Эффекты нарушения СРТ- и лоренц-инвариантности в водородоподобных атомах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12.01

ЭФФЕКТЫ НАРУШЕНИЯ СРТ- И ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТИ В ВОДОРОДОПОДОБНЫХ АТОМАХ

В. Ч. Жуковский, О. Г. Харланов

(.кафедра теоретической физики) E-mail: zhukovsk@phys.msu.ru

В настоящей работе исследуется приближенное решение уравнения Диража для элежтрона в центральном потенциале, в частности в потенциале Кулона, в случае нарушения лоренц-инвариантности. Выведено жвазирелятивистсжое приближение для уравнения Диража во внешнем поле. Получена асимметрия диаграммы направленности спонтанного излучения для поляризованного атома водорода.

Введение

Стандартная модель на сегодняшний день имеет множество экспериментальных подтверждений. Однако она не включает в себя квантовое описание гравитационного взаимодействия. Методы квантования, принятые в стандартной модели, не позволяют произвести непротиворечивое квантование ОТО — полученная теория оказывается неперенормируемой. Поэтому остается открытым вопрос о том, какая теория описывает физику на планковских масштабах, где существенными становятся эффекты квантовой гравитации. В то же время существуют кандидаты на роль такой теории, удовлетворяющие принципу соответствия по отношению как к ОТО, так и к стандартной модели, например теория суперструн.

Планковские энергии пока экспериментально недостижимы, поэтому для исследования таких теорий при низких энергиях была разработана расширенная стандартная модель (SME) — эффективная теория, формулируемая в виде набора поправок к стандартной модели, ограниченного «естественными» требованиями [1, 2], такими, как локальная SU(3)c х SU(2)[ х t/(l)y калибровочная инвариантность, унитарность, перенормируемость, сохранение энергии-импульса и т. п. Каждая поправка включает в себя (пеевдо)тензорную константу (SME-конетан-ту), свернутую с полями из стандартной модели и их производными. Наличие ненулевых значений SME-конетант в вакууме приводит к нарушению лоренц-инвариантности и СРТ-четности.

Недавно было показано [3-6], что фундаментальные теории за рамками стандартной модели допускают спонтанное нарушение лоренц-инвариантности, приводя к одному из вариантов SME. Поэтому исследование SME является опосредованным исследованием этих фундаментальных теорий.

Весьма перспективным является изучение следов нарушения СРТ-четности и лоренц-инвариантности в атомах, которое может приводить, например, к на-

рушению пространственной четности. Это явление имеет место и в рамках стандартной модели, где его вызывает слабое взаимодействие [7-11]. В результате становятся возможными такие эффекты, как резонансный дихроизм газа, разрешение ранее запрещенных атомных переходов и т.д. Похожие эффекты естественно ожидать и в рамках SME.

Тем не менее до сих пор исследования атома в основном касались спектроскопических предсказаний с использованием теории возмущений по SME-поправкам [12-15]. Прямое решение задачи о собственных состояниях атома позволило бы исследовать также его радиационные свойства. В настоящей работе производится приближенное решение этой задачи и в качестве примера рассматривается эффект асимметрии диаграммы направленности спонтанного излучения поляризованного атома водорода.

1. Используемая модель

Мы будем работать в рамках расширенной электродинамики электронов и фотонов с лагранжианом

С = + 'Ф (iy^ -те- Ь^75) Ф, (1)

D^dp + ieA^x), (2)

где е, те — заряд и масса электрона, х^ = {ct,r}, а — СРТ-нечетный постоянный псевдовектор. Современные оценки для b^ для электрона имеют вид [13, 15, 16]

| Ь0 | < 1СГ2эВ, (3)

|6|<1(Г19эВ, (4)

а для нуклонов оценки b^ строже на несколько порядков. Будем использовать одночастичное приближение для электрона, т.е. релятивистскую квантовую механику. Из лагранжиана (1) можно получить гамильтониан электрона во внешнем поле

H{t) = а ■ Р + (Зте + eA0(r, t) + b0Ъ + Ь-Е, (5)

где Р = р — еА(г,1). Введем оператор Р -четности в епинорном представлении

р£(г,0 =7°£(-г,0, (6)

тогда Р t = Р, Р^Р = Р2 = 1. Гамильтониан (5) коммутирует с этим оператором, когда Л0(г,0 = Л0(-г,0, А(Г, 0 = -А(-г, о и 60 = 0.

Например, константа &о нарушает Р -четность гамильтониана (5) в центрально-симметричном поле № = {ф(г),0}, в частности в кулоновском поле ядра

Ф(г) =

ге

4-717"'

(7)

Зарядовое сопряжение гамильтониана (5) приводит лишь к замене знака заряда е на противоположный, поэтому атомы водорода и антиводорода обладают эквивалентной динамикой даже при Ь^ф 0. В силу сказанного выше основной наш интерес касается исследования новых свойств атома водорода, обусловленных &о Ф 0 •

2. Квазирелятивистское приближение в уравнении Дирака при 6/( / О

В этом разделе мы будем разлагать уравнение Дирака в ряд по 1/с до второго порядка малости, поэтому запишем гамильтониан в единицах СГС, где константа с не равна единице:

Й = са ■ Р + /Зтес2 + еА0 + сЬ0ъ + Ь - И, (8)

а Р = р — -сА{г,1). Как видим, &о выбран имеющим размерность импульса. Это сделано для того, чтобы вклады в Н'ф, содержащие Ьо и Ь, были одного порядка по 1 /с. Рассмотрим нестационарное уравнение Дирака в нестационарном внешнем поле А^(х):

Л——— = Н-ф{г, о, фЦг, Щ{г, 0 ¿Зг = 1.

(9) (10)

Наш вывод будет аналогичен представленному в [17, §33]. Для начала примем энергию покоя тес2 за нуль энергии, сделав унитарное преобразование

■ф = ехр

(11)

Тогда получается система уравнений на спиноры и и V.

X сА сА Л — 2тРс2 I \ V

= 0,

(12)

д

Л = сг -Р-Ь0, Л = еАо + а ■ Ь — Ш—. (13)

от

Будем считать, что электрон находится в положительно-частотном состоянии, а внешние поля доета-

д

точно слабы, так что Р= 0(с°), Ш—— еАп = 0(с°)

от

при действии на и,и. Тогда вторая строка (12) дает \ (. А \ ; . _ , 4.

2тРс

1

2тРс2

Аи + 0(1/с

(14)

Введем двухкомпонентный спинор Ф(х) € С2 , чтобы сохранить норму:

А2 \

Ф(х)

■ф^фсРг =

1

8 т2с2

0(1/с3

(15)

(16)

При этом, вообще говоря, «плотность вероятности» ФЧ> отличается от ф^ф на слагаемое порядка 1/с2, представляющее собой полную дивергенциею, что является следствием наличия отрицательно-чаетот-ных состояний (так называемых 21йегЬе\уе§ип§).

Выражая теперь и и о через Ф с использованием (14) и (15), запишем верхнюю строку (12):

О = Аи + сАи = < А

х

0(1/^). (17)

Записывая это уравнение сначала в 1/с-приближении, выразим АФ через Аф и подставим результат обратно в (17), тогда получится уравнение Дирака в 1/с2-приближении при Ь^ф 0:

А

2/иР

1

А2

1

Ат2с2

8т2 с2

[[А, А], А] | Ф =

= 0(1/с3). (18)

Коммутатор [[А, А], А] не содержит оператора д/д1, так что в последнем уравнении производная по времени содержится только в первом слагаемом. Это позволяет записать квазирелятивистский гамильтониан

<9Ф ^ Ш-— = /гФ, д1

/г =

П

72

п

72

ей

2 тР

Ат2с2

ей

Ат2с2

а ¡ЕР]

2тес ей2

(19)

иН + <тЬ + еА0 -и\Р\ЬР11

8т2с2

П'2

п

Р -

-2 Ь2 Ь0а.

■:Р2 + Ь1

2Ь0а ■ Р,

2т2 с2 ' (20)

(21)

(22)

Этот гамильтониан эрмитов, а соответствующее уравнение локально калибровочно-инвариантно.

В 1 /с-приближении получается уравнение Паули, позволяющее найти выражение для тока и плотности вероятности

дФР * Ш^г— = НрФр,

дг

п

2т,

тР

ей 2тРс

<тН + еАп + <тЬ,

(23)

(24)

$ =

сФпФр, (Ф^РФр) + (РФр)Чр г 2тР \ г

т,

■ФрСгФр

(25)

т.е. к току вероятности при Ь/х = 0 появляется добавка, зависящая от спина. Полученные результаты совпадают в своих частных случаях с изложенными в [18] и [19]. В первой публикации методом Фолди-Вутхаузена был получен нерелятивистский гамильтониан для свободного электрона с учетом всевозможных ЭМЕ-поправок в фермионном секторе. Во второй исследовалось 1/с-приближение во внешнем поле.

3. Водородоподобный атом.

Квазирелятивистский подход

Рассмотрим сначала гамильтониан Паули в линейном приближении по Ь^:

кр =

(Р-

)<Х

еАп

ей

2те 2тес

Совершим унитарное преобразование: Фр Фр = ОрФр,

йр -л йр = ОркрОр =

иН+иЬ. (26)

2тР

(27)

еА0- (1Н+а-Ь, (28)

ей

2тРс

(Т + (ЛА, цА

еЬ0 тес"

[<гг\,

0р = ехр

НИ'

(29)

(30)

Как видим, появилась добавка к оператору магнитного момента электрона, приводящая к появлению у электронной оболочки анапольного магнитного момента [7]. Более подробно обсудим этот вопрос ниже.

Пусть А^ = {ф(г),0} и 6 = {0,0,63}, где ф(г) -потенциал ядра. Тогда получаются собственные состояния и спектр невозмущенного гамильтониана:

($'Р)п1т,тЛГ) = Кп1(г)У1М1(г/г)хт; (31)

(Фр)п1т1тЛг) = Л„/(г)Г/,т/(г/г)( 1 + Ш0а ■ г/П)хт;

(32)

(33)

Еп1т = £{п1 + 2&з т8,

где п = 1,2,3,...; / = 0,«— 1; /и/ = —/,/; т8 = ±1/2] хт5 — собственные векторы оператора

г-спина. Здесь /?„/(г) и Е^ — радиальные части волновых функций и энергия при Ьо = 0. Таким образом, в ведущем порядке влияние 6 сводится к расщеплению величиной < 10^4 Гц по спиновому квантовому числу. Поэтому далее мы рассмотрим 1/с2-приближение для невозмущенного гамильтониана в кулоновском поле в линейном приближении по Ь^ = {сЬ$,0}. В этом случае унитарное преобразование сводит задачу к задаче при Ьо = 0:

й =

(Р

)(Т)

2 тР

1

(Р

)(Т)

ге2

4/п§с2 ге2й2 / а-1

к=ит\Ьо=0и

(г) = Rn.il (>-)| у\т (г./г)

X 1

£ = £(0) =

Ха2тес2

Хе1 2тес2г

г2«2

Щг/г) 1

п \]+\/2

(36)

_3_

4 п

(37)

где ж= (— I)-~ = ^ 1 при / = /± 1/2, а /' = 2/ — /. В итоге решение при Ьо=£0 представлено явно через решение при Ьо = 0. В нерелятивистском пределе

Яд//(г)

•Дп/(г) =

2г3/2 /сП

I

га2 3/2 у („ + /),

(38)

где р = 21г1пс1(), а^ = Т^1тее2 радиус.

первый боровский

4. Разложение уравнения Дирака по &о

Рассмотрим теперь случай № = {&°,0} и № = = {Л^(х) + ф(г), Л^(х)}, используя систему единиц Хэвисайда: й = с = 1, а = . Зададимся гамильтонианом (5) и преобразуем соответствующее уравнение Дирака с помощью калибровочно-инва-риантного унитарного преобразования:

8

8

Н - I— В - I— = ( я - I— 1 е{Ь°АА:

т

т

д

т

те

Ь = \гР] =-\Рг\.

(39)

(40)

(41)

Будем использовать квадратичное приближение по &о> тогда

Н и а(р - еЛ(е)) + ¡Зте + е(ф ■

Че))

т.

-Ь° - dAE^ - ¿iAH(е) + я/| [АЩ, (42)

где содержит слагаемые второго поряд-

ка по &о 80 взаимодействии с внешним полем, а / = Е1 + 1. Добавочные электрический и магнитный моменты имеют вид

те

А • - 1еЬ0 г 1

"Л = = —— 17П

Па

(43)

(44)

Как видим, в первом порядке по &о отсутствуют нелинейные по полям слагаемые. Кроме того, момент ¿4 взаимодействует только с внешним электрическим полем, поскольку для центрального поля ядра йА • (— V ф) = 0. Аналогичное имеет место во всех порядках по &о > так как [Дд> Ф(г)] = 0. По этой же причине вид операторов йА и (лА не зависит от поля ф(г), в частности, они формально имеют тот же вид для свободного электрона. Тем не менее наш подход применим только для систем с размерами, много меньшими \/Ьо> 10^3 см.

Пусть А^ = 0, тогда в центральном потенциале собственные функции можно выбрать в виде

(45)

где пг = п — / — 1/2 — радиальное квантовое число. Как обычно, квантовое число / определяет четность состояния Р = (— 1)г. На таких функциях оператор /7° = / = •*-('/ + 1/2), тогда получается спектр энергии

_ р _ Р(о)

Е=Е=Е.

т»

для / = /± 1/2, при этом радиальные множители имеют тот же вид, что и при &о = 0. В среднем по любому состоянию (45) операторы йА и (лА равны нулю, поэтому они не дают поправки к энергии в слабых внешних электрическом и магнитном полях. Как видим, возникло дополнительное расщепление по орбитальному квантовому числу

АЕф = £„г,/+1/2,; - ЕПпМ/2,; = (2/ + 1Д. (47)

При / = 1/2 Д£(/) < 105Гц, что на четыре порядка меньше лэмбовского сдвига, однако в отличие от последнего, существующего в основном для я-состояний, расщепление (47) даже растет с увеличением /.

Совершая обратное преобразование, получаем волновые функции собственных состояний в исходном представлении:

4>nrijm(r) = e "о

- o^lflln

\е-ьу/ 2

X

(R(u)Y¡m + b0x (-LR(v) - гД(иЛ Y}'\

jm i jm

KR^YL + bi-- ,-,m

\ mr ' 1

(48)

.гт,„и, -Д<и> + гД<°> 1Я \ 1 \те

Из-за примеси шаровых спиноров с другим значением орбитального момента нарушается четность состояний, однако «плотность вероятности» ф^ф остается неизменной. Для кулоновского поля при Ьо = 0 спектр и радиальные функции известны [17, §36] (мы выпишем только дискретный спектр):

Л12

1 + 1 1 I , (49)

^п] — те

7 + пг

= ±

(2А)3/2 f(me±E^)T(27+nr+l)nr\

1/2

Г (27+I) ^

_пг)>

Zam,

ZotMt

)

А

LUr (2Ar)±

±{\-8Пга)й^Л2\г)\, (50)

nr

А:

7(0)2 "nr¡ '

7= у/(/+ 1/2)2 _(Za)2. (51)

Таким образом, при Ьо=£0 в кулоновском поле снимается «случайное» вырождение по квантовому числу / даже без учета радиационных поправок к закону Кулона.

б. Излучение атома водорода. Асимметрия диаграммы направленности

В последнем разделе мы приведем пример линейного по &о радиационного эффекта, появляющегося в случае ЬофО. Рассмотрим при Ь^ = {сЬ$,0} излучение атома водорода (2=1) в приближении Паули. Сделаем унитарное преобразование (28), тогда единственным членом, содержащим Ьо, останется — (.1д-Н. Используя вторично-квантованное выражение для поля фотонов А в кулоновской калибровке, получим угловое распределение вероятности излучения [20, §9]

о;3

vji__

dílk

2vrfic3

(X)*(k)-mfi(k) (Nx(k) + 1),

(52)

k\ = ui/c = (Ei-E¡)/tic> 0, A =1,2; (53) k

te

m = er ■

(k ■ r)r ■

k

X /i

(54)

где к, А — импульс и поляризация фотона, е^ — вектор поляризации фотона, Ы\(к) — число фотонов в моде {&,А}, {/| и 11} — конечное и начальное

состояния электрона, а оператор магнитного момента (i определяется формулой (29). Далее будем считать N\(k) = 0, т.е. рассматривать спонтанное излучение.

Излучение, связанное с нарушением четности (далее — А\-излучение), имеет такие же правила отбора, как для £1-излучения, но соответствующий матричный элемент перехода имеет вид, как у М1 -излучения. Поэтому А\- и £1-фотоны обладают одинаковой мультипольностью, но разной четностью. Линейные по bo поправки к угловому распределению обусловлены интерференцией этих двух типов излучения. После интегрирования по сфере эти вклады исчезают из-за свертки волновых функций фотонов с разной четностью. Это означает, что отсутствуют линейные по bo вклады в полную вероятность излучения.

Интерференционное слагаемое не обращается в нуль, например, для перехода 2p\/2f\/2~* 1^1/2,-1/2 (в нижнем индексе — полный момент / и его г-проекция т). Расчеты показывают, что после суммирования по А = 1,2 получается следующее распределение вероятности излучения по сфере (0 — угол между k и осью z):

dW 512a3R Г 2 ^ 8Ь0

17Г= аса 1 i 1 + cos 9 + ~ cos 9 f- (55)

dilk 65Ы7Г [ mec )

где R = и 2.07 • 1016 с-1 — постоянная

Ридберга. Как видим, относительная величина нарушения ¿-четности распределения имеет порядок \Ьо\/тес <2 ■ . Распределение (55) изображено на рисунке сплошной кривой, в то время как пунктиром изображено распределение при Ьо = 0. Для наглядности взято Ьо/тес = 0.05.

Угловое распределение спонтанного излучения для перехода 2/з,/2,i/2 1 «1/2,-1/2

Распределение вероятности для неполяризован-ных атомов получается после усреднения вероятностей переходов по квантовым числам m,m'. Это распределение является сферически-симметричным (а значит, ¿-четным), вследствие ненарушенной при ЬофО 50(3)-инвариантности. Следовательно, линейные по bo слагаемые, являющиеся ¿-нечетными, отсутствуют в усредненном распределении вероятности. Обсуждение методов создания поляризованных атомных состояний мы оставим за рамками нашего рассмотрения, ограничившись лишь демонстрацией нового механизма нарушения Я-четности в атомных переходах.

Заключение

Итак, мы получили 1/с2-приближение к уравнению Дирака с SME-поправкой Ы'. С помощью разложения релятивистского уравнения Дирака по bo исследована задача на собственные состояния электрона в центральном потенциале, решения которой выражены через их вид при &о = 0, в ^-приближении. В кулоновском потенциале решения найдены явно. В этом случае возникает квадратичное по bo расщепление по квантовому числу /, не исчезающее при больших /. С помощью унитарного преобразования получены также &о"попРавки к операторам электрического и магнитного диполь-ного момента электрона, приводящие к появлению у электронной оболочки «анапольного>> момента [7]. Наконец, продемонстрировано нарушение центральной симметрии диаграммы направленности спонтанного излучения поляризованного атома водорода, обусловленное нарушением четности из-за наличия ненулевого Öq.

Литература

1. Colladay D., Kosteleckij V.A. // Phys. Rev. 1998. D58. P. 1160Ö2; hep-ph/9809521.

2. Bluhm R. // hep-ph/0506054.

3. Kosteleckij V.A., Samuel S. // Phys. Rev. 1989. D40. P. 1886.

4. Andrianov A.A., Soldati R., Sorbo R. // Phys. Rev. 1999. D59. P. 025002.

5. Field G.B., Carroll S.M. // Phys. Rev. 2000. D62. P. 103008.

6. Shapiro I.L. // Phys. Rept. 2002. 357. P. 113; hep-th/0103093.

7. Зельдович Я.Б. // ЖЭТФ. 1957. 33. С. 1531.

8. Curtis Michel F., // Phys. Rev. 1965. 138В. P. 408.

9. Bouchiat M.A., Bouchiat C.C. // Phys. Lett. 1974. 48B. P. 111.

10. Новиков В.H., Хриплович И.Б. // Письма в ЖЭТФ 1975. 22, № 3. С. 162.

11. Хриплович И.Б. // УФН 1988. 155, № 2. С. 325.

12. Russell N.E. // hep-ph/9904482.

13. Bluhm R., Kostelecky V.A., Russell N. // hep-ph/9810327; hep-ph/0003223; hep-ph/9810269.

14. Bluhm R., Kostelecky V.A. 11 Phys. Rev. Lett. 2000. 84. P. 1381.

15. Bluhm R. U hep-ph/0006033.

16. Coleman S., Glashow S.L. 11 Phys. Rev. 1999. D59. P. 116008; hep-ph/9812418.

17. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 4. Квантовая электродинамика. М., 1989.

18. Kostelecky V.A., Lane C.D. 11 J. Math. Phys. 1999. 40. P. 6245; hep-ph/9909542.

19. Ferreira Jr. M.M., Moucherek F.M.O. // J. Math. Phys. 1999. 40. P. 6245; hep-ph/9909542.

20. Соколов A.A., Тернов И.М., Жуковский Б.Ч. Квантовая механика. М., 1979.

Поступила в редакцию 27.12.06