CC BY
6
УДК 539.12
DOI 10.19110/1994-5655-2020-4-58-67
Й.Д. КВРАЛЬКВВ*, Е.М. IBEKIK , В.В. КИСЕЛЬ", ЯЛ, ВОИНОВА
В.М. РЕДЬКИ***
О НЕКОТОРЫХ СООСОШ ОПИСАНИЯ СВЯЗАННЫМ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1 В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
* Мозырский государственный педагогический университет, г. Мозырь, Беларусь ** Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, г. Минск,
Беларусь
*** Институт физики HAH Беларуси, г. Минск, Беларусь
artemkoralkov@smail.com e.ovsiyuk@mail.ru vasiliy_ bspu@mail.ru voinovayanina@mail.ru v.redkov@ifanbel.bas-net.by
A.B. KBRAL'KBV*, E.M. BVSIYBK*, V.V. HISEL % YA.A. VBYNOVA***, V.M. REB'KOV***
UN SOME METHODS TO IESCRIIE BOUND STATES FOR A SPIN 1 PARTICLE IN THE
COULOMB FIELB
* Mozyr State Pedagogical University, Mozyr,
Belarus
** Belarus State University of Informatics and Radioelectronics, Minsk, Belarus ***Institute of Physics, NAS of Belarus, Minsk,
Belarus
Аннотация
Выполнен анализ системы из 6 радиальных уравнений, описывающей состояния с четностью Р = (—lp для векторной частицы в кулоновском поле. С учетом обобщенного условия Лоренца показано, что одна функция из 6 обязана обращаться в нуль. Показывается, что в качестве независимой можно выбирать одну любую функцию из этих пяти, при этом для выбранной функции получаем два разных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Эти уравнения 2-го порядка найдены в явном виде,построены их решения Фробениуса, исследована сходимость вовлеченных в решения степенных рядов. Для получения правила квантования используется условие трансцендентности решений Фробениуса. Для обоих типов уравнений они дают разумные с физической точки зрения формулы для спектров энергии, причем эти спектры разли чаются между собой.
Ключевые слова:
частица со спином 1, кулоновское поле, точные решения, условие трансцендентности, связанные состояния
Abstract
We have studied the system of 6 equations which describes quantum states of a spin 1 particle with parity P = (—l)-7 in external Coulomb field. It is shown that due to the Lorentz condition one of the radial functions must be equal to zero. Any of 5 remaining functions may be taken as a primary one. For such a primary function we derive two different 2-nd order differential equations. Their Frobenius solutions are constructed, and convergence of the involved power series is studied. As a quantization rule, we apply the so called transcendency condition of Frobenius solutions. In this way, for both equations we have found diferent reasonable from physical point of view energy spectra.
Keywords:
spin 1 particle, Coulomb field, exact solutions, transcendency condition, bound states
•
Введение
До сих пор не решенной полностью является квантово-механическая задача о поведении частицы со спином 1 во внешнем кулоновском поле [1-12]. Первый из трех ожидаемых подклассов решений и соответствующий ему дискретный спектр энергий был установлен еще И.Е. Таммом [1]. Незавершенность анализа относится к двум другим подклассам решений, описываемых системой из шести зацепляющихся между собой уравнений. Основной вывод работы [1] заключается в утверждении, что в этих состояниях векторная частица должна падать на кулоновский центр, не образуя устойчивых стационарных состояний в кулоновском поле. Однако исследование нерелятивистского предела в уравнениях для векторной частицы в кулоновском поле показало [2-7], что существуют три подкласса решений, отвечающих связанным состояниям, с соответствующими спектрами энергии, модифицирующими известную шредингеровскую формулу для нерелятивистской скалярной частицы. Выполненный в работах [8,9] анализ также показал, что есть возможность
получать для некоторых радиальных функций дифференциальные уравнения второго порядка вместо уравнений 4-го порядка.
Исходя из уравнения Даффина-Кеммера для векторной частицы во внешнем кулоновском поле, можно вывести систему из 10 радиальных уравнений. С использованием оператора пространственной четности систему можно разбить на две подсистемы, состоящие из 4 и 6 уравнений. Решение системы из 4 уравнений известно и выражается через гипергеометрические функции, при этом найденный спектр энергий совпадает с известным для скалярной частицы в кулоновском поле. Также можно легко найти точные решения при нулевом значении квантового числа полного момента.
В настоящей работе внимание сосредоточено на плохо изученной подсистеме из 6 уравнений при значениях квантового числа полного момента у = 1,2,3,... Содержание сводится к следующему. На основе использования уравнения Даффина-Кеммера исследуется квантово-механическая задача о векторной частице во внешнем кулоновском поле притяжения. Выполнен анализ системы из 6 радиальных уравнений, описывающей состояния частицы с четностью Р = (—I)-7'. С учетом обобщенного условия Лоренца показано, что одна функция из 6 обязана обращаться в нуль; следовательно, имеем систему из 6 уравнений для 5 неизвестных функций. Показывается, что в качестве независимой можно выбирать любую одну функцию из пяти, при этом для данной функции получаем два разных дифференциальных уравнения 2-го порядка, которые можно связывать с двумя подклассами состояний частицы с четностью Р = (—I)-7'. Эти независимые уравнения 2-го порядка найдены в явном виде, построены их решения Фробениуса, методом Пуанкаре-Перрона исследована сходимость вовлеченных в эти решения степенных рядов. Для получения некоторого правила квантования используется условие трансцендентности решений Фробениуса. Для обоих типов уравнений они дают разумные с физической точки зрения формулы для спектров энергии, причем эти спектры различаются между собой.
1. Условие Лоренца во внешнем кулоновском поле
Состояния векторной частицы с четностью Р = (—описываются системой из 6 радиальных уравнений:
(4- + -)Е2 + 2—Е\ + шФ0 = О,
аг г г
+г(е +-)Ех+ г(4- + -)Н1 - тФх = О, г аг г
+г(е + -)Е2 - 2г-Нг - тФ2 = О, г г
—г(е + —) Ф1 + -Ф0 - тЕ\ = О, г г
г(е + -)Ф2 + -рФо + тЕ2 = О, г аг
г(- + -)Ф1+г-Ф2+тН1=0. (1) аг г г
Известно, что для частицы со спином 1 во внешнем поле должно существовать обобщенное условие Лоренца. Это условие дает для состояний с четностью Р = (—\у следующее [2]:
• / / ^ 2ЧЖ 2г/,
-г(е + -)Ф0 - ("Г + ")ф2--ф1
г аг г г
га
2 тг2
Ео.
(2)
С использованием (2) из системы (1) можно вывести важное соотношение. Для этого из уравнения (2) исключим функцию Ф2 с помощью третьего уравнения в(1):
-г(б+-)шФ0-(т + ")
г аг г
.. а 2IV
г(е -\—)Е2--Нг
г г
2mv , га ^ " —Ф1 =
Отсюда получаем
г(е + -)тФ0 + г(е + + -)Е2-
г г аг г
2гг/ . <1 1. тт 2mv т га ^
--{-Г + ")Я1 + -Ф1 = —2^2.
г аг г г ¿гг
Преобразуя здесь второй и третий члены с помощью 1-го и 2-го уравнений системы (1), находим
г(е + -)шФ0 - гт(е + -)Ф0 = ^Е2. г г ¿гг
Таким образом, пришли к условию Е2 = 0, т.е. в (1) имеем 6 уравнений для 5 неизвестных функций. С учетом этого равенства система (1) примет вид
1) 2—Е\ + тФ0 = О,
г
2) + г(е+-)£1+г(-^- + -)Я1-тФ1 =0, г аг г
3) - 2г-Ях - тФ2 = О, г
а V
4) — г(е Н--)Фх Н—Фо — тЕ\ = О,
г г
\ / О! .
5 г е+ - Ф2 + —Фо = О, г аг
6) г(4- + -)Ф1 + г-Ф2 + тН1 = 0. (3) аг г г
Исключим мнимую единицу, перейдя к новым переменным: гФ\ = <р1, iФ2 = (р2, тогда
о
7П
1) тЕ1 = -—гФ0,
2) (е + -)тЕ1 + (4 + -)тН1 + т2(р1 = О, г аг г
3) т#1 =
а V
4) (е + -)<р 1 - -Ф0 + тЕг = О, г г
\ / О! .
5 (е+-)ср2 + —Ф0 = О, г аг
, , <1 1 V
6) (— + -)у>1 + -р2 + пгН1 аг г г
0.
(4)
С помощью уравнений 1) и 3) можно исключить функции Е\ и Н\, тогда остается четыре уравнения:
а „ т2 , , <1 1. т2 г 2ь> аг г 2V
о
0,
л \ / а \ V ж т ж
4 е + - ^ - -Фо - =
г г 2ь>
5) (е + —)<р2 + ;т~Фо = 0, г аг
с? 1 V т2
6) + г^1 + +
0.
(5)
Легко увидеть две разные возможности для того, чтобы получить уравнения второго порядка для функций
р 1 И
Первая возможность такая: из уравнения 2) с помощью уравнения 6) исключаем функцию (р2 и с помощью уравнения 4) исключаем функцию Фо, тогда приходим к уравнению второго порядка для <р\.
<р1 + {4_
<1г2
2 г
г г2 + 2 V2/т?
¿г
+
+ -ш' + е^ +
2ае
г г2 + 2 V2/т-
г +
-2и2 + а2+2\
+-о--=0.
(6)
Это уравнение имеет четыре сингулярные точки: три регулярные и точка г = оо, которая является нерегулярной особенностью ранга 2. Только две особые точки лежат в физической области переменной г. Зная функцию <р\, можно найти остальные: сначала функцию Фо (см. (5)), затем - функцию <р2 (см. (6)), и затем - функции Е\ и Н\ (см. (1) и (3)).
Вторая возможность следующая: из 4) выражаем Фо через р> 1, затем из 2) выражаем <р\ через <р2 и подставляем это в уравнение 6. В результате находим уравнение для функции <р2.
(Рср2
Лг2
+
2 т2ч
4
г т2г2 +2 V2
+
+
2 (—т2г + е2г + а е)
'т2т2 — е2г2 — 2аег + 2и2 — а2
+
4 т2
скр2 ¿г
+
9 9 2ае (2г/2 - а2 + 2) -т2 + е2 +-^---^ +
(2 V2 — а2) г
+
-2и2 + а2 + 2
о
'т2т2 + 2и2 г*
+ ^ — 4 т2га е + 4 га е3 — 8 т2и2 +
+4 т2а2 + 8 гА2 + 4 а2е2) х
х (т2г2 - е2г2 - 2аег + 2 и2 - а2^ х
х ( 2 V2 -а2
-1
Ч> 2 =
0.
(7)
Это уравнение имеет 6 особых точек, 5 из них регулярные, а точка г = оо является нерегулярной ранга 2. Зная у>2, можно найти Фо (см. (5)), затем можно найти р> 1 (см. (6)), и затем - выражения для Е\ и
2. Анализ уравнения для функции <р\
Обратимся к анализу уравнения (6) для функции <р\. Преобразуем его к новым переменным:
ж = тг В результате получим
¿X2 V X
Мс г е Т? О 2 Г2
—г = — = Е, 2и = Г п А тп
х, + I А ) ах
+ -
или
2аЕ
х2 + Г2
а2 + 2 — Г2\
+-о- ) = 0, (8)
¿2р1 + /4__1___1_
¿х2 \х х + гГ ж — гГ
+
+ [Е2- 1 +
2а£
г/Г г/Г
+ +
ж + гГ ж — гГ
. а2 + 2 — Г2" +-о- I =
(9)
Здесь имеем три регулярные особые точки х = 0,—гГ,+гГ и одну нерегулярную особую точку х = оо ранга 2. Построим решения Фробениуса [10,11] для этого уравнения (пусть ¡л2
¿2(р 1
4 _ 1
¿х2 \ х х + гГ
Г2 - 2 - а 1 \ вир 1
— гГ ) (1х
+
+ [Е2- 1 +
2аЕ
Уг
ж + гГ
+
г/Г м2 ,
ж — гГ
(10)
Ищем их в виде ^ч(ж) = хАеВх/(ж). Для функции /(ж) получаем уравнение
/"+(— + 2Б + - -
1
1
ж + гГ ж — гГ
[ 1) 2АВ
\ х2
1 А
1
П2 4 А + В2 +---
ж ж
Б
Б
А 4В
ж + гГж ж — гГ ж ж ж + гГ ж — гГ
+
+Е2 - 1 +
2аЕ
г/Г + г/Г
ж + гГ
-гГ
С учетом ограничений на параметры: А = —3/2 ± ^(3/2)2 +JU2, В = ±у/1 - Е2 , приходим к
+ ___М
dx2 у х х — iY х + гГ J dx
/2АВ + 2Еа + АВ iA-BY + i у x Г [х — гГ)
iA + BY + i Г(ж + гГ)
/ = о.
(11)
Чтобы строить решения, пригодные для описания связанных состояний, выбираем
Удобно воспользоваться сокращающими обозначениями:
___1_\ 4f +
dx2 \ х х — iY х + гГ / dx
а
+ I - +
х х — iY x + iY
/ = о.
(12)
Строим решения последнего уравнения в виде степенных рядов: /(ж) = ^2^=0 с^пХп- После выполнения необходимых вычислений находим четырехчленное рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда:
[К(к - 2) + (а + Ь - фк-2 + + [(к - 1)(к -2) + (Ь- 2)(к - 1) + iY(Ъ+c)}dk-1 + + [KY2k + aY2}dk+
+ [Y2(k + l)k + LY2(k + l)}dk+1=0. (13)
Исследуя сходимость ряда по методу Пуанкаре-Перрона, получаем два возможных радиуса сходимости: Еъсопо = Г, +оо. Гарантированный (минимальный) радиус сходимости - это Г. Однако легко показать, что поведение решений около особых точек ±гГ задается соотношениями р\ ~ (ж ± гГ)13, Б = 0,+2, т.е. ряд /(ж) обязательно сходится в этих особых точках. Поэтому можно полагать, что радиус сходимости степенного ряда /(ж) равен оо.
Пробуем получить правило квантования энергии, выделяя из всех построенных решений Фробе-ниуса так называемые трансцендентные [10]. Условие трансцендентности имеет вид (см. (13)):
К (к - 2) + (а + Ъ - с) = 0, к >2. (14) Находим явный вид этого условия
\]\ - Е2М = Еа, где N = (к — 2) + А + 1. (15)
Отсюда получаем формулу для уровней энергии (здесь к — 2 = п = 0,1, 2, 3,...)
Е
1
у/1 + a2/N2 !
(16)
Учитывая ¡л2 = 3(3+1)—2—а2, перепишем формулу для энергий в следующем виде:
Е ■
(17)
у/1 + a2/N2'
N=n-^+ фи + 1) + j-а2, гдез = 1,2,3,..., п = 0,1,2,3,...
3. Уравнение для функции р2
Обратимся к анализу уравнения (7) для р2. Преобразуем его к виду (напоминаем, что х =
mr, e/m = Е, 2v2 = Г2)
d2
Ч>2
dx2
+
4 - +
2х
+ Г2
+
+
2аЕ-2(1 -Е2)о
x2(l-E2)-2aEx + Y2-a2
dip2
dx
+
+
-(1 -Е2) +
2aE(Y2 -а2 +2)1
Г2 - а2
- +
+ Г2
+
+
2 - (Г2 -
+
1
Г2 - а2
-АаЕ{1 - Е2)х - 4Г2(1 - Е2) + 4а2(1 + Е2) ж2(1 — Е2) — 2хаЕ + Г2 — а2
■р2 = 0. (18) Корни полинома второй степени
ж2(1 - Е2) - 2хаЕ + Г2 - а2 = 0
равны
аЕ ± у/а2Е2 - (Г2 - а2)(1 - Е2) -1,2 = -*-^-^->-. (19)
Чтобы оба корня были положительными, необходимо выполнение неравенства
а
з(з + 1) <
а
1-Е2'
(20)
Квантовое числом не может быть ограниченным, наоборот, оно может быть как угодно большим. Поэтому последнее неравенство невыполнимо. Это означает, что корни Ж1;2 квадратного уравнения комплексные и сопряженные друг другу, т.е. лежат вне физической области изменения переменной х = тг.
Уравнение (18) можно представить в виде
d2p 2 dx2
х — х2
+
4 1 1 1
х х + iY х — iY х — х\
dp2 dx
+
-(1 -E2) +
2aE(Y2 -a2 + 2)1 (Г2 — a2) x
-+
а2 - Г2 + 2 2г 1
+-о-+
2 i 1 1
+
Г ж + гГ Г х — гГ Г2 — а2 -АаЕ{\ - Е2)х - 4Г2(1 - Е2) + 4а2(1 + Е2)
х2(1-Е2)-2хаЕ + Т2-а2 ■р2 = 0.
(21)
Это уравнение имеет 5 регулярных особых точек (из них только две лежат в физической области переменной) и одну нерегулярную точку х = оо ранга 2:
0, xi, х2, —гГ, +гГ ; оо[2] .
В окрестности точек х\, ж2 решения ведут себя так:
<р2(х) = (х-х1 У, р2(х) = (х - х2)р, (22)
где р = 0, 2. В окрестности точек х = ±гГ решения ведут себя следующим образом:
р2(х) = (x±iT)a, а = 0. (23)
В окрестности точки х = 0 поведение решения описывается формулой р2(х) = хА, где А является корнем уравнения
А{А-\)+АА = (Г2-а2)-2,
и имеет вид
(24)
Напомним, что Г2 = j(j + 1) > 2. На бесконечности поведение решений следующее:
Ч> 2
(х) = еВх, В = ±Vl~E2.
(25)
Уравнение (21) удобно представлять символически как
„ (а\ а2 аз а4
V" + — +-^ + —^ +-+
уж х — IV х + г! х — х\
аъ \ / {-г. Ъ\ Ь Ъ2
+-Ы + (О + ~ + -2 +-
х — х2у \ х а, х — IV
, ьз 1 Ь5 \
+—-тр +--ь- <¿>2 = 0. (26)
х + г! х — х\ х — х2 у
Строим решения Фробениуса в окрестности точки х = 0 с помощью подстановки р2(х) = хАеВх/(ж). Для функции /(ж) имеем уравнение
Г+(2В+а1+2А ' й2
+ -
а5
ач ал +-- + р +-+
ж г — г! г + г! ж — Ж1
ж — х2
)/'+((£ +Б2) +
aiA + b + А(А- 1)
+
+
i гГ ' гГ Ж1 »» 1 1
»2
+
+
х — гТ
+
х + гТ
+
| 4 4 Ж2 0 0 \ f = 0
Чтобы следить за решениями, пригодными для описания связанных состояний, требуем выполнения условий
В = —л/1 — Е2,
л_3+у1 + 4(Г2-а2)>0_
(27)
Результирующее уравнение для функции /(ж) можно символически записать так:
С1 С?
Со
Г + [2С + — +-+-+
СЛ
+
х — Х\
ж — ж2
ж х — гГ х + гГ ж — х\
+^)г+(£1+ ^ + * +
ж — ж2 у уж ж — г! ж + г!
+ + -М / = 0. (28)
ж — Х\ ж — ж2 у
Ищем решения в виде степенного ряда / = ^2гг=о ^пхп. В результате приходим к шестичленным рекуррентным соотношениям:
[2С(п - 4) + + В2 + Д, + Б4 + Бь]
[(га - 3)(га - 4) - 2С{х\ + ж2)(га - 3)+
+С*1 (га - 3) + С2(га - 3) + С3(га - 3) + С4(п - 3)+
С5(га - 3) - £>1(ж1 + ж2) - _02(ж1 + ж2 - гГ) —
-Б3(х1 + ж2 + гГ) - 1)4ж2 - -05Ж1]сгп_3+
[-(ж! + ж2)(га - 2)(га - 3) + 2С(Ж!Ж2 + Г2)(га - 2)-
—С\(х\ + ж2)(га - 2) - С2(ж1 + ж2 - гГ)(га - 2)-
-С,з(ж1+ж2+гГ)(га-2)-С,4ж2(га-2)-С,5Ж1(га-2)+
+_0х(ж1ж2 + Г2) - Б2(хлгТ + ж2гГ - жхж2)+
+_03(ж1«Г + ж2гГ + Ж1Ж2) + _04Г2 + _05Г2]сгп_2 +
[(Ж1Ж2 + Г2)(га - 1)(га - 2) - 2С(ж1 + ж2)Г2(га - 1)+
+С,1(ж1Ж2+Г2)(га-1)-С2(ж1гГ+ж2гГ-Ж1Ж2)(га-1)+
+С3(ж1гГ + ж2гГ + жхж2)(га - 1) + С4Г2(га - 1)+
+С5Г2(га - 1) - 0\{х\ + ж2)Г2 + Д2гГж1Ж2-
-_03гГж1Ж2 - _04Г2Ж2 - _05Г2Ж1]сг„_1 +
+ [-(ж! + ж2)Г2га(га - 1) + 2СТ2Ж1Ж2га-
—С\(х\ + ж2)Г2га + С2гГж1Ж2га—
—СзгГж1Ж2га—С4Г2ж2га—С^Т2 ххп+ВхТ2 Х1Х2](1п+
+Г2Ж1Ж2(га + 1)(га + С\)(1п+1 = 0. (29)
Применяя метод Пуанкаре-Перрона, находим возможные радиусы сходимости:
^СОПУ оо, |Г|, |жх|, |ж2|. (30)
Получим правило квантования энергии, выделяя трансцендентные решения Фробениуса. Условие трансцендентности имеет вид (см. рекуррентные соотношения (29))
Рк-4 = 0, к > 4,
2С(к - 4) + Вх + В2 + В3 + £>4 + Въ = 0, (31) где
2С = —2-\/1 - Е2, = а\В — а2А/1Т + а^А/гТ — а^А/хх — -аъА/х2 + Ъх+ 2 АВ, Б2 = а2А/гТ+а2В+Ь2, Аз = -а3А/гТ+а3В+Ь3, = а\А! х\+а\В+Ъ\, = а^А/х2 + аъВ+Ьъ-Учтем явный вид параметров:
аЕ-^а2 -Г2 + Е2Г2
XI
ах = 4,
х2 = а2 = 1,
1-Е2 аЕ+у/а2-Г2 + Е2Г2
а з
1-Е2
= 1, а 4
-1, а5 = -1,
2а£ (Г2 -а2+ 2) Ъх = -^-^А Ь2
-21 "Г'
= -
=
Г2-а2
2 + V«2 - Г2 + £2Г2) Г2 - а2
2 (-аЯ + V«2 - Г2 + £2Г2)
А 2г Оя = —,
Г2 -
В результате условие трансцендентности (31) дает уравнение (помним, что к — 4 > 0)
VI - Е2[(к - 4) + (А + 2)} = аЕ. (32)
Пусть (к — 4) + (А + 2) = М, тогда для уровней энергии получаем формулу
Е
1
+ а2/№ '
(33)
где
N
к — 4 = п = 0,1,2,...
Отметим, что формулы для энергий, полученные в двух последних разделах, фактически описывают один и тот же спектр. Это согласуется с тем, что в соответствии с уравнениями 4) и 5) из системы (3), функции (рх и (р2 различаются на элементарный рациональный множитель.
4. Уравнение второго порядка для функции Фо
Есть простая возможность найти уравнение 2-го порядка для функции Ф0. Для этого из уравнения 4) в (5) найдем следующее соотношение, связывающее функции Фо и <р\\
2Р ( а\ (2У2 2
Фо (г)
или в безразмерных переменных (множитель 2ь> несущественен)
(Ех + а)
Ф0(х) = 21/х2М%) = Е(х)р1(х). (34)
Если воспользоваться известным уравнением 2-го порядка для функции <р\
то можно получить и уравнение 2-го порядка для Фо
ДЯ_1Ф0 = 0 ^Д^_1Фо = 0.
Таким образом, уравнение для функции Ф0 таково:
Ех + а д 2и2 + х2 , А—-Ф0
2ь>2 + х2 Ех + а где оператор А равен (см. (8))
¿2 (4 2х
О,
(35)
Д - — + ( - -
¿х2 \х х2 + Г2 ) ¿х 2аЕ а2 + 2 - Г2
+- + -о-
^ + Е2- 1+
+ Г2'
Уравнение (35) легко приводится к следующему виду (учитываем 2и2 = Г2):
с12Ф <1.х2
+
0 4
- + —
X
а2 — 2)
ха
2 Е
+
Ех + а х2 +2 V2
+
+
2 (4Е21У2+За2)Е2 (2 Е2 у^ о;2) (уЕх о;) о,
-2Еах + 4Е2и2 + 4а2 + {х2 + 2и2){2Е2 и2 + о2) _
+
+ Е2- 1 + -
(1х
81У2
+
+ 2ь>2У 2 Е2
г+
Фс
(.Ех + а)2 + -- 0. (36)
Исследовать это уравнение нет необходимости, поскольку оно должно приводить к спектру энергий, совпадающему со спектром, полученным выше из уравнений для функций <р>\ и (р2, отличаясь от этих функций простыми множителями.
5. Анализ второго уравнения для функции Ф0
Важным фактом является то, что для переменной Фо(ж), комбинируя исходную систему уравнений из 6 переменных, можно вывести другое дифференциальное уравнение 2-го порядка для функции Ф0, которое приводит к другому спектру энергий. Чтобы вывести это второе уравнение для Фо(ж), с самого начала будем исходить из уравнений, записанных в безразмерных величинах:
1) Е, = -¿.Фо, 2) (£+^ + (¿ + 1)^ + ^ = О, 3)—Н1 = Г2, 4) -(Е+-)Г1 + -Фо = Ей
X XX
5) (Е+-)<р2 + -^-Фо = 0, ж ах
2» а
---9 Л 1
0.
ч / 1. V
6 (т- + -)ч>1 + -<Р2+Н-1
ах х х
0.
(37)
Сначала с помощью уравнений 3) и 4) исключим функции (р2 и Е\\
1) + + 1)Ф0
0,
(38)
2) (А + 1)Я1 + (Е+-)-Ф0 + [1-(Е+-)2]^1 = 0,
ах х хх х
„ <1 т 2и . ^ а. „
5 — Ф0 + — Я + - Я1 = 0,
ах х х
6> + ^ + + = »■
Подействуем на уравнение 5) оператором
ах, а, х хх,
2V , ^ а. <1 тт
+-£+-—Я 1 = 0. ж х ах
Затем с помощью уравнения 2)
-я1 =
<1.х
-Нг + {Е + -)-Ф0 + [1 - (Я + -) V
ж ж ж ж
получим
с?ж2 ж2 ж
Ф(1-
2г/. а. 2г/ а 2г/. а.
--(£ + -) !-(£+-)
Я-
0.
Чтобы исключить отсюда функцию ^ч, воспользуемся уравнением 1) из (38):
а. м 2гА
-{Е + -)ч> 1 = (1 + -г)Ф0.
XX X,
В результате приходим к
^ + (Е+-)2 -1- — ¿X2 X X2
--о(Е Ч—)Я1---5-Я1
Фп-
0.
(39)
Теперь воспользуемся уравнением 5) из (38)
0,
-Ф0 + —(Е+-)Н1 ах х х
тогда получим
(I2 а,п _ 2ь>2 2 (I
— + (Е+- 2-1- — + - —
ах, х х, х ах
Фп-
Наконец, воспользовавшись еще раз уравнением 5) из (38):
__х 1 <1 _
ж 01 '
приходим к нужному уравнению второго порядка для функции Ф0
с{2 /3 _ Е
¿х2 \ ж Ех + а ) ¿х
^ + Е2- 1+
2Еа а2 - 2и2
+- + -о-
Фп = 0.
(40)
Уравнение (40) при переходе к переменной г по формуле ж = принимает вид
с12 Фо
3
1
Лг2 о? 2 о?
(1Ф
+ 1« ~Е2
г г — 1 / ¿г 2ь>2 — а2
+
г
Далее будем пользоваться обозначениями
Фо = 0. (41)
7
2ь>2 - а2 = 3(3 + 1) - а2 > 0,
тогда уравнение (41) запишется так:
1 \ ¿Ф0
Л-Е2
< 0, (42)
(I2 Ф0 /3
¿г2 V г г — 1
¿г
+
'о =
0.
(43)
0,1 и одну
Оно имеет две регулярные точки г нерегулярную точку г = оо ранга 2.
Рассмотрим поведение функций Фо(-г) около точки г = 0
>,2
о,
сРФ0 3 (¿Ф0 7"ф
¿г2 г ¿г г2 °
Ф0 - И, А = -1+ \/1 + у2 > 0. (44)
Связанным состояниям соответствуют положительные значения для А.
В области г = +оо решения ведут себя так:
с12Ф0
2<1Ф0
¿г2 г ¿г
-Л2Ф0
0,
Фг
(45)
Выберем решения, затухающие на бесконечности. Будем строить решения уравнения (41) в следующем видеФ0(.г) = гАеВг/(г), тогда уравнение для функции / таково
/" + 2 В +
2А + 3
1
+ (Б2 - Л2) +
А2+ 2А- 72
+
2 AB + А + ЗВ-2а2 А + В". + i z - 1 ' ~~
Выбрав А и В в виде А = -1 + ^/1 + 72, Б = Ч-л/Л2, приводим уравнение к более простому виду
/" + 2Б +
2А + 3
- 1
/2АБ + А + ЗБ-2«2 А + Б\ ,
Ч-;--—Т )' = <>■ т
Оно может быть отождествлено с вырожденным уравнением Гойна [10, 11]:
»п ( с d \ „, А — taz .
f"+[-t+- +-Т /' + ^-rvf = о, (47)
г z-1) J ' z(z — 1) где параметры заданы равенствами
t = —2Б, с = 2,4 + 3, d=-1
,2
—А = 2AB + ЗБ + А — 2а , —ta = 2ВА + 2Б — 2а2.
(48)
Для параметра а находим следующее выражение:
(49)
2 2
а Л-ñ а
а = А+ 1 — — = +\/l + 7 д-.
Решения уравнения для f(z) в окрестности точки z = 0 будем строить в форме степенных рядов: f(z) = J2kLo dkzk, что приводит к трехчленным рекуррентным соотношениям
cd\ + Xdo = 0,
t(k- 1 + a)dk-1 - [к (к -l + t+d+c) + А }dk+
+(к+ l)(fc + c)4+i = 0, fc =1,2,3,.... (50) Рекуррентную формулу можно переписать так:
Pkdk — (Qk + A)cZfc_|_i + Rkdk+2 = 0, Pk = t(k-l + a), Qk = k{k-l + t+d+c),
Rk = (k + l)(k + c), k= 1,2,.... (51) Соотношение (51) эквивалентно следующему:
—Pk ~ —(Qk + A) ^fc+1 + — Rk dk+2 dk+1 = 0 к2 k2 dk k2 dk+1 dk
Отсюда при к —>• oo находим простое алгебраическое соотношение:
Г dk+1 dk-\-2 2 n
lim —— = lim —-= г, г — г = U.
к—у oo а^ к—уоо ак_
Согласно методу Пуанкаре-Перрона, заключаем, что минимальный радиус сходимости равен Rconv = 1. Поведение решений около точки z = 1 следующее: Ф0 ~ (z — 1 )р,р = 0,2. Другая возможность для радиуса сходимости - это RCOnv = oo.
Если наложить условие Рп = 0, то приходим к классу трансцендентных вырожденных функций Гойна [10]:
Рк = 0, -а=к-1 = п, п = 0,1,2,... (52) Это условие дает следующее правило квантования:
Гл-о?
п+У1 + т2 =
откуда следует формула для уровней энергии
в-
VI + OL2 /N2 '
N = п + sjj{j + 1) + 1 - а2.
(53)
Обращаем внимание на то, что она отличается от формулы для энергий (33). Последнее означает, что выведенное уравнение 2-го порядка для функции Фо описывает класс состояний, отличных от состояний, определяемых как решения уравнения для <р\, а также для связанной с ней простым множителем функции р>2- Из общих соображений и следует ожидать, что система из 6 уравнений описывает два класса состояний векторной частицы в кулоновском поле.
Нужно обратить внимание на то, что согласно уравнениям 1) и 4) в (37), две функции связаны простым множителем:
o¿ Есс
(54)
Если подставить это выражение для Фо в уравнение (40), то для функции <р\{х) получим уравнение, отличное из решенного выше уравнения (9),(10). Убедимся в этом. Исходим из соотношения связи
ос Е (у,
Фо(ж) = ¡{х)р>1{х), /(^
и из уравнения(40) для Ф,
о
d2
Е
3
dx2 V х Ex + а
2v2 +;
ах
+ -
2 Еа
+
— 2и
Фо = 0.
(55)
В результате получим следующее уравнение для <pi.
<Pi + - "
Е 2 Е
+
Ах
х Ex + a Ex + a 2v2 + х2
Ч>\ +
+
Е
2х
Ex + a 2v2 + х2
Е2
(Ех + >
+
Ах
г+
'3_
2ь>2 + х2 (2ь>2 + х2)2 Е \ ( Е 2х
х Ex + a J \ Ex + a 2v2 + х2
+
+Е2 - 1 +
2Еа а2 - 2v2 -+-ñ-
Ч>\ = о.
(56)
Формальная сложность этого уравнения для р\(х) в сравнении с уравнением (40) для Фо(ж) иллюзорная, поскольку обратной подстановкой эти лишние сингулярности можно убрать из уравнения, в результате придем к (40). Отметим, что выведенное уравнение (56) для ipi отличается от решенного выше уравнения (10). Это означает, что классы решений, определяемые двумя разными уравнениями для ipi (х), различны.
6. Заключение
Выполнен анализ системы из шести радиальных уравнений, описывающей состояния с четностью Р = (—1У для векторной частицы в кулоновском поле. С учетом обобщенного условия Лоренца показано, что одна функция из шести обязана обращаться в нуль, следовательно, имеем систему из шести уравнений для пяти неизвестных функций. Показано, что в качестве независимой можно выбирать одну любую функцию из этих пяти, при этом для нее получаем два разных дифференциальных уравнения 2-го порядка, которые можно связать с двумя подклассами состояний. Эти независимые уравнения 2-го порядка найдены в явном виде, построены их решения Фро-бениуса, методом Пуанкаре-Перрона исследована сходимость вовлеченных в эти решения степенных рядов. Для получения правила квантования используется условие трансцендентности решений Фробе-ниуса. В обоих случаях условия трансцендентности дают разумные с физической точки зрения формулы для спектров энергии, причем эти спектры различаются между собой.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта БРФФИ Ф20РА-007 в рамках сотрудничества HAH Беларуси и Румынской Академии.
Литература
1. Тамм И.Е. Движение мезонов в электромагнитных полях // Докл. АН СССР. 1940. Т. 29. С. 551-554.
2. Kisel V.V., Ovsiyuk Е.М., Red'kov V.M. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2010. Vol. 13. No. 4. P. 352-367.
3. Кисель B.B., Редъков B.M., Овсиюк E.M. Волновые функции и спектр энергии для частицы со спином 1 во внешнем кулоновском поле // ДАН Беларуси. 2011. Т. 55. № 1. С. 50-55.
4. Quantum mechanics of a spin 1 particle in the magnetic monopole potential, in spaces of Euclid, Lobachevsky, and Riemann: nonrelativistic approximation / E. Ovsiyuk, O. Veko, K. Kazmerchuk, V. Kisel, V. Red'kov // Ukraine Phys. J. 2013. Vol. 58. No. 11. P. 1073-1083.
5. Spin 1 particle in the magnetic monopole potential for Minkowski and Lobachevsky spaces: nonrelativistic approximation / O.M. Veko, K.M. Kazmerchuk, E.M. Ovsiyuk, V.V. Kisel, AM. Ishkhanyan, V.M. Red'kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2015. Vol. 18. No. 2. P. 243-258.
6. From quantum dynamics of spin 1 particle in Coulomb field to jet geometric-physical objects / M. Neagu, O. Florea, O. Veko, E. Ovsiyuk, V. Red'kov 11 Applied Sciences. 2014. Vol. 16. P. 73-99.
7. Krylova N.G., Ovsiyuk E.M., Balan V, Red'kov V.M. Geometrization for a Quantum-Mechanical Problem of a Vector Particle in External Coulomb Field // NPCS. 2018. Vol. 21. No. 4. P. 309-325.
8. Об описании связанных состояний для частицы со спином 1 во внешнем кулоновском поле / Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, ЯЛ. Войнова, А.Д. Коральков, В.В. Кисель, В.М. Редъков // Проблемы физики, информатики и техники. 2018. № 2(35). С. 21-33.
9. On describing bound states for a spin 1 particle in the external Coulomb field / E.M. Ovsiyuk, O.M. Veko, УаЛ. Voynova, A.D. Koral'kov, V.V. Kisel, V.M. Red'kov // Balkan Society of Geometers Proceedings. 2018. Vol. 25. P. 59-78.
10. Ronveaux A. Heun's differential equation. Oxford: Oxford University Press, 1995.
11. Slavyanov S.Yu., Lay W. Special functions. A unified theory based on singularities. Oxford: Oxford University Press, 2000.
References
1. Tamm I.E. Motion of mesons in electromagnetic fields // Dokl. USSR Ac. Sci. 1940. Vol. 29. P. 551-554.
2. Kisel V.V, Ovsiyuk E.M., Red'kov V.M. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2010. Vol. 13, № 4. P. 352-367.
3. Kisel V.V, Red'kov V.M., Ovsiyuk E.M. Wave functions and energy spectrum for spin 1 particle in external Coulomb field // Dokl. Ac. Sci. of Belarus. 2011. Vol. 55. No. 1. P. 50-55.
4. Quantum mechanics of a spin 1 particle in the magnetic monopole potential, in spaces of Euclid, Lobachevsky, and Riemann: nonrelativistic approximation / E. Ovsiyuk, O. Veko, K. Kazmerchuk, V. Kisel, V. Red'kov // Ukraine Phys. J. 2013. Vol. 58. No. 11. P. 1073-1083.
5. Spin 1 particle in the magnetic monopole potential for Minkowski and Lobachevsky spaces: nonrelativistic approximation / O.M. Veko, K.M. Kazmerchuk, E.M. Ovsiyuk, V.V. Kisel, A.M. Ishkhanyan, V.M. Red'kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2015. Vol. 18. No. 2. P. 243-258.
6. From quantum dynamics of spin 1 particle in Coulomb field to jet geometric-physical objects / M. Neagu, O. Florea, O. Veko, E. Ovsiyuk, V. Red'kov 11 Applied Sciences. 2014. Vol. 16. P. 73-99.
7. Krylova N.G., Ovsiyuk E.M., Balan V, Red'kov V.M. Geometrization for a Quan-tum-Mechanical Problem of a Vector Particle in External Coulomb Field // NPCS. 2018. Vol. 21. No. 4. P. 309-325.
8. On desctribing the bound states for spin 1 particle in external Coulomb field / E.M. Ovsiyuk,
O.M. Veko, YaA. Voynova, A.D. Koral'kov, V.V. Kisel, V.M. Red'kov // Problems of Physics, Informatics and Technics. 2018. № 2 (35). P. 21-33.
9. On describing bound states for a spin 1 particle in the external Coulomb field / E.M. Ovsiyuk, O.M. Veko, YaA.. Voynova, A.D. Koral'kov, V.V. Kisel, V.M. Red'kov // Balkan Society of Ge-
ometers Proceedings. 2018. Vol. 25. P. 59-78.
10. Ronveaux A. Heun's differential equation. Oxford: Oxford University Press, 1995.
11. Slavyanov S.Yu., Lay W. Special functions. A unified theory based on singularities. Oxford: Oxford University Press, 2000.
Статья поступила в редакцию 21.07.2020.
