О спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 88-99.

УДК 517.9

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С МАТРИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Н.Б. УСКОВА

Аннотация. В работе получены асимптотические оценки собственных значений, собственных векторов и спектральных проекторов оператора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом и квазипериодическими граничными условиями. Матричный потенциал состоит из функций, суммируемых с квадратом на отрезке [0,1], и матрица из средних для функций имеет простые собственные значения. Рассмотрен также случай, когда матрица из средних есть матрица простой структуры.

Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр, линейные операторы, спектральные проекторы

Mathematics Subject Classification: 35L75, 35Q53, 37К10, 37К35

1. Введение

Рассмотрим гильбертово пространство Ь2[0,1] измеримых и интегрируемых с квадратом на отрезке [0,1] функций. Пусть П = Ь2([0, l],Cm) = L™[0,1] = Ь2[0,1] х • • • х Ь2[0,1] -

4-V-'

га раз

гильбертово пространство измеримых на [0,1] со значениями в С"1 и суммируемых с квадратом нормы функций. Скалярное произведение в L™[0,1] определяется формулой

т

(/> 9) = 9г), / = (/ь /2, • • •, и е L?[ 0,1], д = (дид2, ...,дт)е L?[ 0,1],

г=1

(fiiQi) = fo fi(x)9i(x) dx — скалярное произведение в пространстве Ь2[0,1] комплексных функций, и норма

т г\

(х)\2 dx

"" pi

Е / ^

г=1 Jo

порождается этим скалярным произведением.

В пространстве Ь™[0,1] рассмотрим дифференциальный оператор Ь, порожденный дифференциальным выражением

(ьу)а) = -у"а)+яа)уа)> (1)

и квазипериодическими краевыми условиями

у\ 1) = у\0)егв, у( 1) = у(0)е», (2)

9 £ (0,27г), в ф 7Г, — оператор Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом €¿{1) = , = 1,..., га, и Ьу £ ¿2[0,1] — комплекснозначные функции. Симво-

лом о = (Ьоу), ЬЗ = 1, 2,... ,га, обозначена матрица, составленная из средних значений функций т. е. Ъщ = (!£. Ниже будут изучаться спектральные характеристики

N.B. Uskova, On spectral properties of Sturm-Liouville operator with matrix potential. © УСКОВА Н.Б. 2015.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда, проект 14-21-00066. Поступила 22 февраля 2015 г.

оператора L с суммируемыми с квадратом функциями в случае, когда Qo — нормальная матрица простой структуры.

Отметим, что в этом случае матрица Qо подобна матрице диагональной, у которой по диагонали стоят собственные значения ß\, ß2, ■ ■ ■ , ßm, и базисом в пространстве С"1 являются соответствующие собственные векторы (ортогональные) матрицы Q0. Поэтому изначально можно предполагать, без ограничения общности, что матрица Qo диагональна, и соответствующий базис составляют ее собственные нормированные векторы /1; /2,... , fm. Пусть также числа ßi, ß2, ■ ■ ■, ßm упорядочены по возрастанию, т. е. ß\ ^ ß2 ^ '' ' ^ ßm-

Рассмотрим теперь оператор Ь0, такой что L0y = —у", область определения которого совпадает с областью определения оператора L. В дальнейшем оператор Ьо будет играть роль невозмущенного оператора. Известно, что его собственными значениями являются числа

Ап = Аnj = (27тп + в)2, п £ Z, j = 1, 2,..., га, а соответствующими собственными векторами — функции eraj(i) = ег(2жп+е)* j. ^ п £ "Z, j = 1,2,..., га, кратность собственного значения равна га-

Операторы такого класса рассматривались O.A. Велиевым в [1], при условии bij £ L\[0,1], г = 1, 2,..., га. В этой же работе и при таких же ограничениях на в была доказана базисность Рисса корневых функций оператора L в случае простых собственных значений матрицы Qo, а также получены оценки на собственные значения и собственные векторы оператора L вида (см. [1, теорема 2])

Afcj = (2vTk + e)2 + ßj + o(^^J,

В рассматриваемом случае (bij G [0,1]) можно улучшить асимптотику собственных значений и собственных векторов оператора L, а также получить оценки равносходимости соответствующих спектральных разложений. Заметим, что в цитируемой работе [1] не рассматривались оценки взвешенного среднего в случае кратных собственных значений у матрицы Qо, отклонения спектральных проекторов и вопрос равносходимости. Основным результатом работы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Существует тлкое натуральное число I, что спектр cr(L) оператора L представим в виде

v(L) = a{l)\j(\Ja\ (3)

где <Т(7) — конечное множество, с числом собственных значений, не превосходящим 2Im + rri, = {Afc;i, Afc;2, • • •, \k,m\, и в случае простых собственных значений ßj матрицы Qo имеют, мест,о оценки, (\k\ > I)

Afcj = (2тгк + в)2 - + ö(\k\~l), j = 1, 2,..., га, (4)

ек, = е^к+е)х13 + 0(\к\-1), (5)

в случае полупростоты собственных значении, ßj имеет, мест,о формула

ТП тп

1 £ Afcj = (2тг к + в)2+ ОЦкП. (6)

3=1 3=1

Для спектральных проекторов Pk = P(ak,L0) и, Рк = P(ak,L) справедливо асимптотическое представление (\k\ > I)

\\Pk-Pkh = 0(\k\-1),

причем

Y,m-mi<oo. (7)

|fc|>Z

Следствие 1. Оператор L спектрален по Данфорду [2] от носит, елъно разложения (3).

Теорема 2. Имеет мест,о оценка (равномерной безусловной равно сходимости спектральных разложении,)

||Р(П) - Р(П)||2 ^ const O(kP),

где Pitt) = Е Pk, = Pk, tt = {г eZ, |г| > /}, k0 = min\k\. feen feen fceQ

Заметим, что так как проекторы P(tt) и P(tt) подобны, то ряд ^ Рк безусловно схо-

fce п

дится.

2. К методу подобных операторов

Введем сначала следующие пространства операторов. Через End И обозначим банахову алгебру операторов, действующих в К с нормой ЦХЦоо. Всюду далее через А обозначается замкнутый линейный оператор, действующих в И, и имеющий область определения D(A), спектр а{А) и резольвентное множество р(А). Оператор А играет роль невозмущенного оператора, спектральные свойства которого хорошо изучены. Символом £а(Н) обозначается пространство операторов, действующих в И и подчиненных оператору А, т. е. В g ^(Ti), если D(B) D D(A) и существует такая константа С > 0, что \\Вх\\ ^ С(||ж|| + ||Az||),:z g D(A). Норма в £а(Н) задается формулой ||В|Ц = inf{С > 0 : \\Вх\\ ^ С(||ж|| + ||ас||),ж g D(A)}. Отметим, что В g £A(W означает, что существует Ло g р(А), такое что ||-Е>(^4 — Ло/)_1|| конечна. Для рассматриваемых операторов без ограничения общности можно считать D(A) = D(B).

Определение 1 ([6]). Два линейных операт,ора Ai : D(Ai) С V. —> Л, г = 1, 2, называются подобными,, если, существует, непрерывно обратимый оператор U g End Л, такой, что UD(A2) = и A\Ux = UA2x, х g D(A2). Оператор U называется оператором

преобразования оператора А\ в А2.

Методом исследования оператора (1), (2) будет служить метод подобных операторов. Основные положения метода подобных операторов, в хронологическом порядке, изложены в работах [3] - [7]. Мы будем придерживаться работы [6]. Заметим, что с помощью метода подобных операторов исследовались спектральные свойства различных дифференциальных операторов, например, в работах [8]—[11], [16]. К оператору L с матричным потенциалом и квазипериодическими краевыми условиями метод ранее не применялся.

Оператор, действующий в пространстве операторов, будем, согласно терминологии М.Г. Крейна, называть трансформатором.

Одним из важных понятий метода подобных операторов является понятие допустимой тройки, которая для применимости метода должна удовлетворять ряду условий.

Определение 2 ([6]). Пусть A4 С £а(%) — линейное подпрост,ранет,во операторов и, J : A4 —>■ A4, Г : A4 —> End Л, — трансформаторы. Тройку (A4, J, Г) назовем допустимой тройкой для оператора А, а A4 — допустимым прост,ранет,вом возмущений, если, выполняются следующие условия:

1) A4 — банахово про cm,ранет,в о со своей, нормой || • \\м, непрерывно вложенное в £а(Н), т,. е. существует постоянная С > 0 такая, что ЦХЩ ^ СЦХЦд^, для любого X g £а(н);

2) J иТ — непрерывные трансформаторы, причем J — проектор, т,. е. J2 = J;

3) (TX)D(A) с D(A), АГХ - (гХ)А = X - JX, УХ е М, и Y = ГХ - единственное решение уравнения AY — YА = X — JX, удовлетворяющее условию JY = 0;

4) Х(ГУ); (ГХ)У G Ai, VX, Y G Ai, и существует такая постоянная 7 > О, что

||Г|| и тах{||ХГУ||_Л4, \\TXY\\M} ^ 7||Х|\M\\Y\U,

5) для любого X G Ai и, любого £ > О существует число Х£ G р(А) тлкое, что

\\Х(А-Xjy'W <£.

Пусть (Ai, J, Г) — допустимая для оператора А тройка. Возмутим оператор А некоторым оператором В из пространства допустимых возмущений Ai.

Теорема 3 ([6]). Пусть выполнено условие 4||£>||_a/¡7 < 1- Тогда операторы А — В и А — JX подобны, т,. е.

(А - В){1 + ГХ) = (/ + ГХ)(А - JX),

где оператор X G Ai ест,ъ решение нелинейного операторного уравнения

X = ВТХ - (TX)(JB) - (TX)J(BTX) + В, (8)

и его можно найти методом последовательных приближений, используя в качестве первого приближения оператор В.

Иногда сразу трудно подобрать такое пространство допустимых возмущений Ai, чтобы и оператор В сразу принадлежал Ai и это пространство было бы удобно для дальнейших исследований, поэтому бывает удобно сначала сделать предварительное преобразование подобия оператора А — В в оператор А — В, где В G Ai {В ф Ai).

Продолжения трансформаторов J и Г на пространство обозначаемые теми же

символами, осуществляются следующим образом (см. [6]). Пусть Ао G р{А), положим

JX = J{X{A - Ао 1)~1){А - А о/), X G йА{П), (9)

ГХ = Г(Х(А - Ао 1)~1){А - Ао/), X G &А(Н). (10)

Эти продолжения корректны, т. е. не зависят от выбора числа Ао G р{А). Если х G D(A), то из (9) и (10) следует, что операторы JX и ГХ на векторе х определяются так же, как и в определении 2 и использовались в теореме 3.

Такое преобразование возможно при выполнении следующего предположения [6], [12].

Предложение 1. Операторы ТВ, JB, В удовлетворяют следующим условиям:

1) Г В G ЕпсШ и ||ГВ|| < 1;

2) (TB)D(A) С D(A) и (АГВ)х - (ГВА)х = Вх - (JB)x, Ух G D(A);

3) BY В, (Г В) J В G М;

4) для любого числа £ > 0 существует число Х£ G р(А), тлкое что \\В(А—Ае/)-1 ||оо < е.

Теорема 4 ([6], [12]). Пусть выполнены условия предположения 1, тогда оператор А — В подобен оператору А — В вида

А - JB - (I + ТВ)~1(ВТВ - (Г В) J В) = А-В, и оператором преобразования оператора А —В в оператор А—В служит, оператор I+YB.

3. Построение допустимой тройки для оператора, близкого к ь0

Сначала сделаем следующее замечание. При в ф 0 и в ф тт собственные значения Ага оператора Lo имеют кратность m, но при в —> 0 и в —> тт расстояние между парой соответствующих собственных значений Хп и А_га (9 —> 0) или Хп и A_(ra+i) (9 —> 7г) стремится к нулю, поэтому, если рассматривать только случай простых собственных значений оператора L, то 9 G [ei, 7Г — £2] U [7г+£2, 2"7г — £3], где £1, £2, £3 — отличные от нуля малые величины. При выполнении этого условия все получаемые далее оценки имеют место равномерно для всех 9 из рассматриваемого промежутка. В дальнейшем рассматривается случай только таких 9.

Пусть А : D(A) С Tí —Tí — нормальный линейный неограниченный оператор, имеющий полупростые собственные значения

A„,¿ = (an + в)2 + ßi, i = l,...,m, neZ,

где а, 9 — константы, 9 £ [ei, 7Г —£2]U[7r+£2, 27г —£3], ß\ ^ ß2 ^ • • • ^ ßm, и соответствующие собственные векторы en>i образуют ортонормированный базис в Tí. Пусть Рп = Р(ап, А) — проекторы Рисса, построенные по спектральному множеству ап = {Arai, ХП2,..., Апт} оператора А. Каждому оператору X £ End Tí поставим в соответствие две матрицы: операторную X = (Xij), где Xij = PiXPj, i,j £ Z, и числовую X = (xnikj), где xnikj = (Xekj,eni), n, к G Z, 1 ^ i, j ^ m.

Символом &2CH) обозначим идеал Гильберта-Шмидта операторов из End Tí. Так как проекторы Рп, п G Z, являются ортопроекторами, то норму в ©2(?í) можно задать формулой

\\x\\l = Y,\\PiXPi\\l vxGе2(п), t,jez.

Далее также будет использоваться обозначение Хр для р-той диагонали операторной матрицы оператора X, т. е. Хр = Х^, очевидно, что ЦХЦ2 = ||XP||¡, X G ©2(%).

i-j=p р В качестве пространства допустимых возмущений возьмем пространство &2^Н) и возмутим оператор А оператором В G ©2 (%)• Определим семейство трансформаторов формулой

JkX = QkXQk + J] РгХРг, X G 62(П), \i\>k

где Qk = Pj и JoX = PiXPi. Очевидно, что || Jk\\ = 1, так как

|i|sífc íez

\\jkx\\i ^ \\QkxQk\\¡ + y, \\PiXPiWi < mi

i'¡ík

с другой стороны, если X = PíXPí, т. е. матрица оператора X диагональна, то JkX = X и ||JfcX||2= ||Х||2.

Перейдем к построению трансформатора Г0 : &2СЮ —> End Определим сначала его на операторных блоках X¿j = PiXPj, где X G ©г(^) (и X¿j G ©2(%))• Для каждого Х^, i ф j, примем ToXij = Yij, где Y¿j — есть решение уравнения

AYij — Y^А = Xij, i ф j, i,jEZ¡,

и Ya = 0. Заметим, что последнее уравнение переписывается в виде

AiXij — YijAj = Х^, (11)

A-i = Aly, , Hi = RanP¿. Так как a (Ai) Da(Aj) = 0, то уравнения (11) разрешимы [13], [14]

и

const IIХу II2

\\Yij\\2 ^

dist(<7j, (jj) '

из [15] следует, что const можно принять равной единице.

Соберем теперь оператор Г0Х из операторных блоков Y^ = (ГХ)^-: Г0Х = ^(ГХ)^-, и

\\r0x\\l = £ 11(гх)у|Ц ^ J] ^ ¿ö2Е Ы ^

Таким образом, оператор Г0Х принадлежит пространству ©2(%) и ||Г0|| ^ d^1, где сим волом do обозначена величина min dist(<Tj, Uj).

S3

12

Определим также семейство трансформаторов Г^Х с помощью формулы

YkX = ГоХ — To{QkXQk) = ГоХ — QkYoXQk■ (12)

Из последнего равенства вытекает, что

4 = dist(<7fc, (7fc+i) = I(а(к + 1) + 9)2 + ßm- (ак + в)2 - ßi\ =

= |2 а2к + 2a9 + ßm- ßi\ = О (к),

т. е.

\\rkx\\l^c^\\x\\l. (13)

Из вышесказанного следует выполнение п. 4 определения 2 с величиной 7, имеющей порядок к_1.

Проверим выполнение остальных пунктов определения 2, относящихся к трансформатору Г. Рассмотрим оператор AQnYXA_1 и представим его в виде (х Е И)

AQnYXA~lx = QnYXx + Qn(X - JX)A~1x, хЕН.

Так как QnYX —>• ГХж, — JX)A~lx —>• (X — JX)A~lx при n —> 00, то и

А(5гаГХА_1ж у0 Е V.. Пусть QnYXA~lx —>• у0 = YXA~lx, но тогда в силу замкнутости оператора А имеем х0 Е D(A) и Axq = г/0, где у0 = lim уп.

п—>оо

Выполнение условия 5) очевидно, так как

\\X(A-X£I)-l\\l^\\X\\22-\\(A-X£I)-l\U

причем первый сомножитель конечен, а второй можно сделать сколь угодно малым. Итак, доказана

Теорема 5. Тройка (&2('Н), Jk,Yk) является при любом k ^ 0 допустимой для оператора А тройкой.

Из теоремы 5 и оценки (13) следует

Теорема 6. Существует такое число I ^ 0; что оператор А — В подобен оператору блочно-диагоналъного вида

А-С^ХС^-^РгХРг,

\Ц>1

где X ест,ъ решение нелинейного операторного уравнения (8) cYi и Ji; оператором преобразования является оператор I + Г^Х и первым приближением к решению X по методу итераций является оператор В.

Лемма 1. Пусть X Е &2{Н). Тогда оператор YkX Е &2{Н) представим в виде YkX = УА-5 = А~ъг, где г,У Е &2(П).

Доказательство вытекает из матричного представления оператора YkX, к ^ 0.

Оператор А~2 в лемме 1 определяется на базисных векторах так: если

_1 _ 1

х= и Ае^к = \ке^к, то А 2Х = ^ (х, ен>к)ен>к.

гей гей

к=1,...,т к=1,...,т

Лемма 2. При выполнении условий теоремы 6 оператор X — В Е &\{Н) и

\\Рг{Х-В)Рг\\^аг1~\ г > I, (14)

где {«г} € 1\.

Доказательство. Из (8) имеем:

X — В = BYiX - TtXJtB - TiXJi(BTiX);

MX — В) = Ji(BTiX) = MBYA-ï) и Ji(X — В) G Si (H), так как произведение двух операторов Гильберта-Шмидта есть

_ 1 _ I

ядерный оператор. Далее, Pi(X — В)Pi = PiBYA 2Д = Za\i 2, где Z = BY G ©i и Zu = PiZPi. Лемма доказана. □

Пусть имеет место теорема 6. Тогда из подобия операторов А — В и А — JiX следует а (А - В) = а (А - JiX) = а(А{1)) U ( Uw>i Аг), где А{1) = (А - QiXQ^H®, Щ} = RanQ^ и Ai = (PiA — PiX)[Hi. Так как оператор X неизвестен, а известно лишь первое приближение к нему (второе приближение уже практически не используется ввиду его громоздкости), то Ai = (PiA — PiB — Pi(X — B))\Hi, причем первые два оператора известны и выписываемы, а для третьего оператора известна оценка (14) из леммы 2.

Из подобия операторов А — В и А — 3\Х получаем также, что верны следующие представления проекторов (U = I + Г|Х)

Q^U-'QiU, Pt = U~lPtU,

где Qi — проектор на подпространство U~1'H(i), я Pi — на U~1'Hi. Отсюда сразу следуют формулы

Qt-Q^iTtXQt-QtTtX)!/-1-, Рг-Рг = СГгХРг - PiT^U-1. Из лемм 1 и 2 получаем при |г| > I

II Pi — -Рг|| 2 ^ COnst

где ôi G 12 и

HP; -Pi- Г tBPi - РгТгВ\\2 ^ const 5'гГ2,

где ô'i G l2.

4. Преобразование подобия оператора L

Вернемся теперь к исходному оператору (1), (2). Напомним, что в качестве невозмущенного оператора выступает оператор (Ay)(t) = —y"(t), а в качестве возмущения — оператор умножения на матричный потенциал (By)(t) = —Q(t)y(t). Очевидно, что операторная матрица возмущения состоит из элементов PiBPj = Bi_j = (biki-j), 1 ^ l,k ^ m, i,j g Z (соответственно, числовая матрица имеет вид (biki-j))• У матрицы Bij операторы, стоящие на диагоналях, параллельных главной, одинаковы, и на главной диагонали стоят блоки Во, состоящие из матрицы Во = {Ъшо), 1 ^ I, к ^ m, где Ъшо = /0 bik(t)dt. Так как все функции bik из Ь2[0,1], то они имеют ряды Фурье вида bik(t) = bikmet2lTmt, причем

m

У) \bikm\2 < со- Заметим, что сходимость рядов Фурье у возмущения не гарантирует усло-

m

вия В G &2{Н). Поэтому сначала надо сделать предварительное преобразование подобия оператора А — В в оператор А — В, где В G &2{Н). Определим трансформатор J0B формулой

J0B = Y,PnBPn,

nez

где ряд Y1 РпВРп сходится, и его сумма равна Во, т. е. трансформатор Jo определен nez

корректно. Отметим, что JqB ф. &2{Н).

Перейдем к оператору ГоД Используя свойство 1) предположения 1, определим сначала оператор ГоД,- = T0PiBPj = PiT0BPj, i, j G Z, как решение Y^- G Endl-L операторного уравнения

AYij - YijA = Bij - J0Bt], (15)

удовлетворяющее условию Ya = 0. Уравнения (15) разрешимы, каждое имеет единственное решение [13], [14], и так как это уравнение переписывается в виде

AiYij YijAj ./о •

где Ai = А\Пг, Пг = RanРг, АгРг = ХгРг, то ([13] - [15])

const IIД-

ll^ll ^

'г] |

|Aj - Xj\

Соберем оператор Г0В из операторных блоков ГоД/, г ф j, и покажем, что Г0В G ©2(%)• Действительно,

||2

\\ГоВр\\1= ЦГоВч\\1 = Y1 L\ , 9/ЭЧ2 ^

, 4тг2р2(27г(р + 2j) + 2ву

Р+О

i r ii2

< il °Р 112 у^

4тг2р2 ¿Г< (27г(р + 2j) + 261)2'

где последний ряд сходится и ЦГо-ВрЩ ^ const ;

115 II2

|Го-В||| = Е ||Г0ВР||| = const Е ^^ < оо.

р2

р

Таким образом, Г0-Е> G &2{Н). Очевидно, что Т0В G End% и Г0-Е> можно представить в виде CqA-13, где /5 < так как Г0В = TqBA^A-13 и для оператора С0 = Го-ВА'3, ¡3 < имеем

ад V—^ р2 ^(p + 2j)2'

где внутренний ряд сходится, если 2/3 < 1. Рассмотрим теперь оператор ВГоВ:

||-ВГо-В||| = ^ || ^ Вк(Г0В)р_к\\2 ^ ^ ( ^ ||Вк||оо||Го-Вр—А;п2

р к р ^ к

Рассмотрим две последовательности: последовательность = ||Д||оо, по условию £ 12]

последовательность £2к = ||Г0Д>||2 ^ ^гМ^С е

з

Свертка двух последовательностей из 12 и ^2к из 1\ есть элемент 12} т.е.

Е(Е6^2(р-ч)2 < оо- Таким образом, ВГ0В е &2(Н).

р к

Рассмотрим оператор {Г0В).]0В. Проводим аналогичные рассуждения: £ \\(Г0В).10В\\1 ^ £ || £(Г0В)к(.10В)р_к\\1 = £ [|(Г0Б)РД |[2 ^

р р кф0 рфО

р

т. е. (Г0В)30В е &2{П).

Наряду с операторами Го и Jo рассмотрим также операторы Гга и Jn, определяемые равенствами:

JnB = J0B — Jo(QnBQn) + QnBQn = J0B — QnJ0BQn + QnBQn =

= QnBQn + J] PkBPk; (16)

\k\>n

Г nB = Г qB — Г o(QnBQn) = Г qB — QnT0BQn. (17)

Из этих равенств следует, что ТпВ Е ) для любого п. Более того,

lim \\TnB\\l= lim \\ToB-To(QnBQn)\\22 = 0,

п—>оо п—>оо

поэтому можно выбрать число п достаточно большое, такое что ||Гга£>||2 < 1.

Лемма 3. Операторы ТпВ, JnB, В удовлетворяют условиям предположения 1.

Доказательство. Выполнение условий 1 и 3 доказано выше. Рассмотрим условие 4. Так как В Е £а(Ю и

IIВ (А - АД)"1!! = \\BA-* II • \\АЦА - АД)"1!!,

причем последний множитель можно сделать сколь угодно малым за счет подходящего выбора числа Ае.

Включение (TB)D(A) С D(A) доказывается так же, как и в теореме 5. Лемма доказана.

□

Теорема 7. Существует такое число п, что оператор А — В подобен оператору

А - JnB - (/ + ГпВ)~\ВГпВ - VnBJnB) = А-В,

где А = А - J0B и В = (I + TnB)~l(BTnB - YnBJnB) — J0B + JnB Е &2(П). Оператором преобразования оператора А — В в оператор А — В служит, оператор I + ГпВ, где

гпв е е2{п).

Теперь в качестве невозмущенного оператора удобно брать оператор А, а в качестве возмущения — оператор В Е &2(Ji). Заметим, что JqB, JnB ф &2(Jl) и оператор JqB = Bolk, где символом обозначен оператор такой, что РДк = hPk = Рк, fcez

IkPi = Pilk = 0) ПРИ I Ф к, т. е. оператор JqB состоит из блоков В0 на главной диагонали, а все остальные элементы его операторной матрицы равны нулю. Оператор JnB — J0B конечномерный, поэтому он принадлежит и &2(И), и &i(H). Более того, главная диагональ его операторной матрицы нулевая.

Применим теперь к оператору А — В теорему 6 и получим, что верна

Теорема 8. Существует т,акое число 1 Е Z (I ^ п), что оператор А — В подобен оператору блочно-диагонального вида А — JiX, т. е.

(1 - В) (1 + ГгХ) = (/ + ГгХ) (1 - JiX),

где X Е &2(Ji) есть решение в прост,ранет,ее (Н) нелинейного операторного уравнения (8) с оператор ом-возмущением В и, операторами, Гг и, Ji, определенными, формулами, (16) и (17).

Из теоремы 8 вытекает

Теорема 9. Существуют такие натуральные числа п и I (I > п), что оператор Ь, определенный равенствами (1), (2), подобен оператору блочно-диагонального вида от,носит,ельно системы проекторов Рк

- <2пВ<Эп - РкВРк - - РкХРк> (18)

\к\>п \к\>1

где X Е &2{Н) ест,ъ решение нелинейного уравнения (8) с ^ и, Х—В Е &\{Н), оператор В из теоремы 7 и, РкВРк = Оператором, осуществляющим преобразование подобия, являет,ся оператор

У = 1 + ГпВ + Г1Х + ГпВГ1Х = 1 + Уп1, (19)

где Уп1 Е &2(П). Доказательство теоремы 1. Из теоремы 9 следует, что

а(Ь) = а(А - ,7пВ - ,ДХ) = а{1) ^ ( ^

V 11.1^7 /

Щ>1

где ак = а(АРк - РкВ\нк~ РкХ\Нк), АРк = ХкРк и а(РкВРк) = а(В0) — известен. Представим оператор В в виде

оо

В = ВГпВ — ТпВЗпВ + ^^(—1)кГпВ(ВГпВ — ТпВ.ХпВ) = ВГпВ — ТпВЗпВ + ть

к=1

где Т\ Е ©1 (Л), поэтому

3ХВ = .ЦВГпВ) + ,т = £ РкВТпВРк + С^ВГпВС^ +

\к\>1

\РкВТпВРк\\2

з^к

5 / „ II Д., ||2 \ 5

Ё1 (А/с - А

^ сопв! \к\~1, \к\ > т.

Поэтому, в случае простоты собственных значений г = 1,2,..., т, матрицы имеет место формула (4), а в случае полупростоты — формула (6).

Из подобия операторов Ь и А — В следует, что спектральные проекторы Рк оператора А и Рк оператора Ь подобны, и Рк допускает представление

Рк = (1 + ¥п1)Рк(1 + ¥п1)-\

или

Рк-Рк = (Уп1Рк - РкХп1)(1 + Уп1)~1.

Очевидно, что Рк — Рк Е ©2("Н). Оценим теперь величины Уп1Рк, РкУп1, по норме пространства &2{П). Учитывая, что ГгХ = УА~^, ГгаБГгХ = ТпВУА~Ь = гА~\ где У Е &2{П), Z Е ©1 ("Н), имеем

||(ГгаВ + ГгХ + ГгаВГгХ)Р*||2 ^ ||ГгаВРЛ||2+

12 • 1

так как В = (bij), г = 1, 2,..., га, и Е ¿2[0,1], то величина sup ^ ||-E>ifc||2 < сю, ограничена

i

по к, и, следовательно, ЦУ^РйЦг = Тогда

т. е. имеет место формула (7).

Из подобия оператора L = А — В, определенного формулами (1), (2), оператору вида (18) следует равенство (в случае простых собственных значений матрицы Q0)

ek,j = Vek>j = ek,j + Ynlek}j, \k\ > I,

где оператор V определен формулой (19). Для доказательства равенства (5) осталось оценить величину Ynlekj, поэтому оценка (5) вытекает из оценки

« ¿(Е»*)'—»И".

4 г-фк ' 4 г-фк '

и представления Г(Х и ГпВГ(Х, X Е 62(П) в виде YA~*, ZA~з, Y Е е2(П), Z Е 6i(П). Итак, теорема 1 доказана. Напомним следующее

Определение 3 ([2]). Пусть С : D(C) С % —> % — линейный оператор, спектр которого представим в виде объединения

v(C) = \Jak, J = {N, Z}, (21)

feel

взаимно непересекающихся компактных множеств ak, k Е J. Пусть Pk — проектор Рисса, построенный по множеству ак. Оператор С называется спектральным относительно разложения (21) (или обобщенно спектральным), если ряд Ркх безусловно сходится для любого вектора х из

Непосредственно из теоремы 1 вытекает следствие 1.

Доказательство теоремы 2. В условиях теоремы 1 имеет место формула Р(П) - Р(П) = (YnlP(Q) - P(Q)Ynl)(I + Ynl)~\

поэтому

II P(Q) - P(Q) ||2 ^ const (\\YnlP(tt)\\2 + \\P(tt)Ynl\\2). Рассмотрим первую из норм. Так как

\\YnlP(Q)\\2= \\TnBP(Q) + TlXP(Q) + ТпВТ1ХР(П)\\2 ^ \\ТпВР(П)\\2+

+ \\УА~ъР(П) + ZA^Pitt)||2 ^ \\ГпВР(П)\\2 + О(\ко\-*), то необходимо оценить только величину ||ГП5Р(П)||.

_ 1

Повторяя рассуждения для (20), получаем \\ГпВР(П)\\2 ^ О(к0 2). Для второй нормы оценка аналогична. Теорема доказана.

В заключении добавим, что в цитированной работе [1] не рассматривались оценки на спектральные проекторы (теоремы 1, 2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Велиев O.A. О несамосопряженных операторах Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами // Матем. заметки. 2007. Т. 81., №. 4. С. 496-506.

2. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральные операторы. Т. III. М.: Мир. 1974. 663 с.

3. Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. жури. 1983. Т. 24, №. 1. С. 21-39.

4. Баскаков А.Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, №. 4. С. 435-457.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущённых неквазианалитических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, №. 4. С. 3-32.

6. Баскаков А.Р, Дербушев A.B., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75., №. 3. С. 3-28.

7. A.G. Baskakov, I.A. Krishtal On completeness of spectral subspaces of linear relations and ordered pairs of linear operators //J. Math. Anal, and Appl. 2013. V. 407. P. 157-178.

8. Ускова Н.Б. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов // Сиб. матем. жури. 2000. Т. 41., №. 3. С. 712-721.

9. Ускова Н.Б. О спектре некоторых классов дифференциальных операторов // Диффереиц. уравнения. 1994. Т. 30., №. 2. С. 350-352.

10. Поляков Д.М. Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с негладкими коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56., №. 1. С. 165-184.

11. Карпикова A.B. Асимптотика собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с периодическими краевыми условиями // Уфимский матем. журн. 2014. Т. 6., №. 3. С. 28-34.

12. Азарнова Т.В., Ускова Н.Б. О преобразовании подобия операторов // Вестник ВГУ. Сер. Физ. Матем. 2007. №. 2. С. 121-126.

13. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Р Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970.

14. Баскаков А.Р, Юргелас В.В. Индефинитная диссипативность и обратимость линейных диференциальных операторов // Укр. матем. журн. 1989. Т. 41., №. 12. С. 1613-1614.

15. R. Bhatia, Р. Rosental How and why to solve the operator equation AX — XB = Y // Bull. London. Math. 1997. 29. P. 1-21.

16. Баскаков А.Р Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 23-62.

Наталья Борисовна Ускова,

Воронежский государственный технический университет,

Московский пр-т, д. 14.

394016, г. Воронеж, Россия

E-mail: [email protected]