О НЕКОТОРЫХ ПРЕИМУЩЕСТВАХ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ ТИПА ГИБРИДНЫХ Текст научной статьи по специальности «Естественные и точные науки»

УДК 519.642.2

О НЕКОТОРЫХ ПРЕИМУЩЕСТВАХ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ

ТИПА ГИБРИДНЫХ

ШАФИЕВА ГЮЛЬШАН ХАЛИК КЫЗЫ

Доцент кафедры Вычислительная математика, Бакинский Государственный Университет,

Баку, Азербайджан

Аннотация. Как известно, существует широкий арсенал численных методов построенных с целью нахождения численных решений начальной задачи для ОДУ первого порядка. Эти методы адаптированы для решений интегральных, интегро-дифференциальных уравнений, а также для решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Среди этих методов наиболее популярными являются классы одношаговых и многошаговых методов с постоянными коэффициентами, такие как методы Рунге-Кутта, Адамса (экстраполяционные и интерполяционные), Коуэлла, Симпсона и т.д. В последнее время, многие специалисты преимущественно исследуют линейные многошаговые методы с постоянными коэффициентами. Из результатов полученных Дальквистом имеем, что точность устойчивых линейных многошаговых методов ограничено числом 2[к/ 2] + 2, где к -порядок многошаговых методов. Для увеличения точности численных методов предлагается строить более точные методы типа Коуэлла, а также методы гибридного типа. Здесь с помощью простых сравнений известных численных методов определена тенденция развития численных методов. Показано, что методы с дробными шагами и методы с забеганием вперед имеют некоторые преимущества. Результаты исследования проиллюстрированы с помощью конкретных методов, которые применены к решению начальной задачи для ОДУ первого порядка.

Ключевые слова: линейные многошаговые методы, начальная задача для ОДУ первого порядка, понятие устойчивости и точности многошаговых методов, методы с дробными шагами, гибридные методы.

Введение. Как известно, одним из популярных задач в прикладных науках является начальная задача для ОДУ первого порядка, которая исследуется начиная с Ньютона. С нахождением численных решений этой задачи занимались многие известные ученые как Ньютон, Коуэль, Адамс, Рунге, Кутта, Бахвалов и т.д. [1, c.179-183; 2; 3, c.293; 4;5, c.214-234; 6-11].

Отметим, что упомянутая задача, может быть представлена в следующей форме:

У' = f (x,У), У(хо) = Уo, хо ^ х ^ X. (1)

Предполагаем, что задача (1) имеет единственное решение, которое является непрерывной функцией и определено на отрезке [х0, X]. А непрерывная по совокупности

аргументов функция f (x, y) определена в некотором замкнутом множестве G, где имеет непрерывные частные производные до порядка p, включительно. Здесь p - является точностью используемых методов, которая применяется к численному решению задачи (1). Для нахождения численного решения задачи (1), разбиваем отрезок [x0, X] на N равных

частей, а точки подбираем в виде: хг+1 = хг + h (i = 0,1,2,..., N). Приближенные значения решений задачи (1) в точках x обозначим через У . А соответствующие точные значения обозначим через y(хг+1) (i = 0,1,2,..., N) .

Как было отмечено выше, в данной работе исследуется численное решение задачи (1) с помощью линейно-многошаговых методов, которую в одном варианте можно представить в следующей форме:

^ЧУ^ = , п = 0,1,2,..., N - к, ак * 0. (2)

1=0 1=0

Здесь через /т обозначены значения функции /(х, у) в точках разбиений, а именно /т = /(хот,Ут) (т = 0,1,2,...) . Отметим, что величину к называют порядком разностного уравнения (2) или порядком многошагового метода (2).

Очевидно, что как и в других численных методах при использовании метода (2) получается некоторый источник погрешности для ограниченности которой, найдены необходимые и достаточные условия, которые обычно называют устойчивостью метода (2).

Определение 1. Метод (2) называют устойчивым, если корни следующего многочлена

р(Х) = + -1 +... + агЛ + а0 лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней (см. например [11]-[21]).

Как известно, первый прямой численный метод построен Эйлером. После работ Адамса и других специалистов, количество работ в данном направлении увеличивается, и для их сравнения ученые предлагают использовать порядок - как понятие точности. В процессе развития численных методов появились некоторые вопросы, для решения которых в качестве понятия точности для метода (2) предлагают использовать следующий критерий.

Определение 2. Говорят, что целочисленная величина р, является степенью точности метода (2), если справедливо следующее асимптотическое равенство:

^(агy(x + ih) -hfry'(x + ih)) = O(hp+1), h ^ 0. (3)

i

i=0

Появление понятия степени можно объяснить тем, что к является порядком разностного уравнения (2) с постоянными коэффициентами.

В середине прошлого века ученые доказали, что сравнение численных методов только по значению величины р, не оправдывает ожидаемого эффекта. Поэтому при сравнении методов типа (2) использовали понятие устойчивости и степени метода. В 1955 году Бахвалов исследовал метод (2) при ак* 0 и /Зк = 0, и доказал, что если метод (2) устойчив и имеет

степень р, то р < к при к < 10. Этот результат в 1956 году обобщен Дальквистом, который доказал, что если метод (2) устойчив и имеет степень р, то выполняется следующее неравенство

р < 2[к/2]+ 2.

Причем, следует отметить, что существуют устойчивые методы со степенью р для любого к. А если Рк = 0 и ак * 0, то для устойчивых методов имеет место

Р < к,

и для любого к существует устойчивый метод со степенью р = к.

Учитывая, указанные ограничения, ученые построили разные методы. В следующем пункте описан один из таких методов.

Исследование методов с забеганием вперед. Чтобы увеличить точность устойчивого метода полученного из многошаговых методов, Ибрагимов исследовал следующий метод:

к-т к

ЪагУп+г = , т > 0, п = 0,1,2,..., N - к. (4)

i=0 1=0

Ибрагимов построил конкретный устойчивый метод типа (4), имеющий степень р = 5 при к = 3, который может быть представлен в следующей форме:

11 8

Уп+2 =11 Уп + -Уп+1 + ¿(10/ + 57/П+1 + 24/П+2 - /п+з)/ 57. (5)

Ибрагимов доказал, что если метод (4) устойчив и имеет степень р, то справедливо следующее:

р < к + т +1, при к > 3т. Отметим, что подобные методы, построенные Коуэллом, Лапласом, Стекловым и др., подчиняются законам Дальквиста (см. например [22]). Однако, методы с забеганием вперед имеют некоторые недостатки. Очевидно, что при использовании метода (5) приходится определять значения величин уп+2 и уп+ъ. При известности уп+ъ метод (5) становится неявным

и при применении его к решению некоторых задач следует использовать известные методы прогноза-коррекции (см. например [8]). Следовательно, если найти метод для определения уп+3, который зависит только от значений уи+1 и уи+2, то можно считать вопрос об использовании метода (5) исчерпанным. Отметим, что в зависимости от подбора метода для вычисления значения уи+3, свойства метода (5) могут сильно меняться. С этой целью, в методе

(5) для вычисления значения уп+3, используем следующий метод:

у п+з = Уп+2 + К23/п+1 -/ + 5/ )/12, (6)

с учетом, которого из метода (5) получаем неявный метод, имеющий следующий вид:

уп+2 = Ц1уя + 8уп+1) /19 + И(Ю/п + 57/п+1 + 24/п+2) / 57 -

-¥(*п+з, уп+2 + К23/п+2 - 16/+ + 5/п)/12)/57. ( )

Отметим, что этот метод может быть использован как корректор метод. В решении многих прикладных задач возникает необходимость в построении более точных устойчивых методов. С этой целью, рассмотрим следующий раздел.

Исследование многошагового метода гибридного типа. Одним из перспективных классических методов является метод центральных разностей, который можно представить в виде:

уп+1 = уп + ¥(хп + Ч2, УП+12). (8)

Обычно этот метод считается явным, поскольку в правой части не участвует неизвестная уп+1. Однако, при его использовании возникает вопрос о нахождении значений уп+1/2, на каждом шагу. Если в (8) заменим Ч через 2Ч, то имеем

уп+2 = уп + Ч/ (хп+1, уп+1). (9)

Таким образом, получаем явный метод, при использовании которого не возникает никаких трудностей. Как известно, метод (8) успешно применяется в вычислениях определенных интегралов. Метод (8) часто называют методом с дробным шагом, который получил свое развитие в работах академика Яненко. Давайте обобщим метод (8), тогда имеем (см. например [23]- [44]):

к к

Ъауп+1 = ЧХг¥п+^, (Ы < 1, г = 0,1,2,...). (10)

1=0 г=0

Здесь (1 = 0,1,...,к) являются рациональными числами. Отметим, что некоторые авторы величины У1 считали неизвестными и их определяли с помощью решения некоторых нелинейных систем алгебраических уравнений. Ибрагимов исследуя названные системы алгебраических уравнений, доказал, что в классе методов (10) существуют устойчивые методы со степенью р = 2к + 2. Отметим, что для определения коэффициентов ai, Д ,Уг можно использовать следующую систему алгебраических уравнений:

k Г v2 Л

Ё а1 = 0 Ё (1а1 У i ) = 0 Ё ^ а - У г

"1 1 ¿jV i

i=0 i=0 i=0

= 0,...,

(ii)

к I г1 I1-1 1 ^ "7аг ^ = а I = 1 , 1 = р.

1=0 ^ (1 - 1)! )

Нетрудно заметить, что нелинейные системы алгебраических уравнений (11) напоминают нелинейные системы алгебраических уравнений, используемые при определении коэффициентов Гаусса и Гауссовских точек в построении метода Гаусса для вычисления определенных интегралов. Отметим, что некоторые свойства Гауссовских коэффициентов совпадают со свойством коэффициентов (1 = 0,1,...,к) . Такие же свойства присуще и для

точек У1 (1 = 0,1,...,к) . В качестве наглядного примера, рассмотрим следующие методы, которые получаются из методов (10) как частные случаи:

Уп+1 = Уп + К/п+2 + /п+1-а )/2, а = 1/2-л/3/б, (12)

Уп+2 = Уп + К5/п+1+Щ5 + 8/п+1 + 5/п+,-^/5)/9. (13)

Легко можно показать, что эти методы совпадают с методами Гаусса, применяемые к вычислению определенных интегралов.

Отметим, что методы Гаусса и гибридные методы имеют некоторые сходства, но не совпадают. Можно доказать, что если метод (10) имеет степень р , то р < Зк +1. В однородной системе (11), количество уравнений равно р +1, но количество неизвестных равно Зк + 3. Очевидно, что не нарушая общности в методе (10) можно положить ак = 1, тогда однородная система (11) превращается в неоднородную систему нелинейных алгебраических уравнений. Если приравняем количество неизвестных с количеством уравнений, т.е. р +1 < Зк + 2, то получим, что р < Зк +1. Если рассмотрим случай к = 1, то получим, что существует метод типа (10) со степенью р = 4. Метод (12) в частности получается из метода (10) при к = 1 и имеет степень р = 4. Можно доказать, что если метод (10) имеет степень р = Зк +1, то этот метод единственный. Для этого давайте рассмотрим случай, когда V, = 0 (1 = 0,1,...,к) . В этом

случае система (11) нелинейных алгебраических уравнений, переходит к линейной системе алгебраических уравнений для которых детерминант отличен от нуля. Подобная система алгебраических уравнений исследована разными специалистами, например в [45] исследована нелинейная система алгебраических уравнений для определения значений Гауссовских коэффициентов и точек. Как известно, каждый метод имеет свои преимущества и недостатки. Гибридные методы не являются исключением. Основное преимущество этих методов заключается в том, что они обычно являются более точными, чем другие известные многошаговые методы. Но, основный недостаток этих методов заключается в нахождении значений искомых решений в гибридных точках. Учитывая этот недостаток, специалисты построили гибридные методы, в которых V является рациональным числом. Однако, в этом случае точность для этих методов оказалась ниже, чем Зк + 1. Отметим, что Ибрагимов доказал, что если метод (10) устойчив и имеет степень р , то имеет место

р < 2к + 2. (14)

Отметим, что степень метода (12) равна 4, а метода (13) равно 6. Если при к = 1 построить устойчивый метод, в котором V и V являются рациональными числами, то в результате можно получить следующие методы:

Уп+1 = Уп + К/п + З/„+1з)/4, (15)

Уп+1 = Уп + К/п+1 + З/„+2/з ) / 4. (16)

Отметим, что методы (15), (16) как и (12), (13) со степенью p = 3 устойчивы. Один из этих методов является явным, а другой неявным. Обычно, при использовании неявных методов используются методы прогноза и коррекции. В данном случае, метод (15) может быть использован как метод прогноза, а метод (16) как метод коррекции. В этом случае получаем следующий метод прогноза-коррекции:

Я+1 = уя + К/п + 3/„+]/з)/4, Уп+i = Уп + Kfn+1 + 3/й+2/з)/4. (17)

Здесь уm является приближенным значением решения задачи (1) вычисленным по методу прогноза, а У вычисленным по методу коррекции.

Отметим, что эти методы напоминают методы Эйлера (явные и неявные). Можно доказать, что точное значение решений исследуемой задачи находится между значениями уи+1 и уи+1 вычисленными по методу (17), что следуют из представлений локальных погрешностей этих методов. Следовательно, значение (уп+1 + уп+1 )/2, вычисленное с помощью методов (17), будет более точным. А именно

(у п+1 + Уп+1 )/2 = ch4 ylV (Хп) + O(h5) - ch4 yIV (Xn) + O(h5), (18)

здесь c - некоторые константы.

Следуя равенству (18) можно сказать, что методы полученные по схеме (ууп+1 + уп+1 )/2, более точны, чем методы (17). Отметим, что методы (17) устойчивы и имеют точность p = 3. Методы, полученные по схеме (18), также устойчивы, и имеют точность p = 4. Подобными свойствами обладают явные и неявные методы Эйлера.

А теперь рассмотрим некоторую иллюстрацию полученных результатов.

Численные эксперименты. Для иллюстрации полученных здесь теоретических результатов используем следующую популярную модель:

у ' = Яу, у(0) = I, 0 < х < I, (19)

точное решение, которой можно записать в виде: у(х) = exp(х). Отметим, что эта модель хорошо описывает многие задачи из разных областей естествознания, популяции, задачи ресурсов и пользователей, определения гонки вооружений (модель Ричардсона) и т.д.

Для численного решения данной задачи применим методы (17) и (7). Результаты размещены в следующей таблице:

Таблица 1. Результаты для шага h = 0.01

X Неявный метод (17) с использованием явного метода Эйлера Неявный метод (17) с использованием метода трапеции Метод (7) с использованием метода трапеции Метод (7) с использованием явного метода Эйлера

0.1 1.8Е-0.6 4.5Е-0.9 6.4Е-0.9 1.8Е-0.6

0.3 5.1Е-0.7 1.2Е-0.9 2.3Е-0.9 5.1Е-0.7

0.5 8.6Е-0.7 2.1Е-0.9 5.1Е-0.9 8.6Е-0.7

0.8 1.4Е-0.6 3.5Е-0.9 7.1Е-0.9 1.4Е-0.6

1.0 4.4Е-0.5 1.1Е-0.7 2.1Е-0.7 4.4Е-0.5

К решению задачи (19) применяют также метод (12) и становится очевидным, что результаты полученные по этому методу являются лучшими во всех случаях.

Выводы. Здесь было рассмотрено применение трех классов методов к решению задачи (1), каждый из которых является самостоятельным. А также рассмотрено определение пересечений этих классов методов. Выявлены преимущества и недостатки рассмотренных методов. В исследованиях этих классов методов определено, что каждый из этих классов методов имеют свойства присущие им. Здесь в основном исследованы методы с простыми

структурами, которые позволяют сравнивать более сложные ограничения в простейшей форме. Также отметим, что с помощью сравнений их с решениями некоторых задач (имеют в виду задачи вида (1)) в неявной форме определяются их области применений.

Например, в применениях гибридных методов возникает вопрос об определении их значений в последующих точках. Здесь с этой целью использованы методы прогноза-коррекции, а также были даны некоторые рекомендации. Например, использование методов (17) как двусторонних методов. Отметим, что эти методы не исследованы полностью. Здесь показано, что гибридные методы имеют некоторые преимущества и поэтому их можно считать перспективными. Считаем, что изложенные здесь методы найдут своих пользователей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mammadov Y.C. Approximate calculation methods // Baku, Maarif, 1986, 264 p. (Russian).

2. Misovskikh I.P. Lectures on the methods of calculation // Moscow, 1962, p. 321-323.

3. Krylov A.N. Lectures on approximate calculations // Moscow, Gocteh.-izdat, 1950, 400 p., (Russian).

4. Bakhvalov N.S. Some remarks on the question of numerical integration of differential equation by the finite difference method // Academy of Science report, USA, 1955, №3, 805-808 p., (Russian).

5. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R. On the research of multistep methods with constant coefficients, Monograph // Lambert, acad. publ., 2013. 314 p.

6. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On One Application of Hybrid Methods For Solving Volterra Integral Equations // World Academy of Science, Engineering and Technology, Dubai, 2012, p.809-813.

7. Ibrahimov V.R. One a nonlinear method for numerical calculation of the Cauchy problem for ordinary differential equations // Diff. equation and applications. Proceedings of the Report of the Second Intern. Conf. Ruse, Bulgaria, 1982, p. 310-319.

8. Ibrahimov V.R. About one way construction ^-stable methods // In the collection of «Application methods for solving differential and integral equations», Baku, 1983.

9. Ibrahimov V.R. Convergence of predictor-corrector method // Godishnik na visshite uchebni zavedeniya, Prilozhno math., Sofiya, Bulgariya, 1984, p.187-197.

10. Ibrahimov V.R. On some way for construction ^-stable formula with the high degree // Optimization problems and automatic control system, 1983, Baku, p.86-96.

11. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand. 4, p. 33-53 (1956).

12. Dahlquist G. Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equation // Trans. Of the Royal Inst. Of Techn., Stockholm, Sweden, № 130, 1959, 3-87.

13. Skvortsov L. Explicit two-step Runge - Kutta methods // Math. modelling 2009, № 21, p. 54-65.

14. Бурова И.Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестник Санк-Петербургского университета, сер. 1, 2004, Вып. 2, с. 9-14.

15. Lambert J.D. Computational methods in ODES // John Wiley & Sons. Inc., Hoboken, 1991.

16. Burova I.G. Optimization of finite element approximations & splines and wavelets // Proc. of the 2-nd Intern, conference OFEA-2001, St. Petersburg (Russia), June 25-29, 2001, St. Petersburg, 2002, c. 56-64.

17. Бурова И.Г. Минимальные вещественные и комплексные сплай-Hbi // International Conference OFEA'2001 Optimization of Finite element Approximation Splines and Wavelets, June 25-29, 2001.

18. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order // AIP Conference Proceedings, 2012/11/6, p. 506-510.

19. Ibrahimov V.R., Imanova M.N. One the multistep method of numerical solution for Volterra integral equation // Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci. 26 (1), 95-104.

20. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals // Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2014.

21. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation // Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.

22. Токмалаева С.С. Ординарные формулы численного интегрирования ОДУ 1-го порядка // Вычислительная математика, 1959, №5, с.3-57.

23. Iseries A., Norsett S.P. Two-step methods and Bi-orthogonality // Math. of Comput., 1987, №180, p. 543-552.

24. Ibrahimov V.R., Imanova M.N. Multistep methods of the hybrid types and their application to solve the second kind Volterra integral equation // Symmetry, 13(6), 2021, p.1087.

25. Ibrahimov V.R. The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure // WSEAS TRANSACTIONS ON SYSTEMS 22 (DOI: 10.37394/23202.2023.22.20), p. 199-206.

26. Yanenko N.N. Methods of Fructional Steps // Nauka, Novosibirsk (1967).

27. Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. On one application of forward jumping methods // Applied Numerical Mathematics, 2013, p. 234-243.

28. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On a research of hybrid methods // Numerical Analysis and Its Applications Springer, 395-402.

29. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. An application of the hybrid methods to the numerical solution of ordinary differential equations of second order // Kazakh National University named after Al-Farabi Journal of treasury series mathematics, mechanics, computer science, Almaty, т. 75, №4, с. 46-54.

30. Бурова И.Г. Об аппроксимации квадратичными и кубическими минимальными сплайнами // Методы вычислений, Вып. 20, СПб. 2003, с.5-24.

31. Бурова И.Г., Тимофеев В.А. Построение сплайнов ненулевой высоты // Методы вычислений, Вып. 21, СПб. 2005, с.31-39.

32. Imanova M.N., Ibrahimov V.R. Application of a second derivative multi-step method to numerical solution of Volterra integral equation of second kind // Pakistan Journal of Statistics and Operation Research, с. 245-258.

33. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. An Application of Mathematical Methods for Solving of Scientific Problems // British Journal of Applied Science & Technology 14 (2), 1-15.

34. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On One Application of Hybrid Methods For Solving Volterra Integral Equations.

35. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On one generalization of hybrid methods // Proceedings of the 4th international conference on approximation methods and numerical modeling in environment and natural resources, Saidia, Morocco, р. 543-547.

36. Butcher J.C. A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations // J. Assoc. Comput. Math 12, 124-135 (1965).

37. Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations in the 20th century // Journal of Computational and Applied Mathematics, v. 125, Issues 1-2, 15 December 2000, p. 1-29.

38. Gear C. Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 2, 69-86 (1965).

39. Ibrahimov V., Imanova M. The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology // American Journal of Biomedical Science and Researchvol 18, issue 6, 2023, p.531-542.

40. Juraev D.A., Jalalov M.J., Ibrahimov V.R. On the formulation of the Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation // Engineering Applications, 2(2), 2023, p. 176-189.

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

41. Juraev D.A., Ibrahimov V.R., Agarwal P. Regularization of the Cauchy problem for matrix factorizations of the helmholtz equation on a two-dimensional bounded domain // Palestine Journal of Mathematics, 12(1), 2023, p. 381-403.

42. Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. Solving Volterra Integro-Differential Equations by the hybrid methods, Pensee Journal, Paris, 2013, p. 2-16.

43. ibrahimov V., Shafiyeva G. О Некоторых Применениях Метода Прогноза - Коррекции // Физико-Математические Науки, 11.11.2023, p.284-290.

44. Juraev D., Jalalov M., Ibrahimov V. On Approximate Solutions Of The Cauchy Problem For Systems Of Linear Equations Of The First Order // Mathematics, Mechanics And Intellectual Technologies Tashkent-2023, p.37.

45. Ibrahimov V.R., Imanova M.N. Finite difference methods with improved properties and their application to solving some model problems // 2022 International Conference on Computational Science and Computational Intelligence (CSCI), 2023, p.464-472.