Одно-, двух- и трёхфотонные переходы между 2s-, 2p- и 1s-уровнями для атомов водорода антиводорода во внешнем электрическом поле и без него Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 539.18

Д. А. Соловьёв, Л. Н. Лабзовский, В. Ф. Шарипов

ОДНО-, ДВУХ- И ТРЁХФОТОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ 2в-, 2р- И ^-УРОВНЯМИ ДЛЯ АТОМОВ ВОДОРОДА И АНТИВОДОРОДА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ И БЕЗ НЕГО*

Введение. Экспериментальные достижения в сфере синтеза атомов антиводорода [1, 2] делают возможным сравнение спектров атомов водорода (Н) и антиводорода (Н). Одной из целей такого сравнения является проверка СРТ-инвариантности [3]. Проверка СРТ-инвариантности связана с современными сверхточными измерениями резонансной частоты в атоме водорода [4, 5].

Также важным аспектом исследуемых нами вероятностей излучения нерелятивистских водородоподобных атомов может служить тот факт, что в астрофизике процессы «отрыва излучения от вещества» объясняются на основе двухфотонных переходов [6]. Процессы, которые приводят к отделению излучения от вещества, можно рассматривать для атома водорода, так как ранняя Вселенная, являющаяся одним из объектов изучения астрофизики, была заселена в основном лёгкими атомами, а на начальном этапе - атомами водорода.

В наших работах [7, 8] был рассмотрен круг вопросов, связанных с вероятностями двухфотонных переходов в атоме водорода и водородоподобных ионах. Вероятности двухфотонных Е1Е2 и Е1М1 переходов были сосчитаны впервые. Для расчёта были использованы различные формы и различные калибровки [9]. Значения вероятностей были получены с помощью кулоновской функции Грина [10], а соответствующие числа сравнивались со значениями релятивистского расчёта. Последнее время двухфотонные переходы приобретают важный смысл в задачах, связанных со спектроскопией атомов. Так, самый точный эксперимент, устанавливающий новые стандарты измерений, связан с двухфотонным переходом в атоме водорода [4, 5]. Распад электронного уровня энергии в атоме происходит во внешнем электрическом поле, в которое возбуждённый атом попадает с задержкой во времени.

Процесс однофотонного излучения 2в-электронного уровня в атоме водорода впервые был описан в работах [11-13]. В нашей работе [14] мы использовали такой процесс для сравнения спектроскопических свойств атомов водорода и антиводорода. В частности, мы показали, что разность между вероятностями однофотонного распада 2в ^ у + 1в для Н- и Н-атомов в слабом внешнем электрическом поле может достигать 20 % при напряжённости поля 10~4 В/см. В таком поле значения вероятностей достигают порядка 10~6 с-1. Измерение такого эффекта является проверкой фундаментальных законов современной физики, таких как СРТ-инвариантность. Любые отклонения от представленного в [14] результата могли бы определить порядок эффектов несохранения СРТ-симметрии с помощью экспериментального сравнения атомов водорода и антиводорода во внешнем электрическом поле.

* Работа поддержана грантом некоммерческого фонда «Династия» и грантом РФФИ № 05-02-17483.

© Д. А. Соловьёв, Л. Н. Лабзовский, В. Ф. Шарипов, 2009

В данной работе мы вновь опишем процесс однофотонного излучения во внешнем электрическом поле, а также исследуем процессы двухфотонного излучения атомов Н и Н во внешнем электрическом поле, как ещё более тонкий эффект по поиску нарушений СРТ-теоремы. Кроме того, в работе [15] была сосчитана радиационная поправка к вероятности двухфотонного распада уровня 2в в атоме водорода. Мы покажем, что во внешнем электрическом поле у вероятности двухфотонного распада электронного уровня 2в появляется добавка, которая сравнима с радиацинной поправкой уже при достаточно малых полях \ВГ \ « 90 В/см. Величина поля порядка Вг часто используется в спектроскопических экспериментах. Для полноты картины мы также вычислим величну вероятности трёхфотонного излучения уровня 2р в атоме водорода.

Вероятность однофотонного распада уровня 2в в атомах Н и Н во внешнем электрическом поле. В отсутствии внешнего электрического поля вероятность однофотонного распада описывается в рамках квантовой электродинамики элементом й'-матрицы:

5Л,Л = ^5 I ^хуА,(х)ё^е-^-^уА(х), (1)

где k - волновой вектор фотона, ю = \к\ - частота фотона, е(х)* - 4-вектор поляризации фотона, уа(х) - дираковские волновые функции электрона в атоме, у^ - матрицы Дирака, е - заряд электрона, индексы А, А соответствуют конечному и начальному электронным состояниям. Формула (1) написана в релятивистских единицах Н = с = 1, которыми мы будем пользоваться и в дальнейшем.

Интегрируя по времени в выражении (1), определяя стандартынм образом амплитуду, вероятность однофотонного изучения в приближении Паули может быть записана в виде [16]:

2 г

где

АЛ'Л(к е) = ([(ер) + іе[к х §]]е~*кг) А'А, (3)

юлл' = Ел — Ел' - частота перехода, Ел', Ел - энергии атомных уровней А и А, соответственно; £ = —іV - нерелятивистский оператор импульса, § = а/2 - оператор спина электрона и о - матрицы Паули. Скобки (.. .)л'л означают, что матричный элемент вычисляется с использованием нерелятивистских волновых функций атома. Первое слагаемое в матричном элементе (3), описывающее вылет фотона Е1, исчезает в случае А = 1в, А = 2в, второе слагаемое соответствует переходу М1. Так как радиальные части волновых функций у2я и ортогональны, вероятность распада М1 не равна нулю только из-за множителя е-гкг и релятивистских поправок к шрё-дингеровским волновым функциям. Для электрона в атоме выполняются соотношения \г\ ^ ао = 1/maZ (ао - боровский радиус, т - масса электрона, а « 1/137 - постоянная тонкой структуры), ю « m(аZ)2 и кг « а. Таким образом, можно оставить первое ненулевое (дипольное) слагаемое в разложении е-гкг, так как оно даёт вклад того же порядка, что и релятивистские поправки к волновым функциям.

Волновые функции нулевого приближения (нерелятивистские), входящие в матричный элемент в формуле (3), выглядят как

= Уиз1т (г) ^ Сзга (т1 тз)^и1 (г)^Ш; Хш3: (4)

ш1шв

где используется стандартный набор квантовых чисел: главное квантовое число п, полный момент электрона ] и его проекция т, орбитальный момент электрона I и его проекция Ш1, проекция спина тв; С1Шш2 (1т) - коэффициент Клебша-Гордана, Ки1 - радиальная часть волновой функции, а УШн - стандартная сферическая функция. Для электронных состояний 2в и 1в амплитуда перехода (3) сводится [16] к

А2вшв 1зш'з = —гк2{тз\е[к, а]\т'5)П28 и, (5)

СЮ

&2в 15 = J &2в (г)Яи (г)г4с!г,

0

где \тв) - спиновые функции, Й2я(г), Й1я(г) - радиальные части нерелятивистских волновых функций. Подставляя выражение (5) в формулу (3), суммируем по т'в и усредняем по тв. При суммировании по поляризациям используется соотношение полноты

р*к = ^2ек = — у^к ■ (6) е

Окончательный ответ для вероятности однофотонного распада 2в-уровня в атоме водорода и водородоподобных ионах равна

= 9^2 т<а2)1° = 2’8 ' 10_6 с_1- (7)

Вероятность распада 2в атомного уровня во внешнем электрическом поле была сосчитана в [11-13]. Поле D смешивает состояния 2в1/2 и 2р1/2. Полностью эти состояния смешиваются при рс \ = Вс = 475 В/см [17]. Ниже мы будем рассматривать электрические поля с гораздо меньшей напряжённостью (В ^ Вс). В этом случае можно пренебречь примесью всех состояний, кроме 2р-у/2. Основное состояние 1в предполагается невозмущённым внешним электрическим полем. Смешанные уровни 2в^2 и 2р/ будем обозначать как 2 в 1/2 и 2^1/2, соответственно. Для состояния 2в1/2 можно написать [12]:

|2в1/2 т8) = |2 81/2т3) + ц^{2р1/2т8\е(Вг)\2з1/2т'')\2р1/2т8), (8)

ш" в

где п = (АЕ^ + */2Г2р)-1; АЕ^ - вещественная часть лэмбовского сдвига 2в — 2р;

Г2р - ширина уровня 2р1/2. Соответствующая амплитуда перехода (5) с учётом при-

сутствия внешнего электрического поля равна

АТзтв18т'(к’е) = + г\^2(2зтМ&г)\2рт")А%рт,,ит,Б(к,е), (9)

ш'3'

включая невозмущённую амплитуду перехода

А2рш" 1зш'в (к е) = *т“28 Ь {2Р1/2т5 \ (ег) \1$1/2тв ) ■ (10)

Прямое вычисление интеграла (10) даёт \р

2рі/2тз 1зт‘

і,,^, (к, е) = 3*ШЮ28(_1)9еч''

где ед - сферические компоненты вектора е и </ = —д. Точно так же получаем {28т8\е^г)\2р ! 12т"а) = 3 ^( — 1)д' Вч

(12)

ч'

Конечный результат вычислений выглядит как

Г 2р

— 4- 3е^У^____________

8л 2^ + 8л АЕ1 + {Т%

./тд/Сії) ТД/О) I V Ш281 8Ш2рі/2 1 « +

+

3 е2 ГО

22

(1 у)

8л АЕ\ + ±Г2р 2р1/2Ь

йу. (13)

Выражение (13) уже было получено ранее в работах [11-13].

Формальная Т-нечётность скалярного произведения ^у) в выражении (13) (V и D - Т -нечётный и Т-чётный векторы, соответственно) комппенисируется зависимостью соответствующего слагаемого от ширины Г2Р. Такая имитация нарушения Т-инвариантности в нестабильных системах впервые была предсказана Зельдовичем [18]. Перепишем формулу (13) в виде

= ЯГ,

1 т Р(£)

(Ру)

|В| ]

где

Ш = 4- 3 е2|Р|2 ттл(1у)

0 8л: 28 ь 8л АЕ2г + 2?1/2181

(14)

(15)

Р(Я) = |eD|

(1ї^/(1ї)

2я 1в 2рі/21я

Ж^І(АЕІ + \ТІр)+еіОт^

(16)

/2 1Я

Знаки ^ в формуле (14) соответствуют атому водорода (—) и атому антиводорода (+). Поэтому функция Р(^) определяет разницу между атомами Н и Н в вероятности перехода 2в — 1в во внешнем электрическом поле. Максимальное значение этой величины как функции напряжённости поля Р(^) достигается [11] при

^тах і і д

|е|

Соответствующее значение в

вт;

ш(1у) / 1

уу2в 1я / д р2 , 1 р2

^у{ЛЕь + -г2р Ш2р 18 у

= в(^тах) равно

1 г 2р

2 ^АЕІ + \ТІр

0,3 • 10~4 В/см.

1

20'

(17)

(18)

Относительная разность между вероятностями однофотонного перехода 2s —1s в атомах H и H во внешнем электрическом поле Dmax равна

AWS% Wo(£o)2|3(£max)cos(Dv) 1 ^ ,1п^

----тт^— = --- -- — п ^ ----- --- = ~ cos(Dv); (19)

<*с:, &<!<!■> 5

таким образом, только в очень слабых полях (17) эта разница близка к 20 % и может быть обнаружена в экспериментах типа [5].

Вероятности двухфотонного распада уровня 2р для атома водорода и водородоподобных ионов. Процесс двухфотонного излучения с переходом из состояния A в A' без внешнего электрического поля описывается элементом S'-матрицы

s(A'A = (—'*)2е2/ d4xid4Х2 (va' (xi)y^A*(xi)S(xiX2)yvA* (x2)va(x2)) , (20)

где S(Х1Х2) - это электронный пропагатор, определяемый выражением

СЮ

S(xix2) = — [ d^e^-^У ^ХЛ)ЫХ2) , (21)

v у 2т J ^ Еп{1 -i0) + a)i’ v ’

— ОО

суммирование проводится по всему дираковскому спектру электрона в поле ядра, уп(х) - электронная волновая функция, Еп - энергия электрона п-го состояния. Функция Ак’к(х), х = (г,£) - это волновая функция фотона, характеризуемая волновым вектором к и вектором поляризации е^:

К’\х) = ^е^кг-м). (22)

Поперечные фотоны будут описываться функцией

А(ж) = /¥ ее^кг-“‘) = У^Ае,к(г)е-^. (23)

Интегрируя по времени и частоте элемент ^-матрицы (20), мы получим для амплитуды вероятности двухфотонного излучения выражение

U

(2Y) A' A

2jte2 у. (аАе к)А'п(«Ае, к,)„А (24)

еп _ еа _|_ ю/

'ИИ'

Учитывая dk = ю2^уйю и интегрируя по ю, вероятность двухфотонного излучения может быть представлена в виде

dW%y}(w\ v, V, е, е') = е4 Ш'{Еа ~ ~ т>) У —

A AV ’ ’ ’ ’ ' 0^3 Z_^ ОА л

(2л)3 ^ 2jA + 1

4 ' mm.''

2

dvdv'dm1. (25)

(аА-е,к)А'п(иАе, к/)п^4 (аАе, к/)А'п(«Ае к)пА

Еп — Еа + ю' Еп — Еа + ю

Суммирование по п означает суммирование по набору квантовых чисел промежуточного состояния п]п1птп. Также включены суммирование по проекциям углового

момента конечного состояния А' и усреднение по проекциям углового момента начального состояния А. В приближении Паули матричный элемент (аА^ к)л'п должен быть заменен формулой (3), а волновая функция может быть использована в виде (4).

В приближении Паули мы должны учесть два члена разложения экспоненты для оператора излучения

АЛЛ(ке)

^[Я, (е*г)] + ^-[Я, (е*г)(кг)] + ^(е’[кх([гх р] +2в)])

(26)

Первый член в этом выражении представляет собой оператор электрического дипольного момента излучённого фотона, второй есть электрический квадрупольный момент, а последний представляет магнитный дипольный момент испущенного фотона.

Вероятность двухфотонного Е1Е1 излучения 2в-уровня в атоме водорода достаточно изучена (наиболее точное значение было получено недавно в [15]), и мы не приводим здесь соответствующего расчёта.

Вычислим вероятность двухфотонного Е1Е2 распада в атоме водорода. Вероятность этого процесса, с учётом того, что гамильтониан Я в (26) действует на собственные функции, стоящие в обкладках, может быть записана в виде

^ЛЕЛЕ2)м = е4

Е

1

ш

'£

4<2”>3 2« +1

(е*т)л'п((е'* г)(у'г))пЛ

+ шЕ

Еп — Ел + ш'

(е/*г)А'п((е*г)(уг))»А Еп — Еа + со

+ ш

((е*г)(уг))л' п((е'* г))пЛ

Еп — Ел + ш'

+

+ш

т-

((е'* г)(\'г))л'п((е*г))пЛ

Еп — Ел + ш

ЗуЗу'Зш', (27)

где для краткости использовано обозначение ю = Еа — Еа> — ю'.

Для суммирования по поляризациям и интегрирования по направлениям вылетевших фотонов мы применяем формулы:

J Зууі = J 3\УіУкУі = °> У Ьік,

! Зу\і\^к\і = -^(д.уби + ЬікЬ^і + ЬцЬ^к).

(28)

Для расчёта матричного элемента квадрупольного момента фотона в выражении (27) удобно воспользоваться равенством

1^(0, ф)У12тЖ Ф) = Е ^21\фЬ+2Г) ^ СЬ02тс'^(т1 т2)Уьм(0, ф). (29)

Следовательно,

(е*г)(уг) = Е (-1Г+Р2<:721-м(Р1Р2)е;^г,2Г2У2м(0г,Фг).

(30)

Р1 ,Р2,М

В этом случае интегрирование по углам производится стандартным образом по формулам [19]. Наконец, суммируя по проекциям всех угловых моментов в выражении (27), для двухфотонного Е1Е2 распада уровня 2р мы получаем

А

п

/Ч 3

сш/ЧшЧ

х

х

2

V) = [^£|(ее-

/М2

'2р-ь ^ > - (2л)35232 / е7е, ЦСеЛ Х

X [ю/2[/1(ю/)+/2(ю)]2 + Ш2[/1(ю) + /2 (ю')]2] , (31)

где 11 (ю), /2(ю) определены следующим образом:

СЮ СЮ

/1(0) = -^= у* / д^Ел -со;гьг2) (32)

о о

СЮ СЮ

/2(со) = -^=у* I (1гг <1г2г\г2е~Г1~^ д2{ЕА-щгъг2) . (33)

оо

Функция §1(Еа — ю; Г1,Г2) означает кулоновскую функцию Грина ([10], применение к двухфотонному распаду Е1Е2 в [8]). Функция Грина для водородоподобных систем может быть представлена в виде разложения по полиномам Лагерра:

, „ 42/4 Л' / г + г'\^ , ,

!»("■ -• > = Т ) ехр ) £ (21 + 1 + ,,)!(„. + ; + 1 - V)’ (34)

где V = Z|\J-2E.

В итоге, после интегрирования по радиальным переменным и частоте, для вероятности 2р ^ у(Е1) + у(Е2) + 1в перехода получаем

Юо

"» = 5/= и889в■ Ю"(“2)8 а е = 6’61197 10" с“ <г-ц (35)

о

с обозначением Юо = Е2Р — Е^. В формуле (35) мы приводим зависимость от Z (заряд ядра). Полученный значение находится в хорошом соответствии с релятивистским расчётом [7], а относительное отклонение результатов составляет около 0,1 %.

Расчёт Е1М1 излучения для (2р/ ^ 1в1/2 + 2у)-перехода может быть проведён аналогичным способом. Выражение для вероятности распада 2р1/2-уровня может быть записано, в соответствии с формулой (26), в виде

= е4—--------- V

АА 4(2»^А + 1т^

/ \ ’ (е*г)А'п (е'* [У' X (1 + 28]])пА 2.^ е. _ г, I (1)/ +

Еп — Еа + ю'

/ (е*[у X (1 + 2в]])а,п (е/*г)„4 /^ (е'*г)а'„ (е* [V X (1 + 2в]])„а

+ 0)0) -------------------- ------------н 0)0) > -----------------—--------- ”л 4Е. - Е, + Ю'-----------------------------Е. - ^ + Ю

Еп — Еа + ю' Еп — Еа + ю

2

dvdv/dю/, (36)

+ ыы/ (е'* [у/ х + 2й]])а'п (е*г)„А(ек)

Еп — Еа + ю

где 1 = [г X р].

Итогом вычислений является

= 4 (3/8 - 0),)0)/ ((3/8 - О)')2 + О)'2) Жо', (37)

383

и

^2ЕД« = Ц ^2ЕЛ« = а- е- = 9>6769 •10-6 С_1 (г = !)• (38)

о

Таким образом, мы расчитали вероятности двухфотонных переходов Е1Е2 и Е1М1 для процесса распада уровня 2р в атоме водорода. Расчёты, в отличие от [8], проведены в другом наборе квантовых чисел, т. е. когда излучённый фотон характеризуется волновым вектором и вектором поляризации. Результаты находятся в хорошем соответствии с релятивистским расчётом [7] и расчётом [8] (отличие составляет не более 0,1 %). Данный метод вычислений может быть легко обобщён на случай, когда атом находится во внешнем электрическом поле, и необходим учёт направлений вылета фотона и направления поля

Двухфотонный распад 2в- и 2р-уровней водородоподобных атомов во внешнем электрическом поле. В этой части нашей работы мы рассматриваем процесс двухфотонного (2в — 1в)-перехода во внешнем электрическом поле. За счёт внешнего поля уровни энергии 2в и 2р в атоме водорода становятся смешанными. Такое смешивание приводит к дополнительным двухфотонным распадам Е1Е2 и Е1М1 кроме «чистого» доминирующего перехода Е1Е1. Как было показано в предыдущей главе, вероятности переходов Е1Е2 и Е1М1 имеют порядок величины (aZ)8, что в (aZ)2 раз меньше, чем для распада Е1Е1. Однако быстрое увеличение точности спектроскопических экспериментов требует учёта следующих по порядку величины теоретических расчётов. Следовательно, двухфотонные распады Е1Е2 и Е1М1 следует учесть как поправки к излучению Е1Е1. Более того, мы покажем, что во внешнем электрическом поле появляются линейные по полю члены. Эти интерференционные слагаемые всего лишь в aZ раз меньше «чистого» перехода Е1Е1. Кроме того следует отметить, что в большинстве, если не во всех спектроскопических экспериментах, используют внешнее электрическое поле [4, 5], следовательно, требуется анализ двухфотонного распада во внешнем электрическом поле.

Для того чтобы вычислить двухфотонную вероятность перехода 2ві/2 —> 1ві/2 + 2у во внешнем электрическом поле (2в обозначает 2в-уровень атома водорода или антиводорода во внешнем поле), мы должны вернуться к формуле (25) и использовать разложение (26). Смешивание 2в- и 2р-уровней описывается формулой (8). Тогда вероятность двухфотонного излучения можно записать в виде

Д2у),

^^4'”а(ю/’ V, е, е’) =

е4ю/ю 1

(2л)3 4-^ 2І" + 1

Ц/Ц//

\ - (Ьі/2,и/|Ар(е, к)|п)(п|Ар(е/,к/)|251/2,м-//)

2-^ Еп — Еа + со'

+ £ і1~''/2’"'ИР‘е'Ек'№д”+І(е,к)|2~’1/2,І‘"> - <-*.") х

п п П №

2

(1«1/2, ^/|^Р(е/, к/)\п){и\Л¥(е, к)|2рі/2, ц)

Еп — Е а + ю

3\\/3ю/, (39)

где Ар(е, к) определяется из (26). Подстановка разложения (26) для Ар(е, к) приводит к тому, что первое и третье слагаемые в выражении (39) соответствуют двухфотонному

х

переходу Е1Е1 2в!/2-УРОвня атомного электрона. Другие члены в (39) представляют примесь амплитуд вероятностей двухфотонного распада 2р-уровня Е1Е2 и Е1М1, описанных выше выражениями (27) и (36). Для суммирования по промежуточным состояниям удобно вновь воспользоваться методом кулоновской функции Грина.

Все вычисления проводятся стандартным образом, мы их не приводим для краткости. Окончательный ответ может быть представлен в виде зависимости вероятсноти двухфотонного излучения от направлений вылета фотонов V, у' и внешнего поля D:

<Ш7

(2У)

2в —

^уу'

= 0,00131822(а^)ь - —

0,000230135

Г

2 р

П

3

А Е\ + \Т\р

[(eDv) + (eDv/)] х

х (1 + (уу')2) (аг)7 - —

0,0000340919

2 Р

Л'

3

Д££ + |Г2р

[(eDv) + (eDv/)] (1 + (уу')) (aZ)7 +

0,00175091

ДВ2

1 г2

4 2 р

(аZ)8, (40)

где использованы прежние обозначения.

Первый член в этом выражении представляет собой вероятность перехода Е1Е1 с уровня 2в. Второй и третий есть интерференция вероятностей двухфотонных переходов смешанных 2в- и 2р-уровней (второе слагаемое относится к переходу Е1Е1-Е1Е2, а третье - к переходу Е1Е1-Е1М1). Последнее слагаемое относится к сумме двухфотонных вероятностей излучения Е1Е2 и Е1М1.

Выражение (40) можно переписать в виде

<Ш7

(2У)

2в —

^уу'

= Ж

1 ± 1М^|

(Бу) + (Бу')

I. Р|

(1 + (уу') ) ±

|D| ]

± Р2(Р|)

Я2у)

(Бу) + (Бу')

I. Р| |D| ]

(1 + (уу'))

(41)

где Ж0 = Ж2(^ + Ж2(ре2Б2/(ДЕ£ +Г2р/4), W2(p - сумма вероятностей переходов Е1Е2 и Е1М1:

в1(Б)

Р2(Б)

0,000230135(а^)7 |еБ|Г2р Ща! 0,0000340919(aZ)7 ^|Г2р

1Г2 ’ 4 2 р

ДВ\

Ж0п3

Максимумы функций Р1 и Р2 легко вычисляются и равны

!Г2 ’

4 2 р

(42)

-^тя.х — I I

|е|\

Ж

(2у)

2s

Ж

(2У)

2р

А Е1 + \ЦР

±0,000018 а. е. « ±57 кВ/ем.

(43)

Знаки ( —) и (+) в (41) относятся к атомам НиН, соответственно.

Максимальное значение вероятности перехода получается в виде

(2У)

2в —

йуйу'

Жо(Бтах)

1 ± 0,00024397

(Бу) + (Бу')

|D^ |D|

(1 + (уу')2) ±

2

2

е

±0,00003614

(Бу) + (Бу')

(1 + (уу/))

(44)

Интегрирование по направлениям вылета фотонов V и у' приведет к значению для вероятности двухфотонного Е1Е1 распада уровня 2з, так как интерференционные слагаемые обращаются в нуль (28). Таким образом, полная вероятность -перехода

равна

=««да™*) = <ад + д^+1^г

’(2^)р2 п2

’’2^ е т•

х2з

« 3,98116 • 10-16 а. е. « 16,4585 с-1, (45)

т. е. в два раза больше результата с нулевым внешним полем 8,229 с-1.

В принципе, зависимость вероятности перехода от внешнего поля в (45) может быть рассмотрена как поправка, которая не исчезает после интегрирования по направлениям вылета фотонов. Если обратиться к радиационной поправке, вычисленной в [15], то легко увидеть, что эта поправка 5Г2я/Г2я = —2,020536а/я(а^)21п [(аZ)~2] = — 2,4594-10~6 соответствует величине электрического поля |_Ог| « -Стах у/6Г2Я/Г2Я ~ 2,8 • 10~8 « « 90 В/см. Такие поля зачастую используются в спектроскопических экспериментах, и, следовательно, рассмотренный нами эффект должен быть учтён. Следует отметить, что интерференция присутствует в дифференциальной вероятности перехода (41) и линейно зависит от внешнего электрического поля Б. Линейные по полю в1(|Б|)-и Р2(|Б|) -члены в (41) достигают уровня радиационной поправки при величинах электрического поля того же порядка.

За счёт линейных по полю членов возникает относительная разница вероятностей распадов для атомов водорода и антиводорода. Так для Бтах она равна

_

——-------= 2р1(£»тах)(со8(Бу) + со8(Бу'))(1 + со82(уу')) +

’о(^тах)йУЙУ/

+ 2Р2(^тах)(е08(Бу)+С08(Бу/))(1 + С08(УУ/)) =

= (со8(Бу)+со8(Бу/))(0,000280111 +0,00024397 со82(уу/) + 0,0000361414со8(уу/)).

Это отношение достигает 0,028 % и представляет собой достаточно тонкий эффект отличия спектроскопических свойств материи и антиматерии даже для полей порядка

^тах.

Для полноты картины мы приведем результаты расчётов вероятности двухфотонного распада для процесса 2р>1/2 —> 1в1/2 + 2у. Вычисления проводятся полностью аналогично с предыдущими для процесса 2в1/2 1в1/2+2у- Теперь лишь нужно использовать

следующую волновую функцию:

1^1/2, Ц") = №1/2, V") - лЕ(2в1/2^//|е(Е)г)|2р1/2^)|251/2,Ц//)- (46)

ц

В этом случае вероятность двухфотонного излучения без внешнего поля определяется суммой Е1Е2 и Е1М1 вероятностей распадов, а интерференционные члены остаются прежними, как в (41). Результат может быть представлен в виде

dw?\

2p, Is

dvdv/

Wo

1 Т PlCjDj

(Dv) + (Dv')

L IDI

(1 + (vv/)2) Т

IDI

Т P2(IDI)

(Dv) + (Dv')

IDI IDI

(1 + (vv/))

(47)

где Же = W{2E1ES 2) + 1 + 9е2Б21Е1 /(ДВ\ + Г;2р/4), а функции р! (Б), р2 (Б)

определены формулами (42).

Далее, максимумы вх (или р2) достигаются для значения электрического поля

|Бтах| - |е^

W

(2Y)

2 р

9W

(2Y)

1

АЕ\ + -Г%р ) « 7,1 • 1(Г11 а. е. « 0,23 В/см.

(48)

В выражении (48) W2(p^Y) = wg1^ + W2(pE1“1}.

После интегрирования по v and v/ останется член квадратичный по полю, представляющий собой поправку к вероятности двухфотонного перехода 2p — 1s:

= W

(E1E2)

2p, ls

+ w

qe2 d2 W(E1E1)

(E1M1) max 2s, ls

2p, ls

+

AEl

Г2р/4

: 4,09 • 10-22 а. е. « 1,69 • 10-5 c-1. (49)

Наконец, знаки (+) и (—) в выражении (47) относятся к атомам водорода Н и антиводорода Н. Относительная разность вероятностей излучения для Н- и Н-атомов и величины поля Бтах равна

AdW^}

2p,ls

2pl(Dmax)(cos(Dv) + cos(Dv/))(1 +cos2(vv/)) +

Wе(Бmax)dvdv/

+ 2Р2(Бтах)(с08^)+С08фУ))(1 + СОБ^)) =

= (С08^)+С08^/ ))(0,0111629 + 0,0097226со82(^/) + 0,00144029со8(^/)). (50)

Таким образом, различие двухфотонного распада 2р-уровня в атомах водорода и антиводорода составляет около 1 %. Однако непосредственное наблюдение этого эффекта сильно затруднено за счёт сильного фона однофотонного излучения 2р ^ 1в + у.

Вероятность трёхфотонного излучения уровня 2р для атома водорода и водородоподобных ионов. В этом пункте мы представлям расчёт вероятности распада Е1Е1Е1 уровня 2р в атоме водорода и водородоподобных ионах. Параметрическая оценка этого распада может быть легко получена и равна a(aZ)8 в атомных единицах. Следовательно, можно ожидать, что численное значение вероятности трёхфотонного излучения Е1Е1Е1 будет одного порядка, что и для переходов Е1Е2, Е1М1.

Согласно правилам Фейнмана, элемент ^-матрицы, для процесса излучения «.-фотонов при переходе атома из состояния А в состояние А (А ^ пу + А), может быть записан в виде (в релятивистских единицах):

S

(n)

A'A

(-ie)l ('V A' (xl )A(xl)S(xl ,x2 )A(x2) • ...

■ A(xn-l)S(xn-l,xn)VA(xn)) dxl ... dxn. (5l)

s

Здесь использованы прежние обозначения. Интегрируя по времени и совершая нерелятивистский переход, амплитуда вероятности трёхфотонного излучения в дипольном приближении после суммирования по поляризациям и интегрирования по направлениям вылета фотонов может быть представлена в сферических компонентах выражением

и{х)А(Ч1,Ч2,Ч?,)

у-л ((г1)д1 )а'я2 ((Г2)д2)Я2Я1 ((гз)дз)Я1А {Е32 ~ Еа + ы>1 + ш2)(Е31 — Еа + Юз)

81^2' S2

у-л ((пЫа'^ ((Гз)щ)8281 ((г2)щ)81а у~^ ((г2)д2)А'я2 ((Гз)®)Я1А

(£я2 — Еа + о>1 + шз)(Е31 — Еа + юг) (Е32 — Еа + о>1 + <й2)(Е31 — Еа + юз)

_1_у^ ((г2)щ)а'82 ((Гз)®)8281 ((п)91)в1А _|_у^ ((Гз)дз)А'я2 ((Г1)91)я2я1 ((Г2)щ)Я1А

(£Я2 — + Юг + <йз)(Е31 — Еа + о>1) (Е32 — Еа + о>1 + <йз)(Е31 — Еа + 0)2)

у-^ ((Гз)дз )а'з2 ((Г2)д2)а2Я1 ((Г1 )?1 )Я1А (Е32 — Еа + Юг + Юз)(Е31 — Еа + о>1)

(52)

а соответствующая вероятность трёхфотонного излучения записывается следующим образом:

(1\¥дд, = е924ю|ю| 1 ^Юз 6(Еа> + Ю1 + юг + юз — Еа) х

х Е Е (-1)?1+?2+?з^л(91,92,©)^);(-д1,-®,-©), (53)

т!д, тгА 9192 93

где Ю1, Ю2, ®з - частоты излученных фотонов.

Для суммирования по состояниям промежуточного спектра мы используем метод кулоновской функции Грина [8, 10]. Сферическая компонента вектора может быть записана как гд = и тогда интегрирование по углам не представляет трудностей

[19]. Совершая суммирование по всем проекциям, для перехода 2р ^ 3у(Е1) + 1б (т. е. Еил,1л = д2р, ИиА,ьА, = Й18, 1а = 1, А' = 0) мы получаем

^2(р18 = е9Ш1ю|ю| 3 у Ь(Еи + 0)1 + ю2 +®з - Е2р) [l5^1ol(vь V2)2 +

+ 15^01(^3, ^4)2 + 15^01 (У5, V6)2 + 20^01 (У5, Уб)^21 (VI, У2) + 12^21^1, V2)2 +

+ 20^01^5, V6)F21 (vз, V4) + 4^21^1, V2)F21 (vз, V4) + 12^21^3, V4)2 +

+ 4£21^1, V2)F2l(v5, V6) + 4^21 (vз, V4)F21(V5, V6) + 12^21^5, V6)2 + 10£е>1^3, V4) X х {£01К, V6) + 2^21^1, V2) + 2^1 ^5, V6)} + 10£0>1^1, V2){Fol ^3, V4) + ^01 К, V6) +

+ 2^21 (vз, V4) + 2F2l(v5, V6)}], (54)

где

Ъ,.„ К ь ) = ]]] ^2 *з'М 4*^ .лЛ^т, (V,; п ,^,1 ; г^п^л <Ы,

000

VI = г/\/—2{Еа - 0)1 - 0)2), ^2 = 2!у?—2(Еа - Юз), ^3 = 2)^-2{ЕА - 0)1 - ю3),

v4 = Zj^-2(EA - 0)2), V5 = Zj^-2(EA - 0)2 - ®з), v6 = Zj^-2(EA - 0)1).

После интегрирования по радиальным переменным мы должны проинтегрировать по частотам вылетевших фотонов. Окончательный результат в атомных единицах равен

3/8

3/8—”з

3 / 8—”3 —”2

W

(3)

2p 1s

у"”3 j

0 0

d”2

d№i dWr

(3)

2p 1s

1

3!

3/83/83/8

dW

(3)

2p 1s

000

= 0,263466 • 10~4а(а^)8.

Для 2 = 1 результатом является Ж2(31н = 6,391(1) • 10~8 в-1. Малость этого значения, даже в сравнении с двухфотонными переходами 2р — 1в, показывает, что трёхфотонные переходы на данном этапе не столь существенны для астрофизических задач по изучению эпохи рекомбинации ранней Вселенной.

Заключение. В нашей работе представлены вероятности распада 2з-, 2р-уровней атома водорода и водородоподобных систем с излучением одного, двух и трёх фотонов. Все вычисления были произведены в приближениии Паули. Для расчётов двух-и трёхфотонного распадов использовался метод кулоновской функции Грина.

Мы описали процессы одно- и двухфотонного распада во внешнем электрическом поле. В частности, продемонстрировано появление интерференционных членов, линейно зависящих от внешнего поля, для E1E1- и E1E2-, E1M1-распадов смешанных 2в-и 2р-электронных уровней атома водорода. Важным результатом является отличие спектров ^ и И-атомов во внешнем электричском поле. Так для случая однофотонного распада 2в-уровня отличие значений вероятностей излучения для атомов водорода и антиводорода может достигать 20 %, а в случае двухфотонного распада 1 %.

Также мы сравнили радиационную поправку, рассчитанную ^ D. Jentschura для двухфотонного распада 2в-уровня в атоме водорода, с поправкой, возникающей за счёт внешнего электрического поля, вычислили величину Таблица 1

Результаты вычислений вероятностей одно-, двухэлектрического поля, когда обе

, „ , и трехфотонных излучений

поправки одинаковы, \иг\ ~

« 90 В/см. Такие поля часто используются в спектроскопических экспериментах.

Результаты вычислений вероятностей одно-, двух- и трёхфотонного излучений представлены в табл. 1.

2p -► Is El 3,9 • 10~2ma(aZ)4 I—1■ О GO О 1

2s —»■ Is Ml g^2rna(aZ)10 2,5 • 10~6 c_1

2s -► Is E1E1 1,3 • 10~3ma2(aZ)6 8,229 c-1

2p -► Is E1M1 2,9 • 10~6ma2(aZ)8 9,7 • 10~6 c_1

2p -► Is E1E1E1 2,6 • 10~6ma3(aZ)8 I—1■ О 1 GO О 1

2p -► Is E1E2 1,9 • 10~6ma2(aZ)8 6,6 • 10~6 c_1

Литература

1. Gabrielse G., Bowden V. N. S., Oxley P. et al. Background-free observation of cold antihydrogen with field-ionization analysis of its states // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 213401-(1)-213401-(5); Iidem. // Ibid. P. 233401-(1)-233401-(5).

2. Amorreti M. et al. Production and detection of cold antihydrogen atoms // Nature. 2002. Vol. 419. P. 456-459.

3. Bluhm R., Kostelecky V. A., Russell N. CPT and Lorentz tests in hydrogen and antihydrogen // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 2254-2257.

4. Huber A., Gross B., Weitz M., Hansch T. W. High-resolution spectroscopy of the 1s-2s transition in atomic hydrogen // Phys. Rev. (A). 1999. Vol. 59. P. 1844-1851.

5. Niering M., Holzwarth R., Reichert J. et al. Measurement of the hydrogen 1s-2s transition frequency by phase coherent comparison with a microwave cesium fountain clock // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 5496-5499.

6. Chluba J., Sunyaev R. A. Induced two-photon decay of the 2s level and the rate of cosmological hydrogen recombination // Astron. and Astrophys. 2006. Vol. 446. P. 39-42.

7. Labzowsky L. N., Shonin A. V., Solovyev D. A. QED calculation of E1M1 and E1E2 transition probabilities in one-electron ions with arbitrary nuclear charge // J. Phys. (B). 2005. Vol. 38. P. 265-278.

8. Labzowsky L., Solovyev D., Plunien G., Soff G. Two-photon E1M1 and E1E2 transitions between 2p and 1s levels in hydrogen // Eur. Phys. J. (D). 2006. Vol. 37. P. 335-343.

9. Никитин А. А., Рудзикас З. Б. Основы теории спектров атомов и ионов. М., 1983.

10. Раппопорт Л. П., Зон Б. А., Манаков Н. Л. Теория многофотонных процессов в атомах. М., 1978.

11. Азимов Я. И., Ансельм A. A., Москалёв A. Н., Рындин Р. М. О некоторых эффектах несохранения чётности в излучении водородоподобных атомов // Журн. эксп. теор. физики. 1974. T. 67. C. 17-28.

12. Mohr P. J. E1-M1 Interference in radiative decay of hydrogenlike atoms in an electric field // Phys. Rev. Lett. 1978. Vol. 40. P. 854-856.

13. Hillery M., Mohr P. J. Radiative decay of hydrogenlike atoms in an electric field // Phys. Rev. (A). 1980. Vol. 21. P. 24-33.

14. Соловьёв Д. А., Шарипов В. Ф., Лабзовский Л. Н., Плюниен Г. Вероятности 2s-1s однофотонного излучения для атомов водорода и анти-водорода во внешнем электрическом поле // Опт. и спектроск. 2008. T. 104. C. 567-570.

15. Jenschura U. D. Self-energy correction to the two-photon decay width in hydrogenlike atoms // Phys. Rev. (A). 2004. Vol. 69. P. 052118-(1)-052118-(8).

16. Sucher J. Magnetic dipole transitions in atomic and particle physics: ions and psions // Rep. Prog. Phys. 1978. Vol. 41. P. 1781-1838.

17. Bethe H. A., Salpeter E. E. Quantum mehanics of one- and two-electron atoms. Springer, 1957.

18. Зельдович Я. Б. Дипольный момент нестабильных элементарных частиц // Журн. эксп. теор. физики. 1960. Т. 34. C. 1483.

19. Varshalovich D. A., Moskalev A. N., Khersonskii V. K. Quantum theory of angular momentum. World Scientific, 1988.

Принято к публикации 1 июня 2009 г.