CC BY
37
Таким образом, в пространстве с постоянной положительной кривизной исследовано квантовомеханическое волновое уравнение для частицы со спином 1 во внешнем магнитном поле. Выполнена процедура разделения переменных t, г, ф, г. Решения уравнений по пере-
менной г строятся в гипергеометрических функциях. Исследование зависимости волновой функции от переменной г доведено до системы трех связанных между собой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для трех функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rabi, I.I. Das freie Electron in Homogenen Magnetfeld nach der Diraschen Theorie [Text]/1.1. Rabi// Z. Phys. - 1928. - Vol. 49. - P. 507-511.
2. Landau, L. Diamagnetismus der Metalle [Text] / L. Landau // Ztshr. Phys. - 1930. - Bd. 64. - S. 629-637.
3. Plesset, M.S. Relativistic wave mechanics of the electron deflected by magnetic field [Text] /M.S. Plesset// Phys.Rev. - 1931. - P. 1728-1731.
4. Comtet, A. Effective action on the hyperbolic plane in a constant external field [Text] / A. Comtet, P.J. Houston//J. Math. Phys. -1985. - Vol. 26. - № 1. -P. 185-191.
5. Comtet, A. On the Landau levels on the hyperbolic plane [Text] / A. Comtet, P.J. Houston // Annals of Physics. - 1987. - Vol. 173. - P. 185-209.
6. Aoki, H. Quantized Hall effect [Text] / H. Aoki // Rep. Progr. Phys. - 1987. - Vol. 50. - P. 655-730.
7. Groshe, C. Path integral on the Poincare upper half plane with a magnetic field and for the Morse potential [Text] / C. Groshe // Ann. Phys. (N.Y.). - 1988. -Vol. 187.-P. 110-134.
8. Klauder, J.R. Landau levels and geometric quantization [Text] / J.R. Klauder, E. Onofri // Int. J. Mod. Phys. - 1989. - Vol. A4. - P. 3939-3949.
9. Avron, J.E. Landau Hamiltonians on symmetric spaces [Text] / J.E. Avron, A. Pnueli // Ideas and methods in mathematical analysis, stochastics, and applications / S. Alverio [et al.], eds. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990. - Vol. II. - P. 96-117.
10. Plyushchay, M.S. Relativistic particle with torsion and charged particle in a constant electromagnetic field:
Identity of evolution [Text] / M.S. Plyushchay // Mod. Phys. Lett. - 1995. - Vol. A10. - P. 1463-1469.
11. Alimohammadi, M. Quantum group symmetry of the quantum Hall effect on the non-flat surfaces [Text] / M. Alimohammadi, A.Shafei Deh Abad // J. Phys. — 1996.-Vol. A29.-P.559.
12. Bogush, A.A. Schrodinger particle in magnetic and electric fields in Lobachevsky and Riemann spaces [Text] /
A.A. Bogush, V.M. Red'kov, G.G. Krylov // Nonlinear Phenomenain Complex Systems. - 2008. — Vol. 11. - № 4. — P. 403-416.
13. Kudryashov, V.V. Classical particle in presence of magnetic field, hyperbolic Lobachevsky and spherical Riemann models [Text] / V.V. Kudriashov, Yu.A. Kurochkin, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // SIGMA. - 2010. - Vol. 6,004. - 34 p.
14. Овсиюк, E.M. О решениях уравнения Дирака в однородном магнитном поле в пространстве Лобачевского [Текст] / Е.М. Овсиюк, В.В. Кисель,
B.М. Редьков // Доклады НАН Беларуси. — 2010. — Т. 54. - № 3. - С. 47-54.
15. Red'kov, V.M. Quantum mechanics in spaces of constant curvature [Text] / V.M. Red'kov, E.M. Ovsiyuk. — Nova Science Publishers, 2012 (in press).
16. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорус, наука, 2009. — 495 с.
17. Олевский, М.Н. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение д2и+Я U = 0 допускает полное разделение переменных [Текст] / М.Н. Олевский // Матем. сб. — 1950. - Т. 27. - С. 379-426.
УДК 539.12
Е.М. Овсиюк, О.В. Веко, В.В. Кисель, В.М. Редьков НОВЫЕ ЗАДАЧИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ И УРАВНЕНИЕ ГОЙНА
В настоящей работе мы обсудим некоторые теории поля, приводящие к необходимости неновые и старые задачи квантовой механики и следовать решения дифференциального урав-
нения Гойна [1]. За последние двадцать лет количество физических задач, для анализа которых требуется привлечение этого класса специальных функций, непрерывно растет [2, 3]. Примерами могут служить задача двух центров в квантовой механике, описание квантовомеханических частиц в гравитационных полях Шварцшильда и Керра и другие.
Иногда необходимость работать с уравнением Гойна можно обойти. Примерами являются следующие системы: атом водорода на основе уравнения Дирака в пространстве Минков-ского [4]; электромагнитные цилиндрические волны в пространствах *У3, Щ [5]; частица со спином 1/2 в поле монопольного потенциала в мире де Ситтера [6]; электромагнитное поле в пространстве Лобачевского Щ [7].
Но нередко обойти такую необходимость нельзя. Примерами являются следующие задачи: атом водорода в пространствах де Ситтера и анти-де Ситтера [8]; электромагнитное поле в поле черной дыры Шварцшильда [9]; паулиевская частица в кулоновском поле в пространствах Бъ, Н3 [10]; скалярная частица с зарядом и поляризуемостью в кулоновском поле [11]; частица со спином 1 в кулоновском поле [12].
Иногда система сводится к уравнению с шестью особыми точками; примером является атом водорода на основе уравнения Дирака в пространствах Нг [4].
Две из перечисленных систем, а именно электромагнитное поле в пространстве Лобачевского и частица со спином 1 в кулоновском поле, рассмотрены в настоящей статье.
Моделирование среды со специальными отражающими свойствами в рамках геометрии Лобачевского
В работе Олевского [13] под номером II приведена следующая система координат в пространстве Лобачевского Щ.
(¡Б2 = Л2 -е~2г (сЬс2 +с1у2^-с1г2,
хе , ¡¿2 =Уе
2 2 2 2 2 , / 2 , 2 "о -"2-"з =Р . и0=4р +и • (!)
Далее нам полезна трехмерная реализация Пуанкаре для этого пространства как внутренности трехмерной сферы:
91=—> ад < +1;
«о
Х = у = (2)
1-й
1-0з
В частности, на оси ^ = 0, <?2 = 0 Ч е (—1,+1) эти соотношения дают
Известно, что с электродинамической точки зрения геометрия Лобачевского моделирует специальную среду [14] с тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости вида
в* = (*)«*(*) =
1 о о 0 1 о
0 0 е~2г
1 о о 0 1 о
0 0 е
,2г
Соответствующие материальные уравнения (в системе СИ) выглядят следующим образом:
Для описания электромагнитного поля в пространстве Лобачевского будем использовать комплексный формализм Римана — Зильбер-штейна—Майораны—Оппенгеймера (детальнее см. работу [14]):
-I—юг V —
Ы
дх
+а(3>^--Л2+а<2ЧЛ & 2 1
+ —+ О
Е + /В
(3)
= 0:
явный вид используемых матриц следующий:
0 1 0 0 0 0 1 0
а® = -1 0 0 0 ; а<2> = 0 0 0 1
0 0 0 -1 -1 0 0 0
0 0 1 0 0 -1 0 0
а
(3) _
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 -1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 ; = 0 0 0 -1
-1 0 0 0 0 0 1 0
5т =
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 -1 0 0
Разделение переменных проводится на основе подстановки
0
Е + гВ
. е-Ш е1к]Х е1к2у
о
Система уравнений дляследующая:
Исх + 1к2 е2 /2 +
/з=0;
—-1
/2+1к2 е2 /3 =0;
- (/хИ„2гр.
/з - — е е г2,
ю ю
'й аЬе2г
— +-
¿/г со
ё аЬеъ йг со
Ь2е2г -ш2
со
2 2 2г (О
(4)
С использованием переменной е2 = два последних уравнения запишутся следующим образом:
/ J \
Z
— + аьг
— ~аЬ7 с1г
^=-(а^2-со (5)
Эта система может быть решена в терминах вырожденных функций Гойна. В самом деле,
сРЕ а2г2+(й йк
й21
+
со 2 аЬоз Z2 а2 г2- со
(а2+й2)
- +
ю
(6)
Отмечаем присутствие дополнительных сингулярных точек Z = /а.. С новой переменной это уравнение принимает вид
У = -
а2г2
со
-ю/2 + И е* /з = 0;
-ю/з -е2 1к2/х е2 /2 = 0.
Первое уравнение принимает вид тождества при учете трех остальных, поэтому его можно не учитывать. С использованием подстановки = е2^ (г), /2 = е2/^ (г) приводим три уравнения к более простому виду:
у у-\) йу
(О
4 у
2аЬоз+(а2 +Ь2)а>2
--Ц;---+-;-
4 а2у
МУ-1)
Далее, используя подстановку =
= У° Е\ (у) ПРИ с = ±*'со/ 2, приходим к уравнению
йу2 I У У~Ч<*У
-2с+йю/я
.^г
2с-а? 12-Ь&1 а-Ь2а? !{1а2)
2у
последнее может быть отождествлено с вырожденным уравнением Гойна для функции
сУН ёг2
а+
1±ё+1±У1
х х—1
(¿н
йг
■+
о
+ а + ар-ру—р-у-2г| | 2 г
1 ау + р + а + 2г| + 28 + ру + у =
2 1
а = 0, р = 2с, у = -2,
б = -
ю
Л =
1
4 а2
±Ы2
(7)
Покажем, каким образом систему (5) можно решить в функциях Бесселя. Для этого совершим линейное преобразование
Ъ „ а
=+ ,-= Ц + . Сг2;
>/с2+62 л/я2+Ь2
I £?1 + , (?2 ^
(8)
в результате система (5) примет вид Z¿G2=[z2(C2+*2)-«>]<71
(9)
Из системы (9) следует уравнение второго порядка для С^:
Z2^+Z-^+<и2-a>(«2+¿2)z2 г/72 //7 V У
аг2
й2
в1 =0.
Преобразуем его к другой переменной:
V
+ Ш
-(С2+*2)<
.2г
<?!=(). (10)
Полученное уравнение можно рассматривать как одномерное шредингеровское:
( й2
¿+Е-и(2) /(г) = 0 ¿2 )
с потенциальной функцией
и(г) = (а2+Ъ2)еъ.
Отметим, что в частном случае <2 = ^=0, Ь = к2 = 0 эффективное потенциальное поле исчезает. Форма потенциальной функции показана на рисунке.
Поскольку в квантовой механике частица в таком потенциальном поле должна испытывать отражение от барьера, то можно ожидать аналогичного явления и для электромагнитного поля; это действительно имеет место. Интересной особенностью данной аналогии является равенство единице коэффициента отражения для всех состояний (за исключением особого случая а = Ь = 0). Такая ситуация более подробно рассмотрена в работе [7]; эффективно геометрия Лобачевского моделирует идеальное зеркало, распределенное в пространстве. Легко оценить глубину проникновения электромагнитного поля в такую эффективную зеркально
ад . • »
Е « • • •
2
График потенциальной функции Щг)
отражающую среду. Эта глубина определяется путем решения уравнения
ю
= {а2+Ъ2)еъг()=р1п " (11)
с у]к2 + к2
где р — радиус кривизны пространства Лобачевского.
Частица со спином 1 в кулоновском поле
К настоящему времени анализ известной задачи о частице со спином 1 во внешнем кулоновском поле все еще остается далеким от своего завершения. Покажем, что есть возможность свести (хотя бы часть этого анализа) к классу функций Гойна (детальнее см. работу [12]).
Будем использовать матричный формализм Даффина—Кеммера (с применением тетрадной техники [15]):
( ™ Л
о-"со. а е+ — +/
1 г)
р(Ч+;(Р(1)У31+Р(2)/2) Ф(х) = 0,
+
г т
(12)
где угловой оператор Кв ф задан согласно [15]
^е.ф^'РЧ+Р
2 /<эф+/ /2 сове втб
Десятикомпонентная волновая функция ВД = {Ф0(х), Фг(х), Е;(х),Щх)}
выбирается в виде
Ф0(х) = е~ш'/пФ 0(х)Д0;
К (*)) = <
-Ш/Й
.-1ЕИП
Ш/Й
Ф^Г)/).! Ф2(г)Я0 Ф з(г)2>+1
!
Чг) д0 Е,(г) Д+1
Щг)П0 Л3(г)2>+1
(13)
Используем краткие обозначения для функций Вигнера:
Яа=2Ут1а(ф,е,0); а = 0,+1,-1-
После простых алгебраических вычислений с применением известных свойств функций Вигнера приходим к системе из десяти радиальных уравнений:
'й 2^
+1
\
' ал
8 Н--
V Г у
+ — (1г г
£2-(£1 + £3) = МФ0; г
+1
+1
\
' ал 8 + — V Г у
' ал 8 + — Г
й 1
-+ -
Г у
.V
Н1+1-Н2=МФ1; г
Е2-1-{Нх-Нг) = МФ2, г
Ег-1
<1 1
— + -
йг г
Нъ-1-Н2=М Ф3;
-г
' ал 8 + — Г
\
-I
г о>
е + — * >
+-Ф0-МЕ1 =0;
ф2--гфО-^2=О;
аг
\
а
8 + — Г
-I
й 1
-+ -
йг г
+1-{Ф1-Фг)-МН2 =0; г
Ф3 + —Ф0 -МЕЪ =0; г
ф1-*'-ф2 -МНХ= 0; г
+1
й 1
—+-
йг г
Ф3 +/—Ф2 ~МНЪ =0, (14)
где у = ^у + 1)/2.
Будем дополнительно диагонализировать оператор пространственной четности (преобразованный от обычного представления к базису сферической тетрады):
1 0 0 0 0 0 -1
0 п. 0 0
П = э Р-, п3 = 0 -1 0
0 0 Пз 0 -1 0 0
0 0 0 -П3
Уравнение на собственные значения
ПТ = РХ¥ приводит к двум значениям четности и соответствующим ограничениям на радиальные функции: 1)Р = (-1У+1.
Ф0 = 0, Ф3 = -Ф15 Ф2 = 0,
еъ = -ех, е2 = о, нг=щ-2 )Р= (-1 у.
Ф3=Ф1; еъ=+ех, щ=-нх, н2 =0.(15)
+ 1
' аЛ
£ + — V Г У
Е^+1
+г
(
£ + — ^ г)
/
й 1
-+ -
йг г
н1-мф1=ъ,
е2-ин1-мф2=0; г
-I
е + — V т.
Ф1+-Ф0-Л^ =0; г
е+—|ф, + —фп + ме? =0: г 2 йг 0 2
В первом случае для состояний с четностью Р = (-1)у+1 имеем четыре уравнения:
й 1
—
йг г
ф1+1-ф2 + мн1=0. (18)
+1
' аЛ 8 + — Ч Г у
ех+1
гй 1Л
— + -
йг г
а
н1+1-н2=мф1; г
ен— | Ф1=ме1;
-I
й 1
—+-
йг г
Ф 1=МН1;
и-ф1=мн2. г
(16)
Исключая ех, нь н2, приходим к уравнению второго порядка для Ф1:
й2 2 й йг1 Г йг
а
е + — г
Ф1=0,
где
хЯ+сЛ/Ж2
М = пг+\ + ^{] + \12)2-а2.
К этому классу принадлежат и состояния с минимальным у = 0, и в этом случае задача решается просто. Действительно, подстановка для волновой функции (13) существенно упрощается и принимает вид
Ф0=е
-гй/й
ф00");
(ф,<*))=.
-¡Ш/П
ш/Й
Ф2(г) 0 0
е2(г)
что совпадает с уравнением, возникающим в случае скалярной частицы, описываемой уравнением Клейна — Фока — Гордона. Его решение хорошо известно, ему отвечает спектр энергии
е= , ^ , (17)
„-ш/п
Н2{г) 0
(19)
Угловой оператор действует на эти состояния как нулевой, а четность состояний равна Р = (-1)0+1 = -1. Радиальные уравнения приводят к единственному уравнению для е2:
й2 2 й 2 (
—Т + -----е + -
йг г йг г \ г
2 Л
-м2
^2=0,
Для состояний с четностью Р = (-1)у имеем шесть уравнений:
й 2
— + —
йг г
е2 + 2—ех +мф§ =0; г
которое дает спектр
тс
^1 + а 2/(Г + л)2
где
2Г
= 1 + ^9-
4а2.
-геФ0 -
й 2'
— + —
йг г
Ф2--(Ф1 + Ф 3) = 1-^Е2.
2 Мгг
-/еФп
11 2
— + —
кйг Г у
2\
Ф2--Ф1=1
г
а
2Мг'
-2Мг Ф0 .
Ег =
Мг 2У
5 + 2 г— йг
Ф
О'
Ф, =-
е + а/г
Ф, =
V 5М2 г2М2 й
---г---
г 2\ V йг
ф0;
I
е + а ¡г
и,=-Мг 1
/л
М2г
йг
ф0;
х\ — + 2 г 1 От
2\ е + а/г
а
8 + — Г
-М
;
Ф
О-
¿2ФП 1
С анализом системы (18) удается продвинуться дальше, если воспользоваться обобщенным условием Лоренца
е А.. т~=г
2 сМ
¿г* г
.2
3 —
^Ф0
е + а !г
йг
+
Уа+/-Л Р. (21)
е2 — —у—ЗМ2 + 2М2 —---^
г е + а/г г
Введем новую переменную
Ф0=0.
После преобразования к радиальным функциям это соотношение дает равенство
е а
х = — г< О, г = — х; а е
уравнение (25) запишется как
^dФ
(I2 Ф0 (Ъ 1
с1х2
- +
X х — 1
сЬс
+
Для всех состояний с четностью Р - (-1)у+1 оно удовлетворяется тождественно. Для состояний с четностью Р = (-1)у это соотношение дает
2 .2 а + 2\ 2А
а -А--=— + -
х-\
(26)
Фп=0,
где использован безразмерный параметр
-Е2. (22)
С помощью последнего из (18) можно вывести простое соотношение
(23)
С помощью (23) из системы (18) можно выразить пять функций, а именно Ф1; Ф2, Е{, Е2, Нь через одну основную:
Е2=-2МгФ0;
(24)
2 2 т2с4 А =а
72 ■
Воспользуемся подстановкой Ф0(х) = хАеВх/(х) при ограничениях на А и В:
А = - 1 + л/1 + 2у2 + а2; В = +4 А2-а2; для функции /получим уравнение
ц.
йх2
2В +
2А + Ъ 1
х-1
+
+
2А8+Л+ЗЯ Л+Я-2А
-+
1-х
4Г
(Их
2Л ^
/=0,
которое может быть сопоставлено с уравнением для вырожденной функции Гойна / = /(о, 6, с, й, к; г):
£1. сЬс2
а+-
Ь +1 с +1 +-
х-1
¿¿х 2х(х-1)
/-
[-2с? + а(-А-с-2)]х + А(-1-с)-с-2А 2х(х-1)
/ = 0
Для основной функции Ф0 можно получить следующее уравнение:
с параметрами
а = +2л]а2 -а2, 6 =+2лД + 2у2 + а2,
с = -2, d = 2Л2, й = + 2.
Если воспользоваться одним из условий полиномиальное™, а именно
d = -a
п + -
Ъ + с + 2
^ = (« + Vl + 2v2 + a2)2
Е2=т2с4
2а
N-
4a 2N2
N = n + \l l + 2v2+a2 = = и + 1Jl>7(7+lj+ä2 * л + у;
a
/И + 8 + — «tfl + 8,
r
получаем выражение
2 4
is = тс
2az
N-
4a2N2
:т2сл
1-
a
~N2
отсюда выводим формулу
17 2 4 1 a 2
E = m с A\--s- =mc
N
1-
a
2 >
2N
= тс + E',
(28)
то можно вывести условие квантования для энергии:
..2
(29)
где нерелятивистская добавка определяется выражением
Е, = _а2М^=__те4 ^
2N' 2h (у + и)
2 '
Легко можно найти нерелятивистский предел для этого спектра. Учитывая, что
Из общих соображений понятно, что для частицы со спином 1 следует ожидать три линейно независимых класса решений; в данной статье описаны только два.
Итак, система уравнений для электромагнитного поля в пространстве Лобачевского преобразована в уравнение, совпадающее по форме с одномерным уравнением Шредин-гера с эффективным потенциалом; на его основе проведен анализ зеркально отражающих свойств среды, моделируемой геометрией Лобачевского (см. также работу [7]). Задача для частицы со спином 1 в кулоновском поле сведена к уравнению Гойна и определенному классу функций Гойна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Heun, K. Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten [Text] / K. Heun // Math. Ann. - 1889. - Vol. 33. -P. 161-179.
2. Heun's differential equation [Text] / Ed. A. Ron-veaux, F. Arscott. — Oxford: Oxford University Press, 1995.
3. Slavyanov, S.Ju. Special functions. A unified theory based on singularities [Text] / S.Ju. Slavyanov, W. Lay. — Oxford, 2000.- 154 p.
4. Ovsiyuk, E.M. Coulomb problem for a Dirac particle in flat Minkowski space and the Heun functions, extension to curved models [Electronic resource] / E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // arXiv.org e-Print archive. — 2011. — Mode of access: http://arxiv.org/abs/1109.5452.
5. Bogush, A.A. Maxwell equations in complex form of Majorana—Oppenheimer, solutions with cylindric symmetry in Riemann S3 and Lobachevsky H3 spaces [Text] / A.A. Bogush, G.G. Krylov, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov I I Ricerche di matematica. - 2010. - Vol. 59, № 1. - P. 59-96.
6. Red'kov, V.M. Spin 1/2 particle in the field of the Dirac string on the background of de Sitter space-time [Electronic resource] / V.M. Red'kov, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko // arXiv.org e-Print archive. — 2011. - Mode of access: http://arxiv.org/ abs/1109.3009.
7. Ovsiyuk, E.M. On simulating a medium with special reflecting properties by Lobachevsky geometry (One exactly solvable electromagnetic problem) [Electronic resource] // E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // arXiv.org e-Print archive. - 2011. — Mode of access: http://arxiv. org/abs/1109.0126.
8. Огчик, B.C. Квантовомеханическая задача Кеплера в пространствах постоянной кривизны [Текст] / B.C. Отчик, B.M. Редьков. - Минск, 1986. - 49 с. -(Препринт / ИФ АН БССР; № 298).
9. Ovsiyuk, E.M. On solutions of Maxwell equations in the space-time of Schwarzschild black hole [Text] // E.M. Ovsiyuk / Nonlinear Phenomena in Complex Systems. — in press.
10. Ovsiyuk, E.M. Quantum Kepler problem for spin 1/2 particle in spaces on constant curvature. I. Pauli theory [Text] / E.M. Ovsiyuk // NPCS. - 2011. - Vol. 14. -№ 1. - P. 14-26.
11. Kisel, V. Wave functions of a particle with polarizability in the Coulomb potential [Electronic resource] / V. Kisel, G. Krylov, E. Ovsiyuk, M. Amirfachrian, V. Red'kov // arXiv.org e-Print archive. — 2011. — Mode of access: http://arxiv.org/ abs/1109.3302.
12. Kisel, V.V. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field
[Text] / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, V.M. Red'kov // NPCS. -2010. - Vol. 13, No 4. - P. 352-367.
13. Олевский, M.H. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение допускает полное разделение переменных [Текст] / М.Н. Олевский// Мат. сб. -1950. - Т. 27. - С. 379-426.
14. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорусская наука, 2009. — 495 с.
15. Редьков, В.М. Тетрадный формализм, сферическая симметрия и базис Шредингера [Текст] / В.М. Редьков. — Минск: Белорусская наука, 2011. — 339 с.
