Контиигепция порядков в однородных аффинных многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2015. №2(34). С. 5-15

УДК 512.81+512.545

контингенция порядков в однородных аффинных многообразиях

А.К. Гуц

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] Г.Б. Гольдина

студентка, e-mail: [email protected]

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Аннотация. Доказан слабый вариант теоремы Александрова о континген-ции для однородных аффинных многообразий.

Ключевые слова: Порядки, аффинная структура, однородное аффинное многообразие, контингенция.

Введение

Исследования связно упорядоченного аффинного пространства An, n > 2, в случае порядка P, инвариантного относительно группы параллельных переносов, привели, благодаря работе А.Д. Александрова [1], к полному описанию группы порядковых автоморфизмов Aut(V).

Аналогичный результат был достигнут при изучении порядка, инвариантного относительно основной аффинной группы Ли [2,3].

Основным инструментом этих исследований была теорема о контингенции, с помощью которой изучение порядковых автоморфизмов сводилось к изучению автоморфизмов порядков, задаваемых конусами.

В данной статье дается доказательство «слабой» теоремы о контингенции для упорядоченных связных односвязных разрешимых групп Ли, снабжённых полной левоинвариантной аффинной структурой.

1. Предпорядок, порядок и порядковые автоморфизмы

Определение 1. Предпорядок на множестве M — это семейство подмножеств P = {Px : x Е M}, удовлетворяющее следующим условиям:

01) каждой точке x е M сопоставлено подмножество Px с M;

02) x е Px для любой точки x е M;

03) если у е Px, то Py с Px.

Если Px = {x}, то предпорядок называется нетривиальным. В противном случае — тривиальным.

Вводим отношение предпорядка

x А у ^ у е Px.

6

A.K. Гуц, Г.Б. Гольдиня. Контингенция порядков в однородных...

Полагаем

Р“ = {у е М : у р х}.

Определение 2. Порядок на множестве М — это семейство подмножеств P = {Px : х е М}, удовлетворяющее условиям 01) - 03) определения 1 и дополнительному условию:

04) если у = у, то Px = Py.

Определение 3. Биективное отображение f : М ^ М, удовлетворяющее условию f(Px) = Pf(x) для любой точки х е М, где P — предпорядок в М, будем называть порядковым автоморфизмом, или P-автоморфизмом.

Из определения следует, что обратное отображение f-1 также является P-автоморфизмом, т.е. f-1(Px) = Pf-i(x) для любой точки х е An.

Обозначим через Aut(P) множество всех P-автоморфизмов, а через Autc(V) множество всех непрерывных P-автоморфизмов.

Ясно, Aut(P) является группой относительно операции композиции.

Пусть дан предпорядок P в топологическом пространстве М.

Говорим, что предпорядок P — замкнутый, если все Px - замкнутые множества; предпорядок P — открытый, если все множества Px \ {х} открыты.

2. Инвариантные порядки в An

Пусть на аффинном пространстве An действует группа G преобразований этого пространства.

Определение 4. Порядок P = {Px : х е An}, заданный в An, называется G-инвариантным (или инвариантный относительно группы G), если для любого х е An и любого g е G g(Px) = Pg(x).

Говорим, что группа G преобразований действует на An транзитивно, если для любых х, у е An найдётся g е G такое, что g^) = у. Если для любых х, у е An найдётся единственный элемент g е G такой, что g^) = у, то группа G действует эффективно или просто транзитивно на An.

В случае порядка G-инвариантного относительно просто транзитивной группы G свойства множеств Px точно такие же, как у конкретного множества Pe, взятого в выделенной точке e е An. Поэтому часто можно говорить о свойствах порядка, говоря только о множестве Pe. В силу того, что Px = g(Pe), где х = g(e), g е G, видна определяющая роль множества Pe при задании порядка P. Будем в таком случае говорить, что множество Pe задаёт порядок P.

Будем также писать P вместо Pe.

Определение 5. Порядок P = {Px : х е An}, заданный в An, называется релятивистским, если он инвариантен относительно группы параллельных переносов.

Математические структуры и моделирование. 2015. №2(34)

7

2.1. Конусы

Под конусом в аффинном пространстве An (n > 2) понимается множество точек K, состоящее из лучей — образующих конуса — с началом в точке е, которую называем вершиной конуса.

В случае, когда Рх — конус и Px \ {x} — открытое множество, говорим об открытом конусе.

2.2. Теоремы о контингенции для релятивистских порядков в An

Определение 6. Пусть множество M с An. Контингенцией cont(M, а) множества M в точке а называется конус, составленный из всевозможных пределов лучей /+(а,ж), где x Е M при стремлении x к а. Если а не является предельной точкой множества M, то такого конуса нет. Но тогда можно считать, что cont(M, а) = {а} — «нулевой конус».

Нам нужна

Аксиома A2. Для любых точек x,y Е M таких, что у е Рх, множество РхД\ Ру ограничено.

Пусть P = {Px : x Е An, п > 2} задаёт порядок в аффинном пространстве An. Назовём направленной кривой, исходящей из точки x, образ полуоси [0, то) при непрерывном и монотонном (не убывающем по отношению к порядку на [0, то) и порядку P в An) отображении f : [0, то) ^ An, при котором число О отображается в x. Очевидно, всякая направленная кривая, исходящая из x, содержится в Рх.

Следовательно,

Vti,t2 Е [0, то) (ti < t2 ^ f (ti) Д f (t2) или Pf(t2) с Pf(tl)).

Следующая теорема А.Д. Александрова [1] даёт информацию о «внешнем виде» контингенции:

Теорема 1. Пусть P задаёт предпорядок в An (п > 2) и C = cont(P,e). Тогда

1) C с P и C — замкнутый выпуклый конус.

2) Если P — замкнутое множество, удовлетворяющее аксиоме A2, то C — конус с острой вершиной, совпадающий с объединением S всех направленных кривых, исходящих из точки е.

И, наконец, ответ на вопрос, чем же так хорошо множество cont(Px,x), связанное с порядком P = {Px : x Е An}, дает следующая [1]

Теорема 2. Пусть f : An ^ An, n > 2, — непрерывный P-автоморфизм, P — замкнутый предпорядок, удовлетворяющий аксиоме A2.

Тогда f (Cx) = Cf (x), где C = cont(P, e), для любой точки x е An.

8

A.K. Гуц, Г.Б. Гольдиня. Контингенция порядков в однородных...

3. Аффинные структуры и аффинные многообразия

Пусть Vn n-мерное дифференцируемое многообразие, где n > 1.

Определение 7. Аффинный атлас A на n-мерном многообразии Vn есть совокупность покрывающих Vn локальных карт таких, что любая функция перехода между картами из A продолжается до аффинного преобразования пространства Rn. Максимальный аффинный атлас есть аффинная структура на Vn. Многообразие Vn, оснащённое аффинной структурой, называется n-мерным аффинным многообразием.

Каждая локальная карта аффинной структуры определяет аффинные координаты.

Отображение f : Vn ^ Vk аффинных многообразий Vn, Vk называется аффинным, если оно, будучи выраженным в аффинных координатах, является ограничением аффинного преобразования из Rn в Rk.

Множество всех аффинных отображений аффинного многообразия Vn обозначим через Aff(Vn).

На аффинном многообразии Vn имеется естественная линейная связность V с нулевой кривизной и кручением: в аффинных координатах она является стандартной связностью на Rn. Ковариантное дифференцирование относительно V в Vn отвечает обычному дифференцированию в Rn.

Аффинное многообразие полное, если оно геодезически полное (относительно связности V).

Аффинное многообразие Vn полное тогда и только тогда, когда оно представимо в виде Rn/r, где Г подгруппа аффинных преобразований, действующая свободно и вполне разрывно на Rn [4, с.61].

Геодезические аффинного многообразия (Vn, A) относительно связности V будем называть прямыми. Полугеодезическую, исходящую из точки х, именуем лучом с началом х.

Очевидно, образ прямой при аффинной биекции будет всегда прямой. Кроме того, на аффинном многообразии через каждую точку в любом направлении можно провести единственную прямую.

3.1. Однородные аффинные многообразия

Аффинное многообразие (Vn, A) будем называть однородным, если на нем действует транзитивно аффинная подгруппа T с Aff(Vn). Причём, если T связная группа Ли, действующая просто транзитивно на Vn, то T диффеоморфна Vn. Следовательно, T оснащается аффинной структурой, в которой левые сдвиги являются аффинными биекциями. Другими словами, группа T приобретает левоинвариантную аффинную структуру.

Если G вещественная связная односвязная группа Ли, оснащённая левоинвариантной аффинной структурой, тогда G допускает аффинное представление, т.е. существует гомоморфизм

а : G ^ Aff(Rn).

Математические структуры и моделирование. 2015. №2(34)

9

Причём a(G) сохраняет область D(G) С Rn и действует транзитивно на ней [5].

Обратно, если dim G = n и a : G ^ Aff(Rn) аффинное представление, имеющее открытую орбиту, тогда можно оснастить G единственной левоинвариантной аффинной структурой [5].

При изучении вещественных связных односвязных групп Ли G с левоинвариантными аффинными структурами, которые являются полными, полезно иметь в виду, что группа a(G) действует просто транзитивно на Rn. Известно, что при этом G должна быть разрешимой, и можно изучать вместо аффинной геометрии на G фигуры аффинной геометрии на Rn, но инвариантные относительно группы a(G).

Предложение 1. Пусть группа Ли G оснащена полной левоинвариантной структурой. Каждая прямая есть однопараметрическая подгруппа группы Ли G тогда и только тогда, когда каждая однопараметрическая подгруппа есть прямая.

Доказательство. Пусть каждая прямая есть однопараметрическая подгруппа группы Ли G является прямой. Докажем, что каждая однопараметрическая подгруппа есть прямая.

Предположим, что это не верно. Возьмём однопараметрическую подгруппу (t) с касательным вектором £ в е. В направлении £ проведём прямую L. По условию прямая L является однопараметрической подгруппой. Поскольку в одном направлении двух однопараметрических подгрупп быть не может, то получаем, что ш^(t) = L. Получили противоречие с нашим предположением.

Обратно. Пусть каждая однопараметрическая подгруппа есть прямая, но не каждая прямая является однопараметрической подгруппой. Например таковой является прямая L. Пусть эта прямая проходит через е в направлении £. Выпустим в направлении £ однопараметрическую подгруппу (t). По условию она

является прямой. Поскольку в одном направлении двух прямых не бывает, то L = ш^(t). Получили противоречие с нашим предположением.

Таким образом, предложение 1 доказано.

4. Теорема о контингенции

Рассматриваем связную односвязную разрешимую группу Ли G, оснащённую полной левоинвариантной аффинной структурой. Через е обозначаем единицу группы.

Пусть P = {Px : х Е G} — левоинвариантный порядок на G, т.е.

9(Px) Pg^x.

Определение 8. Контингенцией C = cont(Pe,e) множества Pe в е называется конус, составленный из всевозможных пределов лучей /+(е,х), исходящих из е и проходящих через х, где х е Pe, при стремлении х к е. Если е не является предельной точкой множества Pe, то такого конуса нет. Но тогда можно считать, что con^Pf,^) = {е} — «нулевой конус».

10

A.K. Гуц, Г.Б. Гольдиня. Контингенция порядков в однородных...

Пусть P = {Px : x Е G, dim G > 2} задаёт предпорядок в группе Ли G. Назовём направленной кривой, исходящей из точки е, образ полуоси [0, то) при непрерывном и монотонном (не убывающем по отношению к порядку на [0, то) и порядку P в G) отображении ш : [0, то) ^ Gn, при котором число 0 отображается в е. Очевидно, всякая направленная кривая, исходящая из е, содержится в Pe.

Следовательно,

tl < t2 ^ w(ti) Д ш(^2) или P^) С Pu(ti).

Вещественная конечномерная группа Ли G, для которой экспоненциальное отображение exp : g ^ G, где 0 — алгебра Ли группы G является диффеоморфизмом, называется экспоненциальной.

Любая экспоненциальная группа Ли разрешима и односвязна. Всякая вполне разрешимая группа Ли (в частности, нильпотентная группа Ли) экспоненциальна, если она односвязна '.

Следующая теорема дает информацию о «внешнем виде» контингенции:

Теорема 3. Пусть G, dim G > 2 связная односвязная экспоненциальная разрешимая группа Ли, оснащённая полной левоинвариантной аффинной структурой и каждая прямая которой является однопараметрической подгруппой. Пусть P задаёт замкнутый предпорядок в G, удовлетворяющий условию (А): существует окрестность U точки е такая, что Pe П Pe- П U = = {е}. Тогда

(1) C = cont^e^) С Pe и C — замкнутый выпуклый конус с острой вершиной е.

(2) C содержится в объединении S всех направленных кривых, исходящих из точки е.

Доказательство. (1) Луч контингенции C — это луч l, исходящий из е и содержащийся в C.

Пусть l - луч контингенции. Он является пределом лучей lN = l^,xN),xN е

Е Pe.

По предложению 1 каждый lN = l^,xN) луч является однопараметрической подполугруппой wn(t), t > 0, и xN = wn(t0). Имеем

е Д xn ^ xn Д xn ■ xn = wn(to)iMN(to) = wn(2to) = xN С In П Pe.

Обозначим, k ■ xN = wn(kt0),k = 1,2,.... Тогда получаем, что все точки вида k ■ xN будут принадлежать лучу lN П Pe.

При xN ^ е точки k ■ xN Е Pe сгущаются на лучах lN, и их пределы дают точки луча l, т.е. каждая точка x0 Е l луча l есть предел точек множества Pe. Значит, x0 Е Pe и, следовательно, l С Pe, т.е. C С Pe.

Докажем это. Берём x0 Е l, и пусть w(t) параметризация луча l.

'См. «Математическую энциклопедию».

Математические структуры и моделирование. 2015. №2(34)

11

Имеем ___________________________

l = |w ^m^ : Vm, n > 0 — целые j.

Пусть Ux0 - произвольная окрестность точки х0 и x0 = w(t0). Выберем m,n так, что w(m/n) е Ux0.

Полагаем

/1\ /1\_ /1

w ( — = w — • ... • w — = m • w —

n n n n

m

Так как групповая операция непрерывна, то по окрестности Ux0 окрестность единицы V такую, что

можно найти

m • w ( n ) V С Ux0.

Поясним это. Пусть

a = m • w | — | .

n

Если дан левый сдвиг La : x ^ a • x, то La : e ^ a. Но La — это гомеоморфизм на G и, значит, для любой окрестности Oa существует окрестность единицы V такая, что La(V) С Oa. В нашем случае, a е Ux0. Берём Oa С Ux0. Но тогда

La(V) = a • V = m • w ( - ) Oa С Ux0.

n

Пусть теперь Имеем

wN(t) — параметризация луча lN.

In = {wn (p) : Vp,k > 0 — целые}.

1

12

A.K. Гуц, Г.Б. Гольдиня. Контингенция порядков в однородных...

Берём окрестность Wx0 С Ux0. Существуют числа p(N),k(N) такие, что

что мы и доказывали.

Тем самым мы пояснили, что значит «точки k ■ xN» сгущаются на лучах lN, и тем самым доказали часть первого утверждения теоремы 3.

Выпуклость контингенции следует из работы Э.Б. Винберга [6].

Покажем, что конус C имеет острую вершину е. Предположим, что это не верно. Тогда имеется прямая L С C и е е C. По доказанному выше, L С Pe. По предложению 3 прямая L является однопараметрической подгруппой, т.е. L = u(t),t е R. Рассмотрим луч l = w(t),t > 0 (или t < 0). Это однопараметрическая подполугруппа; для любого t > 0 u(t) У е. Следовательно, u(-t)u(t) У u(-t) и ш(—t) Д е, т.е. ш(—t) е P-.

Поскольку знак t при взятии луча не играет роли, то получаем, что Vtu(t) е Р~ и, таким образом, L С P-. Следовательно, L С Pe П P-. Но

это противоречит условию (А).

Итак, утверждение (1) теоремы доказано.

(2) Докажем второе утверждение теоремы.

Пусть l - луч контингениции. Покажем, что он является направленной кривой. Надо показать, что если x,y е l, то либо x Д у, либо y Д х, либо x = у.

Пусть u(t), t > 0 параметризация луча l и x = u(t1), у = u(t2), t\ < t2.

Тогда, раз l С C С Pe, то x, у е Pe

x ■ l = |^(ti) ■ u(t) : t > 0} = {u(t1 + t) : t > 0} С {w(t) : t > 0} = l.

Так как t2 = t1 + т и l С Pe, то

или

Без ограничения общности считаем, что

Тогда

p(N) ■ xn е Wx0 С Ux0,

у е x ■ l с x ■ Pe = Px^e = Px

x^e

x

т.е. Py С Px, или x Д у. Второе утверждение теоремы 3 доказано. Теорема 3 доказана.

Математические структуры и моделирование. 2015. №2(34)

13

5. Группы Ли, каждая прямая в которых является однопараметрической подгруппой

Приведём примеры экспоненциальных групп Ли, оснащённых аффинной структурой, в которых каждая прямая является однопараметрической подгруппой.

Алгебра Ли g является нильпотентной шага k > 0, где k — целое число, если

bk-10 = {0}, bk g = {0},

где операция bk определяется посредством индукции:

b°0 = 0, bkg = [g, bk-1g].

1. Нильпотентные группы Ли шага 2.

Обозначим exp-1 (x) = X, x е G, X е 0. Если X = i xiXi, где X, — базис в g, то элементу x ставим в соответствие координаты 1-го рода:

G э x ^ (x1, ...,xn) е Rn.

Для нильпотентных алгебр Ли шага 2

Имеем

Поэтому

exp-1(xy) = X * Y = X + Y + -[X,Y].

X * Y = £ xiXi + £ yiXi + - Y, x‘yi[Xi.Xj]

ij

-

E(x‘ + yk +2^4xyj I Xk.

ij

k

(xy)k = xk + yk + - £

2^ cj xV -

ij

Левый сдвиг La(x) = ax записывается в таком случае в виде

-

[La(x)]k = ak + xk + ^ 4aixj

i j

(1)

a ^ (a1,..., an), x ^ (x1 ,...,xn).

Видим, что левые сдвиги задаются аффинными преобразованиями (1). Следовательно, имеем аффинную структуру на нильпотентной группе Ли шага 2.

Прямая ш(к), проходящая через единицу е, в канонических координатах 1-го рода задаётся как

[w(t)]k = tak.

14

A.K. Гуц, Г.Б. Гольдиня. Контингенция порядков в однородных...

Пусть Z = Yli aiXi — направляющий вектор данной прямой. Имеем

u(ti)u(t2) = (t\Z) * (t2Z) = tiZ + ^2Z + 2 [tlZ, t2Z] = (t\ + ^2)Z = w(t\ +12).

Это говорит о том, что прямая является однопараметрической подгруппой. По предложению 1 верно и обратное, т.е. однопараметрические подгруппы являются прямыми.

2. Группа Гейзенберга G3II.

Алгебра Ли g3II группы Гейзенберга задаётся коммутационными соотношениями:

[Xi,X2]=0, [Х2,Хз]= Xi, [X3,Xi]=0.

Имеем

b°0 = 0з II, big = {Xi},

b2g = [03II, big] = {[Xi,Xi], [X2,Xi], [X3,Xi]} = {0}.

Следовательно, алгебра Гейзенберга является нильпотентной шага 2. Поскольку в канонических координатах 1-го рода

[Lx(y)]i = (xy)i = х1 + у1 + 2(жУ - x3y2),

[Lx(y)]2 = (xy)2 = x2 + y2, (2)

[Lx(y)]3 = (хУ)3 = х3 + y3,

то имеем на G3II левоинвариантную аффинную структуру.

Литература

1. Александров А.Д. Отображения упорядоченных пространств // Тр. Математ. ин-та АН СССР. 1972. Т. 128. С. 3-21.

2. Гуц А.К. Отображения упорядоченного пространства Лобачевского // Докл. АН СССР. 1974. Т. 215, № 1. С. 35-37.

3. Гуц А.К. Отображения упорядоченного пространства Лобачевского // Сиб. мат. ж. 1986. Т. 27, № 3. С.51-67.

4. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М. : Наука, 1982.

5. Fried D., Goldman М., Hirseh M. Afflne manifolds with nilpotent holonomy // Comment. Math. Helv. 1981. V. 56, № 4. P. 487-523.

6. Винберг Э.Б. Инвариантные выпуклые конусы и упорядочения в группах Ли // Функ. анализ и его прил. 1980. Т. 14, Вып. 1. С. 1-13.

Математические структуры и моделирование. 2015. №2(34)

15

contingence of orders in homogeneous affine manifolds

A.K. Guts

Dr.Se.(Phys.-Math.}, Professor, e-mail: [email protected]

G.B. Goldina

Student, e-mail: [email protected] Omsk State University n.a. F.M. Dostoevskiy

Abstract. The weak version of the Alexandrov’s theorem for the homogeneous affine manifolds is proven.

Keywords: Orders, affine structures, homogeneous affine manifolds, eontingenee.