Описание однородных аффинных причинных порядков на трехмерных разрешимых группах Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.82

ОПИСАНИЕ ОДНОРОДНЫХ АФФИННЫХ ПРИЧИННЫХ ПОРЯДКОВ НА ТРЕХМЕРНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ ЛИ

Е.В. Мякишева

В статье исследуются однородные аффинные причинные порядки на трехмерных разрешимых группах Ли относительно аффинной структуры С.П. Гаврилова.

Введение

В данной работе ставилась задача исследования однородных аффинных причинных порядковых структур, задаваемых эллиптическими конусами на трехмерных разрешимых группах Ли, снабженных полной левоинвариантной аффинной канонической [5] структурой.

Однородные конусы в n-мерном аффинном пространстве изучались

Э.Б. Винбергом [4]. Он алгебраически описал выпуклые конусы с острой вершиной, внутри которых транзитивно действует группа порядковых автоморфизмов Aut(P). Семейство равных и параллельных конусов {Cx} в An, n > 3, где Cx - множество лучей, исходящих из одной точки х, исследовал А.Д. Александров [3]. Он описал конусы Cx, на которых транзитивно действует группа Г -биекций f: An ^ An таких, что f (Cx) = Cf (x), удовлетворяющая условию: для любых у £ Cx, у1 £ Cx> существует h £ Г такая, что h(x) = X и h(y) = у'.

В настоящей работе рассматривались эллиптические конусы, задающие левоинвариантный аффинный причинный порядок относительно канонической аффинной структуры на трехмерных связных односвязных группах Ли. Проводилось исследование для выявления однородных порядков.

Исследование показало, что на группах Ли G3I, G3VI0, G3VII0 класса 1 (в обозначениях С.П. Гаврилова [5]) аффинный причинный порядок является одновременно int - однородным, д - однородным и ext - однородным. В остальных случаях порядок не является однородным ни в одном из указанных смыслов (Теорема 2).

Получен был также следующий результат. Если через H обозначим группу Ли аффинных преобразований относительно канонической аффинной структуры, сохраняющих изотропные векторы левоинвариантной лоренцевой метрики

Copyright © 2009 Е.В. Мякишева. Омский государственный университет. E-mail: elena-myakisheva@yandex. ru

д на Сз, то в случае групп Ли С311 — 03У11.; класса 1 Н С 1вот(03).1 для групп Ли С31, С3У10, С3У110 класса 1, когда метрика д плоская Н С Нот(С3). В случае групп Ли С311 — С3У, С3У11 класса 2 Н С Нот(С3), Для группы Ли С31У, класса 2 Н С 1вот(С3). Для группы Ли С3У/, Н С Нот(С3), за исключением

д

1. Аффинная структура групп Ли

Пусть Уп обозначает п - мерное дифференцируемое многообразие, п ^ 1, -

п - мерное арифметическое пространство.

Определение 1. Аффинный атлас А на Уп есть совокупность накрывающих Уп локальных карт таких, что каждая функция перехода между картами из А может быть продолжена до преобразования пространства Кп. Максимальный аффинный атлас есть аффинная структура,

Уп

финной структурой.

Каждая локальная карта аффинной структуры определяет аффинные координаты.

Определение 3. Отображение f: Уп ^ Ут, где Уп, Ут - аффинные многообразия, называется аффинным, если в локальных координатах аффинного атласа задается аффинным преобразованием из Еп в Ет.

Уп

себя обозначим через Ай(Уп),

Уп

V с нулевыми кривизной и кручением, в аффинных координатах она является стандартной связностью на Кп.

Аффинное многообразие можно определять через связность следующим образом,

Уп

расслоение реперов многообразия Уп можно ввести линейную связноеть V с тождественно равными нулю кривизной и кручением.

Если связность V полная, то будем говорить о полной аффинной структуре. Геодезические связности V назовем прямыми, полугеодезические - лучами,

Уп д.

Уп

группой аффинных изометрий Т. Следовательно, оснащение однородного Уп (полной) аффинной структурой равносильно оснащению (полной) левоинва-

Т.

что левые сдвиги являются аффинными преобразованиями в рассматриваемых аффинных координатах. Таким образом, в дальнейшем будем рассматривать

лоренцевы разрешимые группы Ли, т.е. группы Ли, оснащенные левоинвариантной лоренцевой метрикой,

В каком случае группа Ли T допускает левоинвариантную аффинную структуру? Согласно гипотезе Дж, Мн.шора [8], таковой является любая разрешимая группа Ли, С, Ямагучи установил, что полную левоинвариантную аффинную структуру допускают разрешимые группы Ли размерности ^ 4 [7],

2. Основные определения и обозначения

Пусть G3 - связная односвязная 3-х-мерная разрешимая группа Ли, снабженная полной левоинвариантной аффинной структурой.

Определение 5. Аффинный причинный конус Kx в G3 есть объединение всех лучей с началом x £ G3, с направляющими век торами £, принадлежащими одной половине касательного конуса {n £ TxG3: gx(n,n) ^ 0} где g -левоин-варинтная лоренцева метрика на G3, TxG3 - касательное пространетво к G3 в x

Определение 6. Пусть P = {Px,x £ G3} семейство подмножеств G3. Говорим, что P задает инвариантный порядок на группе G3, если выполнены следующие условия:

Р I: x £ Px;

Р II : если y £ Px, то Py С Px;

Р III : если x = у, то Px = Py]

P IV : если Lx : G3 ^ G3 левый сдвиг, то Lx (Py) = PLx(y) для любо го x £ G3.

Определение 7. Порядок P на G3 назовем аффинным причинным, если он задается семейством конусов {Px,x £ G3} в G3 таким, что Px есть аффинный

G3

Определение 8. Биекция f: G3 ^ G3 называется порядковым автоморфизмом, еСЛИ ДЛЯ ЛЮ60Г0 x £ G3 f (Px) = Pf(x),

G3

Aut(P),

Пусть Aut(P )e - группа непрерывных порядковых автоморфизмов группы G3 порядка P, оставляющих единицу группы e неподвижной.

Определение 9. Группа Aut(P)e действует ^^^^^^тавно на множестве B С G3, если для любых x,y £ B существует автоморфизм f £ Aut(P)e такой, что f (x) = У

P

1) внутренне однородным или int - однородным, если группа Aut(P)e действует транзитивно на int(Pe);

2) гранично однородным или д - однородным, если группа Aut(P)e действует транзитивно на dPe \ {e};

3) внешне однородным или ext - однородным, если группа Aut(P)e действует транзитивно на G3 \ (Pe U P-).

Здесь int(B) - внутренность множества B, dB - граница множества B,

Определение 11. Гладкое отображение f: С3 ^ С3 сохраняет изотропные векторы, если дх(£,£) = 0 ^ д1 (х)Шх(£)^/х(£)) = 0, где £ е ТХС^ ТХС;3 , -касательное пространство к С3 в точке х, б/Х - дифференциал отображепия f,

3. Однородные аффинные причинные порядки на разрешимых группах Ли G3

Пусть G3 - односвязная разрешимая группа Ли, G3 - ее алгебра Ли,

Известная классификация Бианки трехмерных вещественных алгебр Ли содержит девять типов, из них с I по VII охватывают все разрешимые алгебры, а типы VIII - IX - неразрешимые. Каждый из типов I - VII содержит коммутативный идеал I коразмерности 1,

Поскольку каждая левоинвариантная метрика д па группе Ли G3 полностью задается невырожденной билинейной симметричной формой a: G3 х G3 ^ R па алгебре Ли G3, то все левоинвариантные метрики па односвязной группе Ли с абелевой нормальной подгруппой N коразмерности 1 можно разбить па два больших класса в зависимости от ранга формы a на идеале I коразмерности 1, отвечающем N, а именно: класс 1, когда rank a/j = 2, т.е. форма a не вырождена па I, и класс 2, когда rank aj = 1 , т.е форма вырождена па I (через rank aj

I

компоненты формы па Ga¡3 формы a на G3 автоморфизмами алгебры Ли G3 [5].

a

в виде

Затем вводится полная левоинвариантная аффинная структура, в которой левоинвариантные лоренцевы метрики из класса 1, в некоторой глобальной аффинной карте па С3 имеют вил

В данной глобальной аффинной карте е = (0, 0, 0),

Для форм а класса 2, либо с помощью автоморфизмо в алгебры Ли G3, либо путем преобразования идеала, I = (е1, е2) и выбора трансверсального к I

е3

(a) — (Gaß)

Здесь G33 — 0, G11G22 — Gi22 — 0.

0 0 Gl3

0 G22 0

Gl3 0 0

После этого на G3 вводится полная левоинвариантная структура, в которой левоинвариантные метрики из класса 2 в некоторой глобальной аффинной карте на G3 (e = (0, 0, 0)) имеют вил

/9и(х3) gl2(x3) gl3(x3)\

g(x) = gi2(x3) g22(x3) g23(x3) .

\gi3(x3) g23(x3) 0 )

G3

x3 = 0.

G3

назовем канонической.

Для краткости формулировок будем называть разрешимые группы Ли с левоинвариантной метрикой класса 1 (класса 2) разрешимыми группами Ли класса 1 (класса 2),

Пусть семейство P = {Px} задает на G3 аффинный причинный порядок относительно канонической аффинной структуры. Нас интересует теперь задача вычисления группы порядковых автоморфизмов Aut(P) для группы Ли G3. Верна следующая

G3

кой, что Px есть эллиптический конус в канонической аффинной структуре группы G3. Тогда любой автоморфизм f G Aut(P) является аффинным, преобразованием,. [2]

Аффинный порядковый автоморфизм f: G3 ^ G3 в таком случае сохраняет

f

ванием. Для группы Ли конформных преобразований вила,

3

f ‘ = Yi ak xk + а

k=1

векторы Киллинга имеют вил

3

е • = £ bk, xk + ß‘.

k=l

Напомним также, что векторы Киллинга должны удовлетворять уравнениям

? о „ + 9in rv и + 9kn rv ^gik-

dxn dxk ox%

Если А = 0 , то f - изометрия; если А = const, то f - гомотетия; если А = \(x),

где A(x) - некоторая функция x, то f - конформное преобразование.

Группу пзометрпй группы Ли G3 обозначим Isom(G3), группу гомотетий - Hom(G3), группу конформных преобразований - Conf (G3). Ясно, что Isom(G3) С Ноm(G3) С Conf (G3).

Далее будут использоваться следующие факты.

Предложение 1. Пусть G3 - связная односвязная разрешимая группа Ли. На G3 задан аффинный причинный порядок P относительно канонической аффин-

3

ной структуры f Е Aff(G3) П Aut(V), то f Е Aut(V)e ^ fг = a\xk.

k=l

Доказательство. Очевидно, ■

Предложение 2. Пусть группа Ли G3 и P = {Px} порядок, заданный на ней, удовлетворяют условиям Предложения 1. Если группа Aut(P )e состоит из

3

порядковых автоморфизмов вида, fj = ajkxk, j = 1, 2, f3 = x3, то поря,док P

k=l

не будет ни int - однородным, ни д - однородным, ни ext - однородным,.

3

Доказательство. Пусть fj = ajkxk, j = 1, 2, f3 = x3 и Ha = {x3 = a}.

k=l

Ha G3 задано семейство эллиптических конусов {Px}. Очевидно: f 3(Ha) = Ha. При некотором выборе ab a2, a3 получим Hai П intPe = 0; Ha2 П dPe \ {e} = 0; Ha3 nG3\ (PeUP-) = 0. Поэтому f Е Aut(P)e не будет действовать транзитивно ни на int(Pe), ни на dPe \ {e}, ни на G3 \ (Pe U P-), По определению 10 это означает, что порядок P не будет ни int — д — ext — однородным. ■

Возникает вопрос: для каких групп Ли G3 порядок P будет int — однородным, д — однородным, ext — однородным? Ответ дает

G3

вариантной лоренцевой метрикой д. Пусть на, G3 задан аффинный причинный порядок P относительно канонической аффинной структуры. Тогда, на группах Ли G3 типов I, VIо, VIIо класса 1 существующий порядок будет int — д — ext — д

кая). В остальных случаях порядок не является, однородным, ни в одном, из указанных смыслов.

Как было замечено выше, аффинное преобразование, сохраняющее изотропные векторы, будет конформным.

Верна следующая

Теорема 3. Пусть Н - группа Ли аффинных преобразований относительно канонической аффинной структуры, сохраняющих изотропные векторы левоинвариантной лоренцевой метрики д на G3. Тогда,

1) для группы Ли G3I H С Ноm(G3);

2) для, групп Ли G3II — G3VII класса, 1 H С Isom(G3), за, исключением того случая, когда, метрика плоская; в этом, случае H С Ноm(G3);

3) для групп Ли G3II, G3III, G3V, G3VII класса, 2 H С Hom(G3);

4) для, группы Ли G3IV класса 2 H С Isom(G3);

5) для, группы Ли G3VI H С Ноm(G3), за, исключением того случая, когда м,етри,ка, имеет вид gij(x3) = e-x a^, где aij = const. В этом, случае H С Conf (G3).

Аналогичная теорема приведена в [2] для f: G3 ^ G3, являющегося аффинным преобразованием относительно некоторой аффинной структуры на связной

G3

4. Доказательство Теоремы 2 и Теоремы 3

4.1. Доказательство Теоремы 2

Изложим краткую схему доказательства.

Нам надо найти группу Aut(P)e для группы G3. Используя Предложение 1,

3

замечаем, что f Є Aut(P)e fг = a%kxk. Для преобразований такого вида

k=l

3 ■ д^г

векторы Кн.і.інш а имеют вид С = Y1 Ьгкхк. Обозначим через Щ = ——г.

k=l dxj

В ходе доказательства используются виды левоинвариантных метрик, по-

g G3

x3

£г имеют вил

^Ъх3 Уіп^к Укп^ = ^ік' W

Интегрируя уравнения (1), находим векторы Киллинга n = 1,... ,r, где r - размерность Aut(P)e. Далее используется метод, изложенный в [6, с. 181]. Идея этого метода заключается в следующем. Интегрируя систему

(Ü = (2)

[ хг (0)= xг0,

получаем xi как фупкцию от tn и x0, т.е. xi = h(tn,x0). Затем, делая замену xi на xi и x0 на x\ имеем окончательно xi = h(tn,xi). Это однопараметрическая группа преобразований из Aut(P ^соответствующая ^nу Теперь останется проверить действие группы Aut(P)e на int(Pe) , dPe \ {e}, G3 \ (Pe U P-).

Перейдем к подробному доказательству.

G3

1. G3I

Метрика имеет вил gll = Vь g22 = V2, g33 = V3, Vi = 1, i = 1, 2, 3. Известно, что на группе Ли G31 аффинный причинный порядок будет int — однородным, д — однородным, ext — однородным.

2. G3III

Метрика имеет вид д11 = V1e-2x\ д22 = V2, д33 = G33. Выпишем уравнения Киллинга (1)

-$х% + УгЬ\ =

Vie-2x3 b2 + v2b2 = о,

v>3 ,

Vie-2x bl + G33b\ = 0, A,

2

V2b2 + G33b2 = ^

V2bl = 'iv2)

Ы = -•

3 2

Нетрудно заметить, что они выполняются, если Ь\ =0 Ь\ = 0 Ь3 = 0 Ь\ = 0, Щ, = 0 Ь3 = 0 Ь3 = 0 Ь2 = 0 Ь3 = 0 А = 0. Следовательно, = (0,0,0). Интегрируя систему (2), получаем

-2 _ х2

х3 = х3

Откуда видно, что Aut(P)e состоит только из тождественного преобразования, В таком случае, согласно Предложению 2, аффинный причинный порядок не будет ни int — , ни д — , ни ext — однородным.

3. G3IV

Метрика имеет вид д11 = V1e-2x\ д12 = —V1x3e-2x\ д22 = (G22 + V2(x3)2)e-2x3, дзз = G33-

Повторяя аналогичные вычисления и рассуждения, делаем вывод, что аф-

int — д — ext —

А = 0.

4. G3V

Метрика имеет вид д11 = V1e 2x , д22 = V2 e 2x , д33 = G,

Запишем уравнения Киллинга:

-Ъ\хг + Ъ\ —

Vibl + V2b\ = 0, Vie-2x3 b3 + G33 b3 = 0,

—Ъ\хг + bl = -,

Vi2e-lx3 b3 + G33 bl = 0,

Откуда получаем: Ъ\ = 0, Щ = 0, Ъ\ = 0, Щ = 0, Л = 0, Ъ\ = То-

V

гда = {Ь\х2,--------1-Ъ\х1}0). В этом случае вектор Киллинга имеет вид =

У2 " (

х2,-----ж1, 0 ) . Рассмотрим систему (2), В зависимости от знака отношения

У2 )

Vi

Уч

возможны два варианта,

1) — = — 1, тогда V2

x1 = xl ch t + x2 sh t, x2 = x1 sh t + x2 ch t,

33 xУ —

2) — = 1, имеем V2

x1 = xl cos t + x2 sin t, x2 = —xl sin t + x2 cos t,

x3

x3

Группа Aut(V)e (в зависимости от знака — ) состоит из полученных пре-

V2

образований, И в том, и в другом случае, используя Предложение 2, получаем,

int — д — ext —

G3VI

Метрика имеет вил д11 = V1e-2x\ д12 = G12e-(1+a)x3, д22 = V2e-2ax3, д33 = G33, a Е (—1, 0) U (0,1), Повторяя аналогичные вычисления и рассуждения, получаем, что Aut(P)e состоит только из тождественного преобразования

int — д — ext —

6. G3VI0 6.1. G3VI0!

Метрика имеет вид д11 = V1e-2x\ д12 = G12, д22 = V2e-2x\ д33

вычислений получаем = (0, 0, 0).

int — д — ext —

А=0

G33

6.2. G3VIo2

Метрика имеет вид д12 = 1, д33 = G33. Выпишем уравнения Киллинга

b2i = 0, b2 + bl = А,

Щ, + G33bl = 0

ь2 = 0,

bl + G33b2 = 0,

b3

b3

33b2

A

2‘

1

G33 1

A

Следовательно, Ь2 = А — Ь\, Ь\ = — ——Ъ\ и Ь2

^33

Тогда = (Ъ\х1 + ЬдЖ3, (А — Ъ\)х2 + Ь%х, ——^—Ъ23х1 — —^—Ъ\х2 + ^х3).

G33 G33 2

Запишем векторы Киллинга:

С(1) = (ж1, -ж2, о), с(2) = (х3, о, —-^—х2), е(3) = (о, х3,--^~х1),

Gзз Gзз

С(4) = (°, Ж2, \х3)-

Интегрируя систему (2) для каждого п = 1, 2, 3, 4, получаем

xl — xl e^

K\J tv \Ls ^

x2 — x2 e ^

tv K\J \Ls ^

x3 == x3'

/V* 1 — /V* 1 і _ ______________/V»2j-2

t(y t(y I t(y V ‘Xj V

2G

33

xx2

xx3

x2

x3 —

G

33

l

xl

x

1

/V»" ---- /V»" І /у“ I I _____ ____________rf‘x / / ‘

tv X I X Laj X Laj

2G33

— 3 3 1 l

/V»'-’ ---- /V»'-’ ____ _________ /V» I I •

X X ,/'~V ^

G

33

1

{ґу 1 - X 1

X2 — х2еф,

_ ф X3 = Ж3 Є 2 .

Группа Aut(P)e состоит из композиций полученных преобразований. Ясно, что Aut(P)e будет действовать транзитивно на int(Pe), dPe \ {е}, G3 \ (Pe U P-). Следовательно, на группе G3VI02 порядок является int — однородным, д — однородным, ext — однородным одновременно (причем метрика плоская),

7. G3VII

Выпишем метрику

1 3

gil = -e~2ax (Vi + G22 + (Vi - G22) cos 2ßx3), gí2 = ^e~2ax\Vi - G22) sin 2ßx3,

<722 = 2Є 2aX (^1 + *^22 — (Vl — G22) cos 2ßx3),

дзз = G33, 0 < ß < 1, a = V71 - ß2-

Обозначим V1 + G22 — B, V1 — G22 — C.

Тогда уравнения Кн.і.інш а имеют вил

— b3x%(a(B + C cos 2ßx3) + ßC sin 2ßx3) + (B + Cb\ cos 2ßx3) +

+Cb\ sin 2ßx3 = ^ (В + С cos 2ßx3),

— 2b3xl(aC sin 2ßx3 — ßC cos 2ßx3) + (B + C cos 2ßx3)b], + C(b1 + $,) sin 2ßx3+

+ (B — C cos 2ßx3)b21 — XC sin 2ßx3,

(B + C cos 2ßx3)b3 + Cb3 sin 2ßx3 + 2G33e2aXb31 — 0,

— b3x%(a(B — C cos 2ßx3) — ßC sin 2ßx3) + Cb2 sin 2ßx3+ + (B — С cos 2ßx3)b\ = ^(B — С cos 2ßx3),

Cb3 sin 2ßx3 + (B — C cos 2ßx3)b2 + 2G33e2ax3b3 — 0,

Получаем два возможных случая:

A) C =0, b¡ = 0, b¡ = 0;

B) B = 0, b\ = 0, b1 = 0, b¡ = 0.

Рассмотрим случай А),

Имеем: C = 0, b3 = 0, b1 = 0. Нетрудно заметить, что Щ = 0,b3 = 0 b2 = —b\,

b3 = 0 X = 0, b\ = 0, b2 = 0. Окончательно получаем £г = (b\x2, —bfx1, 0). Век-

тор Киллинга имеет вил = (x2, —x1, 0). Интегрируя систему (2), получаем

ÍX1 = x1 cos t + x2 sin t, x2 = —x1 sin t + x2 cos t,

x3 = x3.

Группа Aut(P)e состоит из преобразований данного вида. Эти преобразования подходят под условия Предложения 2, Следовательно, порядок не будет int — , д — , ext — однородным.

Рассмотрим случай В),

Имеем: B = 0, b\ = 0, b\ = 0, b3 = 0. Находим b3 = 0, b3 = 0, X = 0,

b1 = 0, b2 = 0, b2 = 0, b\ = 0.

В итоге получаем £г = (0, 0, 0). Вывод: порядок не будет int — , д — , ext —

однородным,

8. G3VH0

Метрика имеет вил

9п = 2 (^i + ^22 + (^i — G22) cos 2х3),

912 = ^(Vi - G22) sin 2х3,

922 = — (Vi + G22 — (Vi — G22) cos 2x3),

933 = G33.

Обозначим V1 + G22 = B, V1 — G22 = C.

Выпишем уравнения Киллинга:

—Ь3хгС sin 2х3 + (В + С cos 2x3)b\ + Cb\ sin 2х3 = ^ (В + С cos 2х3),

2b3xiC cos 2x3 + (B + C cos 2x3)b\ + C(b1 + b\) sin 2x3+

+ (B — C cos 2x3)b21 = X(C sin 2x3),

(B + C cos 2x3)b3 + Cb3 sin 2x3 + 2G33b^ = 0, b3x%Csin2x3 + Cb\ sin2x3 + (В — Сcos2x3)b22 = ^(B — Сcos2x3),

Cb\ sin 2x3 + (B — C cos 2x3)bl + 2G33b^ — 0,

ы = ~.

Уравнения выполняются при условии, что СЬ\ СЬ2 = 0. Это возможно, если:

A) Ь3 = 0, Ь3 = 0} Ь2 = 0;

B) С = О, Ь\ =

^33

Рассмотрим случай А),

0 Ь1 = ° Ь3

0 вьз + 2G33ь3 — 0,

Имеем: Ь\

о, ь2

0, b33 — 0 и Л — 0. Значит, £

0. Следовательно, b\ — 0, b\

(0, 0, 0). Порядок не будет int — , d —

0, b2

ext — однородным Рассмотрим случай В)

с = о, ь\ = -ь3

uil

G33

Л

-h2 Ъ2 - - Ь3 -______________—b2 Ь3 - -

и1 ’ и2 ~ 2 ’ 2 q и3> и3 ~ 2 '

Обозначим D Л

— 77—- Тогда

G33

Л

Л

= (—х1 + Ь\х2 + Ь\х3, —Ъ\х1 + —х2 + Щх3, 02Ъ\х1 + В2Ь1х2 + ^3)-Векторы Киллинга имеют вил = (х1, х2, х3), = (х2, —х1, 0),

С(з) = (х3, 0, 02х1), С4~. = (0, х3, В2х2). Интегрируя систему (2) для каждого

К4)

Qn), n — 1, 2, 3, 4, получаем

’(3)

н

*(п)5

xl

х2

х3

xlel, x2el, x3e};

xl — xl cos ^ + x2 sin ^, x2 — —x1 sin ^ + x2 cos ^,

33

x^ — '

xl

x2

x3

x

x ch Dip + — sh Dip

D

x

x

D(xx sh Dip + — ch Dp)-,

xl

x

x3

x = x ch Dtfj + — sh Dtfj

D

x3

x3

D(x2 sh Dtf) + — ch Dip).

Группа Лпі(Р)е состоит из группы Лоренца и подобий. Известно, что группа Лоренца действует транзитивно па іні(Ре), дРе \ {е}, 03 \ (Ре и Р-). Следовательно, па группе 03У110 в случае, когда С22 = Уі, аффинный

причинный порядок является int — , д — , ext — однородным. Теперь рассмотрим разрешимые группы Ли G3 класса 2,

9. G3III

Метрика имеет вил q13 = 1, q22 = V2e-2x3.

Запишем уравнения Киллипга:

2Ь{ = 0,

V2e-2x3 Ъ\ + Ъ2 = 0, bl + Ъ\ = \

-Ь1х< + Ь1 = гг

Vie-2*’ ъ2 + Ь2 = о,

2Ъ1 = 0.

Решая уравнения, получаем: Ъ\ = А, Ъ\ = 0, bf = 0, Ъ\ = 0,

&2 = —, Ъ\ = 0, 62 = 0, 63 = 0 и А = const. Тогда окончательно имеем, что

= (Аж1, ^.г2. 0). Вектор Киллипга будет иметь следующий вил =

(ж1, 2х2’ ИнтегРиРУя систему (2), получаем

-- /х1 е^

С* ^ t_

ж2 = Ж2е 2 ,

ll сс —

Группа Aut(P)e состоит из полученных преобразований. Используя Предложение 2 можно сделать вывод, что аффинный причинный порядок не является int — д — ext —

10. G3V

Метрика имеет вил q^ = е-х3, q22 = V2e-2x3. Рассмотрим уравнения Киллипга:

2е~*3 Ъ\ = 0, е~х3 ъ2 + V2 е-2х3 ъ2 = 0,

—Ъ3гхг + Ъ\ + bl = А,

-Ь3хг + bl = -,

V2e-2x3 Ъ2 + е-х3 Ъ1 = 0,

2е~х'3 Ъ\ = 0.

Следовательно, Ъ\ = Л, Ъ\ = 0, Ъ\ = 0, Ъ\ = 0, Ъ\ = Ьд = 0, = 0, = 0

и Л = const. Тогда окончательно имеем, что = (Аж1, —ж2, 0). Повторяя рассуждения, получаем, что аффинный причинный порядок не является является int — , д — , ext — однородным.

Теорема 2 доказана,

В остальных связных односвязных разрешимых группах Ли аффинный причинный порядок не существует [1].

4.2. Доказательство теоремы 3

Как известно, аффинное преобразование, сохраняющее изотропные векторы, будет конформным. Для группы Ли конформных преобразований вида

з

fг = J2 4 xk + a

k=l

векторы Киллинга имеют вил

з

5 ‘ = Y, bk xk + вг.

k=l

д5 m

Обозначим bf = Напомним, что метрика на группах Ли зависит только

j дх3

от х3. Тогда уравнения Киллинга для векторов 5г можно записать в следующем виде:

ФУ + /З3)^| + gjrk + дъпЬТ = Aft*.

Для доказательства теоремы надо найти А. Если А = 0, то H С Isom(G3); если А = const, то H С Ноm(G3); если А = А(х), где А(х) - некоторая функция х, то H С Conf (G3).

G3

G3

(9и(х3) 9и(х3) 0 \

д(х) = д12(х3) д22(х3) 0 .

0 0 G33

Выпишем уравнение Киллинга для пары (ik) равной (33): Щ, = ^. Следовательно, А = const, и H С Ноm(G3).

Рассмотрим группы, у которых метрика не является плоской.

Ь\ — х3Ъ\ =

1. С311

Метрика имеет вид д11 = С11, д12 = —ОцХ3, д22 = У2 + С11(х3)2, д33 = С33. Рассмотрим уравнения Киллинга , соответствующие парам (гк) : (11), (12), (22):

А 2'

— (Ь3гхг + в 3)Сп + СцЪ12 — ОцХ3 (Ь\ + Ь2) + V + Он Х32)Ъ2 = —ХСц х3,

(Ь3гхг + в 3)Єцх3 — Єцх3 Ь1 + V + апх32)Ь2 = Х(У2 + Си Х32).

Решая уравнения, получаем, что , и = 0, следовательно, А = 0, т.е.

Н С Ьот(О3ІІ).

2. С3ІІІ

2.1. О3ІІІІ

Метрика имеет вил д11 = У1е-2х3, д12 = О12е-х3, д22 = У2, д33 = О33. Выпишем уравнения Киллинга для пары (гк) равной (11), (33)

3 А

~(Ъ3хг + (33)Уі + +УФІ + С12е~х Ъ\ = -Уь % = -■

3 2

Нетрудно заметить, что Ь3 = 0, г = 1, 2, 3. Тогда А = 0, и Н С Івот(О3ІІІі).

2.2. О3ІІІ2

Метрика имеет вил дп = У1е-2х3, д12 = е-х3, д33 = О33.

2.3. О3ІІІ3

3

Метрика имеет вид дп = е-х , д22 = У2, д33 = Є33.

2.4. Є3ІІІ4

3

Метрика имеет вил д12 = е-х , д33 = Є33.

А=0

Н С Івот(О3ІІІ2), Н С Івот(О3ІІІ3), Н С Івот(О3ІІІ4).

Вывод: для группы Ли О3ІІІ Н С Івот(О3).

3. СзІУ

3.1. О3ІУі

Метрика имеет вил д11 = Уіе-2х3, д12 = —У1х3е-2х3, д22 = (О22 + У2(х3)2)е-2х , д33 = С33.

В ходе доказательства Теоремы 2 получили, что Л = 0 и, следовательно, Н С Ьот(031Уг).

3.2. С31У2

Метрика имеет вил д12 = е-2х3, д22 = -2х3е-2х3, д33 = 033.

Рассмотрим уравнения Киллинга, соответствующее парам (гк) : (11), (12), (33):

2е-2х3 Ъ\ = 0,

-2(Ь3гхг + в3) + Ъ1 + Ъ2 - 2х3Ъ2 = \

Ы = -•

3 2

Нетрудно заметить, что Ъ\ = Ь3 = 0, г = 1, 2, 3, следовательно, А = 0, значит, Н С Ьот(С31У2).

Вывод: для группы Ли 031У Н С 1вот(031У).

4. СзУ

Метрика имеет вид дц = У\е-2х3, д22 = У\х3е-2х3, д33 = С33.

В ходе доказательства Теоремы 2 получили, что Л = 0. Откуда следует, что Н С Ьот(С3У).

5. СзУ1

5.1. 03УII

Метрика имеет вид дц = У\е-2х3, д\2 = С12е-(1+а')х3, д22 = У2е-2х3, д33 = 033.

Л=0

Н С Ьот(03У11).

5.2. 03У12

Метрика имеет вил д11 = У1е-2х3, д12 = е-(1+а)х3, д33 = 033.

5.3. 03У13

Метрика имеет вил д12 = е-(1+а)х3, д22 = У2е-2х3, д33 = 033.

Повторяя аналогичные вычисления, получаем Л = 0 и Н С Ьот(03У12), Н С Ьот(03У13).

Вывод: для группы Ли 03УI класса 1 Н С Ьот(03У1).

6. 0зУ1о

6.1. 03У110

Метрика имеет вид д11 = У1е-2х3, д12 = 012, д22 = У2е2х3, д33 = 033.

В ходе доказательства Теоремы 2 получили Л = 0. Следовательно,

Н С 1.30т(03У11о).

6.2. О3У103

Метрика имеет вил д11 = У1е-2х3, д12 = 1, д33 = 033.

6.3. О3У104

Метрика имеет вил д12 = 1, д22 = У2е2х3, д33 = 033.

Л=0

Н С 1.30т(03У1о3), Н С 1.30т(03У1о4).

Вывод: для группы Ли О3У10 класса 1, если метрика не плоская, то Н С 1.30т(03У1о).

7. С3УИ

Л = 0.

Н С 1.30т(03УII).

8. СзУНо

В случае, когда метрика не плоская, в ходе доказательства Теоремы 2 получили, что Л = 0. Значит, Н С 1.зот^зУИо).

Рассмотрим группы Ли класса 2,

9. О3И

Метрика имеет вил д13 = 1, д22 = У2, д23 = -х3.

Выпишем уравнение Киллинга для пары (гк) равной (11), (13)

Ъ1 = 0,

Ъ1 + Ъ3 + Уф2 - х3Ъ3 = X.

Получаем, что Л = соивЬ, значит, Н С Нот(03П).

10. G3III

10.1. G3IIIi

Метрика имеет вид д11 = V2(e-x3 — 1), gl2 = e-x3 — 1, gl3 = Gl3e-x3, g22 = V2. Уравнение Киллинга для пары (ik) равной (11), (12), (33):

3 A

(е~х -1 )b\ + V2bl = -V2,

(e-x3 — 1)bl + V2 b2 + Gi3e-x3 bl = 0,

2(e-x3 — 1)bl3 = 0.

Следовательно, A = const, и H С Hom(G3IIIl).

10.2. G3III2

Метрика имеет вил gl3 = 1, g22 = V2e-2x3.

В ходе доказательства Теоремы 2 получили, что A = const. Откуда следует, что H С Ноm(G3IIh).

10.3. G3III3

Метрика имеет вил gl3 = e-x3, g22 = V2.

(ik) (22)

^2^2 = 2^2'

Получаем, что A = const и H С Hom(G3III3).

Вывод: для группы Ли G3III класса 2 H С Ноm(G3III).

11. G3IV

11.1. G3 IVl

Метрика имеет вил gll = Vlx3‘2e-2x3, gl2 = —V2x3e-2x3, gl3 = Gl3e-x3, g22 = V2e-2x3.

Выпишем уравнения Киллинга

V2(b3xl + (З3)(х3 - x32) + V2x32b\ - V2x3bj + G13ex3bl = ^V2x32, — (fix1 + e3)V2(1 — 2x3) + V2X32b\ — V2X3(bl + b2) + V2 b2+ +Gl3ex3 b2 = —AV2x3, — (tfx1 + в 3)Gl3 + V2x32e-x3 bl — V2x3e-x3 b2 + +Gl3 (b\ + b3) = AGU, ~(Ъ3хг + ¡33)V2 - V2x3b\ + V2b2 = ^V2,

—V2x3 e-2x3 b\ + V2e-2x3 b2 + Gl3e-x3 bl = 0,

2Gl3e-x3 b3 = 0.

A = 0 H С ( G 3 I Vl ) .

11.2. G3IV2

Метрика имеет вид gl3 = Gl3e-x3, g22 = —V2e-2x3, g23 = —Gl3x3e-x3.

H С ( G 3 I V2 ) .

Вывод: для группы Ли G3IV класса 2 H С Isom(G3IV).

G3V

A = const. H С Hom(G3V).

G3VI

G3VIl

Метрика имеет вид gll = V2(e-x3 — e-ax3), gl2 = e-(l+a)x3 — e-2ax3, gl3 = Gl3e~ g22 = V2e-2ax3.

Уравнения Кн.і.інша имеют вил:

— (b3xl + e3)V2(e-x3 — e-ax3 )(e-x3 — ae-ax3) + V2(e-x3 — e-ax3 )b\ +

+(e"(i+а)ж3 - e~2ax3)bi + G13e~x3bl = ^V2(e~x3 - e~ax3)2,

— (b3xz + в 3)((1 + a)e-(l+a)x3 — 2ae-2ax3) + V2(e-x3 — e-ax3 )2 bl2+

(e-(l+a)x3 — e-2ax3 )(bl + b2) + Gl3 e-x3 b3 + V2 e~2ax3 b2 = A(e-(l+a)x3 — e-2ax3),

— (b3xl + в 3)Gl3e-x3 + V2 (e-x3 — e-ax3 )2b3 + (e-(l+a)x3 — e-2ax3 )b2+

+ Gl3e x (bl + b3) = AGl3e

~{Ъ3хг + p3)aV2e~2x3 + (e~{1+a)x3 - e~2ax3)b\ + V2e~2ax3b22 = ^V2e~2ax3,

(e-(l+a)x3 — e-2ax3 )bl + V2e-2ax3 b3 + Gl3e-x3 bl = 0,

2Gl3e-x b\ = 0.

Решая получившиеся уравнения, находим, что А = const. Тогда H С Ноm(G3VI\).

13.2. G3VI2

Метрика имеет вид g13 = G13e-ax3, д22 = V2e-2x3.

Повторяя аналогичные вычисления, получаем H С Ноm(G3VI2).

13.3. G3VI3

Метрика имеет вил д13 = G13e-x3, д22 = V2e-2ax3.

Выпишем уравнения Киллинга:

2GVie-x3 b3 = 0,

V2 x3e-2ax3 b2 + G13e-x3 b2 = 0,

-(b3xl + в 3)Gi3e-x3 + Gi3e-x3 (b\ + b3) = AGi3e-x3,

-a(b3xl + f33)V2e~2ax3 + V2e~2ax3b22 = ^V2e~2ax3,

V2e-2ax3 b2 + Gi3e-x3 b2 = 0,

2G13b3 = 0.

Уравнения имеют решения в двух случаях, если Ь3 = 0 или a = -.

В первом очевидно, что А = const и H С Ноm(G3VI1).

Во втором случае получаем А = А(х), где А(х) - некоторая функция х, следовательно, H С Conf (G3VI3).

14. С3У1о

14.1. СзУІ0!

Метрика имеет вил дп = У2(е-х3 — ех3)2, д12 = 1 — е2х3, д13 = С13е-х3, д22 = У2Є2х3.

14.2. СзУ1о2

Метрика имеет вил дгз = С\3ех3, д22 = У2е-2х3.

14.3. СзУІ03

Метрика имеет вил дї3 = С\3е-х3, д22 = У2е2х3.

Повторяя аналогичные вычисления, получаем Н С Нот(С3У І0).

15. СзУІІ

1 -2 3 3 1 -2 3 3

Метрика имеет вил дп = -У2е~2ах (1 — сое 2(Зх3), д\2 = — -У2е~2ах від 2(Зх3, да = Сі3є~ах3 соя/Зх3, д22 = ^У2е~2х3(1 + сов2/Зх3), д23 = Сі3е~ах3 віп/Зж3.

16. G3VIIo

Метрика имеет вид дп = — cos2x3), gi2 = —-V2sin2x3, gi3 = Gi3cosx3,

g22 = 7>V2(l + cos 2ж3), g23 = G13 sinx3.

Повторяя аналогичные вычисления, получаем H С Ноm(G3VII0).

Теорема 3 доказана.

Литература

1. Абдрахимова, Н.Р. Классификация аффинных порядков на трехмерных связных односвязных разрешимых группах Ли / Н.Р. Абдрахимова. //IX Всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов. - Кишинев. - 1988. - С. 3.

2. Абдрахимова, Н.Р. Синтетическая теория аффинных лоренцевых многообразий и упорядоченных групп Ли / Н.Р. Абдрахимова, А.К. Гуц, Н.Л. Шаламова // Докл. АН СССР. - 1988.'- Т. 303, N. 4. - С. 777-781.

3. Александров, А.Д. Конусы с транзитивной группой / А.Д. Александров // Докл. АН СССР. - 1969. - Т. 189, N. 4. - С. 695-698.

4. Винберг, Э.Б. Теория однородных выпуклых конусов / Э.Б. Винберг // Тр. ММО.

- 1963. - Т. 12. - С. 302-358.

5. Гаврилов, С.П. Левоинвариантные метрики на однородных разрешимых группах Ли./ С.П. Гаврилов // Теория относительности и гравитация. - Казань: КГУ. -1985. - N. 22. - С. 31-64.

6. Гуц, А.К. Порядковые и пространственно-временные структуры на однородных многообразиях / А.К. Гуц // Дис. док. физ.-мат. наук. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР - 1987. - 204 с.

7. Yamagvchi, S. On complete affinelv flat structures of some solvable Lie groups / S. Yamagvchi // Mem. of Faculty of Scince Kvuchu Univ. - 1979. - V. A33. - P. 209218.

8. Milnor, J. On fundamental groups of complete affinelv flat manifolds / J. Milnor // Advances in Math. - 1977. - V. 25., N. 2. - P. 178-187.