CC BY
1УДК 519.642.2
О НЕКОТОРЫХ СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ ПРОСТЫХ АЛГОРИТМОВ И ИХ
ПРИМЕНЕНИЯХ
ШАФИЕВА ГЮЛЬШАН ХАЛИК кызы
Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан
ИБРАГИМОВ ВАГИФ РЗА оглы
Профессор, заведующий кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку,
Азербайджан
Аннотация. Как известно, начиная со средних веков, для решения прикладных задач специалисты начали строить численные методы. Среди этих методов наиболее популярными стали методы хорд и касательных (или метод Ньютона) для решения нелинейных алгебраических уравнений, которых модифицировали и применяли к решению различных задач, в том числе и к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Исторически так сложилось, что многие известные ученые исследовали задачу Коши для ОДУ первого и второго порядков. В данной работе в основном исследуется численное решение ОДУ первого порядка. С этой целью, используются многошаговые методы с постоянными коэффициентами, хотя некоторые ученые в таких случаях предлагают использовать одношаговые методы. Отметим, что формально одношаговые методы считают частным случаем многошаговых методов. Однако здесь покажем, что это не так. Следует отметить, что в данной работе определены некоторые пересечения этих классов методов, используя которых построен новый класс методов, таких, что обобщают многие известные и неизвестные методы. Кроме того, здесь продемонстрированы преимущества гибридных методов, найдены некоторые связи между гибридным методом и методами с дробными шагами, которые фундаментально исследованы академиком Яненко. Полученный результат иллюстрирован с помощью модельной задачи.
Ключевые слова: Задача Коши для ОДУ, Одношаговые и Многошаговые Методы, Устойчивость и Точность, Гибридные Методы.
Введение. Как было отмечено одним из наиболее популярных задач естественных наук является задача Коши для ОДУ первого порядка. Нахождением решений этой задачи, занимались многие известные ученые как Ньютон, Эйлер, Коуэлль, Пикар, Адамс, академик Крылов, Бахвалов и т.д. Среди этих работ не малая часть посвящена построению и применению численных методов. В данной работе, также рассмотрено построение и применение многошаговых методов типа гибридных к решению задачи Коши для ОДУ первого порядка, имеющий следующий вид (см., например [1-12]):
Z' = p(t, z), Z(t0) = Z0, to < t < T. (1)
Предположим, что непрерывное решение задачи (1) определено на отрезке [t0, T]. Но, данная непрерывная по совокупности аргументов функция p(t, Z) определена в некоторой замкнутой области, в которой имеет непрерывные частные производные до порядка р, включительно. Для исследования численного решения задачи (1) разделим отрезок [t ,T] на N равных частей с использованием точек сетки tM = tt +z (i = 0,1,...,N — 1). И обозначим через Z (t ) точное значение решения задачи (1) в точке сетки t , а соответствующее приближенное значение через Zt (i = 0,1,..,N).
Известно, что одним из популярных методов, применяемых к численному решению задачи (1) являются методы Рунге-Кутты, которые являются представителями одношаговых
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
методов. А известным представителем многошаговых методов являются методы Адамса. Отметим, что обобщением методов Адамса являются многошаговые методы с постоянным шагом, которые можно представить в следующем виде:
т т
Та2п+1 = , п = 0,1,2,..,N - т, «т * 0. (2)
1=0 1=0
Здесь аг, Д (г = 0,1,.., т) являются некоторыми действительными числами, т -порядком разностного метода (2), а ^ . = , ?), ] = 0,1,...,N. Следует отметить, что метод
(2) иногда называют конечно - разностными методами.
Выше описанные методы исследованы многими авторами (см. например, [13]-[21]). Однако, метод (2) фундаментально исследован Дальквистом. Дальквист для исследования метода (2) ввел новые понятия как устойчивость и степень метода (2), которые можно представить в следующей форме (см. например, [4]):
Определение 1. Метод (2) называют устойчивым, если корни многочлена
р(Л) = атЛт + ат-1Лт-1 +... + а1Л + а0 лежат внутри единичного круга на границе, которого нет кратных корней. Определения 2. Целочисленную величину г, называют степенью метода (2), если имеет место следующее равенство:
т
^ (« 2 (1 + гт) -тД 2' (1 + гт) = 0(тг+1), к ^ 0. (3)
1=0
Обычно г - называли порядком метода (2). Но так, как было отмечено выше, некоторые авторы, метод (2) называли конечно-разностным методом, а порядком конечно - разностного метода, известно, что является т, с учётом этого г - назвали степенью метода (2). А критерий устойчивости ранее был установлен Шура - Бурой (см. например, [22]) и назван дисперсией метода, а в работах (см. например, [23], [24]) уже был использован как устойчивость метода (2).
Бахвалов доказал, что если метод (2) при Дт= 0 устойчив, то г < т для т < 10.
Дальквист исследовал метод (2) полностью. Он установил максимальное значение г для устойчивых и неустойчивых методов, а также для явных и неявных методов типа (2). По результатам Дальквиста получаем, что если метод (2) имеет степень г то г < 2т. Если метод (2) является стабильным и имеет степень р, то р < 2[£ /2] + 2. И, если Д = 0 и степень
метода (2) равна г, тогда г < 2к -1.
Если метод (2) при Д = 0 устойчив и имеет степень г, то г < т и для каждого т
существуют устойчивые методы с максимальной степенью г = т. Учитывая, что устойчивые методы представляют как теоретический, так и практический интерес, то получаем, что точность метода (2) ограничена числом т + 2. Но, при решении некоторых практических задач возникает необходимость в построении более точных устойчивых методах. Этот вопрос исследован в следующем разделе.
1. О некоторых способах построения более точных устойчивых методов типа многошаговых. Отметим, что Дальквист определил следующие условия, которые обычно налагаются на коэффициенты метода (2) и представляются в следующей форме:
A. Коэффициенты «, Д (г = 0,1,..,т) некоторые действительные числа и ат * 0;
B. Характеристические многочлены
тт
р(Л) = £аЛ, ¿(Л) = £ДЛ
1=0 1=0
не имеют общих множителей отличных от константы;
C. Выполняются условия ¿(1) * 0 и р > 1.
Следует отметить, что метод (2) при условии ат= 0 и ¡ЗтФ 0 исследовал Ибрагимов (см. например, [25]-[27]). Он доказал, что если следующий метод
m-l m
^аг1п+1 = г^Р, n = 0,1,2,...,N - m, (4)
i=0 i=0
при ф 0 устойчив и имеет степень r, то r < m +1 +1 для m > 3l. А так же построил устойчивый метод типа (4) при m = 3 и l = 1, со степенью r = 5, который можно написать в следующей форме:
Zn+2 = (8Zn+1 + 11Zn)/19 + h(10p„ + 57p„+1 + 24^n+2 -ри+з)/57. (5)
Известно, что если метод (2) устойчив и m = 3 , то данный метод имеет максимальную степень ^тах = 4. Следовательно, метод (4) является более точным.
Как известно, каждый метод имеет свои недостатки и преимущества. Преимущество метода (4) заключается в том, что он более точен, чем метод (2). Однако, при его использовании возникает необходимость в вычислении значений искомых решений в последующих (хт_1+г,хт_1+2,...,хт) точках. Впрочем, указанный недостаток можно исправить с помощью методов прогноза и коррекции. Для иллюстрации, рассмотрим применение метода (5) к решению задачи (1). Тогда метод (5) можно написать в следующей форме:
Z n+2 = (11Zn + 8Zn+1)/19 + r(10p + 57pn+l + 24^/57 -
(6)
-P^,Zn+1 + z(23pn+2 - 16^n+1 + 5?n)/12)/57.
Этот метод является неявным методом, при использовании которого не возникают выше указанные трудности. Цель данной работы заключается в построении алгоритмов с использованием более точных методов. Поэтому рассмотрим классификации некоторых популярных методов. Поскольку первый прямой численный метод построен Эйлером, рассмотрим метод Эйлера:
Zn+1 = Zn + rp(tn,Zn), Zn+1 = Zn + rp(t„+1,Zn+1). (7)
Метод (7) является неявным методом Эйлера, при применении которого к решению задачи (1) сталкиваемся с решением нелинейного алгебраического уравнения. Для решения подобных задач, обычно используются методы прогноза - коррекции (см. например, [27]-[31]). В нашем случае методы прогноза и коррекции можно написать в следующем виде:
Zn+1 = Zn +zp(tn,Zn), Zn+1 = Zn +zp(tn+l,Zn+1). (8)
Легко можно доказать, что приближенные значения, полученные с использованием полусуммы этих значений будут более точными, чем сами значения Zn+1 и Zn+х. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть следующий метод:
(Z n+1 + Zn+1 )/2 = Zn + z(p(tn, Zn) + p(tn+!, Z n+1))/ 2. (9)
Если здесь заменим Zn+1 через Zn+1, то получим известный метод трапеции. Отсюда следует, что полусумма значений Zn+1 и Zn+1 более точна.
Рассмотрим следующий метод
Z„+1 = Z„ + h(p(tn, Z„) + p(t„+1, y„+1))/2. (10)
Отметим, что если в методе (10) заменим yn+1 через ZB+1, то получаем метод трапеции,
а если yn+1 заменим через Zn+1 , то получаем метод Рунге-Кутты второго порядка или же
метода Хайнса. Как известно, одним из популярных классических методов является, метод центральных разностей имеющий следующий вид
Z„+1 = Z„ +zp(tn + г/2, Z
и+1/2/ ' (11)
Этот метод отличается от выше указанных тем, что здесь используется не целый шаг, а именно дробный шаг г/2. В использовании данного метода приходится вычислять ZK+1/2 на
каждом шагу. С этой целью можно использовать явный метод Эйлера. Однако, метод (11) можно написать в следующей форме:
Zn+2 = Zn + + Т, Zn+1), (12)
который можно получить из семейства методов (2), как частный случай при m = 2.
Отметим, что метод (12) является явным и для применения его требуется вычислить только значение Zx по сколько Z0 - известено из условия задачи (1). Учитывая, что этот метод явный получаем, что при применении его к решению некоторых задач не возникают трудности. Однако, учитывая увеличение значений шага т в два раза можно утверждать, что значения, вычисленные по методу (11) будут более точными. С учетом, выше изложенных, рассмотрим обобщение метода (11).
2. Исследование гибридного метода. Если обобщим метод (11), тогда имеем:
m m
ZaZ^ = hZmtn+1+Vl,Z^+Vt) |< 1, i = 0,1,2,..,m). (13)
i=0 i=0
Этот метод обычно называют гибридным. Отметим, что если vi = 0 (0 < i < m), то n + i + vt будет целым числом, и метод (13) может совпадать с методом (2). Отметим, что метод (11) можно назвать методом с дробными шагами. Как было отмечено, выше указанную формулировку использовал академик Яненко. Мы здесь будем использовать название гибридных в случае, когда v (0 < l < m) будет иррациональным числом. Отметим,
что гибридные методы построены Бутчером (J. Butcher) и Fup (Gear) в 1965 году (см. например [32], [33]).
Далее, также были построены подобные методы, например, квадратурная формула Гаусса или Чебышева. Значение vi в формуле (13) напоминает Гауссовские точки. А
коэффициенты Д имеют почти такие же свойства как и коэффициенты Гаусса. Метод (13) исследован многими учеными (см. например [10], [34] - [38]). Как было отмечено выше если V - целое число, то этот член будет подобен соответствующим членам в методе (2).
Используя указанное свойство, Ибрагимов построил и исследовал гибридный метод, имеющий следующий вид:
m m m
i=0 i=0 i=0 (14)
В данной работе, рассматриваем исследование следующего метода:
m s l
Za,Zn+, = TZfiiZ'n+i + ¿ZriZlv (|vl < 1; i = 0,1,...,l), (15)
i=0 i=0 i=0
который обобщает метод (14). Очевидно, что этот метод легко может быть применен к решению задачи (1), а также к решению задачи Коши для интегро - дифференциального уравнения Вольтерра и интегрального уравнения Вольтерра. Сперва рассмотрим случай, когда m < s и l = s. В этом случае получаем методы типа с забеганием вперед. Как было доказано выше, методы типа с забеганием вперед более точны. Поэтому методы указанного типа представляют особый интерес. Следуя определению устойчивости метода (15), можно сказать, что сходимость метода (15) зависит от значений at (i = 0,1,..,m). А следуя определению степени метода (15) можно утвердить, что значения степени метода (15) в основном зависят от значений коэффициентов Д и yi. Поэтому рассмотрим нахождение
значений коэффициентов метода (15). С этой целью, рассмотрим следующую формулу Тейлора:
7 ^ + гт) = г (Г) + 1x1' (Г) + (гтТ)- г" (Г) +... + ^^ 2(р) + 0(тр+1), к ^ 0. (16)
2! р!
Предположим, что метод (15) имеет степень г, тогда учитывая асимптотическое соотношении (16) в (15), имеем:
т ' 1 Т , т г 2аг '
Z(t^a, + Z'(0Е'a + Ег)Z'(0 + ■V(Е^-ЕW -Еto)Z "(0 +... +
i=0 i=0 i=0 i=0 2 i=0 2! '=0 '=0 m 'p s 'p-1 i dP-1
+ rp (Е Ц a' -Е -Ц-fl - Е Г )Z(р) (t) + O(hp+l) = 0, h ^ 0.
—a' Е , ' Е ,
=0 p! ' E(P -1)! ' E(P -1)!
Здесь, через ^ обозначено ^ = г + ^ (г = 0,1,..,I). Так как метод (15) имеет степен р, из (17) следует, что
m 'P s ' p 1 1 dV-1
CEat )Z (t) + <£ 'a-ЕА-Ег. )Z " (t) +... + ■ (Е Vi -Ет^у P-Ет^т r) = 0.
^ ^ ^ ^ ¿-a p! ¿-J(p -1)! ^(p -1)!
(18)
Учитывая линейную независимость систем 1, r2,..,rp или Z (t), Z" (t),.., Z (р)(0 (при Z(j)(t) ^ 0,1 < j < p) получим, что коэффициенты в равенстве (18) должны равняться нулю. Следовательно, имеет место следующее:
m s l m s -p-1 l И p-1 m ;p
ЕЕ a'=о, ЕЕ p+Е r,=Е a, ;..Е ^Р+Е тт^Г,=2-^. о»)
'=0 '=0 '=0 '=0 '=0 (p -1)! '=0 (p -1)! '=0 p!
Таким образом, для определения значений коэффициентов метода (15), получили нелинейную алгебраическую систему уравнений (19).
Отметим, что в этой системе уравнений имеется m + s +1 + 3 неизвестных и p +1 уравнений. Система нелинейных уравнений (19) является однородной и поэтому всегда имеет тривиальное решение. Однако, тривиальное решение не представляет особого интереса. Поэтому исследуем нетривиальное решение системы (19). Для того чтобы система (19) имела решение отличное от нуля должно выполняться условие p +1 < m + s +1 + 3 . Отсюда получаем, что должно выполнятся условие p < m + s +1 +1. Обычно методы с максимальной степени pmax = m + s +1 +1 бывают неустойчивыми (если s > 2 или l > 2 ). Если учесть, что именно устойчивые методы представляют как теоретический так и практический интерес, то возьмем P = 0 (i = 0,1,..,m) и l = m, тогда получим устойчивые
методы типа (13) со степенью r < 2m + 2 . Однако если, метод (13) неустойчив, то его степень удовлетворяет условию р < 3m +1. Следовательно, метод (15) является более точным, чем выше предложенные. Рассмотрим следующий метод, который получается из метода (15):
m-l m m
ЕalZn+i1 = ^^Р^ + (И < 1;i = 0,1,2,..,m). (20)
'=0 i=0 i=0
Данный метод является частным случаем метода (15). Отметим, что метод (20) отличается от традиционных методов, который обычно называют методом с забеганием вперед. Отметим, что условия наложенные на константу vi связаны с использованием
гибридных точек. Очевидно, что i + v = d также является рациональным числом, но в этом случае гибридный интервал как бы остается в тени, т.е. не заметен. Но в использовании этих методов, определение количества гибридных точек в каждом подинтервале существенно. Отметим, что если v -целое число, то некоторые значения i + vi будут находиться вне подинтервала в котором исследуется задача (1). А если некоторые из этих значений совпадают со значениями t , t ,... , t которые участвуют в первой сумме правой части метода (20), то количество неизвестных уменьшается. Решение системы (19) также будет
m
m
s
i=0
i=0
1=0
i=0
меняться, поскольку d = i + V могут совпадать со значениями t ., которые находятся в интервале \tn, tn+m ]. Очевидно, что количество неизвестных будет уменьшаться вместе с
точностью метода. Это следует из системы уравнений (19).
Выводы. Здесь исследованы некоторые связи между определенными классами численных методов, с помощью которых выявлены преимущества и недостатки данных методов. По результатам этих сравнений построен новый класс методов, который имеет некоторые преимущества, как высокая точность, меньший объем вычислительных работ, расширенная область устойчивости и т.д. А также даны, некоторые рекомендации по построению и применению предложенных здесь методов. Кроме того, в данной работе рассмотрено построение многошаговых методов на базе некоторых классов методов с улучшенными свойствами, и в результате получены более точные методы. Как известно, одним из новых направлений в построении численных методов, является использование пересечений некоторых методов. С использованием пересечений некоторого класса методов построены методы типа (13) и (15), а также доказаны преимущества этих методов. Здесь также рассмотрен переход из одного класса методов в другой, который продемонстрирован на базе метода центральных разностей. Учитывая преимущества предложенных здесь методов считаем, что оно в ближайшее время найдет своих последователей.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:
1. Butcher J.C. A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations, J. Assoc. Comput. Math., v.12, 1965, p.124-135.
2. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R. On the research of multistep methods with constant coefficients, Monograph, / Lambert, acad. publ., 2013. 314 p.
3. Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. On one generalization of hybrid methods, 2011/5/23, p. 543-547.
4. Dahlquist G. Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations, Math. Scand, 1956, No 4, p.33-53.
5. Lambert R.J. Two unconventional classes of methods for stiff systems, stiff. Differ. Systy, 1974, p. 171-186.
6. Enright W.H. Second derivative multistep methods for stiff ordinary differential equations, SIAM, J. Numer. Anal., 1974, u2, p.321-332.
7. Ibrahimov V.R. ODEs and application proceedings of the report. Second International conference Russia, Bulgaria, 1982.
8. Mehdiyeva G.Yu., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. An application of the hybrid methods to the numerical solution of ordinary differential equations of second order, Vestnik KazNU, ser., math, mech., inf., 2012, No 4 (75), p. 46-54.
9. Sunday J., Shokri A., Kwanamu J.A. & Nonlaopon K. Numerical integration off Stiff Differential Systems using Non-Fixed step-size Strategy, Symmetry, 14(8), 2022, p. 1-17.
10. Skvortsov L. Explicit two-step Runge-Kutta methods, Math. Modelling 21 (2009) 54-56.
11. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On One Application of Hybrid Methods For Solving Volterra Integral Equations, World Academy of Science, Engineering and Technology 61 2012, p. 809-813.
12. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Shafiyeva G.Kh. IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering 225, International Conference on Materials, Alloys and Experimental Mechanics (ICMAEM-2017), India, Narsimha Reddy Engineering College, 6 p.
13. Brunner H. The Solution of Volterra integral equations of the first kind by piecewise polynomials, J. Inst. Math. and Appl., 1973, Vol.12, No 3, p. 295-302.
14. Burova I.G. About modelling nonpolynomial integro-differential approximations, Trudy SPIIRAN, 2011, Issue 19, p. 176-203.
15. Burova I.G., Evdokimova T.O., Rodnikova O.V. Integro-differential polynomial and trigonometrical splines and quadrature formulas, Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, 2018, Volume 58, Number 7, p.1059-1072.
16. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M. A way to construct an algorithm that uses hybrid methods. Appl. Math. Sci. HIKARI Ltd 7(98), 4875-4890 (2013).
17. Sunday J., Kumleng G.M., Kamoh N.M., Kwanamu J.A., Akwame Y., Sarjiyus O. Implicit four-point hybrid block integrator for the simulations of stiff models, Journal of the Nigerian Society of Physical Sciences 4 (2022), p. 287-296.
18. Yakubu S.D., Yahaya Y.A., Lawal K.O. 3 point block hybrid linear multistep methods for solution of special second order ordinary differential equations, Journal of the Nigerian Mathematical Society 40, 2021, 149.
19. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M. Solving Volterra integro-differential equation by the second derivative methods applied mathematics and information sciences, Volume 9, No. 5, Sep. 2015, p.2521-2527.
20. Burova I.G. Fredholm Integral Equation and Splines of the Fifth Order of Approximation, WSEAS Transactions on Mathematics, Volume 21, 2022,p. 260-270.
21. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order, AIP Conference Proceedings, 2012/11/6, p. 506-510.
22. Shura-Bura M.R. Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations. Prikl. Matem. Mech. № 5, 575-588 (1952) (Russian).
23. Akinfewa O.A., Yao N.M., Jator S.N. Implicit Two step continuous hybrid block methods with four off steps points for solving stiff ordinary differential equation. WASET, 51, 2011, 425428.
24. Bakhvalov N.S. Some remarks on the question of numerical intefration of differential equation by the finit-difference method. Acad. Sci. Rep. USSA, N3, 1955, 805-808 p., (Russian).
25. Ibrahimov V.R. About one way construction A-stable methods, Application methods for solving differential and integral equations, Baku, 1983.
26. Ibrahimov V.R. On a relation between order and degree for stable forward jumping formula, Zh. Vychis. Mat, 1990, p. 1045-1056.
27. Ibrahimov V.R. About one way of constructing the bilateral methods, Annual of higher education. Institutions, Applied mathem. Sofia PRB 1984, p. 199-207.
28. Ibrahimov Vagif, Yue Xiao-Guang, Jurayev Davron On Some Advantages of the Predictor-Corrector Methods, Transactions on Data Analysis, December 2023, IETI, p. 79-89.
29. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On one generalization of hybrid methods, Proceedings of the 4th international conference on approximation methods and numerical modeling in environment and natural resources, 2011/5/23, p. 543-547.
30. Ibrahimov V., Imanova M., Davron J. Application of the Bilateral Hybrid Methods to Solving Initial -Value Problems for the Volterra Integro-Differential Equations, Wseas Transactions On Mathematics, 10.23, p.781-791.
31. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N. On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.
32. Ibrahimov V., Shafiyeva G. О Некоторых Применениях Метода Прогноза-Коррекции, Journal Kazakh, 2023, p. 1-10.
33. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M. On One Application of Hybrid Methods For Solving Volterra Integral Equations, 2012.
34. Butcher J.C. A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations, J. Assoc. Comput. Math., v.12, 1965, p.124-135.
35. Gear C. Hybrid methods for initial value problems in ordinary differential equations. SIAM J. Numer. Anal. 2, 69-86 (1965).
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
36. Jator S.N. Solving second order initial-value problems by hybridmethod without predictor, Appl. Math. Comput. 217, 2010, p.4036-4046.
37. Makroglou A.A. Hybrid methods in the numerical solution of Volterra integro-differential equations, J. Numer, Anal. 2 (1982), p.21-35.
38. Imanova M., Ibrahimov V. The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, vol 18, February 2023, issue 1, p. 74-80.
39. Ibrahimov V., Imanova M. The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, American Journal of Biomedical Science and Research vol. 18, issue 6, 2023, p.531-542.
40. Mehdiyeva G.Y., Imanova M.N., Ibrahimov V.R. Solving Volterra Integro-Differential Equations by the hybrid methods, Pensee Journal,Paris, 2013, p. 2-16.
