CC BY
17
dynamics [Text] / L.A. Kondratyuk, M.V. Terent'ev // Sov. J. Nucl. Phys.- 1980.—Vol. 31- P. 561 - 570.
8. Терентьев, M.B. О структуре волновых функций мезонов как связанных состояний релятивистских кварков [Текст] / М.В. Терентьев // Ядерная физика.- 1976.- Т. 24,- С. 207 - 213.
9. Machleidt, R. The Bonn meson-exchange model for the nucleon-nucleon interaction [Text] /R. Machleidt, K. Holinde, Ch. Elster//Phys. Rep.- 1987,-Vol. 149.-P. 1 - 89.
10. Lacombe, M. Parametrization of the deuteron wave function of the Paris N-N potential [Text] / M. Lacombe, B. Loiseau, R. Vinh Mau [et al.] // Physics Letters B. - 1981.—Vol. 101- Iss. 3.-P. 139 - 140.
11. Anselmino, M. The theory and phenomenology of polarized deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / M. Anselmino, A. Efremov, E. Leader // arXiv:hep-ph/9501369v2.
12. Anthony, P.L. Measurements of the q2 -dependence of the proton and neutron spin structure functions gf and g" [Электронный ресурс] / P.L. Anthony, R.G. Arnold, T. Averett [et al.] I I arXiv: arXiv:hep-ph/0007248vl.
13. Ciofi degli Atti, C. Spin structure function of the deuteron in the resonance region and the GDH sum rule for the neutron [Электронный ресурс] / С. Ciofi degli Atti, S. Scopetta, A.Yu. Umnikov [et al.] // arXiv:nucl-th/9602026vl.
14. Melnitchouk, W. Deep inelastic scattering from polarized deuterons [Text] / W. Melnitchouk, G. Piller and A.W. Thomas // Phys.Lett. В.- 1995.- Vol. 346.- P. 165-171.
15. Umnikov, A.Yu. Deep inelastic scattering on the deuteron in the Bethe-Salpeter formalism. II. Realistic
NN interaction [Электронный ресурс] / AYu. Umnikov, EC. Khanna, L.P. Kaptari // arXiv:hep-ph/9608459vl.
16. База экспериментальных данных HEPDATA по физике высоких энергий, Университет Дарема, Англия [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://durpdg.dur.ac.uk/HEPDATA/PDF.
17. Glück, М. Models for the polarized parton distributions of the nucleón [Text] / M. Glück, E. Reya, M. Stratmann [et al.] // Phys. Rev. D.- 2001,- Vol. 63,-P. 094005-1-094005-12.
18. de Dorian, D. Sea quark and gluon polarization in the nucleón at NLO accuracy [Text] / D. de Florian, G.A. Navarro, R. Sassot // Phys. Rev. D.- 2005,-Vol. 71- P. 094018-1 - 094018-12.
19. Leader, E. Impact of CLAS and COMPASS data on polarized parton densities and higher twist [Text] / E. Leader, A.V. Sidorov and D.B. Stamenov // Phys. Rev. D.- 2007,- Vol. 75,- P. 074027-1 - 074027-10.
20. Anthony, P.L. Measurement of the deuteron spin structure function gf(jc) for 1 (GeV/c)2< Q2<40 (GeV/c)2 [Text] / P.L. Anthony, R.G. Arnold, T. Averett [et al.] // Phys. Lett. В.- 1999.- Vol. 463,- P. 339 - 345.
21. Abe, K. Measurements of the proton and deuteron spin structure functionsgj andg2 [Text] / K. Abe, T. Akagi, P. L. Anthony [et al.] // Phys. Rev. D.- 1998,- Vol. 58.-P. 112003-1 -112003-54.
22. Adeva, B. Spin asymmetries^ and structure functions gx of the proton and the deuteron from polarized high energy muon scattering [Text] / B. Adeva, T. Akdo-gan, E. Arik [et al.] // Phys. Rev. D.- 1998,- Vol. 58.-P. 112001-1- 112001-17.
23. Берестецкий, В.Б. Квантовая электродинамика [Текст] / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. - М.: Наука, 1989. - С. 109.
УДК 539.12
В. В. Кисель, Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.М. Редьков
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ВЕКТОРНОЙ ЧАСТИЦЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ НА ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ
Квантование движения частиц в однородном магнитном поле — классическая задача теоретической физики [1—3]. За последние 25 лет была детально исследована более общая проблема для пространств с неевклидовой геометрией, гиперболической плоскости Лобачев-
ского Н2 и сферической плоскости Римана [4—11]. Система оказалась интересной как в рамках классической механики, так и с кванто-вомеханических позиций. Обобщение анализа на 3-мерные пространства Лобачевского Щ и Римана 53 было проведено относительно не-
давно. В работе [12] были построены точные решения уравнения Шредингера с внешними потенциалами, описывающими магнитное поле в Щ и ,У3; движение частицы в таком поле в рамках классической механики было исследовано в [13]. Вработе [14] (см. также [15]) было решено уравнение Дирака в магнитном поле на фоне пространств #3 и £3.
Разделение переменных в пространстве £3
В настоящей работе мы обращаемся к анализу аналогичной квантовомеханической задачи для частицы со спином 1.
Исходное квантовомеханическое уравнение для частицы со спином 1 в формализме Даф-фина — Кеммера, обобщенное на случай пространства-времени с кривизной, имеет следующий вид (используем обозначения, принятые в монографии [16]):
j(c)
iñ
efc)9ß +\jab4abc
-тс Y = 0,(1)
ПС
Фи-
i+/¿4>
aß'
фа(*) = е(")(*)фа(х)> ФаА(*) = «&(*) е(%(х) Фар(х).
М. Олевским в 1950 году [ 17] были перечислены все разделяющиеся системы координат в трехмерных пространствах постоянной кривизны. В частности, под номером XI приводится следующая система координат:
dS2=c2dt2- р2
cos2z|
где уаЬс — коэффициенты вращения Риччи; Аа - — тетрадные компоненты электромагнитного 4-вектора А^; Jab = (р(я)|3(А) -
обозначают генераторы 10-мерного представления группы Лоренца.
Ниже мы используем сокращенные обозначения: е/ей => е, тс/Н=> М . Уравнение для векторной частицы в матричной форме Даф-фина — Кеммера (1) полностью эквивалентно общековариантной тензорной форме уравнений для этой частицы в форме Прока (см. работу [16]):
[dr2 + sin2 г dq>2 j + dz
ze[-я/2,+я/2], re[0,+7i], сре[0,2я]. (2)
Обобщение представления однородного магнитного поля в случае модели S3 дается выражением [12]
Ау — —IB sin2 — В (eos г — l), (3)
причем этому потенциалу соответствует неис-чезающая компонента электромагнитного поля
Fvr=\Ar-br\=Bwa.r\
этот тензор удовлетворяет уравнениям Максвелла в пространстве Sv
Рассмотрим уравнение (1) в пространстве S3. Цилиндрическим координатам ха = (t,r,<p,z) соответствует тетрада
Ча)
(х) =
1 0 0 cos-1 z
0 0
0 0
0 0 cos ^sin lr 0
0 0
0
1
символы Кристоффеля и коэффициенты Риччи задаются следующими матрицами:
г'- -1 Д ~
0 0 -tgz
0 -sinreos/" 0 -tgz 0 0
he
л тс ^
Фоф = "Г Фор
если преобразовать уравнения (1) к тетрадным компонентам 10-мерной волновой функции
¥ = (ФО,Ф1,Ф2>ФЗ>ФО1'ФО2>ФОЗ'Ф23'ФЗ1'Ф12)>
согласно формулам
rz -
1 jk-
sinzcosz
о 0
0 ctg г 0 ctg г 0 -tg z 0 -tg z 0
0
Sinz coszsin г
о
0 0:
Yl22=-
1
Уз 11 --z' Уз22 --z-
г cosz
Уравнение (1) примет вид
di cosz
д г
ß<2> /Эф - eB (cos г -1)+i J cos r
cos z
+/ß(3) 9+i.sinz/ß(l)/13+ß(2)/23\ м dz ens z \ /
sinr
(4)
cosz
¥ = 0.
0 0 0 0 0 0 ei 0
0 0 i 0 • ß(0 = 0 0 0
0 -i 0 0 j H 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
где х1 следуют выражениям (транспонированная строка обозначается е/):
ех = ^(Ч 0,0; е2 = -^(1,0,1);
e3=(0,/,0);
J_
0 i о
1 0 1 0 1 о
0 -г 0 i 0 0
i 0 -i ; ^з= 0 0 0
0 i 0 0 0 -1
Вход ящий в уравнение (4) генератор У12 диа-гонален, а именно
/2 = ß(1)ß(2)-ß(2)ß(1)=-,
0 0 0 0
0 х3 0 0
0 0 т3 0
0 0 0 т,
= -iS,
Y = e~i£,eim
Ф0 (r,z) Фj(r,z) Ej{r,z) Hj(r,z)
в этом случае уравнение (4) дает (пусть т + В (1 - cos г) - v(r)) уравнение вида
£ß(QW + /ß(l>A_ß(2) V(.)-^3COSr + or sinr
Ниже будем использовать матрицы Даф-фина — Кеммера и генераторы в циклическом базисе (используем блочную запись в соответствии с разбиением 1—3—3—3):
ß<°> =
+/ß(3) (cos Z)fz+i (ß^/13 + ß(2>/23) sin z - (6)
Фj(r,z) Ej(r,z) Hj(r,z)
- Mcosz]
= 0.
После простых вычислений приходим к следующим десяти уравнениям (у =
Э Е1 Э Еъ
Э г дг
—У— [(v-cosr)^ + (v + cosr)is3]-
1 sinr
э
(cos z)--2 sin z E2= МФ0 cos z;
dz )
• ЭЯ2 . v „
+ ieEi cosz + iy—- + iy-H2 +
Э r sinr
+i
(cosz)—-Sinz dz
Hx -МФ1 cosz;
+ ieE2 cos z + iy
дИ] Э#3
дг dr
[(v - cos r) Hx - (v + cos г) Нг ] = МФ2 cos z;
.J1
sinr
• дн2 ■ v „
+ ieE3cosz + iy -H2
dr sinr
-i
(7a)
(cos z)--sin z H3= МФЪ cos z;
dz )
Разделение переменных в кулоновском поле
Для волновой функции будем использовать подстановку
ЭФр
dr ' sinr ЭФл
- «'n v -/вФ, cos z + у —- + у -— Ф0 = МЕХ cos z;
-геФ, cos z --—- cos z = ME0 cos z: 2 dz 2
ЭФП V
-/еФ3 сое г - у —- + У-Фп = МЕг, сое г; (76)
Э г втг
■ ЭФ2 . V ^
-1У—+-1У-— ф -
дг япг
-г
д
(соег)—-япг Ф] = МНХ сое
дг )
Ъ Ф0-геф3 =Ме3; г ? . Эф
~дг 2 ЭФ,
сое г
2 Ь(р2+1-^р~ =
-/еф2 - сое г —— = Ме2; дг
гб- ф] -¡а+ ф3 = МИ2;
(96)
-1у
ЭФ1 + ЭФ3 дг дг
+ [(V-СОвг) Ф! -
втг
- (у + сое г) Ф3 ] = МН2 сое г\
причем здесь использованы следующие обозначения для шести операторов:
Э у-собг
Э г втг
= а~; у
Э у + совг
дг втг
= а+;
• ЭФ2 . V ^
-гу -^г^ + гу-Ф2 +
дг вт/*
Э V
—+-
дг втг
= о; У
Э ^ V — сое т дг втг
+1
(сое г)—-втг
дг
(7в)
Ф3 =МНЪ сое г.
Э у + совг
--+ -
дг втг
= Ъ+\ у
д V
--+ -
дг япг
= Ь-\
С помощью подстановок
и - Ь и - Н1 и - Ь ■
■"2 --т ' ~-' -->
сов г сов г сов г
Нерелятивистское приближение
Исключая нединамические переменные Ф0, Н^, къ, получаем шесть уравнений (комбинируем их в пары):
Ф
ф2
2 2 сое г
, Фг
Ф1
Фз .
Фз
соег соег
Е2=—Ех-—Еъ =——; (8) со& г соег созг
систему можно упростить, и она принимает вид
де2 ~дг
-Ъ- ех - а+е3 - = М (сое2 г)Ф0;
-¡Ь- \ + 1а+ + /ее2 = М ф2; -^—ап2+1ее1 = М ф^
соб г г
дг
Ьк2 + г'ее3-г—- = М(р3; (9а) сов г дг
а Ф0 -/еф! - М е^; .Эф!
--г— оф2 -г'—1- = ]Щ;
сое г ог
сое2 г
а (¡Ь- ф! - г А+ф31 + гв Мех +
-
дг
I
сое г 1 /
«Ф2-г-= М Фь
сое2 г
? - <Эе,Л -Ь-ъ-а+е3-—^
дг
(Юа)
— /еЛ/ф1 -М ву,
-1Ъ-
/ - .Эф!Л
V сое г
/
2~а Ф2 ~1
дг
+ ге Ме2 +
+ 1 а+
2 Э 1 -соб г
чсов г
/
Эфэ ^ 1 2 =м Фг;
дг
дг сов2 2
I I де2Л
ч
дг
(106)
-/е Мц>2 =М е2;
I Л / Л А \
Ъ \лЪ- ф, - ф31 + ¡еМе3 -
сое2 г
.Ъ'
дг
соб г
сое2 г
-Ь- е3 —
дг
(10в)
сое2 г
сое2 г
— /е Мф3 = М е3.
1 ( д 2$т.г
— + -
Теперь вводим большие и малые \|/(- компоненты [16]:
ф] +¥]; щ -¥1;
Фз -^з ¡ез=Ъ~Щ (п)
и одновременно выделяем энергию покоя формальной подстановкой е => е + М; в результате приходим к следующим уравнениям:
сов 2 сов 2
4^2 +¥2)"
сое2 г\дг сое г
А2
+(е + ЛГ)Л/(Ч,3 -\|/3) = М1 (Т3 + \|/3);
сое2 г
сое2 г
Ъ д дг
сов 2
(т2-¥2)+ (12в)
сов2 2
' д дг соег
02
+ (е+ М) М (Ч^ - ) = М2 ('+ \|п);
+(е + М)М{х¥3 +Х|/3) = М2 -Х|/3).
Складывая и вычитая уравнения в каждой паре, а также пренебрегая малыми компонентами по сравнению с большими, получаем три уравнения для больших компонент:
-тЧ*.-».)-^-^»-*)-
сов 2 сов 2
2 л л Э2
аЪ- +
сов2 2 дг2'
+ 2 втг
___ аТ
а д дг
со ь г
(12а)
+(е + ДГ) ЛГ (Ч^ + У!) = М2 (Ч^ - ^);
2 л л
Ьа+ +—^ + дг2
со&2 2
^3 +
со& г
л Э
+ 2^6^=0; с08 г
1 /Л А Л Л\
[Ь-а + а+Ь\ + 2гМ + —+
« ^ * / Эг2
сое г
+2
совгдг ) совг^ '
(13а)
соб 2
+ а+ (сое2 г) ^--V (^3-¥з) +
Это система уравнений в паулиевском приближении. В случае плоского пространства она становится намного проще:
дг сов 2
(126)
, 2 ч Э 1 Э
+ (сОв 2)---5-—,
02 СОв 2 02
+{е + М)М(Ч'2+у2) = М2(Ч'2-\|/2);
-2аЬ-+^г + 2еМ дг2
-2Ьа++^г + 2еМ дг2
^1=0;
Т3=0;
b-a + a+b}+2eM +
dz2
^2=0, (136)
где в определениях для а, Ъ, а~, Ъ~, а+, Ь+ должны быть выполнены соответствующие упрощения.
Уравнения (13а) приводятся к более симметричному виду с использованием простой подстановки Ч^ = cosz *F2; таким образом получаем систему
л л л
2аЪ~ д О IX
+ —z- + 2 еМ
cos2 z dz2
Ч^+ 2-^-^2=0;
COS Z
Вводим факторизованное представление для трех функций:
Оу = ВДВД; С2 = Z2(z)JR2(r);
в3=г3(2Щ(г); (15а)
тогда уравнения (146) запишутся следующим образом:
2 Л Л ^
--г— b-a + —Z- + 2 еМ
у cos z dz ;
ZA +
+2-^у- b~a Z2R2 = 0; cos z
л л n n
2ba+ d _ ■+—T + 2 eM
cos2 z dz2
cos z
(л л л л \
¿-а + о+й + 2 д2
'- +-^ + 28^ + 1 dz2
cos 2z
y2+
(13B)
+ + а+*Р3) = 0.
cos zv '
С помощью дифференциальных операторов перейдем к новым функциям:
Ь-Ч^вь Ч2=02, а+Ч>3=03, (14а) тогда уравнения (13а) примут вид
2 - - Э
--=—b-a+—z- + 2eAf
v cos z dz j
<h +
2 Л Л
--z—а+й + —z- + 2 eAf
v cos z 9z ,
Z37?3 +
sifl 7 Л Л
+ 2—fl+6 Z2i?2 = 0; cos z
1 /л л л л v
--z— 6-Й + 0+6 + 2 +—T +
cos z ' Д-2
9zz
(156)
+2гМ + l)Z2i?2 + 2-*^- (Z,^ + Z3i?3) = 0. cos z
Замечаем, что первое уравнение в системе (156) не изменится, если подействовать на него слева оператором Ь~а; аналогично не изменяется и второе уравнение при действии на него оператором а+ b. Следовательно, можно предположить, что справедливы следующие соотношения:
b-aRy = XRy, b-aR2 = XR2; Rl=R2=R (16a)
smzc -
+ 2-г— 0-0 (j2 = U;
cos z
и
a+bR3 -X' R3; a+bR2=\'R2; R2=R3 =R. (166)
r 2 - - Э2 --a+b+—2+2eM
у cos z dz j
„ sinz Л ? „ + 2—a+b G2= 0;
COS Z
1 (b-a + a+b + 2) + ^r + 2eM+l dz2
G3 +
COS2 z
G2 +
(146)
+ 2^(G1+G3) = 0.
COS z
Принимая во внимание ограничения, задаваемые системой (156), приходим к системе уравнений для трех функций, зависящих от г:
d2 о л,
- + —- + 2 гМ
cos2 z dz2
' 2Г d2 о л,
+ —^ + 2 еМ
cos2 z dz2
Zy + Z2 = 0;
COS Z
Z3 + Z2 - 0;
cos z
' 1 d2 "nc " dz
COS Z
Z2 +
(17)
+ 2^(Z1+Z3) = 0. cos z
Учитывая явные выражения для операторов а, а+, Ъ, Ь-, легко находим равенства
Ь~а = — 2
а+Ь = — 2
d cos г d v (г)
—-—:--— -В + —т—
dr sin г dr sin г
d cosr d
+B +
v\r)
dr2 sin a* dr sin2 r a+b-b-a-B.
Таким образом получаем уравнение относительно R2:
b~aR2 = XR2
d2 cosr d v2(r)
—^ + ~--r + ^--
dr sin r dr sin r
- + 2Л
B2=0.
(18a)
Применяем подстановку Я - у" (1 - у) Т7 ; при этом
и Ь = ±\т + 2В\ 2 2
тогда приходим к простому уравнению
у(\-у)р" + \(2а + 1)-2{а + Ь + \)у] ¥'-
- [о (а +1) + 2а6 + £ (6 +1) - Я2 - (Я + 2Л)] ^ = 0,
которое является уравнением гипергеометрического типа:
у (1 - у) ^ + [у - (а +13 +1) у]- «р^ = 0.
Параметры гипергеометрической функции (а, Р, у) определены равенствами
. . , IЛИI \т + 2В\ у = + \т\+1, а = +~у, Ь = +-—-—
a-a+b+—j 2 1
\2
я+-2
+ 2Х;
Уравнение относительно Rx имеет тот же вид, если два параметра А, и Л' подчиняются линейному соотношению:
о+£я2=А'Я2 => b-aR2 ~(k' + B)R2,
т. е.
Х' = Х-В. (186)
Рассмотрим уравнение (18а) детальнее:
dr2 tgr dr v '
--í-y-\m + fi(l-cos r)l2 R = 0.
sin r
В новой переменной 1- cos r = 2y, у e [0, 1] оно трансформируется в уравнение вида
'?L-4B2 + (m + 2Bf
dy t-2 В
R = 0.
P=a+¿+-+1
Я + -
+ 2X.
Чтобы иметь решения в виде полиномов, следует наложить условие а = -л(и = 0, 1, 2, ...); тогда
a+b+^-i
я+А
V 2 у
Л2
+ 2Х = -п; (20а)
отсюда следует правило квантования:
2Л +
В + -2
а+Ь+—+п 2
> 0. (206)
Соответствующие решения задаются согласно выражению
' 1 \+т+2В
X
R = | sin -
г
cos-2
(20в)
(19)
•2 г
х Г т | +1 т+2В \ +1+и ,| т \ +1; -вт
Если воспользоваться обозначением X = А - Я/2, формула для спектра запишется в виде
2A + B2=N(N + l); N = a + b + n. (20г) {la2-a-X')A3 + Х'А2 =0;
Поведение решений по переменной г около особых точек
Обратимся к анализу системы (17); в переменной %т.г - х она примет вид
Л
2а2-а-2 + Х + Х \А2+А1+А3=0. (226)
Аналогично рассматриваем уравнения около второй особой точки х —» -1:
Л 2\ d d 2X _ ,, (1—JC2)—=—JC—---+ 2 EM
v 'dx2 1-х2
Z1 +
(23a)
2Xx =
1-х2
Z2= 0;
и
л 2\ û" d 2X'
1-х2 ^--x----+
v 'dx2 dx 1-х2
2X'x =
2 eM
Z3 +
z,= 0;
V ;ièc2 ¿X 1-х2
x
xZ2+-^-(Z1+Z3) = 0. 1-х
(21)
Около точки z = +7i/2(x—>+1) система упрощается:
4 '¿¿с2 1-х v ¿x2 dx 1-х
Z1+^Z2=0;
Z3+£Z2=0;
z^^l + xf; zi = B2{\ + x)b\ Z3=B3(l + x)b
{2b1 -b-X^JBy- XB2 - 0; (2Ь2-Ь-Х')В3-Х'В2=0;
7 +1 + >'Л
2b2-b- \В2-Вх-В3=й. (236)
2 J
^обно ввести новые обозначения: 2о2-а-А; 2Ь2-Ь = В; тогда две линейные системы запишутся как (А-Х)А1+ХА2 =0;
(А-Х')А3+ Х'А2 - 0;
А-
2 + Х + Х
А2+Ау+А3 = 0;
d2 d 2+Х + Х'
dx2 dx 1-х + = 0;
(В-Х)В1-ХВ2=0; (В-Х')В3 -Х'В2 - 0;
z2 +
в-
2 + Х + Х
В2 — Ву — В3 — 0.
возможное решение выглядит следующим образом:
Zl=Al( 1-х)0; z2 = Л2{\-х)а\
Z3=A3( 1-х)0. (22а)
Для параметров Ах, А2, А3 получаем линейную систему
Далее мы получаем одинаковые уравнения для собственных значений А и В:
(А-Х)Х' + (А-Х')Х-
~(А-Х)(А-Х')
/ 2 + Х + Х'л
А-
= 0;
(В-Х)Х' + (В-Х,)Х-
~(В-Х)(А-Х')
в-
2 + 1+Х'
= 0
(24)
(2а2 -а-Х}А1+ХА2 = 0;
и соответствующие решения
а = -В2 —В, = -В7 ——. (256)
Построим решения кубических уравнений; для определенности рассматриваем уравнение длят4:
2(А-Х)Х' + 2(А-Х')Х--(А-Х)(А-Х')(2А-2-Х-Х') = 0,
т. е.
-А
- 2А3 + А2 [2 + 3(Х + Х')]-
(;\ + Х')2+2ХХ' +АА'[(Х + Х')-2] = 0.
(26а)
Учитывая равенство X' -Х-В, введем новый параметр
Х'-- = Х + - = А; Х + Х' = 2А; 2 2
XX'= А2-*-; 4
тогда уравнение (26а) примет вид А3-А2 (ЗА + 1) + Л
д2 ^
ЗА2 - — 4
' Д2Л
А2-?-4
(266)
(Л-1) = 0,
т. е. символически
А3 +аА2 +ЬА + с- 0,
где
а - — (ЗА + 1); 6 =
с —
зл2-*-
4
(Л-1).
Введем новую переменную У:
А-У---А~г 3'
затем убираем из кубического уравнения квадратичный член
У3+рУ + 4 = 0;
(27а)
р =--+ Ь = -
3
о л в2
2Л + — + -4 3
2а3 аЪ
а =---+ с = -
27 3
^2 Я2 2' -Л + — + — 3 3 27
(276)
Отмечаем существенные неравенства:
р< 0, ?<0, \р\>\д\. Дальнейший анализ приводит к трем ве-
щественным корням:
у1=4~рТъ
с л
2 сое—
У2 - \1~р/3 -сое—-л/Зкт— ^ 3 3
^ =\1~р/3 -сое—+-у/Зет— 3 , 3 3
(28а)
где
совф =
-д/2
(-р/3)
,3/2 :
. УЬр/3)3-(<?/2)2
вшф = --—^—-
{-Р1Ъ)Ш
(286)
К сожалению, к настоящему времени существенного дальнейшего прогресса в решении полученной системы уравнений по г достичь не удалось.
Проведенный анализ без труда обобщается на случай пространства постоянной отрицательной кривизны — пространства Лобачевского Нъ. Также отметим, что развитая схема разделения переменных применима не только для нерелятивистского приближения, но и в релятивистском случае.
Добавим, что задача о поведении частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле решается точно при ограничении на двумерные пространства постоянной кривизны, сферическую и гиперболическую плоскости.
Таким образом, в пространстве с постоянной положительной кривизной исследовано квантовомеханическое волновое уравнение для частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле. Выполнена процедура разделения переменных t, г, ф, г. Решения уравнений по пере-
менной г строятся в гипергеометрических функциях. Исследование зависимости волновой функции от переменной г доведено до системы трех связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для трех функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rabi, I.I. Das freie Electron in Homogenen Magnetfeld nach der Diraschen Theorie [Text]/1.1. Rabi// Z. Phys. - 1928. - Vol. 49. - P. 507-511.
2. Landau, L. Diamagnetismus der Metalle [Text] / L. Landau // Ztshr. Phys. - 1930. - Bd. 64. - S. 629-637.
3. Plesset, M.S. Relativistic wave mechanics of the electron deflected by magnetic field [Text] /M.S. Plesset// Phys.Rev. - 1931. - P. 1728-1731.
4. Comtet, A. Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field [Text] / A. Comtet, P.J. Houston//J. Math. Phys. -1985. - Vol. 26. - № 1. -P. 185-191.
5. Comtet, A. On the Landau levels on the hyperbolic plane [Text] / A. Comtet, P.J. Houston // Annals of Physics. - 1987. - Vol. 173. - P. 185-209.
6. Aoki, H. Quantized Hall effect [Text] / H. Aoki // Rep. Progr. Phys. - 1987. - Vol. 50. - P. 655-730.
7. Groshe, C. Path integral on the Poincare upper half plane with a magnetic field and for the Morse potential [Text] / C. Groshe // Ann. Phys. (N.Y.). - 1988. -Vol. 187.-P. 110-134.
8. Klauder, J.R. Landau levels and geometric quantization [Text] / J.R. Klauder, E. Onofri // Int. J. Mod. Phys. - 1989. - Vol. A4. - P. 3939-3949.
9. Avron, J.E. Landau Hamiltonians on symmetric spaces [Text] / J.E. Avron, A. Pnueli // Ideas and methods in mathematical analysis, stochastics, and applications / S. Alverio [et al.], eds. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. - Vol. II. - P. 96-117.
10. Plyushchay, M.S. Relativistic particle with torsion and charged particle in a constant electromagnetic field:
Identity of evolution [Text] / M.S. Plyushchay // Mod. Phys. Lett. - 1995. - Vol. A10. - P. 1463-1469.
11. Alimohammadi, M. Quantum group symmetry of the quantum Hall effect on the non-flat surfaces [Text] / M. Alimohammadi, A.Shafei Deh Abad // J. Phys. — 1996.-Vol. A29.-P.559.
12. Bogush, A.A. Schrodinger particle in magnetic and electric fields in Lobachevsky and Riemann spaces [Text] /
A.A. Bogush, V.M. Red'kov, G.G. Krylov // Nonlinear Phenomenain Complex Systems. - 2008. — Vol. 11. - № 4. — P. 403-416.
13. Kudryashov, V.V. Classical particle in presence of magnetic field, hyperbolic Lobachevsky and spherical Riemann models [Text] / V.V. Kudriashov, Yu.A. Kurochkin, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // SIGMA. - 2010. - Vol. 6,004. - 34 p.
14. Овсиюк, E.M. О решениях уравнения Дирака в однородном магнитном поле в пространстве Лобачевского [Текст] / Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель,
B.М. Редьков // Доклады НАН Беларуси. — 2010. — Т. 54. - № 3. - С. 47-54.
15. Red'kov, V.M. Quantum mechanics in spaces of constant curvature [Text] / V.M. Red'kov, E.M. Ovsiyuk. — Nova Science Publishers, 2012 (in press).
16. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорус, наука, 2009. — 495 с.
17. Олевский, М.Н. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение д2и+Я U = 0 допускает полное разделение переменных [Текст] / М.Н. Олевский // Матем. сб. — 1950. - Т. 27. - С. 379-426.
УДК 539.12
Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.В. Кисель, В.М. Редьков НОВЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И УРАВНЕНИЕ ГОЙНА
В настоящей работе мы обсудим некоторые теории поля, приводящие к необходимости неновые и старые задачи квантовой механики и следовать решения дифференциального урав-
