Частица Дирака в одномерном "атоме водорода" Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Частица Дирака в одномерном «атоме водорода»

К. А. Свешников, Д. И. Хомовскийа

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой теории и физики высоких энергий. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а khomovskij@physics.msu.ru

Статья поступила 14.01.2012, подписана в печать 27.03.2012.

Исследованы специфические особенности поведения спектра стационарных состояний дираков-ской частицы в регуляризованном «кулоновском» потенциале Vj{z) = —q/(\z\ + 5) как функции параметра обрезания 5 в 1 + 1 D. Показано, что в таком одномерном релятивистском «атоме водорода» при 5<с 1 дискретный спектр становится квазипериодической функцией 5, причем этот эффект неаналитически зависит от константы связи и не имеет нерелятивистского аналога. Это свойство дираковской спектральной задачи явно демонстрирует наличие физически содержательного энергетического спектра при произвольно малом 5 >0, но в то же время и отсутствие регулярного предельного перехода к i-40. Тем самым подтверждается необходимость доопределения дираков-ского гамильтониана с нерегуляризованным потенциалом в 1 + 1 D при всех ненулевых значениях константы связи q. Также отмечено, что аналогичным свойством обладает и трехмерная кулоновская задача при q = Za> 1, т. е. когда для дираковского гамильтониана с нерегуляризованным потенциалом требуется самосопряженное расширение.

Ключевые слова: релятивистские эффекты, уравнение Дирака, регуляризованный кулоновский потенциал, одномерный атом водорода.

УДК: 530.145. PACS: 31.30.Jv.

Введение

Квазиодномерные системы с «кулоновским» взаимодействием const /\z\ в данное время привлекают большое внимание в связи с постоянно растущим количеством физических приложений [1-6]. Такие задачи естественным образом возникают в физических моделях различных квазиодномерных структур [1-3], а также как нулевое приближение для целого ряда двух- и трехмерных задач, в частности при описании «парения» электронов над сверхтекучей жидкостью [4], пороговой ионизации атомов интенсивным лазерным излучением [5], поведения атомов в сверхсильных магнитных полях [6].

В нерелятивистской квантовой механике задача о частице в потенциале

V(z) = -q/\z\ (1)

имеет специальное название «одномерный атом водорода» и является предметом активных обсуждений более 50 лет, начиная с известных работ Лоудона и Эллиотта [1]. Специфика этой задачи состоит в том, что гамильтониан

(2)

не является самосопряженным оператором, что проявляется в «падении на центр» нижнего четного энергетического уровня. Самосопряженным расширениям уравнения Шрёдингера с гамильтонианом (2) посвящен целый ряд работ [1, 7-9]. В шрёдингеровском случае самосопряженность естественным образом восстанавливается через наложение дополнительных граничных условий при 2 = 0, но выбор граничных условий, как

и само самосопряженное расширение, содержит произвол [7], что в свою очередь отражается в структуре энергетического спектра. В частности, наиболее известное «каноническое» граничное условие ф(0) = 0, рассмотренное в [1, 7, 8], соответствует очевидной физической картине, когда кулоновская сингулярность фактически играет роль непроницаемой стенки. При этом нижний четный уровень из спектра исключается, остальные энергетические уровни гамильтониана (2) становятся вырожденными по четности и соответствуют бальмеровской серии уровней в атоме водорода [1]. Отметим, что возможны и рассматриваются и другие граничные условия, при которых начало координат является для частицы как непроницаемым [7], так и проницаемым [7, 9], а энергетический спектр становится отличным от бальмеровского, что находит применение в ряде актуальных физических приложений, например, таких, как описание свойств экситонных возбуждений в углеродных нанотрубках [3].

Для целого ряда упомянутых выше физических приложений модели «одномерного атома водорода» актуальной проблемой является учет релятивистских эффектов, что требует перехода от шрёдингеровского описания частицы к уравнению Дирака. Как и в шрёдингеровском случае, для нерегуляризованного потенциала (1) соответствующий дираковский гамильтониан нуждается в доопределении. Однако существующие методы построения самосопряженных расширений дираковского гамильтониана с точечным кулоновским источником не имеют пока достаточно прозрачной физической интерпретации (см. [10] и цит. лит.).

В связи с этим приобретает актуальность исследование зависимости спектра УД от параметров регуляри-

зованного потенциала и соответствующих предельных случаев снятия регуляризации, поскольку в шрёдинге-ровской задаче это в ряде случаев позволяет прояснить физический смысл граничных условий, восстанавливающих самосопряженность в нерегуляризованной задаче [7-9].

В настоящей работе рассматривается энергетический спектр частицы Дирака в одномерной задаче с регуляризованным «кулоновским» потенциалом

Уг>(г) = -д/(\г\ + 8)

(ар + /Зт + \/^{г))ф = Еф.

полуоси 2^0 с точностью до общего постоянного множителя в следующем виде:

'А(г) = [уТПх д/дх + х

х Ие [Хх1Щ(Ь,с,х)] , С (г) = [у/Т^х д/дх - q^/m\ х

х Ие [Хх1Щ{Ъ,с,х)\ .

(6)

где

(3)

7=-\/Г^е2, & = /¿7 — е^/7, c=\+2iq, х = 27(г + 5),

Ф(Ь,с,х) — функция Куммера (вырожденная гипергеометрическая функция 1-го рода), А = е1'* — пока не определенный фазовый коэффициент.

Выражения (6)-(8) составляют общее решение системы (5), из которого спектр связанных состояний находится с помощью условий регулярности при |г| -¥ оо и четности-нечетности, которые в терминах компонент дираковского спинора А{г) и С (г) формулируются как А (г) -четная, С (г)-нечетная либо наоборот. Далее четность уровня будем отождествлять с четностью верхней компоненты А{г).

Условие регулярности на пространственной бесконечности приводит к уравнению

Г (с)

и исследуется его зависимость от параметра обрезания 5. Эта зависимость оказывается весьма специфической, не имеющей нерелятивистского аналога, и позволяет наглядно продемонстрировать все характерные особенности энергетического спектра дираковской частицы для произвольно малых значений 5 > 0, включая такие, как наличие вполне содержательного дискретного спектра и бесконечный рост числа нулей у волновой функции нижнего связанного состояния частицы над отрицательным континуумом. Последний результат напоминает известное в нерелятивистской квантовой механике качественное пояснение эффекта «падения на центр» [11], но теперь это свойство является корректно определяемой характеристикой нижнего уровня дираковской частицы над отрицательным континуумом и проявляется как чисто релятивистский эффект.

Следует отметить, что одномерное уравнение Дирака с потенциалом (3) рассматривалось в [12], где ставилась цель определить условия, при которых основной терм водородоподобного атома, находящегося в сверхсильном магнитном поле, приближается к нижней границе дираковского континуума. В настоящей работе мы рассматриваем существенно более общую задачу о поведении всего спектра стационарных состояний при изменении параметра обрезания, для чего используются другие способы решения исходных уравнений, а результаты существенно уточняют и дополняют выводы работы [12].

1. Связанные состояния частицы Дирака в одномерном регуляризованном «кулоновском» потенциале

В рассматриваемом случае стационарное уравнение Дирака имеет вид (Н = с = 1)

(7)

(8)

Ие

А

Г(6)

= 0,

(9)

а условие четного (нечетного) продолжения через начало координат 2 = 0 имеет вид

Ие{А(275)г<г (уТТ^ - /л/П^ё) Ф0 -

- (Фо(6+) - Фо)] } = 0 (10а)

для четного случая и

Ие{А(275)г<г + /л/Г+ё) Ф0 +

+ буТТе (Ф0(6+) - Фо)]} = 0 (10Ь)

соответственно для нечетного. В (10) при этом

Ф0 = Ф(&,с,275), Ф0(&+) = Ф(&+1,С,275). (11)

Исключая с помощью (9) фазовый множитель А из уравнений (10), получаем трансцендентные уравнения для определения уровней энергии четных и нечетных связанных состояний в следующем виде:

(4)

В представлении а = 04, ¡3 = 03 и в естественных единицах, когда масштабом энергии служит масса покоя частицы, длины — ее комптоновская длина волны, из уравнения (4) для верхней и нижней компонент дираковского спинора А{г) и С (г) следует

А< = [е+\+ч/{\г\+5)]С, С'=-[е-\+д/(\г\+8)\А. (5)

В работе [12] волновые функции связанных состояний выражаются через функции Уиттекера. В данном случае, однако, значительно удобнее использовать метод Фробениуса (см., например, [13] и приведенную там библиографию), применение которого к этой системе позволяет представить ее решение на положительной

(275)'

д (л/1+е-г'л/1-е) Фо-Ьл/1-е (Фо(^+)^Фо)

Г(с*)Г(й)

(12а)

Г(с)Г(й*)

для четных уровней и

_2и,д (УТ^-1УТ+е) (ФЗ(&+ЬФЗ) _

(27*)"

д (л/Т^ё+г'л/Т+ё) Фо+^/Г+е (Ф0(2Н-)-Фо)

Г(с*)Г(й)

(12Ь)

Г(с)Г(й*)

для нечетных.

Уравнения (12) вполне эффективно решаются численно для всех ненулевых значений параметра регу-

ляризации, например с помощью пакетов типа МаШ-ешаИса или МаНаЬ. Для предельно малых значений 5, однако уравнения могут быть существенно упрощены и допускают вполне наглядный качественный анализ. Основное упрощение состоит в том, что при 5<с1 третий аргумент в гипергеометрических функциях оказывается такого же порядка малости, поскольку для дискретного спектра 0 < 7 < 1. Поскольку наше решение уравнения (5) построено на функциях Куммера, то для таких значений 5 в уравнении (12) величины Фо, Фо(&+) без какой-либо существенной потери точности можно заменить на единицы, что приводит к значительно более простым уравнениям на спектр

2,.„ уТ+7 + Г(с*)Г(&)

К1) г(с)г(&*)'

(13)

где знаки ± соответствуют четному и нечетному случаям соответственно. Легко видеть, что уравнение (13) инвариантно относительно мультипликативной замены параметра обрезания следующего вида:

б^бе-*'4.

(14)

т. е. энергетические спектры в задачах с параметрами = 5о и 5-2 = практически (с точностью до

замены Фо, Фо(&+) на 1) совпадают, если начальное 5о само по себе достаточно мало. Кроме того, при замене 5-¥ 5е^п/2(1 четные и нечетные уровни меняются местами. Подчеркнем еще раз, что такая симметрия спектра имеет место только при достаточно малых 5 <С 1. Поведение энергетических уровней как функций переменной X =5 показано на рис. 1, на котором приведен результат численного решения уравнений (12а) и (12Ь) для двух нижних уровней — четного и следующего за ним нечетного при константе связи 1/137.

Рис. 1. Поведение нижних уровней связанных состояний дираковской частицы в потенциале (3) как функция параметра Л" = —1гк5. Сплошная линия — четный уровень, пунктирная — нечетный

Как и следовало ожидать, с уменьшением 5 от стартового значения 5о = 1 эти уровни последовательно один за другим опускаются вниз до порога отрицательного континуума с шагом ~7г/2д по переменной X, и с каждым шагом меняется четность нижнего уровня и увеличивается на 1 число нулей верхней и нижней компонент его ВФ. Эффект изменения четности и увеличения числа нулей нижнего уровня дискретного

спектра легко пояснить следующим образом. При <50 ~ 1 и <у < 1 спектр связанных состояний уравнения (4) по своей структуре весьма близок к дискретному спектру соответствующей нерелятивистской задачи (из этих соображений и выбирается начальное значение 50= 1), в котором основным состоянием является четный уровень с с о ^ 1 — 0{с[2) (с учетом массы покоя), верхняя компонента которого Л (г) не имеет нулей, каждый следующий уровень имеет другую четность и на один нуль больше предыдущего для каждой из спинорных компонент, и уровни сгущаются к порогу верхнего континуума при с = 1. Теперь начинаем изменять 5 в сторону уменьшения начиная с 5о = 1. После того как исходное основное состояние от начального значения со спустится вниз до отрицательного континуума за интервал изменения параметра X, нижним

дискретным уровнем станет тот, который был первым нечетным при 5о = 1, причем его энергия будет теперь с точностью 0(ехр(—7г/2^) ~ ехр(—215) при q= 1/137) совпадать с со- На следующем шаге по X, уже практически совпадающем с тг/2д, он также опустится до порога нижнего континуума, а на его место встанет тот, который был следующим четным после основного при 5о = 1 и имеет тем самым 2 нуля. Поскольку в кулонов-ском потенциале дискретных уровней всегда бесконечно много, при дальнейшем уменьшении 5 такой процесс будет повторяться неограниченное число раз. Таким образом, при 5^-0 нижним связанным состоянием над отрицательным континуумом будет становиться либо четный, либо нечетный уровень с постоянно растущим числом нулей, а предела у такой последовательности и тем самым предельного спектра связанных состояний не существует.

Оба эти свойства — квазипериодичность спектра и рост числа нулей нижнего уровня над отрицательным континуумом при уменьшении 5 можно показать и другим способом. Для этого используем то обстоятельство, что при достижении дискретным уровнем порога отрицательного континуума ёх = — 1 его ВФ существенно упрощаются, и при 2 > 0 спинорные компоненты Л (г) и С{г) с точностью до общего множителя могут быть представлены в виде

С{г) = -ЛД^+5)Щ[К1,щ (УадГ+5)) +

(15)

где Кр{г) — функция Макдональда и использовано свойство Кр(г) = К^р(г). Четные уровни достигают нижнего континуума при таких значениях 5, когда С(0) = 0, а нечетные соответственно при Л(0) = 0. Значения параметра X = - 1п 5 для первых шести уровней чередующейся четности, полученные из решения соответствующих трансцендентных уравнений при 1/137, показаны в таблице. Эти результаты наглядно демонстрируют квазипериодичность по X с шагом тт/2д, которая становится все более точной с ростом X.

Из явного вида (15) ВФ уровней при е = с 1 = —1 легко установить также и изменение четности и увеличение числа нулей каждого следующего уровня, достигшего отрицательного континуума. Действительно, функция Макдональда с мнимым индексом К,р{г)

Значения параметра X = для первых шести уровней чередующейся четности, при которых соответствующий уровень достигает порога отрицательного континуума

Уровень 1 чет. 1 нечет. 2 чет. 2 нечет. 3 чет. 3 нечет.

- 1п( 212.127 427.326 642.525 857.724 1072.92 1288.12

при г-)0 осциллирует как зт(гЛп2). Поэтому с каждым следующим уровнем значение 5 и тем самым аргумента К-функций в (15) при 2 = 0 будут сдвигаться к нулю таким образом, чтобы каждая из спинорных компонент приобрела на один нуль больше и четность уровня изменилась. Поведение верхних спинорных компонент А{г) для первых трех уровней на полуоси 2 > 0 для д=1 показано на рис. 2. Необходимость выбора такого большого (в физическом смысле) значения константы связи обусловлена тем, что только при таких значениях д знакопеременность ВФ в окрестности нуля становится заметной на фоне гладкого экспоненциального убывания. А поскольку в течение всей эволюции уровня от со — 1 до с1 = — 1 его четность и число нулей не меняется, то число нулей уровня на пороге отрицательного континуума однозначно определяет четность и число нулей его прообраза — нижнего дискретного уровня на интервале тг/2д по X вплоть до достижения этим уровнем порогового значения с 1.

Рис. 2. Поведение на пороге отрицательного континуума верхних спинорных компонент А(г) на полуоси 2 > 0 для первых трех уровней — 1-го и 2-го четного (пунктир) и 1-го нечетного (сплошная линия) при д= 1

Следует специально отметить, что такая периодичность дискретного спектра по параметру обрезания является чисто релятивистским эффектом, который отсутствует в аналогичной шрёдингеровской задаче, когда при ¿-+0 в отрицательную бесконечность опускается только нижний четный уровень. Релятивистскую природу этого эффекта легко показать, восстановив в (14) в явном виде зависимость от исходных размерных параметров в константе связи д, а именно

д = е^г/йс.

(16)

так что (квази)периодичность спектра по 5 приобретает следующий вид:

Поскольку е~х не имеет степенного разложения по \/х при х -¥ оо, из (17) непосредственно следует, что в рамках квазирелятивистского разложения уравнения Дирака такая мультипликативная (квази)периодичность спектра по параметру обрезания не проявляется ни в каком конечном порядке разложения по 1/с, а возникает как чисто непертурбативный релятивистский эффект. Более детально эти свойства одномерного атома водорода рассмотрены в работе [14].

2. Трехмерная аналогия эффекта квазипериодичности

Такая квазипериодичность спектра дираковской частицы по параметру обрезания в регуляризованном кулоновском потенциале (3) не есть исключительно свойство одного пространственного измерения. На самом деле почти аналогичная картина будет иметь место и в двух и в трех пространственных измерениях для таких значений заряда, когда при снятии регуляризации дираковский гамильтониан становится несамосопряженным.

В качестве примера рассмотрим связанные состояния частицы в кулоновском потенциале, обрезанном простейшим образом:

У(г) = —Za.lv, v>5; У(г) = ~га/5, v^5, (18)

для случая трех пространственных измерений при д = Za > / + 1/2, где / — полный момент частицы. Действуя в полной аналогии с одномерной задачей по методу Фробениуса, представим радиальные функции /, (г) и gj(v) дираковской ВФ для частицы с полным моментом / (в стандартном представлении матриц Дирака, когда верхний и нижний спиноры дираковской ВФ содержат шаровые спиноры различной четности) в следующем виде.

При V > 5

//(Г) = [уТ+7 (хд/дх ± (/+1/2)) х

х Ие [Ал'/к'Ф(Ь,с,л')] ,

ё1 (г) = (хд/дх Т (/+1/2)) ^д^ДЩ х

х Ие [Ал'/к'Ф(Ь,с,л')] ,

(19)

где знаки ± соответствуют решениям УД различной четности (^1),=р1/2 верхнего спинора, опущен общий множитель,

1/2)2,

7= — с2. К;=\/42 и'-/-;. (20) Ь = /к/ — ед/7, с = 1 + 2/к/, х = 2^v,

и А, как и ранее, — фазовый коэффициент, который определяется из условия регулярности решений при г-4оо, аналогичному соотношению (9).

При V ^ 5 решения уравнения Дирака с четностью верхнего спинора (^1)'^1/2 имеют вид

5 5ехр[—тгйсМег].

(17)

//(Г) = ^Щг)/у/?, Я!(г) = Вй, 1 {£Г)/У/?,

1 1е + д/5- 1 A¡ > 2 У с + ¿г/5 +1 / + 1'

(21а)

а с противоположной четностью (^1)/+1/2

№) = CjJj+\{£r)j y/r, g,(г) = ЩЩг)!Ф,

e + q/S+l Dj

(21b)

e + q/6-lj+l'

В (21) при этом £ = у/(е + q/5)2 - 1.

Сшивая внутреннее и внешнее решения при г = 5, получим трансцендентное уравнение на спектр, которое в общем случае выглядит достаточно громоздко. Но как и в одномерном случае, при 5<С 1 и q = Za >/+1/2, что для связанных состояний с |е| < 1 предполагает |е±1| <С q/5, оно может быть существенно упрощено за счет свойств функций Куммера. Окончательный результат после ряда алгебраических преобразований имеет вид

ь

уДТе (гк/ - (/ + 1/2)) - qy/mj +

+ 2(/ + 1) -е (¿к/ + (/ + 1/2)) + qVl+e] }х х jcrj у/ТТе (iKj + (/ + 1/2)) + qyj 1 - ej +

_j

+ 2(/ + 1) [vT^i (iKj - (/ + 1/2)) - qy/ТЩ } =

2г Г(с*)Г00

(22a)

Г(с)Г(й*)'

при четности верхнего спинора (—1 )-'^1/2 и |(J/ VI (iKj - (/ + 1/2)) + qyj 1 +ej +

- 2(/ + 1) [vT+i (/к,- + (/ + 1/2)) - }

x {07 VI (iKj + (/ + 1/2)) - qy/TTe] -

_j

- 2(/ + 1) [vTTi (/К/ - (/ + 1/2)) + j- =

= 4275p'r(C*)r(è)

четности,

Г(с)Г(й*)

при этом

(22b)

с;

при противоположной

Из (22) непосредственно следует, что в области значений зарядов Za >/ + 1/2 и малых 5<С 1 кулоновские уровни энергии связанных состояний в трехмерном случае, так же как и в одномерном, при фиксированном / будут периодическими функциями параметра X = - 1п 5 с периодом

77 = тг/^2^(/+1/2)2. (23)

На уровне общих свойств УД это еще одна манифестация несамосопряженности нерегуляризованной задачи при таких зарядах, поскольку периодичность спектра по X означает отсутствие регулярного предела при 5-¥ 0, и, как и в одномерном случае, этот эффект снова является существенно релятивистским.

Заключение

В заключение отметим, что такая (квази)периодич-ность по параметру обрезания однозначно показывает, что для регуляризованного одномерного уравнения Дирака с «кулоновским» потенциалом (3) при снятии

обрезания предельного спектра не существует для всех значений константы связи q. В то же время при сколь угодно малом 5> 0 такое УД будет иметь вполне содержательный набор дискретных уровней, ничем принципиально не отличающийся от той картины, которая будет наблюдаться при «физических» значениях 5 ~ 1. Качественная разница между этими двумя случаями будет проявляться на уровне структуры волновых функций, прежде всего числа их нулей. Нижним состоянием дискретного спектра при 5 < exp(-ir/2q) оказывается уровень с несколькими узлами и четностью любого знака. Подчеркнем, что аналогичным свойством будет обладать кулоновская спектральная задача и при большем числе пространственных измерений. Такая периодичность релятивистских кулоновских спектров по параметру обрезания до сих пор, насколько известно авторам, не была описана в литературе и, видимо, не имеет близкого аналога среди других задач квантовой механики.

Детальное обсуждение физического содержания такого свойства УД в регуляризованном кулоновском потенциале представляется преждевременным. В КЭД при значениях 5, когда самый нижний (четный без узлов в одномерном случае или lS1/2 в трехмерном случае) дискретный уровень достигает порога нижнего континуума, с неизбежностью должны начать проявляться эффекты поляризации электрон-позитронного вакуума. Наиболее известный эффект такого типа (в качестве обзора см. [15]), предсказывает спонтанное рождение электрон-позитронных пар и перестройку вакуума при заряде ядра Z > 170 (последняя оценка Z > 173 [16]). Но имеющиеся к настоящему времени экспериментальные данные, прежде всего по физике тяжелых ионов, не позволяют пока сделать однозначное заключение о наличии такого эффекта [17]. Кроме того, вакуумные средние, в терминах которых описывается поляризация вакуума в квантовой теории поля, всегда содержат неоднозначность, связанную с перенормировкой возникающих при их вычислении расходимостей. Поэтому, как специально подчеркивалось в работе [10], одноча-стичная кулоновская задача для УД может иметь смысл и при достижении нижним уровнем порога отрицательного континуума.

Авторы выражают глубокую благодарность профессору А. В. Борисову и другим участникам семинара кафедры теоретической физики физического факультета МГУ за интерес к работе и полезные обсуждения.

Список литературы

1. Elliott R.J., Loudon R. // J. Phys. Chem. Solids. 1960. 15.

P. 196.

2. Dykman M.I., Platzman P.M., Seddighrad P. // Phys.

Rev. B. 2003. 67. P. 55402.

3. Carbon Nanotubes. Advanced Topics in the Synthesis,

Structure, Properties and Applications // Springer Sériés

«Topics in Applies Physics». Berlin; Heidelberg, 2008.

4. Nieto M.M. // Phys. Rev. A. 2000. 61. P. 034901.

5. Jensen R.V., Susskind S.M., Sanders M.M. // Phys. Rep.

1991. 201. P. 1.

6. Либерман M.A., ЙоханссонБ. //УФН. 1995. 165. С. 121.

7. de Oliveira C.R., Verri A.A. // Ann. Phys. 2009. 324.

P. 251.

8. de Oliveira C.R. // Phys. Lett. A. 2010. 374. P. 2805.

9. Newton R.G. // J. Phys. A: Math. Gen. 1984. 27. P. 4717.

10. Воронов Б.Л., Гитман Д.Т., Тютин И.В. // ТМФ. 2007. 150. С. 41.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Т. 3. М., 1974.

12. Крайнов В.П. // ЖЭТФ. 1973. 64. С. 800.

13. Славянов С., Лай В. Специальные функции. Единая теория, основанная на анализе особенностей. СПб., 2002.

14. Свешников К.А., Хомовский Д.И. // Письма ЭЧАЯ. 2012. 9. С. 793.

15. Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. // Вакум-ные квантовые эффекты в сильных полях. М., 1988.

16. Reinhardt L, Greiner W. Quantum Electrodynamics. 3rd ed. Berlin, 2003.

17. Greiner W. // Adv. Quant. Chem. 2008. 53. P. 99.

Dirac particle in one-dimensional «hydrogen atom» K.A. Sveshnikov, D.I. Khomovsky"

Department of Quantum Theory and High Energy Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: a khomovskij@physics.msu.ru.

Specific features of the dependence of stationary levels of the Dirac particle in the regularized Coulomb potential V/j(z) = —q/(\z\ + 8) on the cutoff parameter J are studied in the case of 1 + 1 D. It is shown, that for J 1 the energy spectrum of such one-dimensional «hydrogen atom» turns out to be quasi-periodic in and this effect depends nonanalytically on the coupling constant q and shares no nonrelativistic analogue. Such property of the Dirac spectral problem demonstrates explicitly the existence of physically quite reasonable energy spectrum for any small ¿>0, and simultaneously the absence of regular limit ¿н>0. So the need of self-adjoint redefinition for the Dirac-Coulomb problem without regularization is confirmed for any q in 1 + 1 D. Similar features are shown to be valid in the three-dimensional Coulomb problem for the region q = Za > 1, where the Dirac Hamiltonian without regularization requires self-adjoint extension.

Keywords: relativistic effects, Dirac equation, regularized Coulomb potential, one-dimensional hydrogen atom. PACS: 31.30.Jv. Received 14 January 2012.

English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2012).

Сведения об авторах

1. Свешников Константин Алексеевич — докт. физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-26-96, e-mail: costa@bog.msu.ru.

2. Хомовский Дмитрий Игоревич — аспирант; тел.: (495) 939-26-96, e-mail: khomovskij@physics.msu.ru.