О НЕКОТОРЫХ СРАВНЕНИЯХ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.642.2

О НЕКОТОРЫХ СРАВНЕНИЯХ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ГУЛИЕВА АРЗУ МУРАД кызы

Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

РАГИМОВА КЯМАЛЯ РАЗИМ кызы

Учитель кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

Аннотация. Как известно, одним из основных показателей в исследовании многошаговых методов с постоянными коэффициентами является их устойчивость. Устойчивость является необходимым и достаточным условиям для сходимости многошаговых методов. С учетом этого многие специалисты занимались с построением устойчивых методов. При применении устойчивых методов возникала необходимость построения устойчивых неявных многошаговых методов, учитывая их высокую точность. А при использовании неявных методов к решению некоторых математических моделей возникали определенные трудности, связанные с решением нелинейных алгебраических уравнений. Здесь, с учетом выше отмеченных, сравниваются устойчивые явные и неявные методы. Среди неустойчивых методов, предлагается использовать специальные методы типа прогноза-коррекции.

Ключевые слова: Многошаговые методы, задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), методы прогноза-коррекции, понятие устойчивость и степень.

Введение. Рассмотрим следующую классическую задачу:

которую обычно называют задачей Коши для ОДУ первого порядка. Очевидно, что найти точное решения задачи (1), удается не всегда. Поэтому многие специалисты предлагали построение приближенных методов. Здесь исследуется применение многошаговых методов к решению задачи (1). Последнее время применение линейных многошаговых методов увеличивается, что обычно связывают с расширением области применений численных методов. Для нахождения численных решений задачи (1), предположим, что задача (1) имеет единственное непрерывное решение у(х), которое определено на отрезке [х0, X], в котором имеет непрерывные производные до некоторого порядка р, включительно. А непрерывная функция /(х, у) определена в некотором замкнутом множестве в котором имеет непрерывные частные производные до некоторого порядка р , включительно. Учитывая, что здесь исследуем численное решения, обозначим через у(х) -точное значение решения задачи (1) в точке х , а соответствующие приближенные значения в точке х обозначим через у,. Точки разбиений обозначим через х1+1 = х1 + И (I = 0,1,...,N -1) . Здесь Н - является шагом разбиений отрезка [х0, X] на N -равных частей. Отметим, что задача (1) исследуется, начиная с Ньютона.

Но, численное решение в основном исследуется с Эйлера. Как известно, первый прямой численный метод построенный Эйлером обычно называют явным методом Эйлера и представляют в следующем виде:

У' = f (ХУ),У(хо) = Уо, хо ^ x ^ X,

(1)

У„+1 = У» + hf(xn,УпX n = N-1.

(2)

Этот метод развивался в двух направлениях в результате, которого, появились явные методы или методы Рунге-Кутты, а также многошаговые методы. Известным представителем многошаговых методов являются методы центральных разностей и методы Симпсона. В следующем разделе рассмотрим развитие этих методов.

1. О некоторых многошаговых методах с постоянными коэффициентами

Хронология численных методов для решения задачи (1), такова, что в начале появились методы Эйлера, Адамса (явные и неявные), методы трапеции, Симпсона и др. Для

исследования численных методов их обобщали в следующей форме (см. напр. [1]-[14]):

к к

^а,уя¥1 = , Уп+1), г = 0,1,..., N — к. (3)

г=0 г=0

Данный метод исследован в середине ХХ века и было определено максимальное значение точностей этих методов (для устойчивых и неустойчивых методов). Шура-Бура исследовал сходимость метода (3) и определил критерии для сходимости метода (3), которых назвал ограниченностью дисперсии. В работе Бахвалова указанные критерии названы как устойчивость метода (3) и доказано, что если метод (3) устойчив при акФ 0, ( = 0, то в классе методов (3) не существуют устойчивые методы со степенью р > к , для к < 10 . Отметим, что степень метода определяется в следующей форме:

Определение 1. Целозначную величину р , называют степенью метода (3), если имеет

место:

k

X (ay(xn+l) - Щу'(хп+1)) = O(hp+\ h ^ 0. (4)

i=0

Критерий устойчивости метода (3) можно определить в следующей форме:

Определение 2. Метод (3) называют устойчивым, если корни следующего характеристического многочлена

р(Л) = акЛк + а^1Лк-1 +... + а,Л + а0,

лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней.

Отметим, что устойчивость метода (3), является как необходимым, так и достаточным условием для сходимости метода (3). Метод (3) исследован многими авторами (см. напр. [15]-[35]).

Замечание 1. Метод (3) фундаментально исследован Дальквистом. Он доказал, что если метод (3) устойчив и имеет степень р , то р < 2[к /2] + 2, при этом если ак Ф 0 и ( = 0, тогда существует явный устойчивый метод со степенью р < к . Для всех к -существует устойчивый метод со степенью р = 2[к /2] + 2 для (кФ 0 и р = к для (= 0 . Отметим, что если метод (3) неустойчив, тогда имеет место: р < 2к для (кФ 0 и р < 2к — 1 для случай (= 0

. Таким образом получаем, что неустойчивый явный метод более точен, чем устойчивый метод. Специалисты утверждают, что если даже явные и неявные методы имеют одинаковые точности, то неявные методы дают лучшие результаты. С учетом сказанного, здесь постарались в решении практических задач использовать неявные методы. Для иллюстрации полученных трудностей при использовании неявных методов, в следующем разделе, рассмотрим применение конкретных методов к решению задачи (1).

2. Построение некоторых конкретных методов типа метода прогноза-коррекции

Для простоты изложений, рассмотрим сравнение явных и неявных методов Эйлера. С этой целью сравним метод (2) со следующим методом (см. напр. [36]-[47]):

Уп+1 = У» + ¥(х»+иУпЛ п = N -1. (5)

Здесь У», h и функция f (x, у) известны. Уп+1 -является неизвестным. Поэтому, уравнение (5)

является неявным алгебраическим уравнениям по неизвестным у»+1. Как известно для

решения уравнения (5) можно использовать простую итерации, которую можно представить в виде:

j = у» + hf(х»+1,у»+1), j = 0,1,2,.... (6)

Известно, что локальную погрешность метода (5), можно представить в виде: O(h2). Погрешность полученная при использовании итерационного метода измеряется по другим законам. Поэтому специалисты предложили следующую схему для использования метода (5):

y»+1 = у»+hf(х», у»); у»+1 = у»+hf(xn+l, уп+1). (7)

Если сравним методы (6) и (7), то получаем, что метод (7) можно считать лучшим. Рассмотрим следующий метод трапеции:

У»+1 = У» + h(f(x»,У») + Ла+РУп+1))/2 . (8)

Очевидно, что (8)-является нелинейным алгебраическим уравнением. С помощью метода прогноза-коррекции, метод (8) может быть представлен в виде:

У»+1 = У» + h(f (xn, У») + f (xn + h, У» + hf (xn, У»))) /2. (9)

Отметим, что метод (9) совпадает с одним вариантом метода Рунге-Кутты с вторым порядком, которую иногда называют методом Хойна Хейнза (Heun's method). Отметим, что метод Хойна в нашем случае строился с помощью применения метода прогноза-коррекции к известному методу трапеции. Отсюда, следует, что с помощью метода с забеганием вперед можно построить новые методы с новыми свойствами. Следовательно, исследование методов прогноза-коррекции можно считать одним из интересных направлений в прикладной математике. Для иллюстрации широких возможностей методов прогноза и коррекции, рассмотрим применение следующего метода к решению задачи (1):

Уп+2 = Уп + h(У» + 4y»+1 + У»+2)/3, n = 0,1,...,N - 2. (10)

После применений метода (10) к решению задачи (1) имеем:

У»+2 = У» + h( f (xn, У») + 4f (У»+1) + f (x»+2, У»+2)) / 3 , (11)

который известен как метод Симпсона. Отметим, что метод (11) является частным случаем метода (3). Метод (11) является двухшаговых, то есть для его применения требуется известность значений y0, yx один из которых y0 можно определить из начальных условий задачи Коши. А для вычисления значения y1 -можно использовать один из представителей методов Рунге-Кутты. Учитывая выше изложенные связи между порядком кх и степенью p , можно утверждать, что устойчивые методы, полученные из (3) при k = 2, имеющие максимальную точность, т.е. pmax = k + 2 совпадают с методом (10). Нетрудно проверить, что метод Симпсона устойчив и имеет степень p = 4. Выше два раза с помощью метода прогноза-коррекции описали схему для применения неявных методов Эйлера и трапеции к решению задачи (1). Нетрудно заметить, что в обоих случаях в качестве метода прогноза, подобраны

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

некоторые явные методы. В работе [12] исследован метод прогноза-коррекции типа многошаговых и доказано, что для сходимости метода прогноза-коррекции, метод коррекции должен быть устойчивым. Следовательно, метод прогноза может быть неустойчивым. Следует отметить, что подбор метода прогноза содействует для расширения области устойчивости метода коррекции. Как известно область устойчивости метода прогноза расширяет область устойчивости метода Симпсона (см. напр. [12], [18], [46]). Отсюда следует, что явные методы также могут быть полезными. Следовательно, исследование таких методов следует продолжить. Не всегда метод прогноза можно подобрать как неустойчивый метод. Для объяснения этой ситуации, рассмотрим метод Симпсона, как метод коррекции. Сперва в качестве метода прогноза используем метод центральных разностей, тогда имеем:

Уп+2 = Уп+1 + Уп+1) , (12)

Уп+ 2 = Уп + К/(Хп+ 2, Уп+ 2) + 4/(*п+1, Уп+1) + /(Хп , Уп ))/3 . (13)

Если обозначим через рп -точность метода прогноза, а через рк -точность неявного метода, то для сохранения точности метода коррекции рп должен удовлетворять следующему условию,

рп ^ рк — 1. (14)

В нашем случае условие (14) не выполняется, так как степень метода (12) равно рп = 2, а степень метода (13) равно рк = 4. Отсюда следует, что метод (12) нужно менять. Однако, по

выше описанным законам (Дальквиста) получаем, что в данном случае методы прогноза и коррекции устойчивы и имеют степень р < 2 и р = 4. Следовательно, для выполнения условия (14), метод (12) нужно заменить неустойчивым методом. С этой целью можно использовать неустойчивый метод

ЪА

Уп+2 = —4Уп+1 + 5 Уп + К4Уп+1 + 2 Уп) , Яп = -У" Ю) (Хп <Ю< Хп+2), (15)

6

со степень р = 3 . Здесь предлагается использовать следующую схему:

'Уп+2 = Уп+1 + 2¥ ( ХпУп+Л

Уп+2 = Уп + К/ (Хп+ ^ Уп+ 2) + 4/^ Уп+,) + /(Хп, Уп ))/3, (16)

Уп+2 = Уп + Ч/ (Хп+2 , Уп+ 2 ) + 4/(Хп+1, Уп+1) + /(Хп, Уп )) / 3.

Отметим, что методы (12) и (13) совпадают с методом (16) с одним различием, что в методе (16) метод (13) использовался два раза. Поэтому их можно считать одинаковыми. Метод (16) имеет некоторые преимущества. Например, в методе (16) прогнозируемое значение вычисляется с помощью устойчивой формулы. Рассмотрим построение метода прогноза-коррекции с использованием метода (3).

3. Построения обобщенного метода прогноза-коррекции Как было отмечено выше, метод (3) является обобщенным линейным многошаговым методом. Рассмотрим построение метода прогноза-коррекции с использованием метода (3).

Очевидно, что метод (3) можно рассмотреть как нелинейное алгебраическое уравнение для нахождения неизвестного Уп+к с предположением, что ак Ф 0. Тогда из (3), при ак = 1, можно написать (см. напр. [48]-[65]):

к -1 к

Уп+к = -Tjaiyn+¡ + h^f, (17)

i=0 i=0

здесь fm = f (xm, ym), m = °Д,2,..., N - к.

Очевидно, что если /ЗкФ 0, тогда метод (17) будет неявным методом для нахождения решения уи+1, а в случае fk = 0 метод (17) будет явным. Обозначим решение уравнения (17) через уп+к для случая f = 0 . Тогда метод коррекции можно написать в виде:

к-1

Уп+к = -Е (а'Уп+i - hf ) + hfkf (Хп+к , уп+к ) . (18)

i=0

В работе [46] исследован метод прогноза-коррекции построенный по схеме (17) и (18) и доказано, что если метод (17) имеет степень p -1, а метод (18) устойчив и имеет степень p , вычисленные начальные значения имеют точность p, тогда выше построенный метод прогноза-коррекции сходится, а порядок сходимости равен p . Метод прогноза-коррекции с использованием метода (15) может быть представлен в следующей форме:

Уп+2 = (20Уп+i - 13Уп)/7 + h(10fn + 4fn+i)/7,

Уп+2 = Уп + h(fn + 4/п+1 + f (Хп+2, 3>п+2))/3-

Отметим, что этот метод полученным из метода (15) является новым и удовлетворяет всем требованиям, представляемым к формулам прогноза. Метод, использующий формулу (15), как метод прогноза, а метод Симпсона как метод коррекции, имеет некоторые преимущества. А теперь для иллюстрации выше полученных результатов рассмотрим следующую задачу:

У = cos x, у(0) = 0, 0 < x < 1 (точное решение: у(х) = sin x ). (19)

К решению этой задачи применим метод Симпсона и его модификации, представляемые в следующей форме:

Уп+2 = Уп + h( Уп+1 + 4 уп+1/2 + Уп )/6. (20)

Результаты размещены в следующей таблице:

Таб.1. Решения задачи (19) по методам Симпсона и его модификации:

xn h = 0,1 h = 0,05 h = 0,01

модификация Симпсон модификация Симпсон модификация Симпсон

0.2 6.9 Е-9 1.0 Е-7 4.3 Е-10 6.8 Е-9 6.8 Е-13 1.1 Е-11

0.6 1.9 Е-8 3.0 Е-7 1.2 Е-9 1.9 Е-8 1.9 Е-12 3.1 Е-11

1 2.9 Е-8 4.4 Е-7 1.8 Е-9 2.8 Е-8 2.9 Е-11 4.6 Е-11

Выводы. В решении многих прикладных задач возникает необходимость построения численных методов, которые позволяют найти решение исследуемой задачи с высокой точностью. Очевидно, что метод может быть более точен, но полученные результаты могут быть не на высоком уровне. Очень часто этот вопрос можно решить с помощью замены метода прогноза. Однако в таких случаях полезно использование двусторонних численных методов. Используя значения, вычисленные методами прогноза и коррекции, можно установить расположение точного значения решения исследуемой задачи. Отсюда следует, что если

локальные погрешности методов прогноза и коррекция имеют разные знаки, то точные значения решений исследуемой задачи будут находиться внутри отрезка, а граничные точки вычисляются по предлагаемым формулам прогноза и коррекции. Таким образом, получаем, что методы прогноза и коррекции желательно подбирать так, чтобы точные значения решений исследуемой задачи находились между значениями вычисленными методами прогноза и коррекции. Считаем, что изложенные здесь методы найдут своих последователей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dahlquist G., Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations, Math. Scand, 1956, No 4, p. 33-53.

2. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., On the investigation of multistep methods with constant coefficients, Lap Lambert, Academi Publising 2013, 314 p.

3. Iserles A., Norset S.P., Two-step methods and Bi-orthogonality, Math. Of Comput, no.180, 1987, p. 543-552.

4. Ibrahimov V.R., A relationship between order and degree for a stable formula with advanced nodes, Computational Mathematics and Mathematical Physics (USSR) 30, 1990, p. 1045-1056.

5. Mehdiyeva G., Imanova M., Ibrahimov V., An Application of Mathematical Methods for Solving of Scientific Problems, British Journal of Applied Science & Technology, 2016, p. 1-15.

6. Shura-Bura M.R. Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations, Prikl. mathem. and mech., 1952, № 5, p. 575-588, (Russian).

7. Mehdiyeva G.Y., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., General hybrid method in the numerical solution for ODE of first and second order, in: Recent Advances in Engineering Mechanics, Structures and Urban Planning, Cambridge, UK, 2013, p. 175-180.

8. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., On a way for constructing numerical methods on the joint of multistep and hybrid methods, World Academy of Science, engineering and Technology, Paris, 2011, p. 240-243.

9. Bakhvalov N.S., Some remarks on the question of numerical interfration of differential equation by the finit - difference method, Academy of Science report, USSA, N3, 1955, p. 805-808 (Russian).

10. Mehdiyeva Q.Yu., Ibrahimov V.R., Nasirova I.I., On some connections between Runge-Kutta and Adams methods, Transactions issue mathematics and mechanics series of physical-technical and mathematical science, 2005, 5, p. 55-62.

11. Mamedov Ya.D., Approximate methods for solving ODE, Maarif, Baku, 1974, 175 p. (Russian).

12. Ibrahimov V.R., Relationship between of the order and the degree for a stable forward-jumping formula, Prib. operator methods. urav. Baku 1984, p. 55-63.

13. Juraev D.A., Cauchy problem for matrix factorizations of the helmholtz equation, Ukrainian Mathematical Journal 69 (2018) p. 1583-1592.

14. Henrici P., Discrete variable methods in ODG, John Wiley and Sons, Inc, New York. London, 1962.

15. Mehdiyeva G., Imanova M., Ibrahimov V., One a way for Constructing hybrid Methods with the Constant Coefficients and their Applied, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 225 p., 2017.

16. Ibrahimov V.R., Mehdiyeva G.Yu., Xiao-Gunag Yue, Mohammmed K.A. Kaabar, Samad Noeiaghdam, Juraev D., Novel symmetric numerical methods for solving symmetric mathematical problems, international Journal of circuits, systems and signal processing, 2021 Volume 15, p. 1545-1557.

17. Shura-Bura M.R., Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations, Prikl. matem. and mech., 1952, № 5, p. 575-588 (Russian).

18. Mukhin I.S., By the accumulation of errors in the numerical integration of differential-differential equations, Prikl. mat. and mech., 1952, V.6, p. 752-756 (Russian).

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

19. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Finite difference methods with improved properties and their application to solving some model problems, 2022 International Conference on Computational Science and Computational Intelligence (CSCI), 2023, p. 464-472.

20. Ibrahimov V., Qurbanov I., Shafiyeva G., Quliyeva A., Rahimova K., On Some Ways For Calculation Definite Integrals, Slovak international scientific journal, vol. 79, p. 27-32, 2017.

21. Hairer E., Lubuch C., Wanner G., Geometric numerical integration, Second Edition, Springer (2004) 644 p.

22. Burova I.G., Alcybeev G.O., Solution of Integral Equations Using Local Splines of the Second Order, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Volume 17, 2022, p. 258262.

23. Ibrahimov V., Imanova M., Multistep methods of the hybrid type and their application to solve the second kind Volterra integral equation, Symmetry 6 (2021) 13.

24. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.

25. Burova I.G., Application local plynominal and non-polynominal splines of the third order of approximation for the construction of the numerical solution of the Volterra integral, WSEAS Transactions on Mathematics, 2021.

26. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13531360.

27. Ибрагимов В.Р., Шафиева Г.Х., О Некоторых Применениях Метода Прогноза-Коррекции, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 284-290.

28. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of a second derivative multi-step method to numerical solution of Volterra integral equation of second kind, Pakistan Journal of Statistics and Operation Research, 28.03.2012, p. 245-258.

29. Babushka I., Vitasek E., Prager M., Numerical processes for solving differential equations, Mir 1969, 368 p.

30. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the Construction of the Multistep Methods to Solving the Initial-Value Problem for ODE and the Volterra Integro-Differential Equations, IAPE, Oxford, United Kingdom, 2019.

31. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, American Journal of Biomedical Science and Research, 2023/06, p. 7480.

32. Burova I.G., Fredholm Integral Equation and Splines of the Fifth Order of Approximation, WSEAS Transactions on Mathematics, Volume 21, 2022, p. 260-270.

33. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., About some applications multistep methods with constant coefficients to investigation of some biological problems, American Journal of Biomedical Science and Research, vol. 18, 2023, p. 531-542.

34. Ibrahimov V.R., On the maximal degree of the k-step Obrechkoffs method. Bulletin of Iranian Mathematical Society, Vol.28, No 1, 2002, p. 1-28.

35. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2016, Springer India, p. 1047-1056.

36. Шафиева Г.Х., О некоторых преимуществах многошаговых методов типа гибридных, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 380-388.

37. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13.

38. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure, WSEAS TRANSACTIONS ON SYSTEMS, DOI: 10.37394/23202.2023.22.20, p. 199-206.

39. G. Mehdiyeva, V.Ibrahimov, M.Imanova, On a calculation of definite integrals by using of the calculation of indefinite integrals, SN Applied Sciences 1, 1-8, 2019.

40. Deepa S., Ganesh A., Ibrahimov V., Santra S.S., Govindan V., Khedher K.M., Noeiaghdam S., Fractional fourier transform to stability analysis of fractional differential equations with prabhakar derivatives, Azerbaijan Journal of Mathematics, 2022/7/1, p.131-153.53—1360.

41. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order, AIP Conference Proceedings, p. 506-510, 2012.

42. Turayev D.A., Ibrahimov V.R., Agarwal P., Regularization of the Cauchy problem for Matrix Factorizations of the Helmholn equation on two-dimentional Bounded Domain, Palestine Journal of Mathematics 12(1), 2023

43. Mehdiyeva G.., Ibrahimov V., Imanova M., On one Application of Hybrid methods for solving Volterra integral equations, World Academy of Science, Engineering and Technology, 61, 2012.

44. Mehdiyeva G.Y., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., On one generalization of hybrid methods, Prossidings 4 th International conference on approximation methods, 2011.

45. Akinfenwa O.A., Akinnukawe B., Mudasiru S.B., A Family of Continuous Third Derivative Block Methods for solving stiff systems of first order ordinary differential equations, Department of Mathematics University of Nigeria, 11.03.2015.

46. Ibrahimov V.R., On a nonlinear method for numerical calculation of the Cauchy problem for Ordinary Differential equation, Dif. Equation and Application, Pros. of II International Conference Russe, Bulgaria, 1982.

47. Faruk Muritala, Abdul Azeez K.Jimooh, Muiden O.Oguniran, Abdulmalik A.Oyedeji, Jafaar O.Lawal, k-step block hybrid method for numerical approximation of fourth-orderordinary differential equations, 2012.

48. Dachollom Sambo, Chollom J.P., Oko Nlia, High order hybrid method for the solution of ordinary differential equations, 2019, p. 31-34.

49. G.Y.Mehdiyeva, M.N.Imanova, V.R.Ibrahimov, An application on the hybrid methods to the numerical solution of ordinary differential equations of second order, Vestnik KazNU, ser., math., mech., inf 4, 46-54, 2012.

50. VR Ibrahimov, Convergence of predictor-corrector method, Godishnik na visshite uchebni zavedeniya, Prilozhno math., Sofiya, Bulgariya, 1984.

51. M Galina, I Vagif, I Mehriban, On the construction of the advanced Hybrid Methods and application to solving Volterra Integral Equation, WSEAS Transactions on Systems and Control 14, 183-189, 2019.

52. G Mehdiyeva, M Imanova, VR Ibrahimov, On an application of the finite-difference method, News BSU, (2), 73-78, 2008.

53. VR Ibrahimov, MN Imanova, On a research of symmetric equations of Volterra type, Int. J. Math. Models Methods Appl. Sci 8, 434-440, 2014.

54. Akram Mova., Ali Abdi, Gholamreza Hojjati, A Hybrid method with optimal stability properties for the numerical solution of stiff differential systems, Computational Methods, for differential equations, 2016, p. 217-279.

55. G.Mehdiyeva, V.Ibrahimov, M.Imanova, General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA, 2016.

56. MN Imanova, One the multistep method of numerical solution for Volterra integral equation, Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci 26(1), 95-104, 2006.

57. GY Mehdiyeva, VR Ibrahimov, MN Imanova, On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, 2012.

58. I.G.Burova and G.O.Aloybeev, The application of splines of the seventh order approximation to the solution of Fredholm Integral equations, WSEAS Transactions on Mathematics, vol.22, pp.409-418, 2023. https://doi.org/10.37394/23206.2023.22.48

59. I.G.Burova, Fredholm integral equation and splines of the fifth order of approximation, WSEAS Transactions on Mathematics, vol.21, pp.260-270, 2022. https://doi.org/10.37394/23206.2022.21.31

60. I.G.Burova, On left integro-differential splines and Gauchy problem, International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol. 9, pp.683-690, 2015.

61. I.G.Burova and G.O.Aloybeev, Application of splines of the second order approximation to Volterra integral equations of second kind application in systems theory and dynamical systems, International Journal of Circuits, Systems and Signal Processing, vol. 15, pp. 63-71, 2021. https://doi.org/10.46300/9106.2021.15.8

62. V.R.Ibrahimov and M.N.Imanova., On some modifications of the gauss quadrature method and its application to solve of the initial-value problem for ODE, International Conference on Wireless Communications, Networking and Applications, pp. 306-316, 2021. https://doi.org/10.1007/978-981-99-3951-0 35

63. D.A.Juraev, Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation, Ukrainian Mathematical Journal, vol. 69, no. 10, pp. 1583-1592, 2018. https://doi.org/10.1007/s11253-018-1456-5

64. Y.Xiao-Guang, S.Sahmani, W.Huang, and B.Safaei, Three-dimensional isogeometric model for nonlinear vibration analysis of graded inhomogeneous nanocomposite plates with inconstant thickness, Acta Mechanica, vol. 234, pp.5437-5459, 2023. https://doi.org/10.1007/s00707-023-03669-1

65. S.Y.Zheng, H.Liu, M.Hafeez, X.Wang, S.Fahad, and Y.Xiao-Guang, Testing the resource curse hypothesis: The dynamic roles of institutional quality, inflation and growth for Dragon, Resources Policy, vol. 85, p. 103840, 2023. . https://doi.org/10.1016/j.resourpol.2023.103840