CC BY
27
Математические структуры и моделирование 2002, вып. 9, с. 1-5
УДК 519.715
СИММЕТРИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, НЕ ВЫВОДЯЩЕЕ ДИНАМИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ ЗА ПРЕДЕЛЫ
КОНУСА
А.К. Гуц
We study a control dinamic system in IR3 that is symmetric with respect to Lie group G which acts simple transitivelly and affinely in IR3 and linear with respect to control parameters. The purpose is discription of all convex cones in which lies the system trajectory.
Введение
Пусть дана задача оптимального управлення
T
s(x, u)dt
inf
0
при условии, что
x = f (x,u) x(0) = a, x(T) = b
x Є IRn, u Є U C IRr.
(1)
В случае, когда функции s, f линейны относительно u, т.е. s(x,u) = S(x) + Au + a, f (x,u) = F(x) + Bu + b, и множество U является выпуклым многогранником (или выпуклым компактом), то эта задача сводится к следующей [1-3]:
J [x(-)] = J и ^ inf (2)
x() при условии, что
x Є Kx(t), t Є [0,1], (3)
x(0) = a, x(1) = b, (4)
где и - ^^^^^^^^^^адьная 1-форма на n -мерном гладком многообразии X « IRn
Kx выпуклый конус в каждой точке x Є X и лежащий в касательном пространстве TxX.
Таким образом, управление u Є U в виде (1) сводится к управлению в форме задания семейства выпуклых конусов K = {Kx C TxX : x Є X},
© 2002 А.К. Гуц
E-mail: [email protected]
Омский государственный университет
Работа поддержана грантом РФФИ (проект JY4 01-01-00303).
1. Симметричное управление
Группа Ли G действует на многообразии X, если каждому g Є G соответствует диффеоморфизм а(д) : X ^ X такой, что произведению gh отвечает композиция а(д) о a(h) диффеоморфизмов, а единице e Є G - тождественное отображение idX : X ^ X. Иначе говоря, действие G на X - это гомоморфизм а : G ^ Diff (X).
Определение 1. Управление динамической системой (2)-(4) называется симметричным относительно действия группы G, если для любого g Є G
da(g)x[Kx] = K[a(g)](x) (5)
а (g)[w[«(g)](x)] = (6)
Здесь da(g)x - дифференциал диффеоморфизма а(д) в точке x Є X, a a*(g)x : T[a(g)](x)X ^ T*X соответствующий кодифференциал,
2. Упорядоченное симметричное управление
Пусть X и семейство подмиожеетв P = {Px С X : x Є X} задает порядок в X, т.е. выполняются условия:
1) x є Px;
2) если у є Px, то Py С Px;
3) если у = x, то Py = Px,
Мы будем предполагать далее, что X = IRn и группа Ли G действует просто транзитивно на X. Зафиксируем точку а Є X. Тогда имеем диффеоморфизм
р : G = IRn, (7)
р(д) = [а(д)](а), р(е) = [а(е)](а) = а-
Определение 2. Порядок P инвариантен относительно действия группы G (G-инвариантный порядок), если для любой точки x Є X и любого g Є G
a(g)[Px] = PKfl)](x)- (8)
Нетрудно убедиться, что если P G-инвариантный порядок на X, то S =
p-1(Pa) - подполугруппа группы G,
Касательный, объект к S - это множество вида L(S) = {£ Є g : £ = lim n£n, exp £n Є S}, где g алгебра Ли группы Ли G,
Контингенция множества Px в точке x - это совокупность векторов, касательных в точке x к гладким кривым, исходящим из точки x и лежащим в Px. Для контингенции используем обозначение: cont(V,x). Известно, что Kx = cont(V, x) - замкнутый выпуклый конус, л ежащий в TxX.
Ясно,
dpe[L(S)] = Ka и dpg[d(lg)e[L(S)]] = da(g)a[Ka] = Kx, (9)
x = а(д)(а),
где lg : G ^ G левый сдвиг на g.
2
Предложение 1. Пусть подполугруппа S порождает G. Тогда, L(S) = Є 0 : exp(IR+)£ С S}, т.е. exp[L(S)] С S. ■
Мы можем использовать семейство K(P) = {Kx : x Є X},Kx = cont(V,x) в качестве управления для динамической системы (3) ( I).
Определение 2. Управление K(P) называется упорд^оненнши, сели P задает порядок на X,
Предложение 2. Если порядок P инвариантен относителен о группы G, то очевидно, что K(P)-управляем,ая, система, симметрична относительно действия, группы G.
Доказательство. Это очевидно, поскольку из (9) вытекает (5). ■
Предложение 3. Если, порядок P ,Pa = 0, инвариантен относительно группы G, то K(P)-управляемая, система (3)-(4) не выходит за, пределы множества Pa.
Доказательство. Следует из условия 2) в определении порядка, определения контингенции, формул (9) и предложения 1. ■
3. Упорядоченное аффинное управление
Пусть действие группы Ли G на X = IR3 является аффинным, т.е. а : G ^ Aff (R3). Просто транзитивное аффинное действие а порождает полную левоинвариантную аффинную структуру A на самой группе Ли G, Действительно, диффеоморфизм
ф : G = ir3, p(g) = [a(g)}(0, 0, 0) = (x\x2,x3) = x Є ir3,
ф(е) = a = (0, 0, 0) 1 j
можно использовать для задания глобальной аффинной системы координат на G, в которых левые сдвиги lh : G ^ G, lh(g) = hg имеет вид
3
[lh]k(g) = [lh]k(ф-1^1 ,x2,x3)) = Y, Lkx* + Li (k = 1, 2, 3). (11)
i= 1
Предположим, что порядок P в IR3 является коническим,, т.е. состоит из замкнутых выпуклых конусов. Тогда можно отождествить Px = Kx,
Предложение 4. Если порядок P инвариантен относительно просто транзитивного аффинного действия, группы Ли G, то K(P)-управляем,ая, система
(3)-(4) не выходит за, пределы конуса Ka. ■
Поставим задачу описать все конусы Ka в IR3, за которые не выходит K(P)-управляемая система, эволюционирующая в IR3, Данная задача сводится к задаче классификации и описания всех G-инвариантных конических порядков в
3
пространстве IR3 относительно разрешимых1 2 односвязных 3-мерных групп Ли, действующих аффинно и просто транзитивно на IR3, Такое описание содержится в работе [5], а краткая формулировка результата приводится в следующей теореме 1,
Теорема 1. Если G3 не является группой Гейзенберга, тогда, G3 допускает левоинвариантный эллиптический конический порядок относительно полной левоинвариантной аффинной структуры A, содержа,щей канонические координаты 2-го рода. Следовательно, X = IR3 допускаєт G3-инвариантный эллиптический конический порядок. При, этом аффинное просто транзитивное действие а, соответствующее аффинной, структуре A, является, нормальнымі? и строится, на, основе метода Ямагучи [6]. ■
4. Упорядоченное однородное аффинное управление
Если потребовать, чтобы упорядоченное аффинное управление было не только симметричным, но и однородным, т.е. либо внутри (Int-однородноеть), либо на границе, за исключением вершины (S-однородность) конуса Ка, либо вне Ка U К- (ext-однородность) 3 действовала транзитивно аффинная группа Aut(V)а С Aff (IR3), состоящая из порядковых автоморфизмов4, то необходимо найти описание всех однородных аффинных причинных порядков на 3-мерных разрешимых группах Ли, Эта задача решена в статье [8] следующим образом. Пусть Ay - полная левоинвариантная аффинная структура на разрешимой группе Ли G3, которая вводится с помощью метода С,П,Гаврилова [7]. Эта структура определяет естественное просто транзитивное аффинное действие а7 в ГО,3. В статье [7] С,П,Гаврилов описывает aY(G3)-инвариантные лоренцевы метрики в ГО3. Пусть (•, •) - такая метрика. Конус Px С IR3 назовем причинным, если луч из Px исходит в направлении £, лежащем в фиксированной половине касательного конуса Kx = {( : ((,()х > 0}. Порядок P в IR3 называется аффинно причинным, если он состоит из множества эллиптических причинных конусов {Px : x Є IR3},
Теорема 2. Пусть P аффинно причинный порядок относительно аффинной структуры, Гаврилова, AY. Тогда, для, связных односвязных разрешимых групп Ли G3 типа I, VI0, VII0 класса, I (см. [7]) порядок P является, одновременно Int—, д —и ext-однородными. Соответствующие лоренцевы, метрики плоские. Для, остальных 'типов групп Ли порядок P не является, однородным, ни в одном, из указанных выше смыслах.
Доказательство. Дано в статье [8]. ■
1 Разрешимость есть следствие диффеоморфности (7).
2Просто транзитивное аффинное действие а на IR3 и соответствующая аффинная структура на G3 называются нормальными, если а(д) - параллельный перенос для любого д Є T, где T - максимальная абелева нормальная подгруппа группы G3.
3 Здесь K- - конус центрально симметричный Ka относительно точки а.
4 Аффинное преобразование A : IR3 ^ IR3 является порядковым автоморфизмом, если A(Px) = Pa(x) для любой точки x Є IR3.
4
Литература
1. Зеликин M.II. Синтез оптимальных траекторий на пространствах представлений групп Ли // Мат. сб. 1987. Т.132. С.541-555.
2. Зеликин М.И. Необходимые условия для оптимальности особых траекторий в линейной задаче управления // Некоторые вопросы современного анализа / Ред. В.М.Тихомиров. МГУ, мехмат, 1984. С.35-41.
3. Zelikin МЛ. Totally extremal manifolds for optimal control problems // Semigroups in Algebra, Geometry and Analysis (ed. K.H.Hofmann, J.D.Lawson, E.B.Vinberg). De Gruvter Expositions in Mathematics. Berlin, 1995. 368 pp. P.339-354.
4. Винберг Э.Б. Инвариантные конусы и упорядочивание в группах Ли // Функ, анализ и прилож. 1980. Т.14. С.1-13.
5. Абдрахимова Н.Р., Гуц А.К., Грибанова И.А. Описание аффинных конических порядков на трехмерных разрешимых группах Ли // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 15.06.94, N 1467-В94. 35 с.
6. Yamaguchi S. On complete affinely flat structures of some solvable Lie groups. // Mem. Fac. Sci. Kvuchi Univ. 1979. Ser.A33. P.209-218.
7. Гаврилов С.П. Левоинвариантные метрики на разрешимых односвязных 3-меуных группах Ли // Теория относителвности и гравитация (Казани). 1985. Вьш.22. С 31-64.
8. Гуц А.К., Ермакова Е.В. Однородные аффинные причинные порядки на трехмерных разрешимых группах Ли // Ученый совет мат. фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 05.07.93, N 1841-В93. 42 с. 5
5
