Сильное условие Шоке для конусов в пространстве функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

which is impossible. Therefore

\\p !U = supA !p(z)! _

< supPm \p(z) \ = limm^ supPm \pa,(z)\

< ™ lim^ l(r%) ■ lirnm^ suppm \f (z)\

< KA ■ lA ■ supA \f (z)\ = KA ■ lA -\\F\U .

Thus the operator L2 : (0A,p) ^ (0A,p) is The theorem is proved. □

References

1. Gunning, R.C.R., Rossi, H. Analytic functions of several complex variables (Russian).

- Moscow, Mir (1969) (transl. from English edition: Prentice Hall 1965).

2. Schaefer, H.H. Topological vector spaces (Russian). - Moscow, Mir 1971 (transl. from English edition: New York, Maemillan 1966; New York, Heidelberg, Berlin, SpringerVerlag 1971).

3. Smirnov, E.I. Hausdorff spectra in functional analysis. - Springer-Verlag, London, 2002.

- 209 p.

4. Smirnov, E.I. On the Hausdorff limit of locally convex spaces (Russian). Editorial Board of the Sibirsk. Mat. Z. Novosibirsk 1986. - Dep. VINITI, 25.12. 86, 2507-B.

Ю.В. Бондаренко

СИЛЬНОЕ УСЛОВИЕ ШОКЕ ДЛЯ КОНУСОВ В ПРОСТРАНСТВЕ

ФУНКЦИЙ

В настоящей статье приведены некоторые теоремы о представлении конусов в пространстве функций на (0;?). Эти конструкции навеяны, с одной стороны , классической теоремой Каратеодори-Минковского о представлении элементов конуса через крайние точки , а с другой стороны, - конструкциями из работ, посвященных операторному представлению конусов убывающих и вогнутых функций в весовом пространстве.

Ключевые слова: конус в пространстве функций, крайние лучи, весовые пространства, конуса убывающих и вогнутых функций.

Ju.V.Bondarenko

STRONG CONDITION SHOKE FOR CONES IN SPACE OF FUNCTIONS

Some theorems about representation of cones in function spaces on (0;?) are considered. We use the classical Karatheodorv - Minkowski theorem about representation of cone elements by extremal points and operator representation of cones of monotone and concave functions in weight spaces.

Key words: cones in function spaces, extremal points, weight spaces, cones of monotone and concave functions.

В настоящей статье приведены некоторые теоремы о представлении конусов в пространстве функций на (0;+то). Эти конструкции навеяны, с одной стороны, классической теоремой Каратеодори-Минковекого о представлении элементов конуса через крайние точки, а с другой стороны, - конструкциями из работ, посвященных операторному представлению конусов убывающих и вогнутых функций в весовом пространстве Ьр(1и) и построениями из работ [2, 5, 6, 7].

Сначала сформулируем классическую теорему Минковекого,

Теорема 1. Пусть X - компактное выпуклое подмножество конечномерного векторного пространства Е и х - элемент из X. Тогда х есть конечная выпуклая комбинация крайних точек X, т.е. для, каждого х существуют крайние точки х1,х2, ...,хи и неотрицательные числа ..., ^к такие, что выполнены соотношения

Позднее Каратеодори усилил теорему Минковекого в конечномерном случае, связав число крайних точек в представлении (1) с размерностью исходного пространства. Приведем теорему Каратеодори [3].

Теорема 2. Пусть X - компактное выпуклое подмножество п-мерного векторного пространства Е и х - элемент из X. Тогда х есть конечная, выпуклая комбинация не более чем, п + 1 крайней точки X.

Пример симплекса в Яп показывает, что число п +1 уменьшить нельзя.

Бесконечномерный аналог теоремы Минковекого известен как теорема Крейна-Миль-мана, которая в современном виде выглядит так.

Теорема 3. Пусть Е - локально выпуклое пространство. Тогда, каждая точка компактного выпуклого подмножества X С Е есть центр тяжести вероятностной меры на X, сосредоточенной на замыкании крайних точек X.

Классическая эквивалентная формулировка теоремы 3, не содержащая понятия центра тяжести вероятностной меры, имеет вид.

Теорема 3'. Если X - компактное выпуклое подмножество локально выпуклое пространства Е, то X совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Сейчас мы приведем один из наиболее известных примеров применения теоремы Крейна-Мильмана.

Напомним [4], что вещественная функция на интервале (0, то) называется вполне монотонной, если она бесконечно дифференцируема и для ее производных /(0\Ь), /(1)(£), ,,,, {(га)) (£),,,, выполняются соотношения: для каждого п Е N и для всех 0 выполняются неравенства (—1)га/(га) (¿) > 0.

Примерами вполне монотонных функций являются функции f (¿) = х-а,д(Ь) = е-ах,

Очевидно, что множество вполне монотонных функций, удовлетворяющих условию Иш^+0/(¿) < то, образует конус, который мы обозначим через К (В). Как показано в [4], крайние лучи конуса К (В) будут порождены функциями / (х) = е~ах, (а > 0). Следующая теорема о представлении принадлежит С.Н. Бернштейну [4]. Обозначим через [0, то] одноточечную компактпфнкацпю полуинтервала [0, то).

к

к

(1)

(а > 0).

Теорема 4. Если функция £ вполне монотонна на (0, то), то существует единственная борелевская, мера, ^ на [0, го], такая, что для, л,юбого х > 0 справедливо равенство

/ (х)= е-ах(1р(а). ио

Г. Шоке нашел широкое обобщение теоремы Крейна-Мильмана, Следующая теорема является ее обобщением.

Теорема 5. Предположим,, что X - метризуемое компактное выпуклое множество локально выпуклого пространства Е и х0 Е X. Тогда, существует вероятностная мера ^ на, X, представляющая х0 и сосредоточенная на крайних точках X.

Исходя из формулировок теорем 1-5, имеют смысл следующие определения.

Основная задача, которая будет рассмотрена в этом параграфе, имеет следующий вид. Пусть К некоторый конус в пространстве функций на (0, го).

Определение 6. Пусть задан конус К. Будем говорить, что конус К обладает сильным условием Шоке, если для, каждой f Е К найдется своя последовательность функций [хг Е ех(Ктакая, что выполнены следующие соотношения:

существует константа с > 0, не зависящая от f Е К, такая, что для, всех Ь Е (0, го) выполнено неравенство

оо

с-1!(г) агх() < с!(г), (2)

—те

существует константа с(р) > 0, не зависящая от f Е К, такая, что для, всех р Е [1, го) выполнены неравенства

оо

с-1шiт < (£ кпы^т)1/р < c(P)\\f\l*||. (3)

—Ж

Напомним, что весом называется положительная измеримая функция w : R+ ^ R+, а норма в весовом пространстве Лебега определяется с помощью формулы

\\/\LPW\\ = ( if(t)\pw^(t)dt)1/p, \\f|L(\\ = ess sup w(t)\f(i)|. Jo 0 <i<(

Определение 7. Пусть задан конус К. Будем говорить, что конус К обладает сильным условием Шоке с весом,, если, для, каждой f Е К найдется своя последовательность функций [xi Е ех(Ктакая, что выполнены следующие соотношения:

существует константа с > 0 не зависящая от f Е К, такая, что для, всех t Е (0, го) выполнено неравенство

Ж

c-1f (t) < ^ агх() < cf (t), (4)

-(

существует константа с(р) > 0, не зависящая от f Е К, такая, что для, всех

р Е [1, го) и для, любого веса, w выполнены неравенства

(

c-1(p)\\f\К\\ < (£ Ы'ЫЦ,Г)1/р < c(p)\\f\LPW\\. (5)

Конечно, еелн конус удовлетворяет сильному условию Шоке с весом, то он удовлетворяет сильному условию Шоке. Ниже мы покажем, что обратное утверждение неверно.

Определения 6-7 сформулированы для всех элементов конуса, хотя в различных задачах анализа требуется выполнение условий не на всем конусе, а на некотором его подмножестве. Поэтому имеют смысл следующие модификации определений 6-7.

Определение 6'. Пусть задан конус К. Будем говорить, что подмножество М0 конуса К обладает сильным, условием, Шоке, если для каждой f € М0 найдется своя последовательность функций {xí € ех(К)}(,, такая, что выполнены следующие соотношения:

существует константа с > 0 не зависящая от f € М0, такая, что для, всех Ь € (0, то) выполнено неравенство

Ж

с"7(г) < ^агх() < с/(г), (6)

-(

существует константа с(р) > 0, не зависящая от f € М0, такая, что для, всех р € [1, то) выполнены неравенства

(

с-1т/\т < (£ кпы^г< ф)ц/\и>ц. (7)

-(

Определение 7'. Пусть задан конус К. Будем говорить, что подмножество М0 конуса К обладает сильным, условием, Шоке с весом,, если, для, каждой f € М0 найдется своя последовательность функций {хг € ех(К)}(СЖ), такая, что выполнены следующие соотношения:

существует константа с > 0, не зависящая от f € М0, такая, что для, всех Ь € (0, то) выполнено неравенство

(

с"7(г) < ^агх() < с/(г), (8)

-(

существует константа с(р) > 0, не зависящая от f € М0, такая, что для, всех

р € [1, то) и для, любого веса, т выполнены неравенства

(

с-1(РШ\К| < (£ Ы^ЫКГ)1/р < Ф)\Ц\Ь11|. (9)

— Ж

Рассмотрим несколько примеров.

Зафиксируем последовательность множеств И = {И^}°=1. Для определенности мы будем считать, что эти множества принадлежат Я+.

По набору множеств И = {Иг }(=1 построим конус К (О), элементами которого будут функции вида f (¿) = ^(=1 СгХ^г), ГД6 ЧПСЛОВаЯ ПОСЛвДОВаТвЛЬНОСТЬ {Сг}°=1 является неотрицательной.

Лемма 8. Пусть для системы, множеств выполнено условие: для каждого

] € N для, любого подмножества 3 С N выполнено соотношение

х(о3 ) = £ Х(Ог). (10)

гeJ

Тогда, все крайние лучи конуса К (И) порождены функц иями Хг = х(^г)-Доказательство этой леммы очевидно.

Лемма 9. Пусть для системы множеств {А}^ для, любого г € N выполнено условие

) = 0. (11)

Зафиксируем две функции

ж ж

/с(г) = ^ ¿0,гХ(Ог), ¡1(1) = ^ ¿г,хт

г=1 г=1

Если, для, некоторой константы с > 0 при вс ех Ь € выполнены неравенства

С<Ж <с-1 (12)

Ш) <с ' (12)

(здесь мы считаем, что С = 1),

то при каждом г € N выполнено неравенство

с < —— < с . (13) «М

Доказательство. Зафиксируем г € N и выберем теперь точку и € А\(и^з). Тогда из (11) следует, что справедливы равенства

Поэтому из (12) следует (13). Лемма доказана.

Теперь мы готовы привести пример конуса, удовлетворяющего сильному весовому условию Шоке.

Теорема 10. Пусть си,стем,а, множеств {Ог}Ж=1 является, дизъюнктной, т.е. П = 0 для г = Тогда, конус К (И) удовлетворяет сильному весовом,у условию Шоке. Доказательство. Сразу же отметим, что из дизъюнктности системы множеств {^г}Ж=1 следует, что эта система удовлетворяет условию (11) и поэтому для конуса К (И) выполнено утверждение леммы 8.

Поскольку система множеств {Дг}°=1 дизъюнктна, то крайние лучи конуса К (И) порождены функциями х(^г).

Итак, зафиксируем функцию f € К (И). Пусть построена фу нкция ¡(Ь), для которой выполнены условия:

ж

№=> МШ

г=1

с<1(1 <с-1. (14)

Покажем, что выполнены неравенства

ж

с-1||/| < (£ Г)1/р < 4!||. (15)

г=1

Во-первых, из днзъюнктности системы множеств (Дг}°=1 следует равенство

те

ИЫ || = (£ ЦЬкШЦ,, Г)1/р. (16)

г=1

Во-вторых, из соотношения (14) следует неравенство

с-1Ц№ш|| < ||/№|| < ИМ||. (17)

Из соотношений (16) и (17) следует (15). Теорема доказана.

Приведем теперь пример конуса К (О), который не обладает сильным условие Шоке с весом.

Теорема 11. Пусть система множеств (Diудовлетворяет условию (10) и для, любого п € N выполнено условие

те^П^А) > (1> 0.

Тогда, конус К (И) не удовлетворяет сильному весовом,у условию Шоке.

Доказательство. Для каждого п € N выберем подмножество ип С П™=1Д» так, чтобы выполнялось условие

тез(ип) = шт(^, 1} (18)

и положим

п 1

= c■P(n), (19)

¿=1

{1, если Ь € ип, если Ь /ип,

где положительная функция Уо удовлетворяет соотношению

/ уК^ЛЪ < тев(ип). (20)

Определим функцию /п € К (И) равенством

' 1

г=1 1

Пусть построена функция }(£), для которой выполнены условия:

т = ЕЪгХШ С<™ <с-1. (21)

г=1 !(Ч

Тогда из леммы 9 следует, что при всех г = 1,п выполняются неравенства

Ьг

с < < с-1. (22)

Тогда

\\Ып || = ( I Е ЬгХ(Пг)\Р<№У/Р

'}к+ г=1

„ п „ п

( I Е ЬгХ(Вг)\Р< т + I Е ЬгХШРыП (1)(И)1/р =

*ип г=1 ^ к+\ип г=1

п „ п

(тез(и,п )| Е Ьг\Р + I Е ЬгХ^г )|р< т)1/р. (23)

г=1 ¿я+\ип г=1

Поэтому из (21 - 23) следуют неравенства

с(те8(ип)Ср(п))1/р < \\/|^\\ <

с-1(тез(ип)Ср(п) + Ср(п) [ <(г)(И)1/р <

¿П+\ип

с-1(2тез(ип)Ср(п))1/р

или

сС(п)(тез(ип))1/р < \\Т\Ь1п\\ < с-121/рС(п)(тез(11п)1/р. (24)

С другой стороны, выполняется соотношение

п п Г.

(Е \\сгх(т^\\р)1/р = (Е^ / <т)1/р =

=1 =1

(Е $(1 < т + i < т))1/р

г=1

ип

Поэтому

(Е ср(тез(ип)+ трп (1Щ)1/р.

г=1 ¿Пг\ип

с(те з( (1п)1/рСр( п) <

(Е \\сгХШК\\р)1/р < с-121/рСр(п)(тез(Ип)1/р. (25)

=1

Поскольку

lim С(п) = то,

П^-Х

а при р > 1 выполняется неравенство

lim Ср(п) < то,

то из (24) и (25) следует, что сильного условия Шоке с весом не может быть. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Бережной, Е.И. О представимости некоторых конусов в L^ и экстраполяции операторов на конусах [Текст] / Е.И. Бережной, Л. Малигранда// Доклады РАН. Сер. математика. - 2006. - Т. 406. - С. 1-4.

2. Берг, И. Интерполяционные пространства. Введение [Текст] / Й, Берг, Й, Лефстрем.

- М.: Мир, 1980.

3. Бренстед, А. Введение в теорию выпуклых многогранников [Текст] / А. Бренстед.

- М.: Мир, 1988.

4. Фелпе, Р. Лекции о теоремах Шоке [Текст] / Р. Фелпс. - М,: Мир, 1968.

5. Sawyer, Е.Т. Boundedness of classical operators in classical Lorentz spaces // Studia Math., 1990. - V. 96. - P. 145-158.

6. Heinig, H., Maligranda, L. Weighted inequalities for monotone and concave functions // Studia Math., 1995. - V. 116. - P. 133-165.

7. Gol'dman, M.L., Heinig, H.P., Stepanov, V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces 11 Can. J. Math., 1996. - V. 48. - N 5. - P. 959-979.

М.А. Башкин

ЧЕТНО-ОДНОРОДНЫЕ НЕРАСЩЕПИМЫЕ СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ

С РЕТРАКТОМ СР^З! ПРИ к > 3

В статье содержится классификация четно-однородных нерасщепимых супермногообразий, связанных с комплексной проективной прямой, ретракт которых определяется голоморфным векторным расслоением с сигнатурой СР^+^з! щи к > 3.

Ключевые слова;четно-однородное нерасщепимое супермногообразие, ретракт, голоморфное векторное расслоение, сигнатура, голоморфное векторное поле.