Поляризация вакуума в модели дираковских фермионов с аномальным магнитным моментом, взаимодействующих с фоновым аксиально-векторным конденсатом и магнитным полем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Поляризация вакуума в модели дираковских фермионов

с аномальным магнитным моментом, взаимодействующих с фоновым аксиально-векторным конденсатом и магнитным полем

А. Ф. Бубновa, Н. В. Губина, В.Ч. Жуковскийb

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра теоретической физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: a [email protected], b [email protected]

Статья поступила 04.11.2015, подписана в печать 28.12.2015.

Рассматривается поляризация вакууума в модели, учитывающей аномальный магнитный момент (АММ) дираковских фермионов в однородном магнитном поле при наличии дополнительного аксиально-векторного взаимодействия. Вычисляются квадратичные поправки по величине АММ и аксиально-векторного взаимодействия к эффективному лагранжиану модели в различных конфигурациях заданных параметров модели.

Ключевые слова: электрон в магнитном поле, нарушение лоренц-инвариантности, аномальный магнитный момент, эффективный лагранжиан.

УДК: 539.12.01. PACS: 11.30.Cp, 12.60.Cn, 11.10.Ef, 13.40.Em.

Введение

Как известно, из уравнения Дирака следует, что частица, описываемая этим уравнением, должна обладать собственным моментом, т. е. спином, и связанным с ним кинематическим магнитным моментом, равным по абсолютной величине магнетону Бора '0 = 2тс. Однако в рамках квантовой электродинамики (КЭД) уже в низшем порядке по постоянной тонкой структуры а = Н~ возникает аномальный, швингеровский [1] вклад в дираковский магнитный момент:

а

'БоН = 1о(1 + 2П )

Аномальный момент ' = а 'о называют вакуумным магнитным моментом электрона. При этом величина вакуумного магнитного момента, рассчитанная с учетом радиационных поправок, как показано в работе [2], зависит от энергии электрона и напряженности внешнего магнитного поля, однако в области низких энергий и напряженности полей магнитный момент является практически постоянной величиной.

Учет взаимодействия АММ с внешним полем может быть описан феноменологически добавлением в уравнение Дирака слагаемого Паули-Швинге-ра [3] (см. также [4]):

2 ^ Рав,

где а^ = 2 (ГГ - П'), = дА - дА.

Кроме АММ, при описании движения фермиона в магнитном поле может быть учтен еще один дополнительный параметр, характеризующий нарушение лоренц-инвариантности в системе. В стандартной

модели нет механизма, допускающего нарушение лоренц- и СРТ-симметрий. Однако упомянутые нарушения могут присутствовать в более фундаментальных теориях, связанных с высшими размерностями. Так, например, подобные слагаемые могут возникать в теории гравитации и космологии [5, 6], где нарушение симметрий связывается с появлением анизотропии пространства, вызванной наличием некоторого векторного поля, имеющего ненулевое вакуумное среднее, или, как это следует из работы [7], в теории струн, где предполагается, что наш мир расположен на бране, существующей во вселенной более высокого числа измерений. Результирующая теория может быть эффективно описана в рамках расширенной Стандартной модели (БМБ) [8, 9].

В настоящей работе с учетом дополнительного фонового аксиально-векторного взаимодействия фермионов, которое производится путем введения в уравнение Дирака дополнительного СРТ-нечетно-го слагаемого1 вида ф^^'Ъ'ф (где Ъ' — постоянный аксиальный четырехвектор) (см., например, [1о-12]), а также с включением паули-швингеров-ского члена в лагранжиан, вычислен эффективный лагранжиан модели в однопетлевом приближении. Взаимодействие фермионов с внешним магнитным полем с учетом СРТ-нечетного слагаемого подобного вида производилось ранее [13]. Современные экспериментальные оценки на величину компонент вектора Ъ' для электрон-позитронной пары см., например, в работе [14]:

|Ъо| < 10-14 ГэВ, | Ь \< 10-31 ГэВ. (1)

Заметим, что проблема описания динамики фермионов, обладающих аномальным моментом, в последние годы привлекала значительное внимание

1 Подобное слагаемое не влияет на калибровочную инвариантность действия, но меняет дисперсионные соотношения для дираковских спиноров.

(см., например, [15-19]). При этом фоновое взаимодействие, имеющее вид слагаемого Паули-Швинге-ра, может возникать также в рамках БМБ-теории, а также при обсуждении нарушающих четность взаимодействий космических полей с атомами, молекулами и ядрами1 [16]. Заметим также, что члены взаимодействия с аксиально-векторным конденсатом обсуждались в связи с возможными проявлениями индуцируемого фермионами поля кручения [20].

1. Постановка задачи

Рассмотрим фермион (электрон) в постоянном однородном магнитном поле при наличии в лагранжиане модели дополнительного фонового аксиально-векторного взаимодействия вида ф^^Ь^ф с постоянным параметром ЬМ.

В работе остановимся на двух вариантах: че-тырехвектор ЬМ имеет вид (Ь0,0) и (0, Ь) (отличны от нуля только временная и пространственная компоненты соответственно). В последнем случае мы будем считать, что трехмерный вектор Ь ориентирован вдоль (или против) направления вектора напряженности магнитного поля Н. В первом случае мы учтем также конденсат в виде АММ фермиона (который может возникать при рассмотрении космических полей, нарушающих четность взаимодействий [16])

М — к»0, (2)

где к — величина аномального момента, которую, так же, как и величину конденсата в виде четы-рехвектора ЬМ, мы будем считать заданными постоянными модели (в случае вакуумного магнитного момента электрона к = а).

Действие дираковского фермиона (отрицательно заряженного электрона), взаимодействующего с указанными выше конденсатами, имеет следующий вид:

5 =

d4x (С0 + CLB + Cvmm)

(3)

где С — стандартный дираковский лагранжиан

С0 = ф (iiJD, - m) ф; (4)

Llb — часть, отвечающая взаимодействию с аксиально-векторным фоном, нарушающим лоренц-инвариантность теории, а также, как нетрудно убедиться, CPT-четность:

CLB = -ф^^Ьф; (5)

CVMM — часть, феноменологически описывающая взаимодействие АММ дираковской частицы с электромагнитным полем [3]:

"VMM _ ф,(2(

CVMM= аавFap) ф.

(6)

Будем считать, что в нашей модели внешнее постоянное однородное магнитное поле с напряженностью Н ориентировано по оси г: Н = Нег, Н >0, а электрическое поле отсутствует. Действию (3) соответствует модифицированное уравнение Дирака для поля ф

^Ба - т + 2аавРар - 757аЬ^ ф = 0. (7)

Поляризационный оператор (соотвествующий «поперечной» поляризации частицы) задается выражением

П = (т£ + ¿7°75 [£ х Р]) (8)

X = 1 Р = {Л, Р2, Р}.

Рассмотрим возможные частные случаи (всюду ниже: п = 0,1,2,... — главное квантовое число Ландау, ( = ±1 — проекция спина фермиона на направление магнитного поля, е = ±1 — знак энергии).

1. АММ м = 0, аксиальный конденсат2 Ь0 = Ь = 0, Ь = 0 [13, 21-23, 25]:

Е2 = т2 + (^п(р)^/р2 + 2еНп + 2 .

2. АММ м = 0, аксиальный конденсат Ь0 = 0, Ь = 0, Ь = (0,0, Ь), р = Рг [13, 26]:

Е2 = 2еНп + (ут2 + р2 + (Ь) 2 .

3. АММ м = 0, аксиальный конденсат Ь0 = 0, Ь = 0 [13, 26, 27]:

Е2 = р2 + (л/2еНп + т2 + 2 .

4. АММ м = 0, аксиальный конденсат Ь0 = 0, Ь = 0 [13]:

Е2 = т2 + р2 + 2еНп + (»Н)2 + Ь2 ±

± 2у/[т(рН) + Ьр]2 + 2еНп [(»Н)2 + Ь2]. (9)

2. Эффективный лагранжиан

Эффективный лагранжиан можно вычислить на основе метода собственного времени (пятого параметра) [28]

Д£ _

1 eH

4у/П (2п)2

dpE

Ik (10)

1/Л2

где Л — параметр обрезания. Суммирование по квантовым числам проведем с помощью формулы

e-2s(eH)n _ 2

1+2Е

-2s(eH )n

n_ 1

_ 2 cth(eHs).

(11)

1 Небходимо отметить также, что в рамках БМБ рассматривалось влияние СРТ-нечетного взаимодействия на дипольный момент связанных электронов, приводящее к возникновению анапольного момента атомных орбиталей и специфической асимметрии углового распределения излучения водородоподобного атома [19].

2 В работах [21, 25] для описания спектра кварка в случае асимметрии по числу левых и правых кварков в силу

аксиальной аномалии вместо Ь0 применялся киральный химический потенциал »5 •

Здесь первое слагаемое отвечает квантовым числам, соответствующим основному (невырожденному) состоянию п = 0, С = +1 (для е >0)и п = 0, ( = —1 (для е < 0).

Случай 1 (' = 0, Ъ0 = Ъ = 0). Ограничимся приближением малых Ъ. Заметим, что член линейный по Ъ будет отсутствовать в силу нечетности выражения по ( при п = 0, а при п = 0 в силу нечетности по переменной интегрирования р, входящей в этом случае в выражение для энергии в комбинации (р + (Ъ)2 (при фиксированном (). Тогда с точностью

-21 + ДСЪ2 ,

до Ъ2 запишем АС2 в виде АС2 = АС^. + АС™, где

ъ = ен АС21 = 4^ (2п)2

йр X

п.С.е

йз

е-з(т +Р +2еНп)(— зЪ2) =

1/Л2

= 2Ъ2

еН

42П)2

й 3 2

— еШ(еНз) е-зт ,

(12)

1/Л2

а вклад АС22 разложения экспоненты:

ас22 = еН

(2п)2

йз

йр X

п.С.е

х ^ 33/2 е-3(т +2еНп) 2з2Ъ2(р2 + 2еНп). (13)

1/Л2

Пользуясь тем, что

е-з(Р2+2еНп)(р2 + 2еНп) = — д е-з(Р2+2еНп), (14)

дз

и учитывая (11), получим

ДГ Ъ = Ъ2 еН

ДС22 = 2 /о „)2

(2п)2

йз е-

1/Л2

Итак, АС2 примет вид:

1 еН

— еШ(еНз) + —=-

2з зЬ2 еНз\

(15)

АС2 = ДС21 + АС22 = (еН )2Ъ2

(2п)

2

йз

е-

1/Л2

зЬ2 еНз

. (16)

Интегрируя по частям с учетом регуляризации и проведя вычитание, выделим в (16) конечный вклад:

Ъ Ъ2

А£2 = — АС 4п2

—т2еН

йз е-т ( еШ(еНз) — ^ + еНз

+ Л2 — т21п Л

т2

. (17)

Здесь слагаемые, содержащие Л, не зависят от магнитного поля и поглощаются перенормировкой

коэффициента перед Ъ2, так что

Д£Ъ = _22(еН)т2

4п2

йз е-зт2 ( еШ(еНз) — ^ .

еНз

(18)

Предельный случай. В слабом поле еН с т2 с учетом разложения

еш х « К1+3 х2)

после интегрирования по частям получаем

А=

12п2

Ъ2(еН )2

йх е х =

Ъ2(еН )2

т

2 12п2т2 '

(19)

В сильном поле еН ^ т2, переходя к переменной интегрирования х = зт2 и приближенно интегрируя в случае В = еН/т2 > 1

йх е-

(еШ Вх — Вх)

находим

А

Ъ2 еН 4п2 .

(20)

Более точная аппроксимация получается с использованием представления результата через пси-функцию Эйлера [23].

Случай 2 (' = 0, 20 = 0, Ь = (0,0, Ъ), Ъ = 0). Ограничимся приближением малых Ъ с точностью до Ъ2 (линейный член отсутствует в силу нечетности выражения по С). Тогда АС2 можно представить как сумму двух слагаемых: АС2 = ДС21 + АС^, где ДС21 имеет вид, идентичный (12) из случая 1.

Для второго слагаемого запишем:

ДС22 =

еН

(2п)2

йр х

£ й-2 е-з(т +р+2еНп) 2з2Ъ2(р2 + т2).

1/Л2

Используя (14) и результат (11), выполним интегрирование по импульсу и суммирование по квантовым числам, в результате чего получим выражение

(2п)2

АС22 = ^Л2 +(еН)Ъ2

(2п)2

йз е-

еШ еНз -

1/Л2

(еН )2Ъ2

йз е-

1

1/Л2

зЬ2 еНз'

Первое слагаемое не зависит от поля Н и уходит в перенормировку, второе слагаемое в АС2Ъ2 при суммировании АС2 = АС21 + Дс22 взаимно уничтожается с АС21.

1

х

х

2

Окончательно, после интегрирования по частям, регуляризации и переномировки имеем

b _ г,2 (eH)m2

A£b — b

4п2

ds e

(cth(eHs) - ж),

(21)

т. е. результат, отличающийся только знаком от случая 1.

Объединим полученные результаты, для чего введем вектор

вЛ = 2 ^ Ь^,

где в нашем случае отличны от нуля компоненты в0 = £0312Ь3^12 = Ь3Н / = 0),

в3 = е3012Ь0^12 = -Ь0Н (/ = 3), так что квадрат вектора равен

(в)2 = (в0)2 - (в3)2 = (ЬН)2 - (Ь0Н)2.

Запишем в инвариантном виде выражение для общего случая:

A£b = _b2 (eHW

4п2

ds e

(cth(eHs) - H) •

(22)

где Ь = (Ь0,0,0, Ьэ).

Случай 3 (/ = 0, Ь = 0). Считая /Н малым, ограничимся разложением до (/Н)2 в (10) для Д£. Линейный вклад для п = 0 выпадает в силу нечетности по (= ±1 выражения Д£. Тогда как для основного состояния (п = 0) он отличен от нуля, ввиду того что знак (= +1 или (= -1 остается фиксированным независимо от знака энергии е = +1, е = -1.

Рассмотрим сначала слагаемые пропорциональные (/лН)2, где Д£ представим как Д£/Н = Д£^Н + + Д£2Н. Для Д£с,Н находим выражение

AC *H =_—_

21 (2п)2

dp х

ds

£ e-s(m +2eHn) (-s(*H)2) =

= -2(*H )2

1/Л2

; eH

412П)2

d s 2

— cth(eHs) e-sm , (23) s

1/Л2

которое выглядит аналогично AL21 из случаев 1 и 2. Перейдем к AL^H:

A£ =_—_

22 = (2п)2

ds

dp х

х Y1 е +Р +2eHn) 2s2 (*H)2 (m2 + 2eHn).

1/Л2

Используя соотношение (14) и формулу (11), интегрирование в (24) можно выполнить полностью:

Дг /Н = (/Н )2Л2

22 = (2п)2 .

После проведения регуляризации вычитанием итоговое суммарное выражение может быть приведено к виду (см. также [24]):

AL*H — AL2H + AL^H =

(*H )2eH 2(2п)2

ds

+

(*H )2 2(2n)2

(cth(eHs) - ж)

(л2+m2 log mj).

+

(25)

Первое слагаемое сходится, а последнее рассмотрим вместе с вкладом линейного члена:

A£ UH —

eH (*H )m (2n)2

ds

eH (uH )m , Л2

2

1/Л2

(2n)2

m

(26)

Можно записать

m2(*H)2 . Л2 =

2(2n)2 g m2 =

Л2(*Н )2

2(2n)2 В то же время eH (*H )m

4(2n)

4(2n)

2 Л2 (eH )2 log

m2

, Л2

log::2 =

(eH )2Л2М2.

r2(eH )2 log mí.

(2n)2 m2 4(2n)2'

Таким образом, имеющиеся расходимости в эффективном лагранжиане ALuH могут быть устранены за счет перенормировки коэффициента в выражении для АММ.

Случай 4 (* — 0, b0 = b — 0). Для рассмотрения общего случая и учета обоих дополнительных параметров удобно, следуя работе [13], ввести угол смешивания О:

b

О = arctg Uh '

так что

— рН cos О, b — pH sin О, pH = V(*H)2 + b2,

где р — эффективный АММ.

Переход между «старыми» параметрами m, p и «новыми» m, р осуществляется посредством следующих преобразований:

е)=( t) - (

cos О sin О - sin О cos О

cos О - sin О sin О cos О

для которых справедливо соотношение m2 + р2 — = m2 + p2.

2

2

—sm

s

2

e

s

2

К

2

К

К

X

В новых переменных спектр (9) запишется в виде

Е2 = (V т2 + 2еНп + рН С) 2 + Д2.

Учитывая наличие аномалии основного состояния, рассмотрим отдельно случаи п = 0 и п = 0, а АС = АСп=0 + АСп=0.

Пусть п = 0. В разложении эффективного лагранжиана до второго порядка по малому параметру р включительно выражение, линейное по р,

обращается в нуль ввиду нечетности по (, а слагае-

2

мые, пропорциональные р2, можно представить как

Д4=0 = ря )2 g

+ СС

,-m2s ds

1/Л2

sh2(eHs)

1 /~гг\2 еЯ 2 - 2 (р—) (2^ c0s 0

+СС

ds 2

— e-ms cth(eHs) + s

1/Л2

+ ^ (рЯcos2 0

еЯ

+СС

2^'' (2п)2

ч2 еЯ

ds e-m2s +

1/Л2

+ (рЯ)2 m2 cos2 0 (2п)2

e-m s ds cth(eHs) -

1/Л2

еЯ

- (рЯ)2 7е—^m2 cos2 0 (2n)2

e-msds. (27)

1/Л2

Пусть теперь п = 0. Спектр основного состояния, переписанный в эффективных переменных:

E2 = (-m+ря )2+р2.

(28)

Д^2=0 = -1 (рЯ)2 (2—2 cos2 0

+ СС

ds s

+ (рЯ )2

еЯ

(2П)2

1/Л2

+ СС

m2 cos2 0

e-msds, (29)

Д£ =

(еЯ) (рЯ) m (2л)2

cos 0

1/Л2 ds

e

s

(30)

1/Л2

Д£ = - (рЯ)2

еЯ (2л)2

+ СС

ds e m s х

x (m2 sin2 G + 2; cos2 G^ (cth(eHs) - H^) , (31)

где процедура перенормировки проведена аналогично случаю 3.

Заметим, что итоговое выражение корректно переходит в частные случаи (р = 0 и b = 0 или b0 = 0 и р = 0):

G = 0 реализует вариант b = 0, тогда pH = рН

и в этом случае Д£ = Д£рН =

К 2 еЯ = - 2(р—) (2П)2

+ СС

у e-m2s (cth^—s) -

±-V

Яs J

е—s t (32)

0 = п/2 реализует вариант р = 0, тогда рЯ = b0

и в этом случае Д£ = Д£b =

= b2

еЯ

(2П)

+СС

m

ds e

(cth(еЯs) - ж)

(33)

Заключение

После разложения экспоненты в (10) по малому параметру рН и вычисления интеграла по импульсу квадратичный и линейный по рН вклады в эффективный лагранжиан могут быть записаны как

После суммирования слагаемых разложения АС итоговое перенормированное выражение, задающее квадратичный по эффективному АММ рН и параметру, нарушающему лоренц-инвариантность Ъ, вклад в эффективный лагранжиан, имеет вид

В работе получен однопетлевой вклад в эффективное действие в магнитном поле в квадратичном порядке отдельно по параметру Ьр расширенной Стандартной модели, который согласуется с работами [22, 23] и отдельно в квадратичном порядке по величине АММ электрона р. На основе разработанной авторами техники вычислен вклад в эффективное действие в общем случае (одновременно р = 0 и b = 0): учтено как взаимодействия АММ с внешним магнитным полем, так и взаимодействие фермионов с фоновым полем b в квадратичном приближении, во всех порядках по полю H. Полученное выражение в предельных случаях согласуется с частными случаями, рассмотренными в работах [22, 23].

Список литературы

1. Schwinger J. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1954. 40. P. 132.

2. Ternov I.M., Bagrov V.R., Dorofeyev O.F. et al. // J. Phys. A: Math. Gen. 1978. 11. P. 739.

3. Pauli W. // Rev. Mod. Phys. 1941. 13. P. 203.

4. Тернов И.М., Жуковский В.Ч., Борисов А.В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле. М., 1989.

5. Ahmadi F., Jalalzadeh S., Sepangi H.R. // Class. Quantum Grav. 2006. 23. P. 4069.

6. Bertolami O, Carvalho C. // Phys. Rev. D. 2006. 74. P. 084020.

7. Kostelecky V.A., Samuel S. // Phys. Rev. D. 1989. 39. P. 683.

8. Colladay D, Kostelecky V.A. // Phys. Rev. D. 1998. 58. P. 116002.

9. Jackiw R., Kostelecky V.A. // Phys. Rev. Lett. 1999. 82. P. 3572.

10. Zhukovsky V.Ch., Lobanov A.E., Murchikova E.M. // Phys. Rev. D. 2006. 73. P. 065016.

s

2

11. Лобанов А.Е., Мурчикова Е.М. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2008. № 2. С. 11. (Lobanov A.E., Mur-chikova E.M. // Moscow University Phys. Bull. 2008. 63, N 2. P. 91.)

12. Ebert D., Zhukovsky V.Ch., Razumovsky A.S. // Phys. Rev. D. 2004. 70. P. 025003.

13. Frolov I.E., Zhukovsky V.Ch. // J. Phys. A. 2007. 40. P. 10625.

14. Roberts M, Stadnik Y.V. // Phys. Rev. D. 2014. 90. P. 096005.

15. Bezerra de Mello E.R. // JHEP. 2004. 0406. P. 016.

16. Roberts B.M., Stadnik Y.V., Dzuba V.A. et al. // arXiv: 1409.2564v2.

17. Кадышевский В.Г., Родионов В.Н. // ТМФ. 2003. 136, № 3. C. 517. (Kadyshevsky V.G., Rodionov V.N. // Theor. and Math. Phys. 2003. 136, N 3. P. 1346.)

18. Gitman D.M., Saa A.V. // Class. Quant. Grav. 1993. 10. P. 1447.

19. Kharlanov O.G., Zhukovsky V.Ch. // J. Math. Phys. 2007. 48.9. P. 092302.

20. Shapiro I.L. // Phys. Rept. 2002. 357. P. 113.

21. Frolov I.E., Zhukovsky V.Ch., Klimenko K.G. // Phys. Rev. D. 2010. 82. P. 076002.

22. Sitenko Y.A., Rulik K.Y. // Eur. Phys. J. 2003. C28. P. 405.

23. Бубнов А.Ф., Жуковский В.Ч. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2010. № 2. C. 37. (Bubnov A.F., Zhukovsky V.Ch. // Moscow University Phys. Bull. 2010. 65, N 2. P. 105.)

24. O'Connell R.F. // Phys. Rev. A. 1968. 176, N 5. P. 1433.

25. Fukushima K., Kharzeev D.E., Warringa H.J. // Phys. Rev. D. 2008. 78. P. 074033.

26. Тернов И.М., Багров В.Г., Жуковский В.Ч. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1966. № 1. С. 30.

27. Родионов В.Н. // ЖЭТФ. 2004. 125. № 3. С. 453. (Rodionov V.N. // J. of Exp. and Theor. Phys. 2004. 98. P. 395.)

28. Фок В.А. // Sow. Phys. 1937. 12. P. 404.

Vacuum polarization in the model of Dirac fermions with an anomalous magnetic moment that interact with a background axial-vector condensate and magnetic Held

A. F. Bubnova, N. V. Gubina, V.Ch. Zhukovsky ь

Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], Ь [email protected].

Vacuum polarization is considered in a model that takes the anomalous magnetic moment (AMM) of Dirac fermions in a uniform magnetic field in the presence of an additional axial-vector interaction into account. Corrections to the effective Lagrangian of the model that are quadratic with respect to the AMM and axial-vector interaction in different configurations of the given model parameters are calculated.

Keywords: electron in a magnetic field, Lorentz invariance violation, anomalous magnetic moment, effective Lagrangian.

PACS: 11.30.Cp, 12.60.Cn, 11.10.Ef, 13.40.Em.

Received 4 November 2015.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2016. 71, No. 2. Pp. 168-173.

Сведения об авторах

1. Бубнов Андрей Францевич — аспирант; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].

2. Губина Надежда Валерьевна — ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].

3. Жуковский Владимир Чеславович — доктор физ.-мат. наук, профессор; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: [email protected].