Динамика дираковской частицы в теории с нарушенной лоренц-инвариантностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145

ДИНАМИКА ДИРАКОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ТЕОРИИ С НАРУШЕННОЙ ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТЬЮ

А. Е. Лобанов, Е. М. Мурчикова

(.кафедра теоретической физики) E-mail: lobanov@phys.msu.ru

Получены решения уравнения Диража для частиц, взаимодействующих с векторным, ажсиально-вежторным и тензорным жонденсатами в рамжах расширенной стандартной модели. Рассмотрен вопрос о применимости этих решений для описания поведения нейтрино в плотной среде и элежтромагнитном поле.

В настоящее время считается, что стандартная модель элементарных частиц является низкоэнергетическим пределом более фундаментальной теории, объединяющей все известные физические взаимодействия. Поэтому весьма актуальным представляется исследование эффектов, которые не могут быть описаны в рамках стандартной модели. Один из таких возможных эффектов — нарушение лоренц-инвариантноети, которое следует при определенных допущениях из теории струн [1, 2].

На текущий момент наиболее разумным для изучения такого рода эффектов представляется подход, получивший название «расширенная стандартная модель» [3-5].

Основная идея данного подхода — включение в лагранжиан стандартной модели членов, которые феноменологически описывают взаимодействие с вакуумными конденсатами или внешними полями и формально нарушают лоренц-инвариантноеть теории. Известно, что наличие таких членов в лагранжиане может открывать каналы реакций, которые в обычном подходе закрыты [6]. Причем установить это возможно только при расчетах в картине Фарри, позволяющей точно учитывать влияние внешних полей или вакуумных конденсатов. Вследствие этого принципиальное значение приобретает нахождение точных решений уравнений, следующих из данной модели.

Задача о решении уравнений, отвечающих полному лагранжиану расширенной стандартной модели [4], крайне сложна. Поэтому в настоящей работе рассматриваются решения уравнения Дирака в теории, учитывающей влияние только тензорного, векторного и аксиально-векторного конденсатов на фермионы. В этом случае уравнение Дирака может быть записано в виде

Ю-а-Ь^Ф = 0. (1)

Здесь Р^ — антисимметричный тензор, а —

4-векторы, описывающие взаимодействие с указанными конденсатами; а^ = | (у у — уу).

Будем считать Р1Х1/, а1Х и Ых постоянными величинами, что обычно и делается при исследовании процессов в расширенной стандартной модели. В этом случае операторы канонического импульса частицы 1&1 являются интегралами движения и могут служить для классификации решений. Однако физическому смыслу задачи в большей степени соответствуют решения, которые определяются заданием кинетического импульса. Именно такие решения и будут рассмотрены в настоящей статье. Надо отметить, что в случае наличия только тензора Р^ искомые решения были получены в работе [7], а при наличии 4-вектора Ь^ — в работе [8].

Следуя методике указанных работ, будем искать решения уравнения (1) в виде

Ф(х) = е^и(т(х),т0 = 0)Ф0 (х). (2)

В этой формуле 11(т,то) — резольвента классического уравнения эволюции спина (уравнения Барг-мана-Мишеля-Телегди [9]) в биспинорном представлении [7, 10], е— некоторый фазовый множитель, а

Фо(х) = е^Цд + т)( 1 - 75ЗДо (3)

— решение уравнения Дирака для свободной частицы (фо — произвольный постоянный биепинор, нормированный таким образом, что

Фо(х)Фо(х) = /га/<7о).

Резольвента £У(т, то) удовлетворяет следующему уравнению:

О(т,Т0) =

= {¿75(^ ~ ^ + ¿'Т5"""^} и(т>то)' (4)

где Н^ = — ^е1шрХРрх — тензор, дуальный тензору Р^, а точка обозначает дифференцирование по собственному времени т. В формулах (3), (4) У — постоянный 4-вектор, обладающий свойством ц2 = т2, в силу которого его можно интерпретировать как кинетический импульс частицы. Очевидно, что ре-

шение уравнения (4) представляет собой матричную экспоненту

U(t,t0) = ехр<^ г'(т-то) х

х

¿7 5(bq-qb)

ш 7

m<

(5)

Подстановка выражения (2) в уравнение (1) с учетом (4) приводит к соотношению

q + dF{x) — а + 75 6 •

^7 5N

-^(bq-qb)

mz

m

e-iF^U(r(x),r0) Ф0(х) = 0,

где Ы1х = &хт. Так как матрица 11(т(х),то) невырождена и, очевидно, \и(т(х), то), ¿7] = 0, то для выполнения этого соотношения необходимо выполнение условия

dF(x) -

„5дг

: + 7 5Ь +

T^Cbq - Ф) + -¡^H^q^^q

2

= 0.

(6)

2т ' ' т

Приравняв к нулю коэффициенты при линейно независимых элементах алгебры матриц Дирака, получаем

&1Р{х) = а'1

и систему уравнений для определения вектора ЛР

рраЦа =

где фР = Ь^ + H^lVqv/m.

Нетрудно убедиться, что для совместности этой системы необходимо, чтобы

+ = 0. (7)

Так как q^i принимает, вообще говоря, произвольные значения, то, для того чтобы (7) выполнялось тождественно, необходимо потребовать выполнения условий

4

Следовательно, решение уравнения (1) может иметь вид (2) только в том случае, если тензор Р^ — плоский, т.е. его второй инвариант /2 = ^Р^Н^ равен нулю, а вектор Ь^ является его собственным вектором, отвечающим нулевому собственному значению*^.

Следует отметить, что наличие у антисимметричного тензора собственного вектора, отвечающего нулевому собственному значению, возможно тогда и только тогда, когда этот тензор плоский.

F'-'Я,

;S%Fal3Ha/3 = 0, F^bv = 0. (8)

Для нахождения ЛР разложим входящие в уравнения (6) векторы по ортогональному базису в пространстве Минковского:

nZ = qV/m, и1! =

Wlvqv

п» -

F,lvqv

^Я ' "2 ЛЯГ

„ т2Н^Н„ада - д^Я

«з =-.—^-

ту Я Я

и воспользуемся соотношениями *)

(<рд)Н^ = т(<р^Ьг,-Ь^<рг'), Я — Я = 2т2/),

((М2 - &УК = {Ь2Я + (^Я^)2) = 2(^)2/,.

(9)

Здесь Я = qtiH^iVHvpqP, Я = я^^ря?, а 1Л = = ^^Рц» — первый инвариант тензора Р>ш. В результате получаем

NP = -q11

m(b<p)

b>J-

т

((pq)2 — т2(р2 ((pq)

m3(b(p)

-. (10)

((pq)(((pq)2 - m2(p2)

Поскольку aiJ,,NiJ, = const, то

т = (Nx), F(x) = (ax). (11)

Подставляя (11) в формулу (5), нетрудно убедиться, что выражение для волновой функции принимает вид

ад = о Е

-ЦРх)

(l-Cj5Stp)(q + m)(l-j5S0)i>0,

C=±l

где

°tp —

qfl((pq)/m — (р^т

ср2т2

(12) (13)

Pfi = qfi[l+(

(bp)

\J (<pq)2 — m2ip2

■ a,J' — b,J"

(<PQ)

m2ip2

----tpP

((b(p)m2

Полученные решения являются стационарными только тогда, когда = . В этом случае волновые функции являются собственными функциями оператора проекции спина на направление с собственными значениями ^ = =±= 1 и оператора

Для произвольного антисимметричного тензора А'"\ дуального ему тензора = — \ет'хА9\ и любых 4-векторов /г'1, (цК) имеет место соотношение

А"ЧеЬ) = - [ё"А""кр - А""Нр8"] + * [к"тА">'&, - тА""&,к"] , (А)

из которого следует, что

+(ё,*А>ж)2 - - ы'ж)2 ■■

=ё,м>;*А>ж(мк) - ёЛА'жш=2 (gh)2h.

Отсюда при выполнении условий (8) вытекают формулы (9).

(В)

канонического импульса с собственными значениями РР. Причем ортонормированная система решений уравнения (1) может быть записана следующим образом:

Фс(х) = /рТ(<? + "0(1 -

(14)

где / — якобиан перехода от переменных q!Ji к переменным Pf

Qpi dq0l

J = det(M¡;) = det

~dPl

_ dqi dq° dqi Используя формулы (9), матрицу M¿¡ можно пред-

ставить в виде

My = 8ц

1+0

(М

■ т2(р2

Vi

VM2

0^ m2(bip)2

((pq)(((pq)2 - т2(р2)

3/2

Поскольку для любых векторов g и h выполняется соотношение

йеЩ + gfhj) = 1 + (gh),

то

/= 1 + С

(М

mz(p

bpWqJm - 2h

\J (ipq)2 — m2ip2

Структура решения (14) указывает на то, что частицы, находящиеся в конденсатах, удовлетворяющих условию (8), ведут себя как свободные, т.е. движутся с постоянной скоростью и сохраняют знак своей поляризации. Однако при их взаимодействии с другими частицами могут открываться каналы реакций, которые для свободных частиц закрыты. Этот факт следует из вида закона дисперсии, определяющего связь энергии частиц с ее каноническим импульсом.

Если ввести обозначения

рц = рц _ аи^ = +

то, используя представление (13) для Р1Л и соотношения

(Pb) = (cpq) 1+С

bßH^qv/m - 2/, \/ (ipq)2 — m2ip2

(РЬ)(Ь<р) = (м )(&#), Ф2(^)2 = ¥?2(Ф Р)2,

вытекающие из формул (А), (В) (см. сноску на с. 12), закон дисперсии можно записать в следующей форме:

Р =т — Ь2 - 21\ - 2СА^(РФ)2 - Ф2/и2. (15)

Здесь

Д = sign ( 1 + С'

bpWqJm - 2h

21П2

■ m¿(p

Появление фактора Д в уравнении (15) связано с тем, что С задает проекцию спина частицы на направление, определяемое кинетическим импульсом частицы, а не каноническим.

В заключение отметим, что уравнение (1) имеет еще одну интерпретацию: оно описывает поведение массивного дираковского нейтрино в плотной среде в присутствии сильного электромагнитного поля [11-14]. В этом случае входящие в (1) величины имеют следующий физический смысл:

где цо — аномальный магнитный момент частицы, а Р^" — тензор внешнего электромагнитного поля;

aß = bß^fß/2>

где fIJ' = pf Vf ~r Hf

/

ную комбинацию 4-векторов токов (]J) и поляризаций (Ajf) фермионов среды; суммирование производится по всем фермионам среды, а коэффициенты (1 2)

рf ' определяются выбранной моделью взаимодействий. В стандартной модели эти коэффициенты, вычисленные в первом приближении, имеют вид [11-14]

pf = V2Gf |/в0 + Г3(/) - 2Q(/) sin2 Bw} ,

pf = V2GF {/ет + Г3(/)},

где QÜ) — электрический заряд фермионов среды, Гд^ — третья компонента слабого изоспина, Iev = ± 1 для взаимодействия электронного нейтрино с электронами или позитронами, Iev = 0 в остальных случаях, Gp — константа Ферми, 0w — угол Вайнберга.

Таким образом, массивное нейтрино в плотной среде, движущейся с постоянной скоростью и имеющей постоянную поляризацию (/^ = const) в присутствии сильного электромагнитного поля может вести себя как свободное. При этом условие (8), которое в явном виде (Е, Н — напряженности электрического и магнитного полей соответственно) выглядит как

(Ef)= 0, Ef°-[Hxf]= О,

является прямым следствием того факта, что средние скорость и поляризация частиц среды во внешнем поле должны подчиняться уравнениям Лоренца и Баргмана-Мишеля-Телегди.

Авторы благодарны A.B. Борисову и В.Ч. Жуковскому за обсуждение полученных результатов.

представляет собой линей-

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке программы Президента РФ «Ведущие научные школы» (грант НШ-5332.2006.2).

Литература

1. Kostelecky V.A., Potting R. 11 Nucl. Phys. B. 1991. 359. P. 545; Phys. Lett. B. 1996. 381. P. 89.

2. Kostelecky V.A., Samuel S. 11 Phys. Rev. D. 1989. 39. P. 683.

3. Carroll S.M., Field G.B., iackiw R. 11 Phys. Rev. D. 1990. 41. P. 1231.

4. Colladay D., Kostelecky V.A. 11 Phys. Rev. D. 1997. 55. P. 6760; Phys. Rev. D. 1998. 58. P. 11602.

5. Coleman S., Glashow S.L. 11 Phys. Rev. D. 1999. 59. P. 116008.

6. Zhukovsky V.Ch., Lobanov A.E., Murchikova E.M. 11 Phys. Rev. D. 2006. 73. P. 065016.

7. Лобанов A.E., Павлова О.С. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. № 4. С. 3 (Moscow University Phys. Bull. 1999. N 4. P. 1).

8. Lobanov A.E. // Phys. Lett. B. 2005. 619. P. 136.

9. Bargmann V., Michel L., Telegdi V. // Phys. Rev. Lett. 1959. 2. P. 435.

10. Lobanov A.E. 11 J. Phys. A. 2006. 39. P. 7517.

11. Pal P.В., Pham T.N. // Phys. Rev. D. 1989. 40. P. 259.

12. NievesJ.P. 11 Phys. Rev. D. 1989. 40. P. 866.

13. Nötzold D„ Raffelt G. // Nucl. Phys. B. 1988. 307. P. 924.

14. Pantaleone J. // Phys. Lett. B. 1991. 268. P. 227.

Поступила в редакцию 30.05.2007