ЧАСТИЦА СО СПИНОМ 1 И АНОМАЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ МОМЕНТОМ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12

DOI 10.19110/1994-5655-2020-4-50-57

Я.Й. ВОИНОВА*, Н.Г. КРЫЛОВА", Е.М. ОВСИШК***

ЧАСТИЦА СО СПИНОМ 1 И АНОМАЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ МОМЕНТОМ О ШОНОВСКОМ ПОЛЕ. НЕРЕЛЯТИПИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

* Институт, физики HAH Беларуси, г. Минск, Беларусь ** Белорусский государственный университет, г. Минск, Беларусь *** Мозырский государственный педагогический университет, г. Мозыръ, Беларусь

[email protected] [email protected] [email protected]

YA.A. VOYNOVI

N.G. KRYLBVA* Е.М. OVSIYOK*

SPIN 1 PARTICLE WITH ANOMALOUS MAGNETIC MOMENT IN THE COULOMB FIELI. NONRELATIVISTIC THEORY

* Institute of Physics, NAS of Belarus, Minsk, Belarus ** Belarus State University, Minsk, Belarus *** Mozyr State Pedagogical University,

Mozyr, Belarus

Аннотация

Исследуется векторная частица с аномальным магнитным моментом во внешнем кулоновском поле. После разделения переменных найдены две радиальные системы из 4 и 6 уравнений, соответственно для состояний с четностями Р = (—l)^1

iP=(-l)J. Обусловленные аномальным магнитным моментом слагаемые присутствуют только в системе из 6 уравнений, она и исследуется. Чтобы упростить задачу, выполнен переход к нерелятк вистскому приближению. Для состояний с j = О выведено уравнение из класса дважды вырожден ного уравнения Гойна. Для состояний с j = 1, 2, ... радиальная система приводится к двум связанным уравнениям 2-го порядка, откуда следует уравнение 4-го порядка. Построены решения Фробениуса этого уравнения, исследована сходимость возникающих степенных рядов. Условие трансцендентности решений дает простую формулу для энергий Е = —const/п2, она едва ли корректно описывает реальный спектр, поскольку не зависит от параметра аномального магнитного момента.

Ключевые слова:

частица со спином 1, аномальный магнитный момент, кулоновское поле, решения Фробениуса, квантование энергии

Abstract

After separating the variables in the Duffin-Kem-nmer equations for a vector particle with anomalous magnetic moment in presence of Coulomb field, there are found two radial systems of 4 and 6 equations respectively for states with parities P = (-1)J'+1 and P = (-1)J'. Depending on the anomalous magnetic moment, the terms are present only in the system of 6 equations, and it is investigated. To simplify the problem, transition to the nonrela-tivistic approximation is performed. For states with j = 0, we have derived a 2-nd order equation belonging to the double confluent of Heun type. For states with j = 1,2,..., the radial system is reduced to two 2-nd order linked equations, whence the 4-th order equation follows. Frobenius solutions of this equation are constructed. Imposing the known transcendency condition, we derive the formula for the energies E = —const/?г2, which does not depend on the quantum number j and the parameter of anomalous magnetic moment, and therefore cannot correctly describe the physical spectrum.

Keywords:

spin 1 particle, anomalous magnetic moment, Coulomb field, Frobenius solutions, energy quantization

Введение

Известно, что в рамках теории релятивистских волновых уравнений можно предложить так называемые неминимальные уравнения, которые описывают частицы с дополнительными электромагнитными характеристиками, со спектрами спиновых или массовых состояний. В частности, интенсивно исследовались [1-11] уравнения для частиц со спином 1, обладающих помимо электрического заряда аномальным магнитным моментом. Уравнение для векторной частицы в случае внешнего кулоновского поля оказывается очень сложным даже в случае обычной частицы без аномального момента. Эта задача все еще

не исследована полностью [12]. Однако в нерелятивистском пределе уравнение для обычной векторной частицы в кулоновском поле может быть решено точно. В настоящей работе мы исследуем аналогичную нерелятивистскую задачу для частицы с аномальным магнитным моментом.

Кратко содержание работы сводится к следующему. Исследуется квантово-механическая частица со спином 1 и аномальным магнитным моментом во внешнем кулоновском поле. Исходным является релятивистское уравнение Даффина-Кем-мера, в котором введен дополнительный член взаимодействия, обусловленного аномальным магнитным моментом. На основе диагонализации операторов энергии, квадрата и третьей проекции полного момента выполнено разделение переменных. Выведена система уравнений для десяти радиальных функций. Используя диагонализацию оператора пространственного отражения, разбиваем систему на две подсистемы из четырех и шести уравнений, для четностей Р = (—\у+1 и Р = (—, соответственно.

Дополнительные слагаемые, обусловленные аномальным магнитным моментом, присутствуют только в подсистеме из шести уравнений. Эта система уравнений и исследуется. Сначала отдельно рассмотрена относящаяся к классу четности Р = (— релятивистская система при з = 0. В этом случае задача приводится к дифференциальному уравнению второго порядка. Оно найдено в явном виде и характеризуется очень сложной структурой особых точек.

Чтобы упростить возникающие математические задачи, в радиальных уравнениях выполнен переход к нерелятивистскому приближению. При этом для состояний с з = 0 выведено радиальное уравнение, принадлежащее классу дважды вырожденного уравнения Гойна. Строятся его решения фробе-ниусовского типа. В качестве условия квантования использовано ограничение, выделяющее трансцендентные функции Гойна. В результате получен некоторый спектр энергии, который выглядит физически интерпретируемым, однако получаемые таким способом уровни энергии не зависят от параметра аномального момента, в то же время степенные ряды зависят от этого параметра. Для состояний с большими значениями полного углового момента з = 1,2,... нерелятивистская радиальная система приводится к двум связанным дифференциальным уравнениям 2-го порядка для двух функций. Методом исключения можно получить уравнения 4-го порядка для каждой из этих функций. Исследованы локальные решения Фробениуса возникающих уравнений, сходимость вовлеченных в них степенных рядов с 8-член-ными рекуррентными соотношениями, а также возможность использования условия трансцендентности для получения спектра энергий.

1. Разделение переменных в релятивистском уравнении

Исходное уравнение имеет вид (предполагаем использование тетрадного формализма; обозна-

чения в [13])

и?

г(е(с)д? + 9ЗаЬ1аЪс{х)) - е'Ас

+

+А—Рар{х)Р^{х) - М ¡>Ф = О,

(1)

где свободный параметр А - безразмерный, Р - проективный оператор, выделяющий из 10-компонент-ной функции векторную составляющую. Ниже используются обозначения

Р

и о о о

е>

п

е

сН'

4а

г = Ам>

а =

(2)

1

Пс ~ 137'

В сферической тетраде [14] уравнение (1) принимает вид

¡3\гдг + + г((33дг + ^ + ^)+

+ -м

г

Ф = О,

(3)

где зависящии от угловых переменных оператор определен равенством

2 гдф + 13 сов в

Т,вф = г (3 дв + /3

вш и

В используемом тетрадном базисе выражения для компонент оператора полного момента имеют шре-дингеровскую структуру [14]:

31 = к +

соэ ф зшб*

13

,•12

32 = к + ~

впк

зшб*

13

,•12

3 з

к

,•12

/З1/?2 -

2 а 1

(4)

Ниже будем использовать волновую функцию и явные выражения для матриц Даффина-Кеммера [14] в циклическом представлении, где оператор третьей проекции спина 1312 имеет диагональный вид:

и12 =

0 0 0 0

0 ¿3 о 0

0 0 ¿3 о

0 0 0 ¿3

tз

+10 0 0 0 0 0 0-1

Выражение для проективного оператора Р не меняется при переходе к циклическому базису.

Система радиальных уравнений для обычной векторной частицы в кулоновском поле известна [12]. Чтобы получить обобщенную систему уравнений для векторной частицы с аномальным моментом, достаточно найти явный вид дополнительного слагаемого в уравнении

г*

,•03

(5)

Здесь оператор Р3 представляет собой матрицу размерности 10, у которой отличны от нуля только элементы {Рз03)п = (Р?03)з1 = -1.

Структура 10-компонентной волновой функции векторной частицы с квантовыми числами е, 3, т задается соотношениями

Ф(ж) = {Ф0(ж),Ф (х),Ё(х),Й(х)}, ф0(х) = е~ш/о(г)Оо,

Ф(ж) = e~iet Ё(х) = e~iet

Н(а

— iet

h{r)D0 fs(r)D+1

E2(r)D0 E3(r)D+1

H2(r)D0 H3(r)D+1

где используются /^-функции Вигнера Da = D3_ma((f), в, 0), a = 0, —1, +1. После необходимых вычислений находим систему радиальных уравнений

-(4- + ~)Е2 - -(Ei + Е3) ~ ~2 f2 = mfo,

ar г г rz

+i(e+-)E1 +i(4~ + -)Hi + i-H2 = m/i, r ar r r

г(е + -)E2 - г-(Ех - tf3) - = mf2,

После перехода к сферической тетраде, а затем к циклическому представлению матриц Даффина-Кеммера получаем другое представление:

П'

П,

10 0 о

0 Пз о 0

0 0 Пз о

0 0 0 -Пз

0 0-1 0-1 о -10 0

р,

(8)

Уравнение на собственные значения П'Ф = РФ дает два решения:

Р=(-1У + 1, /о = /2 = 0, /з = -/ь Е3 = —Е\, Е2 = 0, Н3 = Нх

Р=(-1У, /з = /ъ

Ез = Е\, Н3 = —Н\, Н2 = 0.

Для состояний с Р = (—\у+1 имеем четыре уравнения:

+г(е+ -)Е1 + -)Н1 +г-Я2 = т/ь

г аг г г

—г(е + —)/i = тЕ\, -i( -f + -)/i г ar г

mHi

+i(e + -)Ез - i(4~ + -)Нз - i-H2 = ш/3, г ar г г

~г(е+ -)/i + -/о = mEi, г г

~г(е + -)/2 - "г/о = гпЕ2,

г аг

a v

-г(е + — )/3 + -/о = тЕз, г г

+ -)/i - i~h = mHi, ar г г

+i~(fi ~ /з) = тН2,

+i(~y~ + -)/з + i-f2 = тНз. ar г г

(6)

Одновременно с операторами з2,зз будем диагонализировать оператор пространственной инверсии П. В представлении декартовой тетрады и декартова базиса матриц [За этот оператор имеет вид

П

10 0 0 0-/00 0 0-/0 о о о +/

РЩг) = Ф(-г).

р.

2i—fi = тН2. г

(9)

Для этого класса решений аномальный магнитный момент никак себя не проявляет в присутствии внешнего кулоновского поля. Система допускает полное решение для основной функции Д:

в? 2 с1 , а. 9 3(3 + 1)\ „ аг* г аг г г* )

Это уравнение возникает в теории скалярной частицы во внешнем кулоновском поле, его точные решения и соответствующий спектр энергии известны.

Для состояний с четностью Р = (—имеем систему из шести уравнений:

аг г г г*

+г(е +-)Е1+г(^ + -)Н1= ш/1, г аг г

+г(е + -)Е2 - 2г-Н1 - ^/о = т/2,

~г(е + -)/2 - Т"/о = тЕ2, г аг

~г(е+ -)Л + -/о = тЕ1, г г

(7)

+ ~)/l + f2 = —ТпН\.

ar г г

(11)

2. Случай минимального значения момента ^ = 0 3. Нерелятивистское приближение, случай j = 0

Для состояний с минимальным j = 0 нужно использовать более простую подстановку:

фг

— геЬ

Е

— геЬ

/о (г 0

Е2(г) 0

Ф

— геЬ

о

/2 (Г)

о

н

= е

—геь

0

Я2(г) 0

В этом случае получаем четыре радиальные уравнения:

2 Г

-("Г + ~)-Б2--9/2 = ш/о,

аг г гА

а Г г(е + -)Е2--о /о = т/2,

О' и

~г(е + -)/2 - -¡-/о = Я2 = 0.

г аг

(12)

Исключая находим уравнения для функций

/о, /2:

а. с? 2е а + гГто\ „

е+-)~Г + - +-2-)& +

г аг г г* )

(& 2 л 2^, п

\ аг^ г аг /

/2 = г

Р(г

, ^ а с? гГто\

г ¿г г2 2 \ 2

Р(г) = (е2 - т2)»-2 + 2еах + а2. Исключая далее /2, получим уравнение 2-го порядка

ДЛЯ ФУНКЦИИ / ЕЕ /о

(2а2ж + 6£аж2 + 4£2ж3)Р"2 + + ((2£2 - 2£4)ж5 + (4£а - 6£3а)ж4+ + (2а2 - 6Е2а2)х3 - 2£а3Ж2)Р"3) £+

+ ^с2Р-1 + (7 + 72 - ¿«7) Р"2 + + ((-2г£7 + 2гЕ37)ж3 + (-2га7 + 4гЕ2а7)ж2 +

+2гЕа21Х)Р~^1 = О,

В системе уравнений (12) осуществим переход к нерелятивистскому приближению. Сначала исключим нединамическую переменную /о(г):

•/ п Г

ъ(е+-)Е2--

¿2 Г

2 \ + 2/2 ) =т/2'

г

Т""

-г(е + -)/2 - (-{^ + ")£2 " = шЕ2.

г т аг \ аг г г* )

Затем вводим большие и малые компоненты [14] /2 = (В2 + М2), гЕ2 = (В2 - М2). Одновременно выделим энергию покоя формальной заменой е т + Е, где Е - нерелятивистская энергия. В результате получаем

(Е + -){В2 - М2) - [г(/ + -){В2 - М2)~ г тгг аг г

~{В2 + М2)] = 2тМ2,

(Е + -){В2 + М2) --/[-(4- + ")№ " М2)~

г таг аг г

~(В2 + М2)] = -2 тМ2.

Чтобы получить уравнение для большой компоненты В2, сложим последние два уравнения и после этого малой компонентой М2 в сравнении с большой В2 можно пренебречь:

а Г

2(Е -\—)В2 —

+ 1 л ( с1 + 2 + в -о

т ¿г \с1г г г2) Отсюда находим (пусть В2(г) = Щг))

+ + 2 (Е + а) ¿г ¿г г г2 г

гГ (1 2 гГ. , п/ ч

г гс

(13)

Учитывая, что по физическим соображениям параметр Г чисто мнимый, сделаем замену гГ Г:

с12П 2 (Ж Лг2 г ¿г

( а 2 4Г Г2 \

+ + = (14)

Уравнение (14) имеет две нерегулярные особые точки г = 0 и г = оо, обе ранга 2, оно относится где используются безразмерные переменные х, Е, 7: к классу дважды вырожденного уравнения Гойна [15].

Локальные решения около точки г = 0 строим в виде

Я= еЛггве^/(г). (15)

Для функции /(г) получаем уравнение 2 В

х = тг, Е = —, 7 = тГ, а = -.

ш' ' 137

Полученное уравнение имеет сложный набор сингулярных точек. В следующем разделе выведем его нерелятивистский аналог, который будет существенно проще.

/ „ . 2 2АВ + 2та + 2А

+ 2тЕ + А -\---Ь

В2 + В- 2АС - 2 —4Г - 2ВС +-^2- + -^-+

Накладываем ограничения

2тЕ + А2 = 0, -Т2 + С2 = 0, 4Г + 2ВС = 0, это дает

А = ±л/-2тЕ (Е < 0), 2Г

с = ±г, в = ~— = Т2.

Для описания связанных состояний используем следующие значения:

Г > 0, А = -л/~2тЕ, С = -Г, В = +2;

Г<0, А = -у/-2тЕ, С = +Г, В = -2. (16) С учетом (16) уравнение упрощается

\ г гг )

(2АВ + 2тпа + 2А В2 + В - 2АС - 2

+

+

V г г

Для двух подслучаев оно выглядит по-разному

Г > 0, /" + ( +- + _)/'+

\ г )

/ —6\/—2тЕ + 2та + ---+

/ 2 2Г\

Г < 0, /" + -2лГъ^Ё----5- /'+

\ г )

/ +2\/—2тЕ + 2та

(17)

+ 2Г«V 0.

г"

(18)

Оба эти уравнения можно представить символически так:

/" + Га + — + —/' + (— + / = 0. (19) V г г / у г гу

Решения уравнения (19) строим в виде степенных рядов с трехчленными рекуррентными соотношениями:

[а(к - 1) + Ъ1\ск_1 + [к(к - 1) + ахк + Ъ2]ск+

+а2(к + 1)ск+1 = 0 (20)

или в краткой форме

Рк-\Ск-1 + РкСк + Рк+\Ск+1 = о,

где

Рк-1 = а(к - 1) + Ьь Рк = к(к - 1) + агк + Ъ2,

Рк+1 =а2(к + 1).

Делим соотношение (20) на Ск-\к2 и устремляем к к бесконечности: к —>• оо

Ъа{к - 1) + Ъг] + Ък(к - 1) + а\к + Ь2]—+ к к Ск— 1

+ ТТа2(«;+1)--= 0) 1™ -

к С/с /с^оо

Г.

/ = о.

В результате получаем уравнение, определяющее радиус сходимости: значению г = 0 отвечает радиус В-сот = -ру = со.

Приведем явный вид величин, задающих рекуррентные соотношения (формулы немного различаются для двух подслучаев):

Г>0, Рк+1 = 2Т(к + 1), Рк— 1 = -2л/-2тЕ (к- 1) - 6л/-2тЕ + 2 та,

Рк = к(к-1) + 6к + 4- 2л/-2 тЕ Г, (21) Г<0, Рк+1 = -2Т(к+1), Рк-1 = -2л/-2тЕ(к - 1) + 2л/-2тЕ + 2та,

Рк = к(к -1)-2к + 2л/-2тЕ Г.

(22)

В качестве условия квантования используем условие трансцендентности функций Гойна [15]

Г>0, Рк-! = -2л/-2тЕ(к - 1)-

-6л/-2тЕ + 2 та = 0, Г < 0, рк-1 = -2л/-2тЕ(к - 1)+

+2л/-2тЕ + 2 та = 0.

Отсюда находим две разные формулы для энергий в зависимости от знака Г:

Г > 0, Е = —

Г<0, Е = —

та

1

2 (к + 2)2 ' :2 1

2 (к- 2)

2 '

к > 2,

к >2.

(23)

Формулы выглядят физически интерпретируемыми лишь частично, поскольку получаемые таким способом уровни энергии не зависят от параметра аномального момента Г. В то же время сами радиальные решения К(г) зависят от Г. Поэтому соотношения (23) едва ли описывают правильные спектры энергии.

4. Нерелятивистские уравнения, з = 1,2,...

Исходим из релятивистских радиальных урав-

нении:

\аг г) г г^/2

+ъ (e+-)E1+i(^- + - ) Н1 = ш/1, \ г / \аг г)

г (е + —) Е2 - 2г-#1 - = ш/2, \ г / г г

-г (е + /2 - -^-/о = \ г / аг

-г (е + — ) /1 + -/о = т£ь V г / г

+ Ь+г-к = ~тЕ1. \аг г) г

Исключим нединамические переменные /0, Н\. Оставшиеся четыре уравнения примут вид

аг г / то

аг г / г

+

г/ 1

г то

+г [е + —)Е\= то/ь аг г г гА

-г (е + Л = тЕь

/ а\ „ г/ 1

+г е + - + 2г--

\ г / г т

аг г / г

+

Г 1

с1 1 ¿г то

аг г I г гА

= "г/2,

г __

-г (е + /2 =

г.

Большие и малые компоненты вводятся соотношениями

Ь = (^2 + ф2), 1Е2 = {Ч>2-ф 2).

(24)

Тогда предыдущие уравнения дают (одновременно выделяем энергию покоя заменой е = то + Е)

с1 1\ 1

¿г г 1 т

+ -(Ъ2 + ф2) + (Е+ -) (Фх -ф{) = 2тфи г V г /

(е + -)^1 + ф1)---\(^ + -) (ф2-ф2)+

\ г / г т \аг г)

и ¿Г

+2-(Фх - Ф1) + + ф2)

—2тф\,

(Е+-) (Ф2 — ф2) — 2-— \i-j~ + (Ф1+^1)+ V г / г т \аг г)

+ -(Ф2 +^2)

Г 1

Г

-2г^(Ф1 - фх) + ^ (Ф2 + ф2)

2 тф2,

(Е+-)(Я>2 + ф2) + ^~ г аг то

¿Г

+2^(ФХ -^1) + ^(Ф2 + Ф2)

—2тф2.

Чтобы получить нерелятивистские радиальные уравнения для больших компонент Фх и Ф2, складываем уравнения в каждой паре, и затем пренебрегаем малыми компонентами в сравнении с большими. В результате находим

2 с1 (3-Хг 2г/2' I <1Г2 Г ¿Г Г Г° 1

2г + Г

Ф2 = 0,

<Р 2 с1 (3-Хг 2ь>2 2 4Г Г2'. т

-I----и И---------Фо-

I 7 1 О О О А \ ^ А

о 2г + Гт -2и-—Фх

0.

(25)

Поскольку Г чисто мнимый параметр, то в уравнениях сделана замена гТ на Г, а также использованы обозначения

2тЕ = -А, А > 0, 2та = /3, 2 ^=з(з + 1) = Ь.

(26)

Методом исключения можно получить уравнения 4-го порядка для каждой из функций Ф^г) и Ф2(г). В частности, для функции Ф1 получаем уравнение

^ т ,

-Ф1 + —

(¿Г4 1 V 2г + Г г I ¿г3

10\ в3 т

+ — I —Ф1 +

Л 2Г(3 - 24 1 22 - 2Ь 4Г Г2 + -2А+----+-,---

+

48

+

г г* 8

Г(2г + Г) (2г + Г)2 ) аг2

т

— Ф1 +

/—8Ь + 64 — 10Г2А — 4Г/3 4£ — 24 + 8Г/3

у Г2г Гг2

8 -6Ь 8Г 2Г2

4Г2А + 16Ь — 128 + 8Г/3 32

+

Г2(2г + Г)

Г(2г + Г)2 ) ¿г

<1 т

— Ф1 +

+ А2 +

16Г2А + 64L + 32Г/3 - 2/3АГ3 fV

1

+

— 10Г2А - 24L - 12Г/3 + /?2Г2 + 2А£Г2 ^ р2г2

4Г2А + 4Г/3 + 8L - 2Г/?£ _ Г2/?

-4Г/3 + L2 + Г2А - AL —32Г2А - 128L - 64Г/3 + й + Г3(2г + Г) +

-32L - 8Г2А - 16Г/П т

-I--- Фт = 0

+ Г2(2г + Г)2 ) 1

Символически структура уравнения записывается так (пусть Фх = F)

d* ( 4 10\ ^

dr4 + I 2г + Г+ г ) dr3 +

+ -

+ ( _2Л + + ^ + ^ + as I

г г2 г3 г4 2г + Г

^F+(b-i + b4 + b4 + bA + b4+

а б

(2г + Г)2 У cir2 V г

67

2г + Г (2г + Г)2 J dr

^-F + f А2 + — + 4+

Сз С4 С5 С6 с7

~Г Q Л I г: \ тл

г3 г4 г5 2г + Г (2г + Г)2

F = 0.

В окрестности регулярной особой точки г = —Г/2 это уравнение упрощается:

_ аб сР

~аЙ ~ 2г + ГоЙ + (^ТГ)2 +

, 67 с* с7 \

(2г + Г)2 ¿г (2г + Г)2 )

Ищем его решения в виде Р = (2г + Г)в. Для индекса в получаем при этом алгебраическое уравнение четвертой степени с простыми корнями:

Ф1 = (2г + Г)8, 5 = 0,-1,-3,-4. (27)

Только при в = 0 решения ведут себя в точке г = —Г/2 регулярно. Точка г = 0 является нерегулярной особой точкой и имеет ранг 2. Поэтому решения уравнения 4-го порядка в окрестности точки г = 0 ищем в виде

Фi(r) = eDrrAeB/rf(r) .

(28)

Дальнейший анализ технически довольно громоздкий. Параметры Б, А, В выбираются так, чтобы упростить вид уравнения для /(г). Приводим только конечный результат.

Существуют четыре различных решения:

(I) D = —f^Le, В = 0, А = 0,

Ъ = е^Мг); (II) D = -y/^2ё, В = 0, А = -1,

(29)

F2 = eVr-f2(ry, (30)

г

(III) D = -y/=2ё, Б = +Г, А = -1,

^з = е^-е+г^/з(г-); (31)

г

(IV) D = -y/=2ё, В = -Г, А = +3,

eDrr3e-r/r

/4 (Г

(32)

Решения для функций fi(r),f2(r) строятся в виде степенных рядов с восьмичленными рекуррентными соотношениями. Решения для функций fz(r), fi(rr) также строятся в виде степенных рядов, но с девяти-членными рекуррентными соотношениями. Исследована сходимость этих четырех степенных рядов методом Пуанкаре-Перрона. Возможные радиусы сходимости следующие: i?conv = |Г|/2, оо. Для описания связанных состояний можно использовать решения F3, Г < 0 и F4, Г > 0.

Условие трансцендентности решений здесь также дает формулу для энергий в виде Е = —const/n2. Уровни энергии не зависят от параметра аномального магнитного момента. Последнее обстоятельство указывает на их непригодность для описания связанных состояний в системе.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта БРФФИ Ф19М-032 для молодых ученых и гранта БРФФИ Ф20РА-007 в рамках сотрудничества НАН Беларуси и Румынской Академии.

Литература

1. Плетюхов В А., Редъков В.М., Стражев В.И. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы. Минск: Беларуская навука, 2015. 328 с.

2. Elementary particles with internal structure in external field. I / V.V. Kisel, EM. Ovsiyuk, O.V. Veko, YaA. Voynova, V. Balan, V.M. Red'kov // General Theory. Inc. USA: Nova Science Publishers, 2018. 404 p.

3. Elementary particles with internal structure in external field. II / EM. Ovsiyuk, V.V. Kisel, O.V Veko, YaA. Voynova, V. Balan, V.M. Red'kov II Physical Problems. Inc. USA: Nova Science Publishers. 2018. 402 p.

4. Corben H.C., Schwinger J. The electromagnetic properties of mesotrons // Phys. Rev. 1940. Vol. 58. P. 953.

5. Shamaly A, Capri A.Z. Unified theories for massive spin 1 fields // Canadian J. of Physic. 1973. Vol. 51. P. 1467-1470.

6. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field / EM. Ovsiyuk, YaA. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red'kov. In S. Griffin (Eds.) Quaternions: Theory and Applications. Inc. USA: Nova Science Publishers, 2017. P. 47-84.

7. Techniques of projective operators used to construct solutions for a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external magnetic field / EM. Ovsiyuk, YaA. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red'kov In S. Griffin

(Eds.) Quaternions: Theory and Applications. Inc. USA: Nova Science Publishers, 2017. P. 11-46.

8. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Magnetic Field / V. Kisel, Ya. Voynova, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Red'kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2017. Vol. 20. No 1. P. 21-39.

9. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field / V. Kisel, Ya. Voynova, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Red'kov II Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2018. Vol. 21. No 1. P. 1-20.

10. Kisel V.V., Ovsiyuk E.M., Red'kov V.M. On the wave functions and energy spectrum for a spin

I particle in external Coulomb field // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2010. Vol. 13. No 4. P. 352-367.

11. Kisel V.V., Ovsiyuk E.M., Voynova YaA., Red'kov V.M. Quantum mechanics of spin 1 particle with quadrupole moment in external uniform magetic field // Problems of Physics, Mathemativs, and Thechnics. 2017. Vol. 32(3). P.18-27.

12. On describing bound states for a spin 1 particle in the external Coulomb field / E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, YaA. Voynova, AD. Koral'kov, V.V. Kisel, V.M. Red'kov // Balkan Society of Geometers Proceedings. 2018. Vol. 25. P. 59-78.

13. Red'kov V.M. Fields in Riemannian space and the Lorentz group. Minsk: Belarusian Science, 2009.486 p.

14. Red'kov V.M. Tetrad formalism, spherical symmetry and Schrodinger basis. Minsk: Belarusian Science, 2011. 339 p.

15. Ronveaux A. Heun's differential equation. Oxford: Oxford University Press, 1995.

References

1. Pletyukhov VA., Red'kov V.M., Strazhev V.I. Rel-ativistic wave equations and intrinsic degrees of freedom. Minsk: Belarusian Science. 2015. 328 P-

2. Elementary particles with internal structure in external field. I / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, YaA. Voynova, V. Balan, V.M. Red'kov

II General Theory. Inc. USA: Nova Science Publishers, 2018. 404 p.

3. Elementary particles with internal structure in external field. II / E.M. Ovsiyuk, V.V. Kisel, O.V Veko, YaA. Voynova, V. Balan, V.M. Red'kov II Physical Problems. Inc. USA: Nova Science Publishers. 2018. 402 p.

4. Corben H.C., Schwinger J. The electromagnetic properties of mesotrons // Phys. Rev. 1940. Vol. 58. P. 953.

5. Shamaly A, Capri AZ. Unified theories for massive spin 1 fields // Canadian Journal of Physic. 1973. Vol. 51. P. 1467-1470.

6. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field / E.M. Ovsiyuk, YaA. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red'kov. In S. Griffin (Eds.) Quaternions: Theory and Applications. Inc. USA: Nova Science Publishers, 2017. P. 47-84.

7. Techniques of projective operators used to construct solutions for a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external magnetic field / E.M. Ovsiyuk, YaA. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red'kov In S. Griffin (Eds.) Quaternions: Theory and Applications. Inc. USA: Nova Science Publishers, 2017. P. 11-46.

8. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Magnetic Field / V. Kisel, Ya. Voynova, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Red'kov II Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2017. Vol. 20. No 1. P. 21-39.

9. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field / V. Kisel, Ya. Voynova, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Red'kov II Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2018. Vol. 21. No 1. P. 1-20.

10. Kisel V.V, Ovsiyuk E.M., Red'kov V.M. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2010. Vol. 13. No. 4. P. 352-367.

11. Kisel V.V., Ovsiyuk E.M., Voynova YaA., Red'kov V.M. Quantum mechanics of spin 1 particle with quadrupole moment in external uniform magetic field // Problems of Physics, Mathemativs, and Thechnics. 2017. Vol. 32(3). P.18-27.

12. On describing bound states for a spin 1 particle in the external Coulomb field / E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, YaA. Voynova, AD. Koral'kov, V.V. Kisel, V.M. Red'kov // Balkan Society of Geometers Proceedings. 2018. Vol. 25. P. 59-78.

13. Red'kov V.M. Fields in Riemannian space and the Lorentz group. Minsk: Belarusian Science, 2009. 486 p.

14. Red'kov V.M. Tetrad formalism, spherical symmetry and Schrodinger basis. Minsk: Belarusian Science, 2011. 339 p.

15. Ronveaux A. Heun's differential equation. Oxford: Oxford University Press, 1995.

Статья поступила в редакцию 21.07.2020.