О некоторых линейных операторах на пространстве фоковского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 85-91.

УДК 517.555

О НЕКОТОРЫХ ЛИНЕИНЫХ ОПЕРАТОРАХ НА ПРОСТРАНСТВЕ ФОКОВСКОГО ТИПА

И.Х. МУСИН

Аннотация. При помощи зависящей от модулей переменных полунепрерывной снизу в Мга функции ф, растущей на бесконечности быстрее а 1п(1 + ||ж||) для любого положительного а, определено гильбертово пространство ^ целых функций в Сп. Оно представляет собой естественное обобщение классического пространства Фока. В заметке приведено альтернативное описание пространства ^ в терминах коэффициентов степенных разложений целых функций, составляющих его. Отмечены простейшие свойства воспроизводящих ядер в пространстве Для оператора ортогонального проектирования из пространства Ь^ измеримых комплекснозначных функций /в Сп таких, что

2~ \f(¿)|2e"Mabsz) dßn(z) < ж,

/сп

где для z = (z1, ... , zn) abs z = (\z1\,..., 1211), на его замкнутое подпространство получено интегральное представление. Также получена интегральная формула для следа положительного линейного непрерывного оператора на пространстве F",. С её помощью найдены условия, при которых весовой оператор композиции на F" является оператором Гильберта-Шмидта. Последние два результата обобщают соответствующие результаты Сей-Ичиро Уеки (Sei-Ichiro Ueki), изучавшего подобные вопросы для операторов в пространстве Фока.

Ключевые слова: целые функции, пространство типа Фока, линейные операторы, след оператора, весовые операторы композиции, оператор Гильберта-Шмидта.

Mathematics Subject Classification: 32А15, 42В10, 46Е22, 47ВЗЗ

1 15 И К. (К1III к

1.1. О рассматриваемых задачах. Пусть Н(Cn) - пространство целых функций в Cn, наделённое топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах Cn, d^n - мера Лебега в Cn, absu = (|и1|,..., |«n|) для и = (и1,... ,un) е Rn (Cn).

Обозначим через V(Rn) множество полунепрерывных снизу функций v : Rn ^ R, удовлетворяющих условиям:

i1). v(x) = v(absx), х е Rn; . ч v(x)

%2)- lim in .....л =

ж^те ln(1 + ||ж||)

гз). сужение v на [0, ^)n не убывает по каждой переменной.

Для <р е V(Rn) через L" обозначим пространство измеримых функций f : Cn ^ C таких, что

\f(z)\2e~2^(absz) dßn(z) < ж.

Co скалярным произведением (f,g)tp = /с„ f (z)g(z)e 2v(absz) dßn(z), f,g G L^,, L^ - гильбертово пространство.

I.Кн. Musin,On some linear operators on Fock type space. © Мусин И.Х. 2018. Поступила 24 августа 2018 г.

п

Пусть F2 = L^pПН(Cn). Нетрудно показать, что F2 - замкнутое подпространство пространства L^. Кроме того, в силу условия ¿2) полиномы принадлежат F^.

Определение пространства F2 - естественного обобщения пространства Фока - приводит к рассмотрению ряда задач, относящихся как к теории функций, так и к теории операторов. В данной заметке мы приводим альтернативное описание пространства F2 и ограничиваемся рассмотрением оператора ортогонального проектирования из L^ на F2 и нахождением условий, при которых весовой оператор композиции из F2 в F2 является оператором Гильберта-Шмидта.

1.2. Обозначения. Для и = (ui,...,un), v = (vi,...,vn) £ Rra(Cra) пусть (и, v) := uivi + ■ ■ ■ + unvn, ||w|| - евклидова норма и.

Для ip £ V(Кга), а = (ai,..., ап) £ Z+, z = (zi,..., zn) £ Cn |a¡| := ai + ... + an длина мультииндекса а, а := (ai + 1,... ,ап + 1) za := z"1 ■ ■ ■ ,

г ?a

ca(p) := |*i|2ai ■ ■ ■ lznl2a"e-2^(absz) d^n(z), ea(z) = -== . Je« Vc»(v)

Для R> 0 через Пд обозначим полидиск [z £ Cn : 1 < R,..., < R}.

Для функции и с областью определения, содержащей (0, <x¡)n, определим функцию и[е] в Жп по правилу: и[е](х) = и(еХ1,..., еХп), х = (х\,... ,хп) £ Мга.

Преобразование Юнга-Фенхеля функции и : Мга ^ [—^>, есть функция

и* : Мга ^ определяемая по формуле: и*(х) = sup ((х,у) — и(у)), х £ Мга.

уекп

Для гильбертова пространства Н через (f, д)н обозначаем скалярное произведение в Н, через ||ж||я _ гильбертову норму элемента х £ Н. Вместо (f,g)F2 пишем (f,g)¡p.

1.3. Об основных результатах. Теорема 1 даёт описание целых функций, составляющих пространство F2, в терминах коэффицентов их степенных разложений. Простейшие свойства воспроизводящих ядер пространства F2 приведены в разделе 2. Явный вид оператора ортогонального проектирования из L^ на F2 получен в Теореме 3. В разделе 3 получена интегральная формула для следа положительного линейного непрерывного оператора на F2 (Теорема 4). Она используется при доказательстве Теоремы 5, в которой сформулированы условия, при выполнении которых весовой оператор композиции на F2 будет оператором Гильберта-Шмидта. Теорема 5 обобщает основной результат работы [2], в которой рассматривались весовые операторы композиции в классическом пространстве Фока. Она доказывается по схеме доказательства Теоремы 1 из [2].

2 о пространстве Р2 2.1. Вспомогательные сведения.

Предложение. Пусть <р £ V(Мп). Тогда (<р[ё])*(х) < +< для х £ [0, <)п, М|Ш = +< „ Са(ф) > ^е2Ме])-(«), а £ гп

Доказательство. Первое утверждение проверяется непосредственно.

Далее, для любых х £ [0, <)п и £ £ Мп имеем ((р[е])*(х) > (х, ¿) — ((р[е\)(1). Отсюда, в частности, получаем, что для любого М > 0

(ф])* (х) > М ||ж|| — р[е](^ щ) > М ||ж|| — <р(ем,..., ем), х £ [0, <)п \ {0}.

Отсюда следует второе утверждение.

Третье утверждение доказывается по той же схеме, что и Лемма 2 из [3]. □

Следствие. Пусть р £ V (Мп). Тогда для любого М > 0 найдётся постоя иная См > 0 такая, что са(р) > СмМ\а\ для любого а £ Z+.

2.2. Ортонормальный базис в

Теорема 1. Пусть <р € V(Мп). Пусть целая функция /(г) = Е € Тогда

Н>0

Е К|2саЫ < то « ||/||2 = Е 1аа12са(<р).

|а|>0 |а|>0

Обратно, пусть последовательность (а«)|а|>0 комплексных чисел аа такова, что сходится ряд Е Ы2са(р)- Тогда /(г) = Е а»га € Н(С1), причём, / €

|а|>0 |а|>0

Доказательство. Пусть /(г) = Е € Я(Сп). Цепочка равенств

|«|>0

||/Щ = / И(г)12е-2^ *) й»п(г)=ш1 |/(г)^-2^ г) ^(г) = ./С" ^ те./ п Я

= дИШ / Е ^ Е ^е-2^ ^ =

■'П Я |а|>0 |^|>0

= Иш У ааав [ Zaz^е-2^(аЬз г) =

н^те ^—' /п„

= 11ш V / |а«|2|^1|2а1 •••|^п|2а"е-2^^ йц,п(г) = Иш I > |аа |2

Д^те Пв ^ 1 а Пя |а|>0

f Е \аа\2Ы2"1 ■ ■ ■ \zn\2ane-2<(abs *) dßn(z) = JnR |«|>0

/ V \aa|2|zi|2ai ■ ■ ■ \zn\2ane-2<abs z) dßn(z) =

= E к\2 / i^ii2"1 ■ ■ ■ \z-\2ane-Mabs z) d^(z) = E \a»\2c»(^)

ICn

|«|>o JC |«|>o

показывает, что f £ F2 тогда и только тогда, когда Е laal2ca(^) < то.

|«|>o

*>а \ С- а (

Обратно, из сходимости ряда Е \аа\2са(р) и Следствия из Предложения следует, что для

|«|>o

любого е > 0 найдётся чиело с£ > 0 такое, что \аа\ < с£е|а| для любого а £ Z++. Это означает, что

f (z) = Е aaZa - целая функция в Сга. Вышеприведённые равенства показывают, что f £ F<,. |«|>o

□

Лемма 1. Пусть <р £ V(Wn) и целая функция f (z) = Е аaZa £ F<,. Тогда

|«|>o

(f, &а) < = йал/С-а (Ф) для Любо го (X £ Z++. Доказательство. Для любого а £ Z++

(f,ea)v = lim f f(zyj^)e-2^(absz) dßn(z) = R^^J ид

= Jim S aß/ z) dßn(z) =

m>o R

= aalim f \ea(z)\2e-2<p(absz) dßn(z) = J nR

= \ea(z)\2e-2<(absz^ dßn(z) = aa□

Jcn

Лемма 2. Пусть ip £ V(W1). Тогда {ea}a^zn - ортонормальный базис в F2.

Доказательство. Система {еаортогональна в Р^- Действительно, для любых

[ еа(г)-2^с) ¿^(г) = 0, Е> 0, ■) п р

поэтому

(еа, ер)„ = [ еа(г)ер(г)е-2 ^ с) ¿^(г) = Ит [ еа(г)ер(г)е-2^(аЫс) й(т(г) = 0.

■/С™ Д^те упр

Очевидно, ||еа\\^ = 1 для любого а £ Z+.

Ортонормальная в Р2 система {еа }аежп полна в так как в силу Теоремы 1 и Леммы 1 для

любой функции /(г) = ^ ааха £ Р2 имеем ||/||2 = ^|а|>о 1(I2. Таким образом, система

|а|>о 1

{еа}аей" образует ортонормальный базис в

2.3. Воспроизводящие ядра для Определим функцию К. : С2п ^ С по правилу:

К.(г) = с"м £ Сп. Так как (по следствию го Предложения) для любого М > 0

|а|>0

найдётся число См > 0 такое, что

Са( ф) >СмМ|а|, а £ Z+, (1)

то ясно, что К. £ Н(С2п).

Для г £ Сп определим фун кцию Кс : Сп ^ С по правилу: К, с (л) = К,( х, л).

Лемма 3. Пусть <р £ V(Мп); г £ Сп. Тогда £ Р2 причём, Щ = К,(г, г).

Доказательство. Через и обозначим меру в Сп, определяемую по правилу: йи(г) = е-2<Р(аЬзс) й^п(г). Пусть г £ Сп. Для любого Е> 0 имеем

V С ( )1 () кр^о Са ^

_^ ^а г _^ |^а| 2 г

у —-——-— й и (л) = У ' ' |ла|2 й и (л) =

Са(V) СРЫ Упр ( ) |а0>о ^кр " " " )

^ |га|2|ла|2 , . .

У -^— й и(л).

'пр^о ^

Следовательно,

/(• _ иа\2\г,1,а 2

|кя (л)12 й и(л) = 1т Е 1 г2 V й и(л) =

/.__I ~а |2|„ .а| 2 __\уа 12 г __I уа 12

Е 2 IV й и(V) = V |ла|2 й и(л) = Е .

Сп |а|>о |а|>о сп |а|>о

Таким образом, К,с £ Р2 (так как в силу неравенства (1) ряд ^ ^гЦ сходится, причём, равно-

| а|> о

мерно на компактных подмножествах Сп) и ||К,с|2 = К.(г, г). □ Лемма 4. Пусть <р £ V(М.п). Тогда для любых а £ Z+ и г £ Сп

(еа, Кс)^ = [ еа(л)К( г ,л) е-2^(аЬ^) йцп(л) = еа (г).

Доказательство. Пусть а £ Z+ и г £ Сп. Тогда для любого Е > 0

/ еа(л)Цг ,Ш) е-2^(аЬ^) й^п(л) = I ва(ы) Е ер (г) фй)е-2^(аЬ^) й^п(л) пр пр |р|>о

= Е е/(*) I (w)ep(w)e-2"(absw) d^n(w) = ea(z) I ^(wrfe-2*^ d^w). |/|>0 JnR JnR Отсюда получаем, что

[ ea(w)K(z,w)e-2<p(absw) d»n(w) = lim [ ea(w)1C(z,w)e-2"absw) d»n(w) J J

C" пл

= ea(z) lim f ^(w^2e-Mabsw) d^n(w) = ea(z) f ^(wrfe-2*^^ d^n(w) = ea(z).

Д^те J J

nR C"

Теорема 2. Пусть <p е V(Rn). Тогда для, любого f е F"

f (z)= I f (w)K(z,w)e-2"absw) d^n(w), z е Cn.

JC"

Доказательство. Пусть f е F^- Для люб ого z е Cn имеем

i f (w)K(z, w)e-2"(abs w) d^n(w) = (f, Kz)v = ( V (f, ea)vea, Kz)v = Jc" |«|>0

= E (f, e»)"(e», ^z)" = (f, e»)"e» (z) = f (z).D |«|>0 |«|>0

Замечание 1. Для любого f е F" в силу плюрисубгармоничности U'\2 имеем,

U(¿)|2 < ¿у / и(w)^ d^n(w),z е Cn,

l|w-.z||<1

где vn(1) - объём единичного шара, в Cn. Следовательно,

Ц(¿)|2 < ~~7Г\ ехР( sup 2p(absw)) \\f (2)

vn(1) ||w-.||<1

В силу оценки (2) для любого z е Cn линейный функционал 5z : F" ^ C, действующий по правилу 5z(f) = f(z), является непрерывным, и, следовательно, существует единственная функция, Kz е F" такая, что для любого f е F" имеем f(z) = (f,Kz)v. Функцuu Kz (z е Cn) называются воспроизводящим,и ядрам,и для F". При этом Kz(w) = K.(z,w) = K,z(w). От,сюда, в част,ноет,и, получаем,, что \\Kz\\" = K,(z,~z).

3. Специальные классы линейных операторов на Р2 3.1. Оператор ортогонального проектирования на Р2.

■2

Тогда

Теорема 3. Пусть ¡р е V(Rn) Pv : L" ^ F" - оператор ортогонального проектирования.

РМ)(*)= I f(w)K(z,w)e-2"(absw) d^n(w), z е Cn (3)

Jcn

Доказательство. Пусть / € Ь^, тогда ) можно представить в виде сходящегося в Р^

ряда Р2а) = Е (I, еа)2 Далее, для любого 2 € Сп имеем |«|>0

Р2>и)(г) = Е (}',е»)2 е»(г) = (^ Е е»(г)е»)2 =

Н>0 |«|>0

= и, Ктд* = [ /МКМе-222^8^ d|J,п(w). □ .)сп

Замечание 2. Равенство (3) может быть записано так: Р2(/= (¡,Кг)2.

3.2. След положительного линейного непрерывного оператора на F2.

Определение 1. Линейный непрерывный оператор А на гильбертовом пространстве Н называют, положительным, если (Ах,х)н > 0 для любого х еН.

А

Н

Н А

непрерывный оператор в Н и {фк}keN ~ ортонормальный базис в Н. След tr(А) оператора А

те

определяется по формуле tr(Ä) = ^ (А(фк),фк)н.

к=1

А

Н

А F2 Тогда

tr (А) = f (А(Kz),K)ve-2ip(absz) dßn(z).

Jcn

Доказательство. Имеем

i (А(Kz),Kz)ve-Mabs z) d/j.n(z) = lim f (А(Кг),KZ)tpe-2^{absz) dßn(z) =

JCn те ./ Пд

= lim f (А( V ^(z)ea), V ^(z)eß) ve-2^(absz) dßn(z) =

R—tте /Пг, — —

Пд |«|>0 |ß|>0

= lim i V ^(z)eß(г)(А(еа), eß) ve-2ip(absz) dlxn(z) =

R—>те /п., —

П R a,ßez™

lim V i ^Jz)eß(z)(А(еа), eß) ve-Mabsz) dßn(z) =

R те П

+ ^ *

12

lim V / |ea(z)I2(A(ea), ea)ve-2^(absz) dßn(z)

lim f V |ea(z)I2(A(ea), ea)ve-2^(absz) d^z)

/ E Iea(z)l2(A(ea), ea)<pe-2ip(absz> dfin(z) =

\«\>G

V (A(e„), e«)v i |e«( z)I2e-2 ^(absz) dßn(z) = V (A(ea), ea)v = tr(A). □

(е

/(Лп

|а|>0 C |а|>0

Замечание 3. Отметим, что такого типа формула для следа положительного линейного непрерывного оператора на пространстве Бергмана в единичном, круге имеется в работе [1] (см. Proposition 6.3.2), а в случае пространства Фока функций многих переменных - в работе [2] (см. Lemma 1).

3.3. Весовой оператор композиции на F^-

Определение 3. Пусть H - гильбертово пространет,во и {ipk }ken - ортонормальный базис в H. Линейный непрерывный оператор А : H ^ H называется оператором Гильберта-Шмидта,

те

если Y1 \\A(^k)\\н < ж-k=i

Известно [5, Lemma 5.5.1], что значение суммы ряда не зависит от выбора ортонормального H

Теорема 5. Пусть голоморфное отображение h : Cn ^ Cn и функция и <Е Н(Cn) таковы,

72 ^ u(f о h) непрерывен на F^.

что линейный оператор иСн : / € ^ и(/ о К) непрерывен на, Р2,. Тогда следующие условия

эквивалентны:

1) иCh - оператор Гильберта-Шмидта;

2) fC„ \и(z)| 2K(h(z),h(z))е-2^(absz) din(z) < ж. JC" VJC" ..........1

3) fCn(fCn IU(W)I2IKZ(h(w))l2e-2(^аЫ^+^аЫг)) d^w)) d^n(z) < Ж. Доказательство. Условия 1) и 2) эквивалентны. Действительно, так как

Е НиСфе*)^ = Е/ lu(z)l2 lhl(z)2aic Z)?an eZ)d!n(z) =

|a|>0 H>0 C" Ca(p)

f |u(»)|» £ ^^ ■■■'*n^)|2°- f,—2if(at/s „) din(z) =

IC" ca (P)

|a|>0

MzW

K,(h(z),~h(z))e-2v(absz) din(z), ьберта-Шмидта тогда и только тогд |u(z)|2fc(h(z),Щ)e-2^(absz) din(z) < ж.

Jсn

то иСн является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда

¿с ™

Покажем, что условия 1) и 3) также эквивалентны. Очевидно, оператор иС^ на Р2 является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда след оператора (иСь)*иСь конечен. Для этого необходимо и достаточно (по Теореме 4), чтобы Тс™((иСн)*иСн(К,),К2)<ре-21р(аЫй^) < ж. А так как

((иСн)* иСн(Кг ),Кг )<р = (иСн(Кг ),иСн(Кг ))<р =

= I 1и^)121ККы)^2е-2^(аЫш) (1цп{ы), .Ус™

то иСь на Р2 является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда

/ ([ 1и(ы)121Кг(Ны))12е-2^8^^0*82» й^ы)} й^) < ж. □ Ус™ V]с™ )

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К. Zhu Operator theory in function spaces. Marcel Dekker, New York (1990).

2. Sei-Ichiro Ueki Hilbert-Schmidt Weighted Composition Operator on the Fock space // Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 1:16, 769 - 774 (2007).

3. Мусин И.Х. О гильбертовом пространстве целых функций // Уфимск. матем. журн. 2017. 9:3, С. 111 ПК.

4. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975.

5. Е. Brian Davies Linear operators and their spectra. Cambridge University Press (2007).

Иль дар Хамитович Мусин, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: musin_ildar@mail .ru