О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ ДВУСТОРОННИХ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.642.2

О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ ДВУСТОРОННИХ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ШАФИЕВА ГЮЛЬШАН ХАЛИК кызы

Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

ГУЛИЕВА АРЗУ МУРАД кызы

Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

Аннотация. Многие задачи естествознания сводятся к решению начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому построение методов с новыми свойствами для решения ОДУ всегда представляет интерес для специалистов из разных стран. Наиболее популярными методами решения ОДУ первого порядка являются классы одношаговых и многошаговых методов. Среди одношаговых методов, часто применяемыми являются классические методы Рунге-Кутты. Отметим, что эти классы методов пересекаются в явном методе Эйлера, поскольку явный метод Эйлера получается из этих классов методов как частный случай. Отсюда следует, что эти классы методов имеют тесные связи. С учетом выше сказанного, здесь построены двусторонние методы, имеющие разные точности. А также исследованы связи между этими классами методов и показано, представление одношаговых методов в виде многошаговых. Для иллюстрации приведены некоторые конкретные методы.

Ключевые слова: Многошаговые и Одношаговые методы, Устойчивость и Точность, методы Рунге и Симпсона, Максимальная точность.

Введение. Увеличение количества аномальных процессов в природе, заставили ученых изучать их происхождение. В результате, чего стало понятно, что многие из этих аномальных явлений имеют тесные связи с движениями небесных тел. Известно, что движение небесных тел описывается с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. С учетом сказанного, рассмотрим исследование следующей задачи (см. например, [1]-[14]):

у' = fix y)> y(xo) = Уo, x0 ^ x ^ X • (1)

Предполагаем, что задача (1) имеет единственное непрерывное решение, которое определено на отрезке [x0, X]. А непрерывная по совокупности аргументов функция f (x, y) определена в некотором замкнутом множестве, где имеет непрерывные частные производные до некоторого порядка р , включительно.

Для нахождения численного решения задачи (1), разобьем отрезок [x0, X] с помощью постоянного шага h на N -равных частей. А точки разбиений обозначим, как x.+1 = x + h (h > 0; i = 0,1,2,..,N -1).

С учетом равенства,

x

y( x) = y( x0) + { y'(s)ds, (2)

x0

решение задачи (1) можно представить в следующем виде:

у(х) = у(х0) + |/(S, Я^))^. (3)

хо

Очевидно, что если здесь заменить интеграл с соответствующей интегральной суммой и учесть в равенстве (3), то получим некоторый численный метод для решения задачи (1). Отметим, что если значения переменной х, подобрать как х0 + к , то полученный метод будет

одношаговым. Полагая в (3) х = 2к, и используя метод Симпсона получаем, что (см. например, [15]-[22]):

У 2 = Уо + к(/(х0, Уо) + 4/(х,, у,) + / (х2, У2))/2. (4)

Если в равенстве (4), заменим к , через к / 2, то имеем:

У, = Уо + к(/(хо, Уо) + 4/(хо + к/2, уш) + / (х0 + к, у,))/3. (5)

Метод (5) является одношаговым, а метод (4) двухшаговым. Известно, что методы Рунге-Кутты являются одношаговыми, и классическими методами Рунге-Кутты считаются явные методы. Но метод (5) не относится к классу классических методов Рунге-Кутты, так как он является неявным методом. Метод (5) относится к классу методов 4-го порядка. Цель данной работы заключается в сравнении одношаговых и многошаговых методов, с этой целью используются метод Симпсона (как многошаговый) и метод Рунге-Кутты 4-го порядка имеющий следующий вид:

Уи+1 = Уп + (К + 2К2 + 2К з + *4)/6, (6)

здесь К, = к/(хп, Уп), К2 = к/(хп + к/2, Уп + К,/2), К3 = /(хп + к/2, Уп + К2/2),

К = к/(х„ + к,Уп + К3) с локальной погрешностью ск5 + 0(к6), к ^ о.

Отметим, что локальная погрешность метода Симпсона имеет подобную структуру, т.е.

схк5 + 0(кб), к ^ о.

Рассмотрим сравнение, одношаговых методов (5) и (6). Выше отмечено, что эти методы применяются к решению начальной задачи для ОДУ первого порядка, а также к вычислению определенных интегралов. В случае у'(5) = ^(5), К = <Ро, К =Ф\и, К = Ф\и,К4 = ^ , с учетом выше сказанного, метод (6) можем представить в виде:

Уп+, = Уп + К^п + 4%+!/2 +^п+,)/6-

Таким образом, установили некоторую связь между классами многошаговых и одношаговых методов. С учетом локальных погрешностей, можно утверждать, что полученная оценка для погрешностей численных методов ограничена для достаточно малых к > о. Поэтому возникает вопрос о достоверности вычисленных значений искомого решения исследуемой задачи. Здесь использовали значения, вычисленные по методам прогноза и коррекции. Однако, в некоторых случаях, когда решение исследуемой задачи являлась возрастающей, полученные результаты вызывали сомнения. Поэтому для получения более достоверных результатов далее использовали двусторонние методы (см. например, [23]-[28]).

Построение двусторонних методов. Как известно, первый прямой метод для решения задачи (1), построенный Эйлером, может быть представлен в следующей форме:

y«+i = Уп + hf (xn, yn), n = 0,1.2.....N -1. (7)

Легко понять, что локальную погрешность метода (7) можно представить в виде:

h2y"n /2 + O(h3), h ^ 0. (8)

Отметим, что метод (7) является явным, одношаговым, поэтому его легко можно применить к решению разных задач. Последователи Эйлера, использовали способ, предложенный Эйлером, и построили следующий метод:

Уп+1 = Уп + hf(xn+i,Уп+i), п = 0,1,2,..,N -1. (9)

Очевидно, что метод (9) является нелинейным алгебраическим уравнением неявного типа. Следовательно, найти решение уравнения (9) нелегко. Чтобы упростить рассматриваемый метод (9), представим его в виде:

Уп +1 = Уп + hf(xn Уп + hf (xn , Уп (10)

который называется методом прогноза и коррекции. Операцию, используемую в построении метода (10) можно назвать простой рекурцией. Отметим, что локальную погрешность метода (10) можно представить в следующей форме:

- h2y" /2 + O(h3), h ^ 0. (11)

Сравнивая представления (8) и (11) получаем, что точное значение решения исследуемой задачи всегда находится, между уи+1 и уи+1. Нетрудно, понять, что полусумма

этих значений, ~п+1 = (уп+1 + уП+1) / 2 является более точной. Действительно, в результате

использования полусуммы получаем следующий метод:

~п+1 = УП + h( У'П+1 + у'п+1)/2,

который является методом трапеции.

Из выше изложенных, следует, что метод трапеции может быть построен с использованием явного и неявного метода Эйлера. Однако, отсюда не следует, что метод трапеции заменяет метод Эйлера. С помощью методов Эйлера, можно удостовериться в вычисленных приближенных значениях решения исследуемой задачи. Отметим, что при использовании этих методов с применением

Уп+1 = (УП+1 + УП+1)/2,

точность вычисленных значений ( уяп+х вычисленная по явным, а y^j вычисленная по неявным методам) не уменьшается. Алгоритм выше описанной схемы, можно представить:

1. Для значений, n = 0,1,...,N выполнить

2. Вычисления значений:

уП+1 = Уп + hf (xn, УП); уП+1 = УП + hf (xn+1, Уп+1);

3. Вычисления полусуммы:

Уп+1 =(уяп+1 + уП+1)/2; печать уП+1; у„"+1; Уп+1. Переход к следующему

4. Если n < N -1, переход к шагу 2, переход к следующему

5. Конец.

Отметим, что эти методы имеют одинаковые точности, и главные члены в асимптотических соотношениях совпадают по абсолютной величине. При построении двусторонних методов, знак у коэффициентов в нелинейной части является одним из основных факторов. Если эти коэффициенты положительны, то в построении двусторонних методов никаких трудностей не возникает. Но, если некоторые коэффициенты в этих методах отрицательны, то для определения соответствующими методами нижнего значения, в формуле должны быть верхние значения и наоборот. Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример:

Уп+2 = Уп + К"/п+2 + Ь/п+1 + / )• (12)

Если по этой формуле определяем верхнее значение решения задачи (1) в точке хп+2, коэффициенты которого положительны (а > 0, Ь > 0, с > 0), то

Уп+2 = Уп + Ка/(х п+2^ Уп+2 ) + ь/ (х

п+1Э Уп+1) + с/(хп, Уп ))• А если а < 0 и с < 0, то метод должен имеет следующую форму:

Уп+2 = Уп + Ка/(хп + 2 , Уп + 2) + Ь/(хп+1, Уп+1) + с/(хп , Уп )),

здесь через У -обозначено нижнее значение для искомых решений в точке хи. Отметим, что

верхнее значение в точке хи искомых решений обычно обозначают в виде: Ут (см. [26]). Если обобщим все выше предложенные методы, то имеем

к.

г=0

= , n = 0,1,..,N - k, (13)

здесь коэффициенты щ,Д (г = 0,1,..,к) некоторые действительные числа, причем ак ^ 0. Метод (13) обычно называют многошаговым или к -шаговым методом. В последнее время, некоторые авторы метод (13) называют конечно-разностным методом (см, например [1]-[25]). Отметим, что метод (13) фундаментально исследован Дальквистом. Некоторые

авторы, для построения более точных методов используют методы с забеганием вперед, которые в одном варианте могут быть построены в форме (см, например [28]-[38]):

к-т к

Е«, У п+г = +г , п = 0,1,.., N - к + т т > 0щк-т * 0. (14)

г=0 г=0

Не трудно, понять, что эти классы методов не совпадают. Формально, можно рассмотреть случай, Рк_т+1 = Рк-т+2 = ••• = Д= 0, в котором эти классы методов можно считать совпадающими при обозначении I = к — т. Однако, метод (13) будет к -шаговым, а метод (14) I -шаговым, но при этом некоторые свойства будут совпадать, например максимальная точность для этих методов. Если метод (13) устойчив и имеет степень р, то существуют устойчивые методы со степенью р = 2[к /2] + 2. А если метод (4) имеет степень р и устойчив, то р < к + т +1. Здесь понятия степень и устойчивость для методов определяется в виде.

Определение 1. (Дальквист). Если корни характеристического многочлена р(Л) = акЛк + ак_х№-1 +... + ахЛ + Я0 лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней, то метод (13) называют устойчивым.

Определение 2 (Дальквист). Целозначную величину р называют степенью метода (13), если имеет место следующее асимптотическое равенство:

к

£ (а у(х + ¡к) - Щ у' (х + Щ = й(кр+1), к ^ 0. (15)

I=0

С помощью простых сравнений методов (13) и (14) получаем, что устойчивые методы типа (14) более точны. Однако, при применении метода типа (14), возникает необходимость нахождения значений приближенного решения исследуемой задачи в последующих точках, что создает дополнительные трудности в использовании методов типа (14). Однако, указанный недостаток можно устранить с помощью методов прогноза-коррекции со специальной структурой. Некоторые интересные результаты в этом направлении получены в работах [45]-[52]. Для иллюстрации сказанного, рассмотрим следующий метод:

Уп+1 = Уп - к(/п+2 - 8/„+1 - 5/)/12. (16)

Очевидно, что для применения метода (15) к решению задачи (1), потребуется нахождение значения уп+2. С этой целью, можно использовать следующий метод:

Уп+2 = -4 Уп+1 + 5 Уп + к(4/п+1 + 2/п), (17)

с учетом которого в (15) имеем:

Уп+1 = Уп + к(8/п+1 + 5/п)/12 - к/(хп+2,4Уп+1 + 5Уп + к(4/п+1 + 2/п))/12.(18)

Отметим, что метод (17) неустойчив и имеет степень р = 2. Как известно, при использовании метода прогноза-коррекции формула прогноза может быть неустойчивой. Метод (18) является устойчивым и неявным, имеет степень р = 3 и может быть использован как одношаговый метод. Следовательно, с помощью методов с забеганием вперед можно построить устойчивый метод со степенью р > 2к. Очевидно, что метод (18) не входит в класс многошаговых методов, однако имеет некоторую связь с названными методами. Рассмотрим случай к = 3 и т = 1 в методе (14) и построим метод с максимальной степенью. Тогда имеем

Уп+2 = (11Уп + 8Уп+1)/19 + к(10/п + 57/п+! + 24/п+2 - /п+з)/57, (19)

локальная ошибка, которой имеет следующий вид:

Яп = -11кб у (6) / 3420 + 0(к1).

Если значение Уп+3 -заменим, через какую-нибудь явную формулу, то в результате получим двухшаговый метод со степенью р = 5, который является более точным, чем методы полученные из класса методов (13).

Выводы. Учитывая некоторые преимущества двусторонних методов, здесь рассмотрена их иллюстрация с помощью хорошо известных методов Эйлера. Известно, что первый двусторонний метод построен Чаплыгином, его относят к числу двусторонних

аналитических методов. Ранее с помощью двусторонних аналитических методов строились приближенные двусторонние решения и вычислялись численные значения этих решений в соответствующих точках разбиений. Но, в последнее время двусторонние методы строятся с помощью численных методов Рунге-Кутты и Адамса. Впервые такие двусторонние методы с высокой точностью были построены А.Д. Горбуновым и Ю. Шаховым, с помощью многошаговых методов с постоянными коэффициентами. Двусторонние многошаговые методы также исследованы в работах В.Р. Ибрагимова, Н.М. Гасанова и т.д. Здесь построенный двусторонний метод отличается от известных тем, что этот метод легко приспосабливается для реализации составления программ. При вычислении приближенных значений искомых решений с помощью названного метода приходится использовать значения искомого решения в последовательных точках. Таким образом, в этих методах используется информация об искомых решениях до и после текущей точки. Если решение искомой задачи резко меняет свойства, как возрастание или убывание, тогда результаты, найденные по методам с забеганием вперед, будут более точны. Описанный здесь способ, представляет как научный, так и практический интерес. Считаем, что этот способ найдет своих последователей.

ЛИТЕРАТУРА

1. V.R. Ibrahimov, "On the maximal degree of the k-step Obrechkoff s method," Bulletin of Iranian Mathematical Society, vol. 28, no. 1, pp. 1-28, 2002.

2. G.Yu. Mehdiyeva and V.R. Ibrahimov, "On the research of multi-step methods with constant coefficients,"Monograph, Lambert. acad. publ., 2013.

3. H. Han, L. Chen, H. Lin, D. Nelson, M. Otilia, and Y. Xiao-Guang, "Risk factor identification of sustainable guarantee network based on logistic regression algorithm," Sustainability, vol. 11, no. 13, p. 3525, 2019. https://doi.org/10.3390/su11133525

4. M.N. Imanova, "One the multistep method of numerical solution for Volterra integral equation," Transactions issue mathematics and mechanics series of physical -technical and mathematical science, vol. ХХВ1, no. 1, pp.95-104, 2006.

5. I.G. Burova and G.O. Aloybeev, "The application of splines of the seventh Order approximation to the solution of Fredholm Integral equations," WSEAS Transactions on Mathematics, vol. 22, pp. 409-418, 2023. https://doi.org/10.37394/23206.2023.22.48

6. I.G. Burova, "Fredholm integral equation and splines of the fifth order of approximation," WSEAS Transaction on Mathematics, vol. 21, pp. 260-270, 2022. https://doi.org/10.37394/23206.2022.21.31

7. G. Dahlquist, "Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations,"Math. Scand., no. 4, pp. 33-53, 1956. https://doi.org/10.7146/math.scand.a-10454

8. G. Mehdiyeva, M. Imanova, and V. Ibrahimov, "Some advantages of the hybrid methods, which used the first derivative of the solution of the considered problem," International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol. 16, pp. 42-47, 2022. https://doi.org/10.46300/9101.2022.16.8

9. G. Dahlquist, "Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equation," Trans. Of the Royal Inst. Of Techn., Stockholm, Sweden, vol. 130, pp. 3-87, 1959.

10. V.R. Ibrahimov and M.N. Imanova, "On Some Modifications of the Gauss Quadrature Method and Its Application to Solve of the Initial-Value Problem for ODE," International conference on wireless communications, networking and applications, 2021, pp. 306-316. https://doi.org/10.1007/978-981-99-3951-0 35

11. I.G. Burova, "On left integro-differential splines and Gauchy problem," International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol. 9, pp. 683-690, 2015.

12. I.G. Burova and G.O. Aloybeev, "Application of splines of the second order approximation to Volterra integral equations of second kind Aplication in systems Theory and Dynamical systems,"

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

InternationalInternational journal of circuits, systems and signal processing, vol. 15, 63-71, 2021. https://doi.org/10.46300/9106.2021.15.8

13. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, and M.N. Imanova, "On the construction test equations and its applying to solving Volterra integral equation," Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012, pp.109-114.

14. J. Kobza, "Second derivative methods of Adams type," ApplikaceMath., vol. 24, p. 38, 1963.

15. V.R. Ibrahimov and M.N. Imanova, "The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure," WSEAS Transactions on Systems, vol. 22, pp.199-206, 2023. https://doi.org/10.37394/23202.2023.22.20

16. G.Yu. Mehdiyeva, M.N. Imanova, and V.R. Ibrahimov, "On a research of hybrid methods," Numerical Analysis and Its Applications, Springer, pp. 395-402, 2013.

17. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov and M.N. Imanova, "On one application of hybrid methods for solving Volterra integral equations," World Academy of Science, Engineering and Technology, vol. 61, pp. 809-813, 2012.

18. A.F. Verlan and V.S. Sizikov, "Integral equations: methods, algorithms, programs," Kiev, Naukova Dumka, 1986.

19. D.A. Juraev, "Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation," Ukrainian Mathematical Journal, vol. 69, no. 10, pp. 1583-1592, 2018. https://doi.org/10.1007/s11253-018-1456-5

20. D.A. Juraev, V. Ibrahimov, and P. Agrawal, "Regularization of the Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation on a two-dimensional bounded domain," Palestine Journal of Mathematics, vol. 12, no. 1, pp. 381-403, 2023.

21. G.M. Mehdiyeva, M.M. Imanova, and V.R. Ibrahimov, "On one generalization of hybrid methods," In Proceedings of the 4th international conference, 2011.

22. V. Ibrahimov and M. Imanova, "Multistep methods of the hybrid type and their application to solve the second kind Volterra integral equation," Symmetry, vol. 13, no. 6, pp. 1-23, 2021. https://doi.org/10.3390/sym13061087

23. Vagif Rza Ibrahimov, Yue Xiao-Guang, and Davron Juraev, "On some advantages of the predictor corrector methods," IETI Transactions on Data analysis andforecasting (iTDAF), vol. 1, no. 4, pp. 79-89, 2023. https://doi.org/10.3991/itdaf.v1i4.46543

24. D.A. Juraev, M.M. Jalalov and V.R. Ibrahimov, "On the formulation of the Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation," Engineering Applications, vol. 2, no. 2, pp. 176-189, 2023. https://doi.org/10.33773/jum.543320

25. G. Mehdiyeva, V. Ibrahimov, and M. Imanova, "General theory of the applications of multistep methods to calculation of the energy of signals," In: Zeng, QA. (eds) Wireless Communications, Networking and Applications. Lecture Notes in Electrical Engineering, Springer, New Delhi vol. 348, pp. 1047-1056, 2016. https://doi.org/10.1007/978-81-322-2580-5 95

26. V. Ibragimov, About one way to construct two-sided method, Appl. Math., Sofia, Bulgaria, 1984, p. 199-207.

27. M.N. Imanova and V.R. Ibrahimov, "The application of Hybrid methods to solve some problems of mathematical biology," American journal of Biomedical Science and Research, vol 18, no. 2, pp. 74-80, 2023. https://doi.org/10.34297/AJBSR.2023.18.002436

28. V.R. Ibrahimov and M.N. Imanova, "About some applications multistep methods with constant coefficients to investigation of some biological problems," American Journal of Biomedical Science and Research, vol. 18, no. 6, pp.531-542, 2023. https://doi.org/10.34297/AJBSR.2023.18.002522

29. G. Mehdiyeva, M. Imanova, and V. Ibrahimov, "An Application of Mathematical Methods for Solving of Scientific Problems," British Journal of Applied Science & Technology, vol. 14, no. 2, pp.1-15, 2016. https://doi.org/10.9734/BJAST/2016/22964

30. G. Mehdiyeva, M. Imanova, and V. Ibrahimov, "A way to construct an algorithm that uses hybrid methods," Applied Mathematical Sciences, vol. 7, no. 98, pp.4875-4890, 2013. https://doi.org/10.12988/ams.2013.36346

31. A.A. Makroglou, "Block - by-block method for the numerical solution of Volterra delay integro-differential equations," Computing, vol. 30, no.1, pp.49-62, 1983. https://doi.org/10.1007/BF02253295

32. M.V. Bulatov and E.V. Chistyakov, "Numerical solution of integro-differential systems with a degenerate matrix before the derivative by multi-step methods," Differents. Equations, vol. 42, no. 9, pp. 1248-1255, 2006. https://doi .org/10.1134/S0012266106090102

33. V.R. Ibrahimov and M.N. Imanova, "Hybrid methods for solving nonlinear ODE of the first order," In Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, pp. 850047-1-850047-5, 2015. https://doi.org/10.1063/1.4913102

34. G. Mehdiyeva, V. Ibrahimov and M. Imanova, "On a calculation of definite integrals by using of the calculation of indefinite integrals," SN Applied Sciences, Springer, pp. 118-173, 2019. https://doi .org/10.1007/s42452-019-1519-8

35. J. Butcher, "A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations," J. Assoc. Comput. Math., vol. 12, pp.124-135, 1965. https://doi.org/10.1145/321250.321261

36. G. Mehdiyeva, V. Ibrahimov, and M. Imanova, "A way for finding the relation between of the degree and order for multistep method used to applied to solving of the Volterra integro-differential equation," WSEAS Transaction of Mathematics, vol. 17, pp. 155-161, 2018.

37. V.R. Ibrahimov, G.Yu. Mehdiyeva, and M.N. Imanova, "Construction of some algorithm for calculation of definite integrals by using advanced and hybrid methods," In Proceedings of the International Conference on Engineering, Science and Technology, 2022, pp. 84-99.

38. V.R. Ibrahimov, G.Yu. Mehdiyeva, and M.N. Imanova, "On the Construction of Symmetrical Methods and Step by Step Method for Their Application to Solving Initial-Value Problem for ODEs," In Proceedings of the International Conference on Engineering, Science and Technology, 2022, pp. 59-72.

39. V.R. Ibrahimov, M.N. Imanova, and D.A. Juraev, "About the new way for solving some physical problems described by ODE of the second order with the special structure," Stochastic Modelling and Computational Sciences, vol. 3, no. 1, pp. 99-117, 2023. https://doi.org/10.61485/SMCS.27523829/v3n1P8

40. V.R. Ibrahimov and M.N. Imanova, "Finite difference methods with improved properties and their application to solving some model problems," In International Conference on Computational Science and Computational Intelligence, pp. 463-471, 2023. https://doi.org/10.1109/CSCI58124.2022.00089

41. V.R. Ibrahimov, "A relationship between order and degree for a stable formula with advanced nodes," Computational Mathematics and Mathematical Physics (USSR), vol. 30, pp. 1045-1056, 1990. https://doi .org/10.1016/0041 -5553(90)90044-S

42. Aleksandar Zunjic, Nikola Lalic, and Xiao Guang Yue, "Effect Of Fatigue On The Appearance Of Errors In The Execution Of A Complex Manual Task-Research In The Table Tennis Domain," IETI Transactions on Ergonomics and Safety, pp.1-14, 2023.

43. Xiao-Guang Yue, Saeid Sahmani, Wei Huang, and Babak Safaei, "Three-dimensional isogeometric model for nonlinear vibration analysis of graded inhomogeneous nanocomposite plates with inconstant thickness," Acta Mechanica, vol. 234, pp.5437-5459, 2023. https://doi .org/10.1007/s00707-023 -03669-1

44. G.Yu. Mehdiyeva, V.R. Ibrahimov, and M.N. Imanova, "Calculation of definite integrals by using of the calculation of indefinite integrals," SN Applied Sciences, Springer, pp. 118-173, 2019. https://doi .org/10.1007/s42452-019-1519-8

45. V. Ibrahimov, I. Qurbanov, G. Shafiyeva, A. Quliyeva, and K. Rahimova, "On Some Ways For Calculation Definite Integrals," Slovak international scientific journal, vol. 79, pp.27-32, 2017.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

46. ShiYong Zheng, Hua Liu, Muhammad Hafeez, Xiaofeng Wang, Shah Fahad, and Xiao-Guang Yue, "Testing the resource curse hypothesis: The dynamic roles of institutional quality, inflation and growth for Dragon," Resources Policy, vol. 85, p. 103840, 2023. https://doi .org/10.1016/j.resourpol.2023.103840

47. C. Gear, "Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations," SIAM, J. Numer. Anal, vol. 2, pp. 69-86, 1965. https://doi.org/10.1137/0702006

48. G. Gupta, "A polynomial representation of hybrid methods for solving ordinary differential equations," Mathematics of Comp., vol. 33, pp. 1251-1256, 1979. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1979-0537968-6

49. В.Р. Ибрагимов, Г.Х. Шафиева, О Некоторых Применениях Метода Прогноза-Коррекции, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 284-290.

50. Г.Х. Шафиева, О некоторых преимуществах многошаговых методов типа гибридных, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 380-388.

51. Г.Х. Шафиева, В.Р. Ибрагимов, О некоторых способах построения простых алгоритмов и их применениях, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2024, p. 240-248.

52. В.Р. Ибрагимов, Г.Х. Шафиева, Об одной модификации многошаговых методов и применении его к решению интегрального уравнения Вольтерра, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2024, p. 298306.