О НЕКОТОРЫХ СРАВНЕНИЯХ ОДНОШАГОВЫХ И МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.642.2

О НЕКОТОРЫХ СРАВНЕНИЯХ ОДНОШАГОВЫХ И МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ГУЛИЕВА АРЗУ МУРАД кызы

Доцент кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

ИБРАГИМОВ ВАГИФ РЗА оглы

Заведующий кафедры Вычислительная математика БГУ, Баку, Азербайджан

Аннотация. Как известно, существуют некоторые классы численных методов предназначенных для нахождения численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди таких методов наиболее популярными являются классы одношаговых и многошаговых методов. Известными представителями этих методов являются методы Рунге-Кутты и Адамса. Можно подумать, что методы Адамса являются обобщением методов Рунге-Кутты, поскольку методы Адамса являются многошаговыми. Однако, методы Адамса опубликованы в конце XIXи в начале XXвека. Следовательно, данные классы методов являются самостоятельными. Мы, в данной работе покажем, что эти классы методов имеют некоторые прямые связи. С этой целью построим многошаговый метод с постоянными коэффициентами, который сравним с методами Рунге-Кутты. А также сравним некоторые конкретные методы типа одношаговых и многошаговых.

Ключевые слова: Задача Коши, обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), понятие устойчивости и степени, многошаговые методы, методы с забеганием вперед.

Введение. Начиная с эпохи Ньютона, специалисты изучали нахождение приближенных значений решения задачи Коши для ОДУ. Многие средневековые ученые для нахождения приближенных значений задачи Коши использовали степенные ряды. Эйлер, отмечая некоторые недостатки метода степенных рядов, построил свой знаменитый метод. Метод Эйлера развивался в двух направлениях в результате, чего появились одношаговые и многошаговые методы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим следующую задачу Коши:

У' = f (XУ),УМ = Уo, xo ^ x ^ X . (1)

Прежде, чем построить некоторый численный метод для нахождения приближенного решения задачи (1), введем некоторые обозначения. С этой целью предполагаем, что задача (1) имеет единственное непрерывное решение, определенное на отрезке [ x0, X ] и имеющая

непрерывную производную до p +1 порядка включительно. А непрерывная по совокупности аргументов функция f ( x, У) определена на некотором замкнутом множестве, где имеет непрерывные частные производные p +1 порядка включительно.

Учитывая, что исследуем численное решение задачи (1), разобьем отрезок [ x0, X ] на N - равных частей точками х,+1 = х, + h, i = 0,1,...,N . Здесь 0 < h - является шагом разбиений. Обозначим, через y(xi) - точное значение решения задачи (1) в точках xi (i = 0,1,2,...,N), а соответствующие приближенные значения в точках x (i = 0,1,2,...,N) обозначим через y, (i = 0,1,2,...,N).

Многошаговые методы, которые легко применяется к решению задачи (1) могут быть

представлены в следующей форме:

k k

= h^PJn+п n = 0,1,...,N - k. (2)

i=0 i=0

ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"

Здесь коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

A. Коэффициенты ai,Д (i = 0,1,...,к) некоторые действительные числа, причем ак Ф 0.

к к

B. Характеристические многочлены р(Л) = ^ai X; а(Л) = не имеют общих

i=0 i=0

множителей отличных от нуля.

C. Имеет место р'(1) Ф 0 и степень метода р удовлетворяет условию p > 1. Здесь степень метода (1) определяется в следующей форме.

Определение 1. Целочисленное p , называют степенью метода (2), если имеет место:

к

2(ay(x + ih) - hpy'(x + ih)) = O(hp+1), h ^ 0 . (3)

i=0

Отметим, что метод (2), как численный метод решения задачи (1) исследован многими авторами (см., напр. [1]-[23]). Дальквист доказал, что если имеет место (3), степень метода (2) удовлетворяет условию: p < 2к. Причем метод с максимальной точностью, т.е. p = 2к единственен.

Известно, что как теоретический, так и практический интерес представляют устойчивые методы. Понятие устойчивости определяется в следующей форме.

Определение 2. Метод (2) называют устойчивым, если корни многочлена р(Л) лежат внутри единичного круга, на границе которого нет кратных корней.

Учитывая выше сказанное Дальквист для оценки точности устойчивых методов, доказал следующую теорему.

Теорема 1. Если метод (2) устойчив и имеет степень p , то существуют методы типа (2) со степенью p < 2[к /2] + 2 и для каждого к, существуют устойчивые методы для любого к . Если в методе (2) положим ак Ф 0 и J3k= 0, то существуют явные многошаговые методы со степенью p < к .

Как выше отмечено, цель данной работы сравнение одношаговых и многошаговых методов. Поэтому рассмотрим сравнение методов типа Рунге-Кутты с многошаговыми методами типа (2). Классические методы Рунге-Кутты можно представить в следующей форме:

Уи+1 = Уп + h(PiKi (h) + p2 K 2 (h) +... + PrKr (h)), (4)

Ki(h) = hf (Xn, Уп), Kr (h) = hf (Xn + ah Уп +~PK +pr 2 K2 +... + ~pr,-Kr-,).

В методе (4) правая часть не содержит f (xn+1,ynJr¡) и поэтому является явным методом.

Однако, как показано выше, в классе методов (1) существуют как явные так и неявные методы. Батчер развил теорию методов Рунге-Кутты и построил полуявные и неявные методы типа Рунге-Кутты. А так же Батчер построил неявные методы Рунге-Кутты которые, с учетом выше сказанных, можно представить в следующей форме (см., напр. [24]-[41]):

Уп+1 = Уп + (PiKi (h) + p K 2 (h) +... + PK (h)), (5)

здесь

K(h) = hf (xn + ahУп + YK(h) + /2K2(h) +... + yrKr(h)), i = 1,2,...,r . (6)

Очевидно, что метод (4) является частным случаем метода (5). Как видно из построения метода (5), применение его к решению задачи (1) более сложное, поскольку нахождение значений K (h) требует нахождение решений нелинейных систем алгебраических уравнений. Очевидно, что если r = i, то получаем неявные методы. Однако, если r > i, тогда также получаем неявные методы, которые отличаются от неявных методов, построенных в случае r = i. Поэтому, методы полученные в случае r = i называют полуявными или полунеявными методами, а методы полученные в случае r > i называют неявными методами Рунге-Кутты.

Явные и полуявные методы соответствуют многошаговым методам. А неявные методы Рунге-Кутты соответствуют методам с забеганием вперед. Таким образом, получаем, что одношаговые и многошаговые методы имеют одинаковую структуру. Однако, свойства этих методов отличаются друг от друга. Например, в методе (4) порядок точности метода имеет некоторые связи с количеством К1 (к) . Если г < 4, то существуют методы типа Рунге-Кутты с порядком равным г. Но, если г > 4, то этот закон не имеет место. Например, существуют методы типа (4) с порядком точности р = 5 для г = 6 (количество Ki (к) ). Но, как было отмечено выше, если метод (2) при ¡Зк= 0 устойчив, то для любого к, существуют устойчивые методы со степенью р = к . Обычно, точность методов Рунге-Кутты называют порядком. В методе (2) порядком называют величину к , которая является порядком конечно-разностного метода (2). Таким образом, получаем, что методы Рунге-Кутты и многошаговые методы имеют разные свойства. Правда эти методы имеют некоторые пересечения, однако они полностью не совпадают. Для подтверждения выше изложенных, давайте рассмотрим следующий метод:

уя+1 = уп + кК (К = /(хп,у„)), у„+1 = у„ + к(К + К2)/2, К2 = /(хп + к,у„ + кК). (7) Очевидно, что соответствующий многошаговый метод к методу (7), можно написать в следующем виде:

Уя+1 = Уя + К/(Хя, Уя) + ¥(Хя+1, Уя+1))/2 . (8)

Для получения метода (7) из метода (8) достаточно использовать метод Эйлера, т.е.

Уи+1 = Уя + к(/(хп, Уя) + /(хп+1, уп + к/(хп, Уя )))/2, (9)

который называют методом Хейнса. А теперь рассмотрим следующий метод Рунге-Кутты с вторым порядком:

Уя+1 = Уя + кК2(хп + к/2,Уя + К!/2), К = /(хп,Уя) . (10)

Этот метод совпадает с методом центральных разностей. Если в (10) заменим шаг к через 2к , то имеем:

Уя+2 = Уя + 2к/(хяУя+1) , (11)

который входит в класс методов (2).

А теперь рассмотрим метод типа Рунге-Кутта, построенным самим Рунге:

Уя+2 = Уя + к(К + 2К2 + 2К3 + К4) / 6, (12)

где

К3 = /(хя + к/2,Уя + кК2 /2), К4 = /(хя + к,Уя + К3). Этот метод имеет порядок р = 4. Как было показано выше, соответствующий метод методу (12) является метод Симпсона. Однако, эти методы разные. Метод (12) одношаговый метод, но метод Симпсона двухшаговый метод. Метод (12) является явным методом, а метод Симпсона является неявныи методом и имеет следующий вид:

Уя+ 2 = Уя + к(/я+ 2 + 4/я+1 + /я )/3 . (13)

Отметим, что метод (13) можно написать как одношаговый метод в следующем виде:

Уя+1 = Уя + к(/я+1 + 4/я+1 / 2 + /я )/6. (14)

Применим метод (12) к решению следующей задачи:

У' = (Р( хХ У( хя ) = Уя, хя < х < хя+1 , (15)

который эквивалентен к вычислению следующего интеграла (см., напр. [42]-[67]):

хя+1

Уя+1 = Уя + . (16)

Если метод (12) применим к решению задачи (15), то имеем:

Уя+1 = Уя + к(Ря+1 + 4%+1/2 + (Рп )/ 6 . (17)

Этот метод является не единственным подобного рода. Например, если метод трапеции и Хейнса применить к решению задачи (15), то получим, что эти методы одинаковые. Таким образом доказали, что некоторые методы типа Рунге-Кутты совпадают с методами типа (2). А теперь рассмотрим сравнение неявных методов типа Рунге-Кутты с методами забеганием вперед. С этой целью рассмотрим следующий метод с забеганием вперед имеющий следующий вид:

k-m__k _

= hY.PJn+1, n = 0,1,2,..., N - k; m > 0. (18)

i=0 i=0

Предполагаем, что коэффициенты метода (18) удовлетворяют следующим условиям:

A . Коэффициенты некоторые действительные числа, причем ак_т Ф 0.

B . Характеристические многочлены

k-m__k _

р(Л) ^аЛ, а(Л) =

i=0 i=0

не имеют общих множителей отличного от константы.

C . Имеет место р'(1) Ф 0 и степень метода (18) удовлетворяет условию: p > 1.

С учетом условия ак_т Ф 0 получаем, что метод (18) является самостоятельной областью

исследования. Подобные исследования проводились, многими авторами (см., напр. [60]-[72]).

С учетом сказанного возникает необходимость для сравнения этих методов (методов (2) и (18)). Отметим, что понятие точности и устойчивости для этих методов совпадают. Поэтому сравним устойчивость методов типа (2) и (18). Для определения максимальной точности для степеней устойчивых методов типа (18), рассмотрим следующую теорему.

Теорема 2. (В. Ибрагимов). Если коэффициенты метода (18) удовлетворяют условиям A , B и C, устойчив и имеет степень p , то

p < k + m +1 (k > 3m) .

Если m = 1, то из метода (18) при k = 3, можно получить следующий метод:

Уп+2 = (11Уп + ^Уп+1)/19 + h(10fn + 57fn+1 + 24fn+2 -/п+ъ)!5!, (19)

Rn =-11h6 уП6) /3420 + O(h7).

Этот метод имеет степень p = 5 и устойчив. По результатам Дальквиста при k = 3 из метода (1) можно получить устойчивый метод со степенью p = 4. Следовательно, в классе методов типа (18) существуют устойчивые методы со степенью p = k + 2 . Для применения метода (19) к решению проблемы (1) требуется использование метода для определения значения У . С этой целью можно использовать следующий метод:

Уп+3 = Уп+1 + h(23fn+2 -16fn+1 + 5fn)/12 . (20)

С учетом метода (20) в методе (19) получаем неявный метод типа (2). Как известно, с помощью метода прогноза-коррекции можно применять полученный метод из (19), после учета метода (20), к решению задачи (1).

Выводы. Здесь сравнили пару классов многошаговых методов применяемых к решению проблемы (2). Очевидно, что каждый метод имеет свои преимушества и недостатки. С помощью простых сравнений получили, что устойчивые методы с забеганием вперед типа (18) являются более точными, чем устойчивые методы типа (2) и эти методы имеют подобные свойства присущие неявным методам Рунге-Кутты. Например, в методе (19) участвует уя+3, который является значением искомого решения задачи (1) в последующей точке. Если значение У - находится на текущей точке, то У - находится на последующей точке.

Отметим, что построением методов типа (18) занимались известные ученые как Коуэлл, Лаплас, Стеклов и др. Однако, все методы типа с забеганием вперед построенные известными

учеными, подчинялись законам Дальквиста. Поэтому, предложенные здесь методы типа с

забеганием вперед являются перспективными. Мы надеемся, что эти методы найдут своих

последователей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Euler L., Integral calculus, v.1, Moscow, Gostexizdat, 415 p.(Russian), 1956.

2. Dahlquist G., Convergence and stability in the numerical integration of ordinary differential equations, Math. Scand, 1956, No 4, p. 33-53.

3. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., On the investigation of multistep methods with constant coefficients, Lap Lambert, Academi Publising 2013, 314 p.

4. Iserles A., Norset S.P., Two-step methods and Bi-orthogonality, Math. Of Comput, no.180, 1987, p. 543-552.

5. Ibrahimov V.R., A relationship between order and degree for a stable formula with advanced nodes, Computational Mathematics and Mathematical Physics (USSR) 30, 1990, p. 1045-1056.

6. Mehdiyeva G., Imanova M., Ibrahimov V., An Application of Mathematical Methods for Solving of Scientific Problems, British Journal of Applied Science & Technology, 2016, p. 1-15.

7. Shura-Bura M.R. Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations, Prikl. mathem. and mech., 1952, № 5, p. 575-588, (Russian).

8. Krylov A.N., Lectures on approximate calculation, Moscow, Gostexizdat., 400 p. (Russian), 1950.

9. Berezin I.S., Zhidkov N.P., Computing methods fML, , 620p. (Russian), 1959.

10. Mehdiyeva G.Y., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., General hybrid method in the numerical solution for ODE of first and second order, in: Recent Advances in Engineering Mechanics, Structures and Urban Planning, Cambridge, UK, 2013, p. 175-180.

11. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., On a way for constructing numerical methods on the joint of multistep and hybrid methods, World Academy of Science, engineering and Technology, Paris, 2011, p. 240-243.

12. Bakhvalov N.S., Some remarks on the question of numerical interfraction of differential equation by the finit - difference method, Academy of Science report, USSA, N3, 1955, p. 805-808 (Russian).

13. Mehdiyeva Q.Yu., Ibrahimov V.R., Nasirova I.I., On some connections between Runge-Kutta and Adams methods, Transactions issue mathematics and mechanics series of physical-technical and mathematical science, 2005, 5, p. 55-62.

14. Mamedov Ya.D., Approximate methods for solving ODE, Maarif, Baku, 1974, 175 p. (Russian).

15. Simos T.E., Tsitouras C., Fitted modifications of classical Runge-Kutta pairs of orders 5(4). Math. Meth Appl Sci; 41:4549-4559, 2018.

16. Simos T.E., Optimizing a hybrid two-step method for the numerical solution of the Schrodinger equation and related problems with respect to phase-lag. J. Appl. Math., 2012;17 pages, Article ID 420387, https://dou.irg./10.1155/2012/420387,2012.

17. Anastassi Z.A. and Simos T.E. An optimized Runge-Kutta method for the solution of orbital problems, Journal of Computational and Applied Mathematics 175(1) 1-9(2005).

18. Ibrahimov V.R., Relationship between of the order and the degree for a stable forward-jumping formula, Prib. operator methods. urav. Baku 1984, p. 55-63.

19. Juraev D.A., Cauchy problem for matrix factorizations of the helmholtz equation, Ukrainian Mathematical Journal 69 (2018) p. 1583-1592.

20. Henrici P., Discrete variable methods in ODG, John Wiley and Sons, Inc, New York. London, 1962.

21. Mehdiyeva G., Imanova M., Ibrahimov V., One a way for Constructing hybrid Methods with the Constant Coefficients and their Applied, IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 225 p., 2017.

22. Ibrahimov V.R., Mehdiyeva G.Yu., Xiao-Gunag Yue, Mohammmed K.A. Kaabar, Samad Noeiaghdam, Juraev D., Novel symmetric numerical methods for solving symmetric mathematical problems, international Journal of circuits, systems and signal processing, 2021 Volume 15, p. 1545-1557.

23. Shura-Bura M.R., Error estimates for numerical integration of ordinary differential equations, Prikl. matem. and mech., 1952, № 5, p. 575-588 (Russian).

24. J.C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary differential equation, The University of Auckland, New Zealand, Second Edition, John Wiley & sons, Ltd, 2008

25. Mukhin I.S., By the accumulation of errors in the numerical integration of differential-differential equations, Prikl. mat. and mech., 1952, V.6, p. 752-756 (Russian).

26. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Finite difference methods with improved properties and their application to solving some model problems, 2022 International Conference on Computational Science and Computational Intelligence (CSCI), 2023, p. 464-472.

27. Ibrahimov V., Qurbanov I., Shafiyeva G., Quliyeva A., Rahimova K., On Some Ways For Calculation Definite Integrals, Slovak international scientific journal, vol. 79, p. 27-32, 2017.

28. Tokmalayeva S.S. Ordinate formula for numerical integration of ODEs, in the collection "Computational mathematics", N 5, p.3-57, 1959.

29. Burova I.G., Alcybeev G.O., Solution of Integral Equations Using Local Splines of the Second Order, WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics, Volume 17, 2022, p. 258262.

30. Ibrahimov V., Imanova M., Multistep methods of the hybrid type and their application to solve the second kind Volterra integral equation, Symmetry 6 (2021) 13.

31. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, Switzerland, 2012/12/29, p. 109-114.

32. Burova I.G., Application local plynominal and non-polynominal splines of the third order of approximation for the construction of the numerical solution of the Volterra integral, WSEAS Transactions on Mathematics, 2021.

33. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13531360.

34. Ибрагимов В.Р., Шафиева Г.Х., О Некоторых Применениях Метода Прогноза-Коррекции, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 284-290.

35. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of a second derivative multi-step method to numerical solution of Volterra integral equation of second kind, Pakistan Journal of Statistics and Operation Research, 28.03.2012, p. 245-258.

36. Babushka I., Vitasek E., Prager M., Numerical processes for solving differential equations, Mir 1969, 368 p.

37. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., On the Construction of the Multistep Methods to Solving the Initial-Value Problem for ODE and the Volterra Integro-Differential Equations, IAPE, Oxford, United Kingdom, 2019.

38. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The application of hybrid methods to solve some problems of mathematical biology, American Journal of Biomedical Science and Research, 2023/06, p. 7480.

39. Burova I.G., Fredholm Integral Equation and Splines of the Fifth Order of Approximation, WSEAS Transactions on Mathematics, Volume 21, 2022, p. 260-270.

40. Ibrahimov V.R., Imanova M.N., About some applications multistep methods with constant coefficients to investigation of some biological problems, American Journal of Biomedical Science and Research, vol. 18, 2023, p. 531-542.

41. Ibrahimov V.R., On the maximal degree of the &-step Obrechkoffs method. Bulletin of Iranian Mathematical Society, Vol.28, No 1, 2002, p. 1-28.

42. Mehdiyeva G., Ibrahimov V., Imanova M., General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA 2016, Springer India, p. 1047-1056.

43. Шафиева Г.Х., О некоторых преимуществах многошаговых методов типа гибридных, Международный научно-практический журнал «ENDLESS LIGHT IN SCIENCE», Алматы, Казахстан, 2023, p. 380-388.

44. Bulatov M.V., Ming-Gong Lee, Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order, Differential Equations volume 44, 2008, p. 13.

45. Imanova M.N., Ibrahimov V.R., The New Way to Solve Physical Problems Described by ODE of the Second Order with the Special Structure, WSEAS TRANSACTIONS ON SYSTEMS, DOI: 10.37394/23202.2023.22.20, p. 199-206.

46. G. Mehdiyeva, V.Ibrahimov, M.Imanova, On a calculation of definite integrals by using of the calculation of indefinite integrals, SN Applied Sciences 1, 1-8, 2019.

47. Deepa S., Ganesh A., Ibrahimov V., Santra S.S., Govindan V., Khedher K.M., Noeiaghdam S., Fractional fourier transform to stability analysis of fractional differential equations with prabhakar derivatives, Azerbaijan Journal of Mathematics, 2022/7/1, p.131-153.53—1360.

48. Mehdiyeva G.Yu., Ibrahimov V.R., Imanova M.N., Application of the hybrid method with constant coefficients to solving the integro-differential equations of first order, AIP Conference Proceedings, p. 506-510, 2012.

49. Jurayev D.A., Ibrahimov V.R., Agarwal P., Regularization of the Cauchy problem for Matrix Factorizations of the Helmholn equation on two-dimentional Bounded Domain, Palestine Journal of Mathematics 12(1), 2023

50. Mehdiyeva G.., Ibrahimov V., Imanova M., On one Application of Hybrid methods for solving Volterra integral equations, World Academy of Science, Engineering and Technology, 61, 2012.

51. Mehdiyeva G.Y., Imanova M.N., Ibrahimov V.R., On one generalization of hybrid methods, Prossidings 4 th International conference on approximation methods, 2011.

52. Akinfenwa O.A., Akinnukawe B., Mudasiru S.B., A Family of Continuous Third Derivative Block Methods for solving stiff systems of first order ordinary differential equations, Department of Mathematics University of Nigeria, 11.03.2015.

53. Ibrahimov V.R., On a nonlinear method for numerical calculation of the Cauchy problem for Ordinary Differential equation, Dif. Equation and Application, Pros. of II International Conference Russe, Bulgaria, 1982.

54. Faruk Muritala, Abdul Azeez K.Jimooh, Muiden O.Oguniran, Abdulmalik A.Oyedeji, Jafaar O.Lawal, k-step block hybrid method for numerical approximation of fourth-orderordinary differential equations, 2012.

55. Dachollom Sambo, Chollom J.P., Oko Nlia, High order hybrid method for the solution of ordinary differential equations, 2019, p. 31-34.

56. G.Y.Mehdiyeva, M.N.Imanova, V.R.Ibrahimov, An application on the hybrid methods to the numerical solution of ordinary differential equations of second order, Vestnik KazNU, ser., math., mech., inf 4, 46-54, 2012.

57. VR Ibrahimov, Convergence of predictor-corrector method, Godishnik na visshite uchebni zavedeniya, Prilozhno math., Sofiya, Bulgariya, 1984.

58. M Galina, I Vagif, I Mehriban, On the construction of the advanced Hybrid Methods and application to solving Volterra Integral Equation, WSEAS Transactions on Systems and Control 14, 183-189, 2019.

59. G Mehdiyeva, M Imanova, VR Ibrahimov, On an application of the finite-difference method, News BSU, (2), 73-78, 2008.

60. VR Ibrahimov, MN Imanova, On a research of symmetric equations of Volterra type, Int. J. Math. Models Methods Appl. Sci 8, 434-440, 2014.

61. Akram Mova., Ali Abdi, Gholamreza Hojjati, A Hybrid method with optimal stability properties for the numerical solution of stiff differential systems, Computational Methods, for differential equations, 2016, p. 217-279.

62. G.Mehdiyeva, V.Ibrahimov, M.Imanova, General theory of the application of multistep methods to calculation of the energy of signals, Wireless Communications, Networking and Applications: Proceedings of WCNA, 2016.

63. MN Imanova, One the multistep method of numerical solution for Volterra integral equation, Trans. Natl. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Tech. Math. Sci 26(1), 95-104, 2006.

64. GY Mehdiyeva, VR Ibrahimov, MN Imanova, On the construction test equations and its Applying to solving Volterra integral equation, Mathematical methods for information science and economics, Montreux, 2012.

65. I.G.Burova and G.O.Aloybeev, The application of splines of the seventh order approximation to the solution of Fredholm Integral equations, WSEAS Transactions on Mathematics, vol.22, pp.409-418, 2023. https://doi.org/10.37394/23206.2023.22.48

66. I.G.Burova, Fredholm integral equation and splines of the fifth order of approximation, WSEASTransactions on Mathematics, vol.21, pp.260-270, 2022. https://doi.org/10.37394/23206.2022.21.31

67. I.G.Burova, On left integro-differential splines and Gauchy problem, International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol. 9, pp.683-690, 2015.

68. I.G.Burova and G.O.Aloybeev, Application of splines of the second order approximation to Volterra integral equations of second kind application in systems theory and dynamical systems, International Journal of Circuits, Systems and Signal Processing, vol. 15, pp. 63-71, 2021. https://doi.org/10.46300/9106.2021.15.8

69. V.R.Ibrahimov and M.N.Imanova., On some modifications of the gauss quadrature method and its application to solve of the initial-value problem for ODE, International Conference on Wireless Communications, Networking and Applications, pp. 306-316, 2021. https://doi.org/10.1007/978-981-99-3951-0 35

70. D.A.Juraev, Cauchy problem for matrix factorizations of the Helmholtz equation, Ukrainian Mathematical Journal, vol. 69, no. 10, pp. 1583-1592, 2018. https://doi.org/10.1007/s11253-018-1456-5

71. Y.Xiao-Guang, S.Sahmani, W.Huang, and B.Safaei, Three-dimensional isogeometric model for nonlinear vibration analysis of graded inhomogeneous nanocomposite plates with inconstant thickness, Acta Mechanica, vol. 234, pp.5437-5459, 2023. https://doi .org/10.1007/s00707-023-03669-1

72. S.Y.Zheng, H.Liu, M.Hafeez, X.Wang, S.Fahad, and Y.Xiao-Guang, Testing the resource curse hypothesis: The dynamic roles of institutional quality, inflation and growth for Dragon, Resources Policy, vol. 85, p. 103840, 2023. . https://doi.org/10.1016/i .resourpol.2023.103840