CC BY
49
УДК 513.813
ФОРМУЛЫ ТИПА ГАУССА-БОННЕ-ЧЕРНА ДЛЯ ПСЕВДОРИМАНОВЫХ И РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ И ФОРМУЛА ХИРЦЕБРУХА
А.К. Гуц
Дается обзор формул типа Гаусса-Бонне-Черна для римановых и псевдо-римановых многообразий.
Классическая формула Гаусса-Бонне
связывает гауссову кривизну К замкнутой ориентированной двумерной поверхности Г с характеристикой Эйлера-Пуанкаре поверхности Г, Внутренняя геометрия, искривленность поверхности, увязаны в этой формуле с топологией поверхности, т.е. с ее формой.
Для односвязной области Г с краем дГ, состоящим из конечного числа гладких кривых с углами а^ в вершинах, формула Гаусса-Бонне имеет вил
где кд - геодезическая кривизна.
Гаусс [1] доказал её для геодезических треугольников, а Бонне [2] в более общем виде (2). В виде (1) формула Гаусса-Бонне была установлена фон Диком [3] в 1888 году [4].
Обобщённую формулу Гаусса-Бонне на случай римановых многообразий впервые установили Аллендорфер и А.Вейль [5] в 1943 году. Под влиянием Вейля [4] новое простое доказательство формулы дал в 1944 году Черн [6].
Для замкнутых псевдоримановых многообразий формулу независимо вывели Черн (1963, [7]) и Авец (1962, [9]).
К сожалению, несмотря на важность этой формулы для теории римановых многообразий, эта её форма плохо представлена в русско-язычной учебной литературе. А если и представлена, то в форме равенства когомологических классов, что является препятствием для её использования со стороны многочисленной группы читателей, не владеющих методами алгебраической топологии.
(1)
F
Copyright © 2009 А.К. Гуц.
Омский государственный университет. E-mail: [email protected]
1. Псевдоримановы многообразия
1.1. Формула Гаусса-Бонне-Черна для замкнутых псевдоримановых многообразий М2к
Пусть < М2к , д > 2 к-мерное компактное ориентированное пеевдориманово
многообразие сигнатуры < > без края,
р 2к—р
Пусть с1ь = \с1еЛ(д)\(1х1 Л ... Л йх2к - 2/с-форма объёма и
(__1) [р/21 . . .
Л ^ = 22ктткк\ ■ ..Щ2к-112Ю2к- 1]2к,
где
{+1, (г1*2...*2к} четная перестановка {^1 ]2...]2к},
_1, {*1 *2...*2к} нечетная перестановка {^1^2...]2к},
0, среди {*1 %2...*2к} или среди {^1 ]2...]2к} есть одинаковые.
Тогда [7,9]
/ Д(Я)Л; = х(М2к),
М 2к
(1.1)
где х(М2к) - характеристика Эйлера-Пуанкаре многообразия М2к.
1.2. Формула Гаусса-Бонне-Черна для замкнутых псевдоримановых многообразий М4
Пусть < М4 ,д>- 4-мерное замкнутое ориентированное пеевдориманово многообразие сигнатуры < >■
р 4—р
Тогда [10]
\¥Шт\¥Шт(1у = 2 I ^ЩЩ-^К2^у + (-1)р+Щтг2Х(М4)
М4 М4
(1.2)
где Ш - тензор Вейля.
1.3. Формула Черна-Гаусса-Бонне для псевдоримановых многообра-
М2к
Пусть М2к - пеевдориманово многообразие с краем дМ2к и д : Т1М2к ^ М2к -расслоение па сферы, ассоциированное с касательным расслоением ТМ2к (т.е.
состоящее из векторов касательного расслоения с нормой 1), Существует (2к — 1)-форма а на ТХМ2к, для которой
J а = 1 для всех х Е М2к
9-1(ж)
и д*Р/к(П) = йа.
Всякое векторное поле Т, нормальное к дМ2к, задает несингулярное сечение т : дМ2к ^ ТхМ2к.
Тогда имеет место формула Черна-Гаусса-Бонне для псевдоримановых мно-М2к
J Р/(П) = т<1дм2кТ + J т*а,
М2к дМ2к
(1.3)
где тёдм2к определяется следующим образом.
Если Т не нулевое векторное поле па дМ2к, Т - продолжение векторного поля Т на все многообразие М2к и а1,...,ак - конечное число особых точек
(пулей) поля Т на М2к [12, с, 516], то
к
іп<1дМ2кТ =
І=1
Если поле Т трансверсально (в частности, нормально) к дМ2к, то
іпйдм 2к Т = х(М2к).
В общем случае для ориентированного компактного многообразия с краем:
т<1дм 2 к Т = х(М2к) — ёед(КТ),
где йвд(Кт) - степень отображения Кт : дМ2к ^ Б2к-1 [12, с, 502], Кт(х) равно точке на Б2к-1; отмеченной концом вектора V = v0T + v1n1 + ... + ^2к-1м2к-і, {щ,..., п2к-1} - базис в Тх(дМ2к), х Є дМ2к, Vі = 1 [13],
Если Q2k - 2&-мерная компактная область в М2к с границей дQ2k, то фор-
мулу (1.3) можно переписать в виде
З2
Р/(П) = тёд^2кТ + у тV, дд2к
(1.4)
где все формы, поля, определяются как выше с заменой буквы М на букву Q.
1.4. Формула для чисел Понтрягина для замкнутых псевдоримано-вых многообразий М4к
Пусть < М4к ,д > 4к-мерное замкнутое ориентированное пеевдориманово многообразие сигнатуры < >■
р 4к-р
Пусть
с1у = \с1еЛ(д^)\с1х1 Л ... Л б?4к
- форма объёма и
(-1)р
Л4к = (2тг)2к(2к)!^ Л ^ Л ■" Л
или
(-1)1’
(2ж)2к(2к)<22к'
к
д ____ ___V ^)________ра тэР Л1...Л4й
4к — (о \2к(о 1,\\о2к /?Л1^2-п'7,АзА4"•'/ •
Рк [М4к] = J Д4к ().
М 4к
(1.5)
Напомним, что к-мерное число Понтрягина рк [М4к] определяется как значение характеристического класса Понтрягина рк(£) € Н4к(М4к, И), где £ -касательное расслоение на М4к на фундаментальном классе ^М € Н4к(М4к, И), т.е.
Рк[М4к ] = (Рк (С ),^м )
или
Рк [М4к ] = [ рк (?)
М 4к
в случае, когда когомологический класс рк (£) реализуется как внешняя диффе-4к
2. Римановы многообразия
Многообразие < Мп,д > - рпманово, если оно снабжено положительно опреде-д
2.1. Формула Гаусса-Бонне-Черна для замкнутых римановых мно-
М2к
Пусть < М2к ,д > 2к-мерное компактное ориентированное риманово многооб-
разие без края и
(-1)к • • •
^= ¥^:п^Пчг2 ^^ ^2к~1^2к-
Имеем
- - х/ ^ А с1х
П = Е2к йю,
где с1ь = л/дйх1 Л ... Л <1х2к - форма объёма и (ем. [16, р. 105]):
( —1)к ^ ^ ^
Е2к = 22к (2ТГ)кк\Ш^2^2 ■ -т2к-112Ю2к- 1]2к-
Здесь (см. [20, с. 56])
{+1, {*1*2...*2к} различны и дают четную перестановку {]\]2...]2к}, -1, {*1*2...*2к} различны и дают нечетную перестановку {^'^—^к},
0, среди {*1*2...*2к} или среди {]1]2...]2к} есть одинаковые.
Тогда [16, р. 106], [20, р. 171]:
I Е2кйю = х(М2к).
м2к
(2.1)
2.2. Формулы Ревентоса для замкнутого риманова многообразия
М 2п+1
В 1972 году Танно [17] доказал следующую теорему.
Теорема 1. Пусть <М2п+1, д,£> - компактное рпманово ориентированное многообразие, имеющее единичное киллингово векторное поле £ такое, что Я(Х, £)У = д(X, У)£~д(У, £)Х для любых векторных полей X, У на М2п+1, т.е. является сасакиевым, многообразием. Тогда, если поле £ - регулярное [19], то
{-^—1 [ те) = £(»+1-г)(-1т(м2“+1).
1(£ )22пппи\
М2п+1 г=0
где Я (П,£) - выражение, зависящее от Пи £ и вг (М2п+1) - г-мерное число Бетти, 1(£) - длина интегральной траектории поля £ (она постоянна).
Теорема Танно была обобщена в 1979 году Ревентосом на произвольные ри-мановы многообразия с симметрией.
Пусть < М2п+1, д,£ > - замкнутое ориентированное риманово многообразие,
£
£
ное1 [19]:
(-1)n
П— 1
l(£ )22nnnn!
f (П,£) = + 1 - r)(—1)rв(M2n+1) + £dr
(2.2)
M 2n+1
r=0
r=0
n
где dr = dimKer(Hr(M2n+1 /£, IR), IR) ^ Hr+2(M2n+1 /£, IR), l(£) - длина интегральной траектории поля £ (она постоянна).
Все интегральные кривые поля £ гомеоморфны S1, и можно построить главное расслоение
п : M2n+1 ^ M2n+1 /£ = B,
где B - множество всех орбит [19],
Выражение
f (П,£) = £ г,"'i2“ (*i2 + Е(Л‘2- + Ai2k.4,ia)/ Л фА Л ...
... Л + ^(Ai2n i2n-1 Aks + Ai2n k Ai2n-is Л Л ,
Ф* - форма кривизны на M2n+1 относительно метрики g,
ф0 = ш, фi = п'^), g = £ фа 0 фа,
а
ш - 1-форма, определенная на М2п+^к ш(X) = g(£,X), 01, ...,62n - 1-формы, заданные в малом открытом множестве U С B так, что h = i 0 & h
B
h(X,Y )(b) = g(X',Y ')(x) — (u 0 u)(X' ,Y ’)(x), dnx(X')(x) = X, dnx(Y')(x) = Y, n(x) = b, x G M2n+1,
du = п*(£ Aij6г Л 9j) с Aij = — Aji.
ij
При этом Aij = — g(ei, Ve^£), (eb ..., e2n} - базис в T(B).
Формула (2,2) получена Ревентосом [18] из формулы Гаусса-Бонне-Черпа для замкнутого ориентированного риманова 2п-мерного многообразия < B, h >:
[() = 22”n“n!x(B),
B
1Условие регулярности выполняется, как правило, для всех векторных полей, встречаю-
щихся в приложениях.
где
« = (-1)"£ «5;л ...«52:-,,
« - форма кривизны многообразия < В, к >, с помощью поднятия п* и выражения х(В) через числа Бетти в(М2га+1),
2.2.1. Формула Ревентоса для замкнутого риманова многообразия М 3
В случая замкнутого ориентированного риманова мнгообразия М3 с метрикой д, допускающего регулярное единичное киллингово векторное поле £, имеет место формула [18]:
5^7) /{Л'(5Х) + ЗК(0}Ли = 2Д(М3) - Д(М3) +
м3
(2.3)
где = 0 или 1 в зависимости от чётности или нечётности одномерного числа Бетти в1 (М3); К(£х) - значение римановой кривизны в плоскости, ортогональной £; К(£) - значение римановой кривизны для любой плоскости, содержащей £ (отметим, что К(£) те зависит от выбора плоскости); - форма объёма; 1(£)
- длина интегральной траектории поля £ (она постоянна),
2.3. Формула Черна-Гаусса-Бонне для римановых многообразий М2к с краем
Пусть М2к - компактное ориентированное риманово многообразие с краем. Пусть п : ТМ2к ^ М2к - касательное расслоение и п0 = п|Б ^ М2к -ассоциированное расслоение на сферы (т,е, состоящее из векторов касательного расслоения с нормой 1), Пусть Г - связность на главном расслоении р : БО(ТМ2к) ^ М2к с формой кривизны К и пусть « единственная 2к-форма па М2к такая, что р*« = п-кР/(К) 2 и Ф - (2к — 1)-форма па 5 с п**« = ^Ф. Наконец, пусть V : дМ2к ^ Б - внешняя единичная нормаль к дМ2к,
Тогда [21]
J « = х(М2к) + у V*Ф.
м2к дМ2к
(2.4)
2
Определение пфаффиана:
1
~ 2кк\£ 1 2к
где А = А«.
2.4. Формула Черна-Гаусса-Бонне для римановых многообразий Мг‘ с краем
Пусть Мт - ориентированное риманово многообразие с краем и
(-1)р • • •
р
т
12.
^к,т ск,т V ^ «г,г2 Л ... Л «г2к—1 г2к Л иг2к+1т Л ... Л игт—
Ск = _____________________________________________
,т пРк\2к+Р • 1 • 3 • ... • (2р- 2к - 1)'
Здесь
«^к jk ^ ^ ujv Л ^ик,
1< V <т
Vej = ^ Ujkек для Ujk е Т*(М) и Ujk = —ищ,
1<к<т
{е1,..., ет} - локальный ортонормированный базис в Т(М) такой, что ет - единичная нормаль к краю дМт,
Справедлива формула Гаусса-Бонне-Черна [16, р. 253]:
I Ет + ] £>,т = Х(Мт).
Мт дМт к
(2.5)
Замечание 1. Напомним, что х(М2к+1) = 0 и, как доказал Черн,
Ет & у Qk,1^^ .
Следовательно, в силу теоремы Стокса равенство (2.5) обращается для нечётно-
0=0
2.5. Формула Гаусса-Бонне-Черна для компактных римановых многообразий М4 с краем
Имеет место следующая формула [22] Гаусса-Бонне-Черна:
где х(М4,дМ4) - характеристика Эйлера-Пуанкаре многообразия с краем М4, Ш - тензор Вейля, Z = Ше — (Я/4)д, Яге - тензор Риччи, Я - скалярная кривизна, Ка,Ст2 - секционная кривизна, Аг - главные кривизны многообразия дМ4
3. Сигнатурные формулы
3.1. Сигнатура многообразия
Сигнатура многообразия Мп определяется для п = 4к. Если М4к связное и ориентированное, то и-произведение когомологий Н2к (М4к, И) :
Н2к(М4к, И) и Н2к(М4к, И) ^ Н4к(М4к, И)
является коммутативным,
М4к
Н4к(М4к) = Н0(М4к), Поскольку Н0(У4к) является одномерным векторным пространством, то считаем, что Н0(М4к) = 1И и имеем следующую билинейную форму:
д : Н2к(М4к, И) и Н2к(М4к, И) ^ Ш.
Таким образом, определена квадратичная форма д(а, а) со значениями в 1И, где а е Н2к(М4к, И), Ее сигнатура, т.е, разность а(М4к) = р(М4к) — п(М4к) между числом положительных р(М4к) и отрицатель пых п(М4к) собственных
М4к
В случае когомологий де Рама а, в е Н^(М4к, И)
д(а, в) = J а Л в.
м4к
3.2. Формулы для сигнатуры замкнутого псевдориманова многообразия
Если и(М4к) = р(М4к) — п(М4к) - сигнатура3 псевдориманова многообразия (М4к ,д), то имеет место формула [14]:
(3.1)
где
д ______ ______( ________р« тэР Лі...Л
4к ~ {0^г\2к{01~\\02к /ЗЛ1Л2Л7,ЛзЛ4" «.Л^-іЛ^'/ '
(2п)2к(2к)!22к Для 4-мерного многообразия имеем:
а(М4) = -—— / /?*•• . . г7-?і-?2ізі4 . / .
967Г2 -зил г-эзэ4'1 аи
м4
(3.2)
или
а(М1) = 96^ / И«иИ",-"чИ”““ ■ *■
м4
(3.3)
Замечание 2. Если М4 - пространство-время, т.е. р = 1, а Ж принадлежит типу III Петрова, то, как известно (Ь. Ве1, 1960, см. [10]), Ж/к1Жг/тппк1тп = 0. Значит, мы имеем а(М4) = 0, тогда как (метрическая) сигнатура т(М4) = —2.
3.3. Формула Хирцебруха для сигнатуры многообразия
3.3.1. Теорема Хирцебруха и Ь-род
Существуют однозначно определенные полиномы Ь = {Ьк} такие, что для любого ориентированного многообразия выполняется сигнатурная теорема Хир-
3Под сигнатурой замкнутого псевдориманова многообразия часто понимают число г(М4) = р — (2к —р), где р - число, входящее в сигнатуру < +^+^^3 >• Числа а(М4к) и
р 4 к—р
т(М4) - это разные числа и по смыслу, и по значениям, как видно из замечания 2.
цебруха:
или
<г(М4к ) = Ьк (р1,р2,...,рк )[М4к ]
(3.4)
а(М4к) = £ 4% ...р,„ [М4к ],
(/1,.../к)
Л+...+>=к
(3.5)
где р/ (£) € Н4/ (М4к, 1Ш) - ^'-й класс Понтрягина,
Ьк (рг,р2,--,рк) = ^ /*) р/1.. .Рзт.
(/1,.../*)
/1+...+/г=к
Обычно о содержании формул (3.4), (3.5) говорят, что сигнатура многооб-Ь
Первые четыре полинома имеют вил:
Ьо = 1, Ь = р1/3, Ь2 = (7р2 — р2)/45,
Ьз = (62рз — 1ЗР2Р1 + 2р?)/945.
Следовательно, сигнатура 4-мерного замкнутого многообразия равна
<т(МЛ) = ^.(Тр’2{М1)-г\{М1\).
Имеется алгоритм [15, § 19] вычисления полиномов Ьк, использующий ряд
у к>0 4 '
где В2к - числа Бернулли.
В случае представления классов рк в виде дифференциальпых 4к-форм, т.е. при переходе к когомологиям де Рама, рк € Н(4|к(М4к, Ш), - формула (3.5) принимает вил
°(М4к)= £ 1Ч) ! р/1 л... лр„.
(/1,.../к) м 4к
/1+...+/г=к
(3.6)
3.3.2. Выражение классов Понтрягина через тензор кривизны
На римановом многообразии М4к классы Понтрягина
Р(£) = 1 + Рі(£) + Р2(С) + ... + Рк (С) выражаются через кривизны [25]:
Рз® = (2тг)2-(2в)!
Если использовать формулу
(3.7)
1
2
и подставить ее в формулу (3,7), то получаем представление классов Понтрягина в когомологиях де Рама в терминах тензора кривизны:
Рз^ = (4тг)^(2в)! ^ Л йхт^ Л ... Л <У*‘ Л йхт^.
3.3.3. Выражение чисел Понтрягина через тензор кривизны
Пусть дано замкнутое ориентированное многообразие М4к и пусть (і) = (і1,...,ік) - разбиение числа к, т.е. все і > 0 и і + ... + і = к. Определим число Понтрягина р^-) [М4к] как число равное
<Рл (С )...РЛ (С ),^м 4^).
При представлении классов рк(£) в виде дифференциальных 4к-форм, т.е. при переходе к когомологиям де Рама, это определение означает [25], что
(3.8)
где йу - форма объема и функция
9(х) = \ ^
І1,...,і4к
Г
с = 24к п2к Д (2іі)!(4іі)!,
І=1
а Рі1. іік - произведение следующих г функций:
Cj1 5] Sgn(o)RlCT(l) l„(2)il ml ...Rl
a (4jl — 1) l^(4jl)i2jl m2jl '
^ у ...ТЙы ' ^ у 3$п(а)^ст(4к—г + 1)^(4*-^ +2)^1т1 ***^1а(4к-1) ^(4^2^т2^г ,
относительно любого ортонормированного базиса в касательном пространстве ТХ(М4к ), Здесь а обозначает перестановку в множествах индексов {1,..., 4^1>, {4^ + 1,..., 4(^1 + ^2)}, {4к — > + 1,..., 4к}, определенных разбиением (]),
3.3.4. Формула Хирцебруха
Поскольку числа Понтрягина на замкнутом ориентированном римановом многообразии выражаются через кривизны П или Я, то сигнатура многообразия вычисляется через кривизну, и имеет место формула Хирцебруха:
(3.9)
ИЛИ
(3.10)
Литература
1. Gauss, C.F. Disquisitiones generates circa superficies curvas, 1827 / C.F. Gauss // In: Dombrowski P. ’150 Years After Gauss’ ‘Disquisitiones generates circa superficies curvas’, Asterisque 62. - Paris: Soc Math de France, 1979.
2. Bonnet, O. Memoire sur la theorie generate des surfaces / O. Bonnet // J. de l’Ecole Polvtechnique. 1848. V. 19(32). P. 1-146.
3. von Dyck, W. Beitrage zur analysis situs / W. von Dyck // Math. Ann. - 1888. - B. 32.
- S. 457-512.
4. Wu, H. Historical development of the Gauss-Bonnet theorem / H. Wu // Science in China Series A: Mathematics Apr. - 2008. - V. 51, N. 4. - P. 777-784.
5. Allendoerfer, C.B. The Gauss-Bonnet theorem for Riemannian polvhedra / C.B. Allendoerfer, A. Weil // Trans. Amer. Math. Soc. - 1943. - V. 53. - P 101-129.
6. Chern, S.S. A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds / S.S. Chern // Ann. of Math. - 1944. - V. 45. - P. 747-752.
7. Chern, S.S. Pseudo-Riemannian Geometry and the Gauss-Bonnet Formula / S.S. Chern
11 Ann. Acad. Brasil Ci. - 1963. - V. 35. - P. 17-26.
8. Chern, S.S. Historical remarks on Gauss-Bonnet / S.S. Chern // In: Analysis, et cetera, Volume in Honor of Jourgen Moser. New York: Academic Press, 1990. - P. 209-217.
9. Avez, A. Formula de Gauss-Bonnet-Chern en metrique de signature quelconque / A. Avez // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1962. - T. 255. - P. 2049-2051.
10. Avez, A. Characteristic Classes and Wevl Tensor: Applications to General Relativity / A. Avez // Proceedings of the National Academy of Sciences. - 1970. - V. 6, N. 2.
- P. 265-268.
11. Pelletier, F. Quelques proprietes geometriques des varietes pseudo-riemanniennes singulieres / F. Pelletier // Annales de la facule des sciences de Toulouse 6e serie.
- 1995. - T. 4, N. 1. - P. 87-199.
12. Дубровин, Б.А. Современная геометрия / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, Ф.Т. Фоменко. - М.:Наука, 1979.
13. Altv, L.J. The Generalised Gauss-Bonnet-Chern Theorem / L.J. Altv // J.Math.Phvs.
- 1995. - V. 36. - P. 3094-3105.
14. Zund, J.D. Pontjagin numbers and pseudo-Riemannian geometry / J.D Zund // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1966. - V. 72, N. 1- P. 319-324.
15. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы / Дж. Милнор, Дж. Ста-шеф. - М.: Мир, 1979.
16. Gilkev, Р.В. Invariance theory, the heat equation, and the Ativan-Singer index theorem [Электронный ресурс]. - Режим доступа: - http://www.emis.de/monographs/gilkev/
(13.10.09).
17. Tanno, S. A formula on some odd-dimensional Riemannian manifolds related to the Gauss-Bonnet formula / S. Tanno // J. Math. Soc. Japan. - 1972. - V. 24. - P. 204-212.
18. Revenos, A. On the Gauss-Bonnet formula on the odd-dimensional manifolds / A. Reventos // Tohoku Math. J. - 1979. - V. 31, N. 2. - P. 165-178.
19. Palais, R. A global formulation of the Lie theory of transformation groups / R. Palais // Memoir of the Amer. Math. Soc. - 1957. - N. 22.
20. Chern, S.S. Lectures on Differential geometry / S.S. Chern, W.H. Chen, K.S. Lam.
- World Scientific, 2000.
21. Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. V.5 / M. Spivak
- Berkeley: Publish or Perish inc., 1979.
22. Anderson, M.T. L2 Curvature and Volume renormalization of AHE metrics on 4-manifolds / M.T. Anderson // Mathematical Research Letters. - 2001. - V. 8. -P. 171-188.
23. Bao, D. A Note on the Gauss-Bonnet theorem for Finsler spaces / D. Bao, S.S. Chern
// Ann of Math. - 1996. - V. 143(2). - P. 233-252.
24. Bell, D. The Gauss-Bonnet theorem for vector bundles [Электронный ресурс]. - Режим доступа: arXiv:math/0702162vl (2007).
25. Galaz-Garcia, E. Bounds of characteristic numbers by curvarure and radius / E. Galaz-
Garsia // Rocky Mountain J. Math. - 2009. - V. 39, N. 4. - P. 1225-1231.
26. Hsiung, C.-C. Curvature and characteristic classes of compact pseudo-Reimannian manifold / Chuan-Chih Hsiung, J.J. Levko // Rocky Mountain J. Math. - 1971. -V. 1, N. 3. - P. 523-536.
УДК 514.82
ОПИСАНИЕ ОДНОРОДНЫХ АФФИННЫХ ПРИЧИННЫХ ПОРЯДКОВ НА ТРЕХМЕРНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ГРУППАХ ЛИ
Е.В. Мякишева
В статье исследуются однородные аффинные причинные порядки на трехмерных разрешимых группах Ли относительно аффинной структуры С.П. Гаврилова.
Введение
В данной работе ставилась задача исследования однородных аффинных причинных порядковых структур, задаваемых эллиптическими конусами на трехмерных разрешимых группах Ли, снабженных полной левоинвариантной аффинной канонической [5] структурой.
Однородные конусы в n-мерном аффинном пространстве изучались
Э.Б. Винбергом [4]. Он алгебраически описал выпуклые конусы с острой вершиной, внутри которых транзитивно действует группа порядковых автоморфизмов Aut(P). Семейство равных и параллельных конусов {Cx} в An, n > 3, где Cx - множество лучей, исходящих из одной точки х, исследовал А.Д. Александров [3]. Он описал конусы Cx, на которых транзитивно действует группа Г -биекций f: An ^ An таких, что f (Cx) = Cf (x), удовлетворяющая условию: для любых у £ Cx, y1 £ Cx> существует h £ Г такая, что h(x) = x' и h(y) = у'.
В настоящей работе рассматривались эллиптические конусы, задающие левоинвариантный аффинный причинный порядок относительно канонической аффинной структуры на трехмерных связных односвязных группах Ли. Проводилось исследование для выявления однородных порядков.
Исследование показало, что на группах Ли G3I, G3VI0, G3VII0 класса 1 (в обозначениях С.П. Гаврилова [5]) аффинный причинный порядок является одновременно int - однородным, д - однородным и ext - однородным. В остальных случаях порядок не является однородным ни в одном из указанных смыслов (Теорема 2).
Получен был также следующий результат. Если через H обозначим группу Ли аффинных преобразований относительно канонической аффинной структуры, сохраняющих изотропные векторы левоинвариантной лоренцевой метрики
Copyright © 2009 Е.В. Мякишева. Омский государственный университет. E-mail: elena-myakisheva@yandex. ru
