Краевая задача с циклическим сдвигом для системы уравнений первого порядка составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №9

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

А.Козиев

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ЦИКЛИЧЕСКИМ СДВИГОМ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СОСТАВНОГО ТИПА

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 31.10.2006 г.)

Пусть О - ограниченная односвязная область с границей Г на плоскости переменной ъ= х+1у. Обозначим через ;/, верхнюю, а через ;/2 нижнюю части границы Г . Пусть функция /?(/) голоморфно отображает ;/, на у2 и наоборот. Предположим, что а(1) является прямым сдвигом, удовлетворяющим обобщенному условию Карлемана [1]:

(г1) = г1, ак ф ?, 1 < к < п1, п > 2 .

Рассмотрим в области О систему уравнений первого порядка составного типа [2]

г)и

— = ]1е(Л(гМг)),

, ^ (1)

^5(гМ^) + С(гМг),

02

А(г),В(г),С(г) - заданные комплекснозначные функции класса С (С), 0 < ¡и < 1, и(г) - вещественная, м(I) - комплекснозначные функции.

Задача А(ап) : Требуется найти решения и(г),м!(г) системы (1) в области О, принадлежащие классу С (О) и удовлетворяющие краевым условиям

/7-1

а'" ”

(^ )ы({) + Яе Х[*о,^(«ДО)] = КШ е г, 1/-1 п—1

ЯюОМО + (0)] = К (0,

у=0

где а00(?),Ь0у (0,^о(О^ю(0^1 ,/(0^(0 - заданные соответственно на контуре Г и на дуге у] кусочно-непрерывные по Гёльдеру функции, причем а00 (^), а о (^), Ь0 (^), Ь (^) - вещественные. Предполагаем, что выполнены условия «оо (0 МО

1 -4^0, при геу2,Ь0,у *0,у = 0,1Д —,п-\ а\ О (0 Ь\ о (0

в) «00О,) = О^оОу) = 2-

Общее представление решения и(г),со(г) системы (1)имеет вид [2]:

N

u(z) = ü)(x) + |мо (г, z)<p{T)dr + №r , z)co(T)dGT + 5>A(z), (2)

г а k=o

^0) = — + |м1(г,г>(г)й?г+ JJr(r,z)w(r)i/Gr + ^ctw(z). (3)

7Ü y ^ ^ Y G

Здесь произвольная функция co(x), плотность i/9(r) и постоянные ск должны удовлетворять условиям

^й*к(т)<р(т)с1т + JJw* (z)i»(z)<iz + = О, А: = 1,2,

Г G

й'к(т\щ(т) - некоторые определённые функции, öj. - известные постоянные числа. Ядра M0(t,z),M1(t,z) при т — z имеют особенности ниже первого порядка.

Устремляя в представлении (2), (3) z к точке t е Г, а затем в полученной формуле для w(/) заменяя t на av (t), получаем следующее сингулярное интегральное уравнение с конечной группой сдвигов и кусочно-непрерывными коэффициентами

X(f> = X (0<РШ0)] + ReK (Ш (/»(0)]] + fmdT +

v=o л гт ~av (О

+=Ä'(0+е г- (4) Т - некоторый вполне непрерывный оператор, h (!) - известная функция, которая выражается через правые части задачи A(an),gk(t) - некоторые определённые функции, кусочнонепрерывные по Гёльдеру и не зависящие от правых частей задачи А(ап) . Сингулярное интегральное уравнение (4) изучены Башкарёвым И.Г., Карловичем Ю.И., Нечаевым А.И. [3]. Полученный оператор K, стоящий в правой части (4), совпадает с тем оператором, который изучен вышеуказанными авторами [3].

Так как исходная задача А(ап) приведена к оператору К эквивалентно, то пользуясь

результатами работы [3], приходим к следующей теореме.

Теорема. Для того, чтобы оператор K был нётеровым необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие det s(t ) ^0,/ е Г, где

s(t) =

ао (0

К-лт) ¿С («) ъ; [/?(«)]

K(t)

«*(0

*1*(0

aim)) K-M) W(0) a; (a) «1*00(0) • К (a) • • <-2(m) • an_2(a) <-Ш)) K-i(a)

al[p(a)\ a; [/3(a)] й0* [/?(«)] ' • К [/?(«)] a\ [p(a)\

К («„-:) i) 624«„-i) • • K(a„-i) ¿o4«„-i)

¿Cl [/?(«„-! )] КАРШ ¿C2 [/?(«)] • • W(«„-i)] al [p(a)\

«ГК-1)

V^n-2 [/^(^и-1

Тогда задача А(ап) нётерова и её индекс равен

X = —Ind det s(t) +1. п

¿С (0

Сі(0

Институт математики АН Республики Таджикистан

Поступило 31.10.2006 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - М.: Наука, 1977 г.

2. Джураев А.Д. Системы уравнения составного типа. - М.: Наука, 1972 г.

3. Бошкарёв И.Г., Карлович Ю.И., Нечаев А.И. - ДАН СССР, 1974 г., т.219, №2, с. 272.

А.Козиев

МАСЪАЛАИ КАНОРЙ БО КУЧИШИ СИКЛЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ЯКУМИ НАМУДИ ТАРКИБЙ

Дар мак;ола нётерй будани масъалаи канорй бо чойивазкунии сиклй барои систе-маи муодилах,ои тартиби якуми намуди таркибй исбот карда шудааст ва формулаи хдсобкунии индекси он бароварда шудааст.

A.Kozijev

A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH CYCLE DISPLACEMENT FOR A SYSTEM OF FIRST - ORDER EQUATIONS OF COMPOSITE TYPE

In the paper we proved that one boundary value problem with cycle displacement for a system of first - order equations of composite type is Neter and the formula for calculation of its index is derived.