (Р) имеет такой же радиус, что и В[Х), равный Pf(X), то отсюда делаем вывод, что рр (Р) > Рр (X). Тем самым доказано, что К" С Рг+.

Теорема 2. Для любой точки X Е Fr и любого замкнутого конуса К с вершиной X, содержащегося в СТ(Х), найдется число а > 0 такое, что Kg С F~.

Доказательство. Так как F - замкнутое множество и J ^ F, то найдется открытый шар В с центром X, содержащийся в CF. Пусть I -произвольный луч конуса К, исходящий из точки X. Поскольку К С СТ(Х), то луч I составляет острый угол с некоторым проектирующим лучом [XY) точки X, где У £ Р. На луче I найдется точка Z столь близкая к X, что Z Е В и угол Z.YZX— тупой. Кроме того, можно указать шар В (Z) с центром Z, такой, что В (Z) С В и для всех точекР Е В (Z) угол ZYРХ -тупой. Тогда для любой отличной от X точки Q Е B(Z), где угол ZYQX - тупой. Следовательно, \QY\< \YX\. Но рр (Q) < \QY\, a \XY\ = Рр (X). Значит

о < PF (Q) < PF {X) (1)

для всех Q Е Conv(B (Z) U X), Q ф X. Пусть /3 - угол между лучом и касательным лучом к шару В (Z), проведенному из точки X; 1р - конус вращения с осью I и углом /3 при вершине (углом между осью I и любой образующей конуса); 1р - эквивалентный ему конус высоты d = \ZX\cos/3. Тогда С Conv(B (Z) U X)

С lp. Поэтому для всех точек Q Е 1р, отличных от X выполняются неравенства (1). Пусть £ - семейство всех определенных таким образом конусов вращения {1р,1 С А'}. Тогда семейство множеств {(intlf3) П дВ | lp Е £} образует открытое покрытие компактного множества К П дВ. Из него можно выбрать конечное подпокрытие, определяемое лучами /i,/2,...,/s. Пусть а 1, 02,..., as - соответствующие им числа, определяющие высоты эквивалентных им конусов /?' таких, что для всех их точек Q, кроме

X, выполняются неравенства (1). Пусть а =

тт(в1, 02,..., а8). Тогда Ка С и для всех

(=1

<3 Е А'о неравенства (1) будут выполнены, т.е. К$ С Р~.

Говорят, что последовательность точек (Х{ ) сходится к точке X вдоль луча I, исходящего из X, если Х{ —)> X и [ХХ{) —>■ I при г —>■ оо. Касательным лучом к множеству Р в его предельной точке X назовем луч с началом в этой точке X, вдоль которого сходится к X некоторая последовательность точек множества Р. Объединение всех касательных лучей к Р в точке X называется контингенцией множества Р в точке X и обозначается СгйдхР ■

Теорема 3. Для любой неособой точки X Е Рг СпгдхР+ = Т(Х), СпгдхР- = с1СТ(Х), СпгдхРг =дТ(Х).

Доказательство. Поскольку X - неособая точка, то конус Р (X) —гг-мерный. Пусть к - произвольный исходящий из X внутренний луч конуса Т(Х). По теореме 1 найдется точка 2 Е к такая, что все точки отрезка \Х2\ , кроме X, содержатся в Р+. Следовательно, к С СгйдхРг+ и включение ггй Т (X) С СгйдхР^ доказано. Так как СгйдхР^ - замкнутый конус, то Т (X) С СгйдхР^ ■ Пусть луч I с началом X содержится в СТ(Х). Тогда при некотором /3 > 0 конус вращения 1р с осью I и углом /3 при вершине содержится в СТ(Х), и по теореме 2 найдется число а > 0 такое, что эквивалентный ему конус 1р содержится в Рг~. Все члены любой последовательности точек, сходящейся к X вдоль луча I, начиная с некоторого номера попадают в 1р, а значит, в Рг~. Поэтому не существует последовательности точек из Р+, сходящейся к X вдоль луча I. Значит, луч I не содержится в СгйдхР^ ■ Тем самым установлено включение СгйдхРг+ С Т(Х). Таким образом, первое равенство доказано. Второе доказывается аналогично. Так как Рг = (с/Р+) П (с/Р") и, учитывая, что континген-ция множества в его предельной точке совпадает с контингенцией замыкания этого множества, можем записать С^дхРг С Сп1дх (с

/Р+) П

Спгдх (с/Р") = СпЦхР+ П С^дхР~ =Т(Х)П с1СТ (X) = дТ (X). Проверим обратное включение. Пусть I - произвольный луч с началом X, содержащийся в дТ(Х). Тогда можно указать две последовательности лучей (ш8- С 1гйТ (X)) и [щ С СТ (X)) с началом X, сходящиеся к лучу I при г —>■ оо. Зададим последовательность положительных чисел (ег), сходящуюся к нулю при г —>■ оо. По теореме 1 на каждом луче ш8- найдется точка Х{ такая, что рр (Х{) > рр (X) = г и

\ХХ{ | < £{, а на каждом луче щ по теореме 2 найдется точка У{ такая, что рр (У{) < рр (X) = г и \ХУ{ \ < ег .В силу непрерывности функции рр на каждом отрезке найдется точка Z^ такая,

что рр (7ц) = г, г = 1,2,... и последовательность

сходится при г —)> оо к точке X вдоль луча I. Значит, I С СгйдхРг, включение дТ (X) С СгйдхРг доказано, а вместе с ним и равенство С^дхРг = дТ{Х).