CC BY
23
Радиационные эффекты в квантовой электродинамике с нарушением
лоренц-инвариантности
А. В. Борисовa, Т. Г. Кирильцеваb
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: a [email protected], b [email protected]
Статья поступила 24.08.2016, подписана в печать 01.09.2016.
Вычислены однопетлевые массовый и вершинный (при нулевой передаче импульса) операторы электрона в слабом фоновом поле тензорного типа, нарушающем лоренц-инвариантность. С использованием современных экспериментальных значений массы и заряда электрона получены ограничения на напряженность фонового поля.
Ключевые слова: Стандартная модель, нарушение лоренц-инвариантности, расширение Стандартной модели, фоновое поле, квантовая электродинамика, радиационные эффекты, массовый оператор, вершинный оператор.
УДК: 530.145, 539.124. PACS: 11.30.Cp, 12.20.-m, 12.60.-i.
Введение
Лоренц-инвариантность лежит в основе современной теории фундаментальных взаимодействий — Стандартной модели (СМ) [1, 2], которая прекрасно согласуется с экспериментом [3]. Однако СМ не может решить ряд фундаментальных проблем: иерархия масштабов масс элементарных частиц, существование темной материи и темной энергии и др. Кроме того, СМ не включает гравитационное взаимодействие. Поэтому активно развиваются различные обобщения СМ, некоторые из которых предсказывают нарушение лоренц-инвариантности (НЛИ): теория струн [4], теории на основе некоммутативной геометрии пространства-времени [5], направленные на построение последовательной квантовой теории гравитации. Эффекты НЛИ, по-видимому, могут быть существенными лишь при сверхвысоких энергиях порядка планковской энергии (~ 1019 ГэВ). Для описания НЛИ в области сравнительно низких энергий в настоящее время используется один из вариантов эффективной теории поля [6], называемый расширением Стандартной модели — РСМ (Standard Model Extension — SME) [7-9]. Лагранжиан РСМ представляется в виде суммы лагранжиана СМ и дополнительных слагаемых, каждое из которых — комбинация полей СМ со свободными тензорными индексами (что нарушает лоренц-инвариантность), свернутая с постоянными коэффициентами соответствующей тензорной размерности. Эти коэффициенты рассматриваются как постоянные фоновые поля, с которыми взаимодействуют поля СМ, и могут рассматриваться (в случае спонтанного НЛИ) как вакуумные средние динамических полей, отвечающих новой физике (за пределами СМ).
Мы ограничимся квантовой электродинамикой (КЭД) с НЛИ в фермионном секторе за счет взаи-
модействия электрона с аксиально-векторным и тензорным фоновыми полями. Лагранжиан выбранной модели имеет вид1:
С = £дЕо + £л + £т, (1)
где
СрЕЭ = Ф (ч1*^ - еАр) - ш) ф -
1 1 2 - 4- 2 ^А) (2)
— лагранжиан стандартной КЭД в калибровке Лоренца, ф — электрон-позитронное поле (ш и - е <0 — масса и заряд электрона), А1 и Р'" = д'А" - д,"А1 — 4-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля;
£а = -ф^^ ЬаФ
Lt = -1 фаИ^ф
(3)
(4)
— лагранжианы взаимодействия с 4-векторным Ь1 и тензорным И1" постоянными фоновыми полями соответственно.
Эффекты, обусловленные НЛИ-взаимодействием (3), которое нарушает также фундаментальную симметрию СРТ стандартной квантовой теории поля, были исследованы в ряде работ. В [10] показано, что (3) генерирует слагаемое Черна-Саймонса в действии КЭД, приводящее в свою очередь к двойному лучепреломлению света в вакууме [8, 11]. В работах [12, 13] рассмотрены процессы рождения электрон-позитронной пары фотоном и излучения фотона электроном и позитроном. Синхротронное излучение электрона в постоянном магнитном поле с учетом аномального магнитного момента (АММ) электрона и взаимодействия с фоновым полем (3) изучено в [14]. В работе [15] рассмотрено влияние взаимодействия (3) на излучение водородоподобного
1 Используются система единиц, в которой Н = с = 1, а = е2/4п ~ 1/137, и псевдоевклидова метрика с сигнатурой
(+----); а = —свертка матриц Дирака ^ с 4-вектором а1 = (а0, a); у5 = ¿у°у1у2у3, а1 = ¿[т1, т^]/2.
и
атома. Вершинный оператор для фермиона в одно-петлевом приближении по электромагнитному взаимодействию с учетом НЛИ типа (3) в первом и втором порядках теории возмущений по фоновому полю исследован в [16]. Обобщение известного лагранжиана Гейзенберга-Эйлера [17] (см. также [18]), описывающего поляризацию фермионного вакуума в постоянном внешнем магнитном поле, с учетом АММ электрона и взаимодействия (3) в квадратичном по фоновому полю приближении построено в работе [19].
В настоящей работе мы рассматриваем однопет-левые массовый и вершинный (при нулевой передаче импульса) операторы электрона с учетом НЛИ-взаимодействия с постоянным фоновым полем тензорного типа (4) в первом порядке теории возмущений и получаем ограничения на напряженность указанного поля.
1. Массовый оператор
Однопетлевой массовый оператор электрона с 4-импульсом р представляется в виде интеграла по виртуальному 4-импульсу к (см. [20]):
M(p) = -ie2
d4k (2П)4
iJG(k)YD^(p - k). (5)
Здесь пропагаторы электрона G(k) и фотона Div(q) определяются из (2) и (4):
G(k) = (k - m - 2aaßHaß + io) ~
k + m
k2 - m2 + iO 2 D^v (q) =
1 „ (k + m)aaß(k + m)
+ ^ Haß~
(k2 - m2 + iO)1
(6)
q2 - A2 + iO'
M(1\p) = Haß
Здесь
Taß(k)
d4k _
(2П)4 [(P- k)2 - A2](k2 - m2)2 '
(7)
Taß (k) = Y^(k + m)aaß (k + m)h = 4meaß&vY5Ys К.
Мы использовали ряд тождеств для дираковских матриц из справочника [21] при выводе этого соотношения, подставив которое в (7), получаем
м(1)(р)=н^ х
(2п)4
d4k
kv
[(p - k)2 - A2](k2 - m2)2'
(8)
причем в О(к), учитывая предполагаемую малость эффектов НЛИ, мы учли лишь главный член разложения по фоновому полю, а в (ц) введена малая масса фотона А для устранения инфракрасной расходимости.
Подставим (6) в (5) и произведем стандартную перенормировку в не зависящем от фонового поля слагаемом. В результате получим перенормированный массовый оператор
МК(р) = М<°)(р) + м(1)(р),
где М^(р) — известный перенормированный массовый оператор свободного электрона [20, с. 584, (119.9)], а эффект НЛИ описывается вторым слагаемым:
где введен дуальный тензор Н^ = Нав/2.
Интегрирование по 4-импульсу к в (8) выполняется с использованием параметризации Фейнмана, объединяющей произведение знаменателей в подынтегральном выражении согласно
1 Ли 1 - *
=2 .....
[ax + b(1 - x)]3'
п-мерного интегрирования
Г(г - n/2) inn/2qi
и общей формулы (см., например, [21]):
к1
ип £_к_ _
(к2 - 2£ • ц + М2) Г (г) (М2 - ц2у-п/2'
В результате находим вклад НЛИ в массовый оператор в виде
1 _ **
M(1\p) = - —H^yV п
dx
0
p2xx - m2x - A2x'
_ (9)
где переменная * = 1 — *.
Соответствующая радиационная поправка к массе электрона определяется (см., например, [22]) средним значением массового оператора на массовой оболочке (р2 = т2):
и(р, з)М(1)и(р, з)
Am(1) =
2m
(10)
где и(р,з) — биспинор свободного электрона с 4-импульсом р и 4-вектором поляризации з (з • р = 0, з2 = —1), который удовлетворяет уравнению (р — т)и = 0 и условию нормировки ии = = 2т [20]. Подставив (9) при р2 = т2 в (10) и учтя соотношение [21]
и(р, з)^^5и(р, з) = тз1,
находим
(11)
Am(1)(e) = C (е)
2nm
HiV sIJpv,
где
C (е) =
dx
xx
x2 + e2x
—, е = A/m.
(12)
(13)
Интеграл (13) при е ^ 0 логарифмически расходится, и его асимптотика при е с 1 имеет вид
С(е) 1 — 1п е. (14)
Заметим, что в стандартной КЭД сдвиг массы электрона, обусловленный внешним магнитным полем, не содержит инфракрасной расходимости (ИКР) [22-24]. Учитывая аналогию тензорного фонового поля и внешнего магнитного, можно предположить, что появление ИКР в (12) являет-
a
ся артефактом пертурбативного метода вычисления (см. (6)). Для проверки этого предположения вычислим этим же методом сдвиг массы электрона в линейном по напряженности магнитного поля В приближении.
Пропагатор электрона во внешнем постоянном магнитном поле в координатном представлении может быть записан в виде произведения двух сомножителей, первый из которых — фазовый фактор, зависящий от выбора калибровки 4-потенциала магнитного поля, а второй, будучи калибровочно и трансляционно инвариантным, в импульсном представлении в линейном приближении по В имеет вид [25]
0») = Ж-ШШГ0 + 2 """ Ра»
км + ш
(к2 - ш2 + ¿0)2'
(15)
где в качестве направления магнитного поля выбрана ось Сх, так что к\\ = - 73к3, аа» Ра» = -2гВ7У.
Подставив (15) в (5) и выполнив вычисления, аналогичные вышеприведенным, находим сдвиг массы электрона в слабом магнитном поле:
ДшВ1)(е) = С (е)
4пш2
(16)
ДшВ1)(е) = С(е)^ ^.
В 4п ш
(17)
Правильный результат для сдвига массы электрона [23, 24] получается из (17) удалением ИКР, т.е.
С (е) ^-1.
Представим его в виде
ДшВ = -'аВ.
(18)
(19)
Здесь введен (однопетлевой) АММ электрона, впервые вычисленный в [27]:
а
'а = 2п'В'
где 'в = -/2ш — магнетон Бора, и радиационный сдвиг массы электрона (19) наглядно интерпретируется как минимальная энергия взаимодействия АММ электрона с магнитным полем.
Сделав в (12) замену (18), получаем сдвиг массы электрона в постоянном тензорном фоновом поле в виде
/ , \ ги —
-И^'р". (20)
Дш(1)= а
2пш г
2. Вершинный оператор
Вершинный оператор Л' = Г' - при нулевой передаче импульса связан с массовым оператором тождеством Уорда (см. [20, с. 556]), которое в принятом выше приближении дает для соответствующего линейного по фоновому полю вклада следующее выражение:
Л(')(р, р; 0) = -
дм(1)(р) др' '
(21)
Отсюда с учетом (9) и (11) для поправки к диагональному току перехода получаем
/<•) = и(р, 8)Л(^и(р, з) =
а п
С (е)% + 2В(е) М»
ш
И»„з",
где
В(е) =
ёх
/ хх \ 2
{х^Тёх) •
Асимптотика интеграла (23) при е с 1 такова:
3 п
В(е) = 2 + 21п е + -.
(22)
(23)
(24)
Здесь коэффициент С(е) совпадает с (13), а дуальный тензор магнитного поля В^ = е^»Ра»/2 имеет только две ненулевые компоненты Р03 = -Из0 = В.
В основном состоянии электрона (р0 = ш, р3 = 0) имеем з'р" = -Вшз3 и учтем, что в этом состоянии спин электрона может быть направлен только против магнитного поля [18, 26] (83 = -1). В итоге из (16) получаем
Заметим, что инфракрасная расходимость того же типа (логарифм и полюс) имеется в вершинном операторе, обусловленном НЛИ-взаимодействи-ем (3), которое рассмотрено в [16]. Наличие ИКР лишь отмечено в [16], но мы получили явный вид расходимости, вычислив приведенные в этой работе интегралы, определяющие соответствующие формфакторы (см. (Л1)-(Л3) при д2 = 0).
3. Обсуждение результатов
Рассмотрим фоновое тензорное поле квазимагнитного типа, т.е. И^И> 0, И^И= 0. Тогда существует система отсчета, в которой отличны от нуля (при соответствующей ориентации осей) только компоненты И21 = -И12 = Я03 = -Я30 = И > 0. Для покоящегося в этой системе отсчета электрона, поляризованного вдоль оси Сх, получаем из (20) и (22)
5ш(1) = 5-(1)
Дш(1)
/01)
а И = 2пИ,
2ш
а И п ш'
(25)
(26)
"н
Заметим, что (26), в котором удалены ИКР-сла-гаемые, определяет НЛИ-поправку к зарядовому формфактору электрона [20, § 117], что при нулевой передаче импульса сводится к относительному сдвигу заряда электрона (в стандартной КЭД, конечно, равному нулю).
Относительные верхние ограничения на поле И получаем, требуя, чтобы величины (25) и (26) были
а
-
меньше современных экспериментальных неопределенностей значений (ошибок измерения) массы и заряда электрона 5т и 5в [3] соответственно:
5т(1) < 5т = 1.1 • 10-8 МэВ, (27)
5в(1) < 5в = 2.2 • 10-8 в. (28)
Из (25) и (27) находим ограничение
Н <9.5 • 10-12 ТэВ, (29) а из (26) и (28) — несколько жестче:
Н <4.8 • 10-12 ТэВ. (30)
Заметим, что в прямых экспериментах по поиску НЛИ (см. обзор [28]) достигнуты гораздо более жесткие, чем (29) и (30), ограничения сверху на компоненты Н0к на уровне 10-29 ТэВ (см. обзор [28]). Но, как указано в [29], в некоторых экспериментах возможно усиление чувствительности к эффектам НЛИ за счет лоренц-фактора. Именно это имеет место для рассмотренных нами эффектов в случае поляризованных электронов высоких энергий (см. (20) и (22)).
Заключение
Мы рассмотрели влияние фонового тензорного поля, нарушающего лоренц-инвариантность, на радиационный сдвиг массы электрона и его зарядовый формфактор (при нулевой передаче импульса). В предположении, что в системе покоя поляризованного электрона фоновое поле имеет квазимагнитный характер, были получены ограничения на напряженность этого поля с использованием современных экспериментальных неопределенностей в значениях массы и заряда электрона. Хотя они оказались слабее существующих прямых экспериментальных ограничений, с ростом энергии электрона происходит усиление эффектов НЛИ.
Детальное исследование отмеченных инфракрасных расходимостей будет проведено отдельно с использованием точного по напряженности фонового поля пропагатора электрона.
Авторы благодарят доцентов П. И. Пронина и К. А. Казакова за полезное обсуждение результатов работы.
Список литературы
1. Емельянов В.М. Стандартная модель и ее расширения. М., 2007.
2. Langacker P. The Standard Model and Beyond. Boca Raton, 2010.
3. Olive K.A. et al. (Particle Data Group) // Chin. Phys. C. 2014. 38. P. 090001.
4. Kostelecky V.A., Samuel S. // Phys. Rev. D. 1989. 39. P. 683.
5. Carroll S. M., Harvey J.A., Kostelecky V.A. et al. // Phys. Rev. Lett. 2001. 87. P. 141601.
6. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Foundations. Cambridge, 1995.
7. Colladay D, Kostelecky V.A. // Phys. Rev. D. 1997. 55. P. 6760.
8. Colladay D, Kostelecky V.A. // Phys. Rev. D. 1998. 58. P. 116002.
9. Proc. of the Fifth Meeting on CPT and Lorentz Symmetry / Ed. by V.A. Kostelecky. Singapore, 2011.
10. Jackiw R, Kostelecky V.A. // Phys. Rev. Lett. 1999.
82. P. 3572.
11. Carroll S, Field G, Jackiw R. // Phys. Rev. D. 1990. 41. P. 1231.
12. Zhukovsky V.Ch., Lobanov A.E., Murchikova E.M. // Phys. Rev. D. 2006. 73. P. 065016.
13. Жуковский В.Ч., Лобанов А.Е., Мурчикова Е.М. // Ядерная физика. 2007. 70. С. 1289.
14. Frolov I.E., Zhukovsky V.Ch. // J. Phys. A. 2007. 40. P. 10625.
15. Kharlanov O.G., Zhukovsky V.Ch. // J. Math. Phys. 2007. 48. P. 092302.
16. Moyotl A., Novales-Sanchez H., Toscano J.J., Tutu-ti E.S. // Int. J. Mod. Phys. A. 2014. 29. P. 1450039.
17. Heisenberg W., Euler H. // Z. Phys. 1936. 98. S. 714.
18. Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов А.В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле. М., 1989.
19. Бубнов А.Ф., Губина Н.В., Жуковский В.Ч. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2016. № 2. С. 28.
20. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика. 4-е изд., испр. М., 2002.
21. Borodulin V.I., Rogalyov R.N., Slabospitsky S.R. CORE (Compendium of RElations). Ver. 2.1. IHEP-95-90. Protvino, 1995; arXiv: hep-ph/9507456.
22. Ритус В.И. // Проблемы квантовой электродинамики интенсивного поля (Тр. ФИАН. Т. 168). М., 1986.
C. 52.
23. Тернов И.М., Багров В.Г., Бордовицын В.А., Дорофеев О.Ф. // ЖЭТФ. 1968. 55. С. 2273.
24. Tsai W.-y. // Phys. Rev. D. 1973. 8. P. 3446.
25. Chyi T.-K, Hwang C.-W, Kao W.F. et al. // Phys. Rev.
D. 2000. 62. P. 105014.
26. Соколов А.А., Тернов И.М. Релятивистский электрон. М., 1982.
27. Schwinger J. // Phys. Rev. 1948. 73. P. 416; 1949. 76. P. 790.
28. Kostelecky V.A., Russell N. // Rev. Mod. Phys. 2011.
83. P. 11; arXiv: 0801.0287v9 (26 Feb 2016).
29. Colladay D, Kostelecky V.A. // Phys. Lett. B. 2001. 511. P. 209.
Radiative effects in quantum electrodynamics with Lorentz violation A. V. Borisova, T.G. Kiril'tsevab
Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.
E-mail: a [email protected], b [email protected].
We calculate one-loop mass and vertex (at zero momentum transfer) operators of an electron in a weak background tensor field that violates Lorentz invariance. The upper bounds on the background field strength are obtained using modern experimental values of the electron mass and charge.
Keywords: Standard Model, Lorentz violation, Standard Model Extension, background field, quantum electrodynamics, radiative effects, mass operator, vertex operator. PACS: 11.30.Cp, 12.20.-m, 12.60.-i. Received 24 August 2016.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2017. 72, No. 2. Pp. 182-186.
Сведения об авторах
1. Борисов Анатолий Викторович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].
2. Кирильцева Татьяна Геннадьевна — аспирантка; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].
