О некоторых системах в полных дифференциалах второго порядка с двумя сингулярными линиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2007, том 50, №2________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

Т.С.Орипов

О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ СИНГУЛЯРНЫМИ ЛИНИЯМИ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 22.02.2007 г.)

В монографии Л.Г.Михайлова [1] после изложения общей теории систем в полных дифференциалах (п.д.) первого порядка в § 5 были изучены также п.д.-системы второго порядка. При введении новых искомых функций V = их, Ж = и , система второго порядка была

редуцирована к системе первого порядка для функции и, V, Ж Такой же метод был применен затем в работе [2] для изучения полного дифференциала второго порядка с сингулярной точкой.

В предлагаемой работе тем же способом будут изучены некоторые системы второго порядка с одной или с двумя сингулярными линиями.

1. В квадрате 77: 0 < х < 1, 0<у < 1 рассмотрим систему

УК = Ф,У) > Ь(х, у), £/; С(х,у), (1)

где а,£,сеС'(П) и I/ = 1/(х,у)<еС2(П).

Полагая (!х = V, (/. = Ж, придем к системе

Упи'х = а(х,у), хки'у = Ь(х, у), хкЖх = Ь(х,у), Ж^=С(х,у), необходимыми и достаточными условиями совместности которой будут

уп+1 (хЬ'х - кЪ) = хк+1 {уа'у - па), (N1)

Ь'у=хкс'х(х,у). (N2)

Теорема 1. При выполнении условий совместности (Ы1),(Ы2) решение системы (1) дается формулой

1 1 1

и (х, у) = сх +с2(х-Г) + с3(у-Г) + — ^Ж^а(г,у)ёг +

У X I

1 1 1 +х |й(1, т)(1т + |й?г |с( 1, <т)ё(т.

У У У

2. Для системы

хпи^=а(х,у), хпути'^=Ь(х,у), ути”уу=с(х,у), (2)

условия совместности имеют вид

пЬ = х(Ь'х-утау\ (N0

тЪ - у(хпс'х - уЬ'у). (N2)

Аналогично п.1. ее можем переписать в виде

У: = х-па{х,у\ Гу=х-путЪ{х,у\ жх = х-у-тъ(х,у), ж; = у-тс(х,у).

Теорема 2. При выполнении условий совместности (Ы1), (Ы2) решение системы (2) дается формулой

и (х, у) = с3+ сг (х -1) + с2 (у -1) + СІС +

X і ^

+(1 — х) [Л(1^б/г+ \с1т Г^^б/сг.

4 у J _/и І I _т

Т ^ ^ <7

7 У т

(3)

3. Для системы

хпи1=а(х,у), хГ1)Г1Щ=Ъ(х,у), У^ = с(х,у), условиями совместности будут

ут~\=х-Ь'х-(п-1)-Ь, (N1)

хПгЛсх=у-1)у-(тп-\уЬ, (N2)

тп п

у а =хс .

У уу XX

Теорема 3. Если выполнены условия совместности (Ы1), (N2), то решением системы (3) будет:

и = съ + сх(х-1) + с2(у -1) + +

* ? , Т

х ?

1 1

+(1 - х) с!С + \с1т (ІСТ.

Ґ ^ V т ^

Таджикский технический университет им. М. С.Осими Поступило 29.02.2007 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд. АН ТаджССР, 1963, с. 177.

2. Михайлов Л.Г. - ДАН России, т. 406, № 3, 2006, с. 117.

Т.С.Орипов

ОИД БА ЯК СИСТЕМАИ МУОДИЛА^О ДАР ДИФФЕРЕНЦИАЛИ ПУРРАИ ТАРТИБИ ДУ БО ДУ ХАТ^ОИ СИНГУЛЯРЙ

Дар маколаи мазкур ду системаи муодилахо дар дифференциали пурраи тартиби ду дида баромада, хднгоми ичро гардидани шарти хамчоягиаш мачмуи х,алх,о нисбат ба се бузургих,ои доимии ихтиёрй ифода карда мешавад.

T.S.Oripov

ON SOME SYSTEMS OF TOTAL DIFFERENCIALS EQUATIONS OF SECOND ORDER WITH TWO SINGULAR LINES

The systems of total differentials equations of second order is discussed in this paper.