CC BY
5ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ШАФИЕВА ГЮЛЬШАН ХАЛИК кызы
Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан
ИБРАГИМОВ ВАГИФ РЗА оглы
Профессор, заведующий кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан
Аннотация. Как известно, многие ученые, начиная с Ньютона, Лейбница и др. в своих исследованиях сталкивались с вычислениями определенных интегралов. Вычисление определенных интегралов популярно по сей день во многих областях естествознания. Известно, что во многих работах, посвященных вычислению определенных интегралов, используются квадратурные и подобные им методы. Естественно, что эти методы успешно применяются к решению начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), поскольку, часто решение названной задачи сводится к вычислению определенных интегралов. Однако, к решению начальной задачи для ОДУ применяются также методы отличающиеся от методов используемых вычисление определенных интегралов. Существуют два больших класса методов: методы Рунге-Кутты и многошаговые методы для численного решения ОДУ первого порядка. В данной работе рассматривается применение гибридных многошаговых методов с постоянными коэффициентами к вычислению определенных интегралов, которые расширяют множество методов, применяемых к вычислению определенных интегралов.
Ключевые слова: Определенные Интегралы, Степень Точности, Устойчивость, Гибридные Методы, Задачи Коши.
Введение. Одним из известных простых методов для вычисления определенных интегралов являются левые и правые методы прямоугольников, которые имеют первый порядок точности. Для вычисления определенных интегралов с высокой точностью ученые используют методы трапеции, Симпсона и др. В более общей форме эти методы можно представить в следующей форме (см например [1]-[9]):
Г к
|/(.х^х = к^Д1/п+1; п = 0,1,2,.... (1)
а ¿=0
С помощью подбора коэффициентов Д (/ = 0,1,...,к) можно получить известные, а также новые методы, имеющие разные точности. Отметим, что метод (1) напоминает методы Ньютона-Коттеса. Как известно, в методах Ньютона-Коттеса коэффициенты Д - являются фиксированными, т.е. вычисляются с помощью конкретной формулы. В данной работе для вычисления коэффициентов Д (/ = 0,1,...,к) метода (1), предлагается метод, который
позволяет выбирать значение коэффициентов Д, таким образом, чтобы полученный метод имел новые свойства, как точность, простая структура, меньший объем вычислительных работ и т.д.
Некоторые авторы, предлагают для вычисления определенного интеграла использовать метод центральных разностей, который может быть представлен в виде (см например [3]):
a+h
J f (s)ds * hf (a + h2). (2)
a
В данном случае, обычно предполагают, что непрерывная функция f (х) определена на отрезке [х0, b\, а h является шагом разбиений отрезка [х0, b\ на N равных частей, где
хг+1 _ xi + h. Легко заметить, что этот метод не содержится в классе методов (1), т.е. методы
(1) и (2) не пересекаются. Такие методы академик Яненко назвал методами с дробным шагом. Точность метода (2) равна двум, также как и точность метода трапеции. Несмотря на то, что метод трапеции является неявным при его применении к вычислению определенных интегралов, каких-либо трудностей не возникает.
В работе [3] рассмотрена следующая функция:
X
у(х) = |/хо < х < ь. (3)
хо
Рассмотрим вычисление следующего определенного интеграла:
ь
У(Ь) = |/хо < х < ь, (4)
хо
который следует из равенства (3) при х = Ь Таким образом, вычисление интеграла (4), можно
заменить на вычисление значения функции у(х) в точке х = Ь С этой целью дифференцируем равенство (3). Тогда имеем
у'(х) = /(х1 у(хо) = Уо (Уо = хо < х < ь (5)
Таким образом, вычисление определенного интеграла свели к решению начальной задачи для ОДУ первого порядка.
О применении гибридных методов к решению начальной задачи (5). Известно, что одним из часто используемых численных методов решения начальной задачи для ОДУ первого порядка является многошаговый метод с постоянными коэффициентами. При
применении его к задаче (5) имеем (см например [10]-[26]):
к к
=; п=о,1,2— N - к• (6)
г=о г=о
Здесь «к * о и /т = /х) (т > о).
Л/Г ~ Отрезок [х„, Ь] разбиваем на N равных
Метод (6) строится по следующей схеме. ^ о ^
частей, и получаем, что длина каждого подынтервала[хА,хй+А.] (/ = о,1,2,...,т; (т +1);к = N равна кй При применении указанной схемы получаем, что разбиение интервала следует
проводить по специальным правилам. Поэтому, здесь предлагается использование следующего метода:
к-1 ( а Я Ля
уп+к =Т—^Уп+1 + й ЯЯ-/п+1 + й ^/п+к; п = о,1,2,..., N - к. (7)
ак ак J
ак
Отметим, что при ак ф 0, можно вычислить Уп+к по методу (7). Однако, если учесть теорему Дальквиста в определении максимальной точности устойчивых методов типа (6), то
получаем что точность устойчивого метода (7) удовлетворяет условию p — 2[к /2] + 2, т.е. ограничено с числом к +2 для четных и к +1 для нечетных к- Следовательно, построение устойчивых методов типа (6) с высокой точностью можно считать актуальным. С этой целью, сравним метод (6) и методы с дробными шагами. Для этого обобщим метод (2), тогда имеем
(см например [27]-[43]):
к к
Еау+ = ti£P,fn+,+Vl h\ < 1;i = 0,1,2,...,к). (8)
i=0 i=0
Если рассмотрим случай к =1 то из (8) можно получить следующий метод:
yn+1 = yn + h{fn+1/2-r3/6 + fn+1/2+43/6 )' 2. (9)
Точность этого метода равна четырем, а точность метода трапеции равна двум. Следовательно, метод (8) более точен, чем метод (6). Не трудно убедиться, что если функция
7=0
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ Impact Factor: SJIF 2021 - 5.81 PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
2022 - 5.94
f зависит также от y, т.е. f(x?y)? есть функция двух переменных, тогда при использовании методов (7)-(9) могут возникнуть некоторые трудности. Например, в методе (7), трудности
возникают, при нахождении значений yn+k ? из-за нелинейных алгебраических уравнений. А при использовании методов типа (8) или (9) трудности возникают при вычислении значений
Уш+а (а_ иррацианальное чжло). Отметим, что величину а можно подобрать и рациональным. Однако, в этом случае точность полученных методов будет меньше, чем предполагалось. Для иллюстрации, рассмотрим следующий метод:
уп+1 = Уп + h(fn+i + 3f„+V3)/ 4. (10)
Метод (10) является гибридным методом, который построен с использованием двух точек, т.е. k =1 Известно, что максимальная точность методов (8) равна 2k +2 Отсюда следует, что при k =1 максимальная точность методов типа (8) будет равна четырем. Следовательно, если гибридные точки являются иррациональными, тогда построенный метод
типа (8) может иметь точность 2k + 2. Отметим, что в нашем случае, т.е. при k =1, метод с максимальной точностью совпадет с методом (9).
Рассмотрим следующий одношаговый, гибридный метод
уп+1 = Уп + h(fn + 3fn+2/3 )/ 4 (11)
который не использует иррациональных точек, поскольку 2/3 _ является рациональным. Отметим, что в данном случае при применении методов (10) и (11) к вычислению определенных интегралов никаких трудностей не возникает. Однако, при их применении к решению следующей задачи (см например [44]-[54]):
У' = P(x У), У(х0) = Уо ? x0 ^ x ^ b? (12)
возникают некоторые трудности. Например, рассмотрим применение метода (10) к решению задачи (12). Тогда имеем
уп+1 = Уп + h(P(xn+1? уп+1) + 3p(Хп+^3? Уп+1/3 ))/4. (13)
Очевидно, что в соотношении (13) Уп+1 _ является неизвестным, который участвует как
в левом, так и в правом частах уравнения. Так как неизвестный участвует в функции p( x ух
который может быть также нелинейным по отношению к y(х), то уравнение (13) будет нелинейным алгебраическим уравнением и поэтому в решении ее возникают некоторые трудности. Таким образом, получаем, что применение методов типа (6) и (8) к решению (12) более сложное, чем применение их к вычислению определенных интегралов. Отметим, что при применении метода (9) к вычислению определенного интеграла, дополнительные трудности не возникают. Однако, при его применении к решению задачи (12) возникают
трудности в нахождениях значений yn+;i/2-V3/6 и уп+1/2+43/6. Следовательно, присутствие
подобных членов в численных методах увеличивает объем вычислений, а также погрешность используемых методов. Учитывая выше сказанное, некоторые специалисты дают преимущество использования методов типа (11) к решению задачи (12).
А теперь рассмотрим применение гибридных методов к вычислению определенных интегралов. С этой целью применяем метод (9) к вычислению интеграла (2). Очевидно, что длина отрезка на котором задан определенный интеграл равен h. Следовательно, метод (9) можно применить к вычислению интеграла (2). Тогда имеем
a+h / \
J f (s)ds * h(f (xn+h,2_VW6) + f (xn+h,2+Shl6 Ж 2 (14)
a
здесь xn =a и xn+1 =a +h, h ~ является шагом разбиений. Учитывая, что h ~ является постоянным на каждом отрезке, здесь можно применить метод (14), в результате чего получаем:
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ Impact Factor: SJIF 2021 - 5.81 PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
2022 - 5.94
b N-l / \
j f {s)ds = h ElAx+v^p + f (x1+h/2+sh/6»
(15)
E foУ(х + ih) - hpty'(x + ih)) = O(hp+1), h ^ 0. (17)
Для упрощения вычислительных процессов, в данном случае предлагается к решению задачи (5), применить метод (9). Тогда имеем
= У + ь[т(x^+V2WзVб) + /} = 0,1,..., N -1. (16)
Очевидно, что УN - будет искомым значением. Метод (16) устойчив, имеет простую структуру, точность р = 4, и его можно легко программировать.
Концепция устойчивости и точности метода (8) определяется в следующей форме
Определение 1. Метод (8) устойчив, если корни характеристического многочлена р(Л) = акЛк + ак1Ак-1 +... + а}Л + а0 лежат внутри единичного круга на границе которого нет кратных корней.
Определение 2. Метод (8) имеет степень р, если имеет место следующее асимптотическое равенство
к
...... ' + 1
\ 1 V У / 1 V
1=0
Дальквистом доказано, что если метод (6) устойчив и имеет степень р, то для каждого Л существуют методы типа (6) со степенью Р = 2[к12] + 2. Следовательно, при & =1, полученный метод трапеции имеет степень р = 2.
В.Р. Ибрагимов в ряде своих работ доказал, что если метод (8) устойчив и имеет степень
р = 2 то существуют устойчивые методы типа (8) со степенью Р = 2 + 2. Следовательно, устойчивые методы типа (8) более точны, чем методы типа (6). Отметим, что при применении методов типа (8) к вычислению определенного интеграла, дополнительных трудностей не возникает. Поэтому применение методов типа (8) к вычислению определенного интеграла (2) считаются перспективными.
Выводы. Как было отмечено выше, одним из популярных методов решения начальной задачи для ОДУ являются многошаговые методы с постоянными коэффициентами. Известным представителем данных методов считаются методы Адамса-Мултона и Адамса-Башфорта, опубликованные в XIX веке. Отметим, что многошаговые методы с постоянными коэффициентами фундаментально исследованы в середине ХХ века. Были определены источники погрешностей, полученных при применении их к решению некоторых конкретных задач, и найдены критерии для ограниченности полученных погрешностей. В результате этих исследований появились критерии ограниченности дисперсии (в работе Шура-Бура) и устойчивости (в работах Мухина, Бахвалова, Дальквиста и т.д.). Существуют многие работы разных авторов, посвященные исследованию названных методов. Здесь мы старались показать развитие многошаговых методов с использованием дробных шагов и их применение к вычислению определенных интегралов. Как известно, одним из первых методов, использующий дробный шаг или иррациональные точки разбиений, является метод Гаусса. Предложенные здесь методы гибридного типа отличаются от метода Гаусса, но и имеют
некоторые сходства. Например, в гибридных методах коэффициенты ^^ положительны и симметричны. Однако, предложенные здесь методы более точны, чем соответствующие методы Гаусса. Следовательно, применение гибридных методов к вычислению определенных интегралов можно считать перспективным.
ЛИТЕРАТУРА
i=0
x
1. Ibrahimov V.R., On the maximal degree of the &-step Obrechkoffs method. Bulletin of Iranian Mathematical Society, Vol.28, No 1, 2002, p. 1-28.
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
2. Dahlquist G., Stability and error bounds in the numerical integration of ordinary differential equation. Trans. Of the Royal Inst. Of Techno. Stockholm, Sweden, No. 130, 1959, p. 3-87.
3. Iserles A., Norset S.P., Two-step methods and Bi-orthogonality, Math. Of Comput, no.180, 1987, p. 543-552.
4. Kobza J., Second derivative methods of Adams type, Applikace Mathematicky 20 (1975), p. 389-405.
5. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., On the investigation of multistep methods with constant coefficients, Lap Lambert, Academi Publising 2013, 314 p.
6. Shura-Bura M.R. Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations, Prikl. mathem. and mech., 1952, № 5, p. 575-588, (Russian).
7. Bakhvalov N.S., Some remarks on the question of numerical interfration of differential equation by the finit - difference method, Academy of Science report, USSA, N3, 1955,
8. p. 805-808 (Russian).
9. Mamedov Ya.D., Approximate methods for solving ODE, Maarif, Baku, 1974, 175 p. (Russian).
10. Krylov A.N., Lectures on approximate calculations. Moscow, Gocteh.-izdat, 1950, 400 p. (Russian).
11. Dahlquist G., Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations, Math. Scand, 1956, No 4, p. 33-53.
12. Hairer E., Lubuch C., Wanner G., Geometric numerical integration, Second Edition, Springer (2004) 644 p.
13. Babushka I., Vitasek E., Prager M., Numerical processes for solving differential equations, Mir 1969, 368 p.
14. Butcher J., A modified multistep method for the numerical integration of 530 535 540 545 550 ordinary differential equations, J. Assoc. Comput. Math 12 (1965) p. 124-135.
15. Ibrahimov V.R., Relationship between of the order and the degree for a stable forward-jumping formula, Prib. operator methods. urav. Baku 1984, p. 55-63.
16. Juraev D.A., Cauchy problem for matrix factorizations of the helmholtz equation, Ukrainian Mathematical Journal 69 (2018) p. 1583-1592.
17. Henrici P., Discrete variable methods in ODG, John Wiley and Sons, Inc, New York. London, 1962.
18. Skvortsov L., Explicit two-step Runge-Kutta methods, Math. modeling 21, 2009, p. 54-65.
19. Shura-Bura M.R., Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations, Prikl. matem. and mech., 1952, № 5, p. 575-588 (Russian).
20. Mukhin I.S., By the accumulation of errors in the numerical integration of differential-differential equations, Prikl. mat. and mech., 1952, V.6, p. 752-756 (Russian).
21. Ibrahimov V.R., A relationship between order and degree for a stable formula with advanced nodes, Computational Mathematics and Mathematical Physics (USSR) 30, 1990, p. 1045-1056.
22. Mehdiyeva Q.Yu., Ibrahimov V.R., Nasirova I.I., On some connections between Runge-Kutta and Adams methods, Transactions issue mathematics and mechanics series of physical-technical and mathematical science, 2005, 5, p. 55-62.
23. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., On a way for constructing numerical methods on the joint of multistep and hybrid methods, World Academy of Science, engineering and Technology, Paris, 2011, p. 240-243.
24. Mehdiyeva G., Imanova M., Ibrahimov V., An Application of Mathematical Methods for Solving of Scientific Problems, British Journal of Applied Science & Technology, 2016, p. 1-15.
25. Mehdiyeva G.Y., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., General hybrid method in the numerical solution for ODE of first and second order, in: Recent Advances in Engineering Mechanics, Structures and Urban Planning, Cambridge, UK, 2013, p. 175-180.
26. Mehdiyeva G., Imanova M., Ibrahimov V., One a way for Constructing hybrid Methods with the Constant Coefficients and their Applied, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 225 p., 2017.
27. Ibrahimov V.R., Mehdiyeva G.Yu., Xiao-Gunag Yue, Mohammmed K.A. Kaabar, Samad Noeiaghdam, Juraev D., Novel symmetric numerical methods for solving symmetric mathematical
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
problems, international Journal of circuits, systems and signal processing, 2021 Volume 15, p. 15451557.
28. Burova I.G., Application local plynominal and non-polynominal splines of the third order of approximation for the construction of the numerical solution of the Volterra integral, WSEAS Transactions on Mathematics, 2021.
29. Mehdiyeva G., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., An application of mathematical methods for solving of scientific problems, British journal of applied Science technology 14(2), 2016, p. 1-15.
30. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Finite difference methods with improved properties and their application to solving some model problems, 2022 International Conference on Computational Science and Computational Intelligence (CSCi), 2023, p. 464-472.
31. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13531360.
32. Ibrahimov V., Qurbanov I., Shafiyeva G., Quliyeva A., Rahimova K., On Some Ways For Calculation Definite Integrals, Slovak international scientific journal, vol. 79, p. 27-32, 2017.
33. Butcher J.C., A modified multistep method for the numerical integration of ordinary differential equations, J. Assoc. Comput. Math., v.12, 1965, p. 124-135.
34. Burova I.G., Alcybeev G.O., Solution of Integral Equations Using Local Splines of the Second Order, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Volume 17, 2022, p. 258-262.
35. Ibrahimov V., Imanova M., Multistep methods of the hybrid type and their application to solve the second kind Volterra integral equation, Symmetry 6 (2021) 13.
36. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.
37. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13531360.
38. Juraev D., Jalalov M., Ibrahimov V., On the formulation of the Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation, Engineering Applications, 2023/5/26,
39. p. 176-189.
40. Ибрагимов В.Р., Шафиева Г.Х., О Некоторых Применениях Метода Прогноза-Коррекции, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 284-290.
41. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of a second derivative multi-step method to numerical solution of Volterra integral equation of second kind, Pakistan Journal of Statistics and Operation Research, 28.03.2012, p. 245-258.
42. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the Construction of the Multistep Methods to Solving the Initial-Value Problem for ODE and the Volterra Integro-Differential Equations, IAPE, Oxford, United Kingdom, 2019.
43. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, American Journal of Biomedical Science and Research, 2023/06, p. 74-80.
44. Burova I.G., Fredholm Integral Equation and Splines of the Fifth Order of Approximation, WSEAS Transactions on Mathematics, Volume 21, 2022, p. 260-270.
45. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., About some applications multistep methods with constant coefficients to investigation of some biological problems, American Journal of Biomedical Science and Research, vol. 18, 2023, p. 531-542.
46. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2016, Springer India, p. 1047-1056.
47. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure, WSEAS TRANSACTIONS ON SYSTEMS, DOI: 10.37394/23202.2023.22.20, p. 199-206.
48. Шафиева Г.Х., О некоторых преимуществах многошаговых методов типа гибридных, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 380-388.
49. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13.
50. Deepa S., Ganesh A., Ibrahimov V., Santra S.S., Govindan V., Khedher K.M., Noeiaghdam S., Fractional fourier transform to stability analysis of fractional differential equations with prabhakar derivatives, Azerbaijan Journal of Mathematics, 2022/7/1, p.131 -153.53-1360.
51. Akinfenwa O.A., Akinnukawe B., Mudasiru S.B., A Family of Continuous Third Derivative Block Methods for solving stiff systems of first order ordinary differential equations, Department of Mathematics University of Nigeria, 11.03.2015.
52. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2016, Springer India, p. 1047-1056.
53. Dachollom Sambo, Chollom J.P., Oko Nlia, High order hybrid method for the solution of ordinary differential equations, 2019, p. 31-34.
54. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order, AIP Conference Proceedings, p. 506-510.
55. Faruk Muritala, Abdul Azeez K.Jimooh, Muiden O.Oguniran, Abdulmalik A.Oyedeji, Jafaar O.Lawal, k-step block hybrid method for numerical approximation of fourth-orderordinary differential euqations, 2012.
56. Akram Mova., Ali Abdi, Gholamreza Hojjati, A Hybrid method with optimal stability properties for the numerical solution of stiff differential systems, Computational Methods, for differential equations, 2016, p. 217-279.
