Асимптотика собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с периодическими краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 6. № 3 (2014). С. 28-34.

УДК 517.9

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КРАЕВЫМИ

УСЛОВИЯМИ

А.В. КАРПИКОВА

Аннотация. Для исследования спектральных свойств оператора Штурма—Лиувилля, порожденного дифференциальным выражением 1(у) = -у" - vy с комплексным потенциалом v, и определяемого периодическими краевыми условиями у(0) = у(2п), у'(0) = у'(2п), используется метод подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра оператора.

Ключевые слова: метод подобных операторов, оператор Штурма—Лиувилля, спектр оператора, асимптотика спектра.

Mathematics Subject Classification: 34L20, 34L40, 47E05

1. Введение

Пусть L2[0, 2ж] — гильбертово пространство комплексных измеримых на [0, 2ж] и суммируемых с квадратом модуля функций со скалярным произведением вида:

2^ _______

(х,у) = 2L J х(т)у(т)dт, х,у Є І2[0, 2п].

о

Через W22[0, 2ж] обозначим пространство Соболева {у Є L2[0, 2ж] : у' абсолютно непрерывна и у" Є L2[0, 2^}}.

Рассматривается одномерный оператор Штурма-Лиувилля L : D(L) С L2[0, 2к] ^ L2[0, 2к], который определяется дифференциальным выражением

Ку) = -У" - VУ,

с областью определения у Є D(L) = {у Є W%[0, 2ж] : у(0) = у(2ж),у' (0) = у'(2п)} , задаваемой периодическими краевыми условиями. Предполагается, что потенциал v принадлежит L2[0, 2-п] и v(t) = vkегкі, t Є [0, 2-n], - его ряд Фурье.

кЄ Z

Оператор L представим в виде L = А - В, где оператор А : D(A) = D(L) С L2 [0, 2к] ^ L2 [0, 2ъ] задаётся дифференциальным выражением

Ш = -у",

а оператор В — оператор умножения на потенциал V. Он корректно определён, в силу условия D(B) D D(A). Оператор В будет играть роль возмущения.

Оператор А является самосопряженным с компактной резольвентой. Его спектр о (А)

имеет вид: а(А) = {п2, п Є Z+ = NU {0}}, Е® = Span{e£\ei?} - собственное подпространство для собственного значения п2 , п = 0 , где (t) = en(t) = emt, en\t) = e-n(t) = e-mt;

E° = {а}, а Є C.

A.V. Karpikova, Asymptotics for eigenvalues of Sturm-Liouville operator with periodic boundary conditions.

© Карпикова А.В. 2014.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-ний(гранты 13-01-00378, 14-01-31196).

Поступила 15 февраля 2Q14 г.

В данной статье для исследования спектральных свойств оператора Штурма-Лиувилля используется метод подобных операторов, разработанный в [1]—[6]. Суть этого метода состоит в преобразовании подобия исследуемого оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам невозмущенного оператора. Таким образом существенно упрощается изучение исследуемого оператора Ь.

Одним из основных результатов статьи является теорема 1, в которой получена уточненная асимптотика собственных значений оператора Ь. В доказательстве этой теоремы используются следующие двусторонние последовательности комплексных чисел:

„ _ Х"'' . и3-п п _ V-'' _ и3+п

сп,п _ 2_^ Ьп-і А2 _ п2 , С-п,-п _ 2_^ У-(п+з) -2 _ п2 ,

_ п2 Ї/ ^2 _ п2

зег ЗеЪ

ы=м

С-п,п _ ^ У-Іп+з)-^2--? 1 Сп,-п _ ^ ^п- ,п Є ^

зег зег <!

ы=м ы=м

Отметим, что сп,п _ с-п,-п.

Теорема 1. Существует число т Є Ъ+ такое, что спектр оператора Ь представим в виде

еЩ = а(т) Щ У ап\ ,

\п>т+1 /

где а(т) — конечное множество с числом элементов, не превосходящим 2т +1, а множества еп = {А+, А-}, п > т + 1, не более чем двухточечные и определяются равенствами

\± — 2 , 1 -к _ь_ ----- --- , ^ ™ , 1 1п\

А± _ п + Уо — 2— / у 7 ± у^2лХ—2п + -—і п — т + (2)

п кег л/п

к=0

где последовательность обладает свойством ^ 1Р±14 < то.

п>т+1

Отметим, что в статье В.Ткаченко [7; теорема 3.6] была приведена асимптотика спектра оператора Ь вида:

А± _ п2 + Уо + а±, п ^ то, (3)

2

\гг _ п + Уо + а,±, 12

где у0 _ -1 / у(£) (И — среднее потенциала V, а ^ 1а±12 < то.

0 п=0

Асимптотика спектра из теоремы 1 является более точной по порядку, по сравнению с асимптотикой в формуле (3), так как выписывается еще одно вычислимое приближение, за счет которого повышается порядок остатка.

В случае вещественного потенциала , асимптотика спектра оператора Ь приводилась в монографии Марченко В.А. [8; теорема 1.5.2]. Если потенциал V вещественный, то имеет место

Теорема 2. Существует число т Є Ъ+ такое, что спектр оператора Ь представим в виде

и( и -)

\п>т+1 /

а(Ь) _ а{т) N N Рп] 1 (4)

где е(т) — конечное множество с числом элементов, не превосходящим 2т +1, а множества еп = {А+, А-}, п > т + 1, не более чем двухточечные и определяются равенствами

А± = П + ^0 - 2п ^ ^ ±|У2п\ + ^, п >т +1, (5)

кей

к=0

где последовательность [3± обладает свойством ^ \@п \ < ^.

п>т+1

2. Предварительные преобразования подобия

Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство. Через Еп6.Н обозначим банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в Н• Компактный оператор X Є Еп&Н называется оператором Гильберта-Шмидта (см.[9], с.138), если след самосопряжённого оператора XX* конечен, т.е. їг(ХХ*) < то. Совокупность операторов Гильберта-Шмидта образует двусторонний идеал &2(Н)(см.[9], с.138) из алгебры Еп&Н. Идеал &2(Н) является гильбертовым пространством со скалярным произведением < X,У >_ їг(Х, У *), Х,У Є &2ІН).

Символом ||Х||2 обозначается норма Гильберта-Шмидта оператора X Є &2(Н), т.е. І|ХI2 _ Ьг(ХХ*)• Отметим, что если Є]_, е2,•••, еп,•••— произвольный ортонормированный базис в Н, то оператор X Є Еп&Н является оператором Штурма-Лиувилля тогда и только тогда, когда IXЦ2 _ ^ 1(Хез, Єі)і2 < то (см.[9], с.138). Здесь можно ввести идеал &1(Н)

г,3>1

ядерных операторов.

Определение 1. Два линейных оператора Лг : 0(Лг) С Н ^ Н, г_\, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор и Є ЕпСН такой, что иО(А2) _ 0(Л1) и Л]_их _ иА2х ,х Є 0(А2)• Оператор и называется оператором преобразования оператора Л1 в А2 •

Важно отметить, что подобные операторы имеют одинаковый спектр. Этот факт постоянно используется здесь при приводимых преобразованиях подобия.

Вернемся к рассмотрению дифференциального оператора Ь _ А — В. Далее рассматривается гильбертово пространство Н _ Ь2 [0,2ж] и система ортопроекторов Рп : Ь2[0, 2и] ^ Ь2[0, 2п],п Є Ъ+, вида:

РпХ _ (х, Єп)Єп + (х, Є-п)Є-п,п Є N РоХ _ (х, Єо)Єо• (6)

Отметим, что АРп _ АпРп,п — 0-

Символом Г В обозначим оператор Гильберта-ТТТмидта

2 ж

((ГВ)х)( 5 )_— [ Є (в, т)х(т)Ст, х ЄН,

2ж ] о

где

С(8т)_11 —( *2 ) + 2( ^ >2 ( ^ )), s,

(,) \ 4 (и( *2) + 2( ^ )и2 (*2)), Т>3, ()

и(з) _щ(з) +и2 (8),щ(з)_ ^2 Ік3,и2 ($)_Т< 1кке

кЄ2г+1 ке2г

к=о к=о

2 ж

В дальнейшем, делается предположение у0 _ 2ж / ь(і) (, _ 0, которое не является огра-

о

ничительным, так как сдвиг потенциала на постоянную сдвигает спектр на ту же постоянную и не меняет его собственных функций. Однако в формулировке теорем об асимптотике собственных значений эта постоянная учитывается.

В лемме 1 используется наряду с Г В оператор JВ Є &2(Н) вида

2ж

((JВ)х)(s) _— І у(в + т)х(т)Ст, х ЄН•

2п ] о

Пусть 7 Є Введем в рассмотрение операторы, где используется проектор Рк, определенный равенством (6),

JкВ _ JВ — J(Р(к)ВР(к)) + p(к)Вp(к), (8)

Г кВ _ ГВ — Г(Р(к)ВР(к)^ (9)

В _Вк _JкВ + (1 + ГкВ)-1(ВГкВ — (ГкВркВ),

где Р(к) _ Т, Рз •

Ь'Кк

Ясно, что J0В _ ,]В, ГоВ _ ГВ^ Из определения операторов ,]кВ и ГкВ получаем

следующие представления

.!кВ _.!В — p(к)JВР(к) + p(к)Вp(к), ГкВ _ГВ — (Р(к)ГВp(к)), (10)

из которых следует, что JкВ, ГкВ Є &2(Н) для всех к — 0^

Доказательство следующей леммы фактически дублирует доказательство леммы 7 статьи [6].

Лемма 1. Операторы ГВ,<1В,В удовлетворяют следующим условиям:

(а)Г В Є ЕпСН и ||ГВ|| < 1; (Ь)(ГВ )Б(А) С Б (А); (с)В ГВ, (ГВ).1В Є &2(Н); (й) А(ГВ )х — (ГВ )Ах _ Вх — (.]В )х, х Є Б (А); (е) для любого є > 0 существует число Ає Є р(А), такое, что ЦВ(А — АЄІ)-1|| < €•

Доказательство следующей теоремы проводится аналогичным образом, что и в теореме 2 статьи [6].

Теорема 3. Если число к Є Ъ+ таково, что

||ГкВ||2 < 1, (11)

то оператор Ь _ А — В, где А _ Ьо, В — оператор умножения на потенциал V, подобен

оператору

Ь _ Ьо — В,

где

5к ^кВ

причем имеет место равенство

(А — В)(1 + ГкВ) _(1 + ГкВ)(А — £)• (12)

Операторы ,1кВ, ГкВ,ВГкВ, (ГкВ)(.]кВ),В,Вк являются операторами Гильберта-Шмидта из &2(Ь2[0, 2ж}), оператор В из (12) представим в виде

В _JВ + ВГВ — (ГВ),ІВ + С Є &2(Ь2[0, 2ж]), (13)

где оператор С принадлежит идеалу &]_(Ь2,ж) ядерных операторов [9], определенных на Ь2[0, 2ж].

Полученный в теореме 3 результат позволяет свести изучение оператора Ь _ А — В к изучению оператора А — В, где оператор В, есть оператор Гильберта-Шмидта. Таким образом, а(А — В) _ а (А — В)•

Для формулировки теоремы 4 введем в рассмотрение трансформаторы (т.е. линейные операторы в пространстве линейных операторов; терминология М.Г.Крейна) .], Г : &2(Ь2[0, 2ж}) ^ &2(Ь2[0, 2ж}) со следующими свойствами:

1) J- проектор, || J|| _ 1, и он представим в виде безусловно сходящегося в равномерной операторной топологии ряда

ГО

■]Х _ ^ РпХРп _ Хо, X Є &2(Ь2[0, 2^ (14)

п=о

2) Трансформатор Г на любом операторе X Є &2(Ь2[0, 2ж}) корректно определен равенством (см. [6])

ГХ _ £ & (15)

Аг — Аз

г=з

г,з>о г з

Из (14) и (15) следует, что

II Р X Р II2

ІІJX||2 _ £ ЦРпХРпМ « ИХ||2, ||ГХ||2 _ £ А\2 « т-ЧіХ||2,

п=о і,з>о ІАі Аз 1

і=3

где '■уо _ І^ ІАі — Аз I ъ+д

г,3>ш

Далее рассмотрим последовательности трансформаторов ( Jm), (Гт),т Є Z+, определенные равенствами

■]тХ _ Р(т)ХР(т) + ^ РкХРк _J(Х — Р(т)ХР(т) ) + Р(m)XР(m),

\к\>т+1

ГтХ _ Г(Х — Р(т)ХР(т)),

где X Є &2(Н)^ Отметим, что Jm- проектор. Поскольку он является самосопряженным оператором, то 11 .]т11 _ 1• Трансформатор Гт является антисамосопряженным оператором, т.е. Г^ _ —Гт и І І Гт| I _ъ1 _ ( іп£ ІАі — АзІ)^

г,з>ш

Отметим, что при доказательстве теоремы 1 будут использоваться следующие свойства трансформаторов .]к, Гк

Jк ((ГкХ)^кУ))_0, Jк ((ГкXрк(УГкХ))_0, к Є Z+, (16)

где Х,У Є &2(Ь2[0, 2т:])•

В дальнейшем используется компактный самосопряженный оператор Ао вида:

со і

Ао _ Т Рк + Ро • к=1Ак

Теорема 4 ([1],[3],[6]). Для любого числа к Є Z+, для которого выполнено неравенство

~ ~ 2 к + 3

11В112 _| | Вк |1 2 < , (17)

оператор А — В подобен оператору А — .]кX, где оператор X является решением (нелинейного) уравнения

X _ ВГкX — (ГкX)(.1кВ) — (ГкХ).1к(ВГкХ) + В _ Ф(Х), (18)

~ —1 рассматриваемого в &2(Ь2[0,2т})• Решение X представимо в виде ХоА0 2, где Хо Є &2(Ь2[0,2т}) и его можно найти методом простых итераций. Преобразование подобия оператора А — В в оператор А — ,ІкX осуществляет обратимый оператор

I + ГкX Є Епё(Ь2[0, 2т\).

3. Доказательство теоремы 1

Дальнейший выбор числа к Є Z+ обусловлен выполнением условия (17) теоремы 4, обозначения которой мы далее используем.

Применяя трансформатор Jк к обеим частям уравнения (18), а также используя свойство (16) трансформаторов Jк, Гк, получаем:

JкX _ Jк(ВГкX) + ■ііВ _ .]кЪ + Jк(ВГкВ) + Jк(ВГк(XX — В)) _

_ ЛВ + ,1к (ВГВ) + К _.]кВ + ,1к (ВГВ) +Т1 _JВ + J (В Г В) + Т2,

_1 —1 _1 где операторы К,Т1,Т2 представимы в виде К _ КоА0 2 ,Т1 _ Т1оА0 2 ,Т2 _ Т2,оА0 2 и

операторы Ко,Т1,о,Т2,о принадлежат идеалу ядерных операторов &1(Ь2[0, 2т])• Ясно, что

JкТз _ Тз ^ _ 0,1• При получении этих равенств также использовались следующие свойства: произведение двух операторов Гильберта-Шмидта является ядерным оператором, а операторы JкX — !Х, ГкX — ГХ,Х Є &2(Ь2[0, 2т\) , к — 0, являются операторами конечного ранга.

Таким образом, применяя теоремы 3 и 4 к рассматриваемому оператору Ь _ А — В, получаем, что оператор А — В подобен оператору А — (,1В + J(ВГВ) + Т) _ А — Во и а(А — В) _ а(А — Во), где Во _ JВ + J(ВГВ) +Т1,Т1 Є в1(Ь2[0, 2т;})•

Матрица сужения Вп оператора РпВоРп на Нп в базисе еп, е-п имеет вид

( 0 + Ї Сп,п Сп,-^ + 1 (Ь(п) І2(п)\

\у-2п 0 ) \уС-п,п С-п,-п) п VЬ(п) и(п)) ,

где /]_, /2, /3, - суммируемые последовательности.

Собственные значения оператора Вп имеют следующий вид:

+ _п + І1(п) + и(п) ,

№п сп,п + 2п ±

, А І I I І2(п)\ ( , , у3

+ 4 ( Ъ2п + Сп,-п + І I У-2п + С-п,п +

п п /1(п) + /^(п) у/4(у2п + Сп,-п)(У-2п + С-п,п)

~2

)

-±

I Л 1{ Ї1(п) — Ї4(п) V I 4 ( І І ] 2(п) \ I + + ^

± (2\ \ п / + \ п + Сп,-п + п ) ( У-2п + С-п,п + п

/2 (п)

!з(п)

)

\/4( У2п + Сп,-п)( У-2п + С-п,п)

2

Тогда = сп,п ± ^ + $±, где ^ Ып)14 < то.

1п\>т+1

Последовательность сп,п, п = 0,1,..., можно представить следующим образом

£

jЄZ

\і\=\п\

п

У з-п

п-з 2 — п2

2 п

£

kЄZ

к=о

к=-2п

£

Ук У-к к( к + 2 п)

£

к к

keZ

к=о

к=-2п

1

2 п к

keZ

к=о

к=-2п

УкУ—к 1 У2пУ-

2п

+ 2 п 2 п

keZ

к=о

2 п

£

keZ

к=-2п

2 п 2 п

Ук У-к _^у^ УкУ-к + , + аЛ к + 2п 2п ^ к Шп п2,

kЄZ

к=о

где шп

У

— 2п

■Ук -У-к 2п ^ к+2п '

kЄZ к=-2п

(а'.п) - некоторая суммируемая последовательность.

Докажем, что

keZ

к=-2п

УкУ-к I к+2п

< то. Для этого рассмотрим свертку

(ш * у)(п) _ ш(к)у(п — к),п Є Z,

keZ

к=о

последовательности

)•

1

1

2

ш : Z ^ C,w(k) = VkV-k,k E Z, со свойством |ш(7)| < го, с после

keZ

k = 0

довательностью 7 : Z ^ К, у(к) = ^ ^ со свойством ^ |7( к)12 < то.

I0, к = 0 к&

к=0

Тогда последовательность ш'п = — (ш * у)(—2п),п Е Z, как свертка суммируемой последовательности и последовательности, суммируемой с квадратом, является последовательностью, суммируемой с квадратом.

Таким образом получаем доказываемое представление (2).

В случае вещественного потенциала V последовательность а будет суммируемой, и поэтому верно утверждение теоремы 2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та. 1987. 165 с.

2. Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. № 1. С. 21-39.

3. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазипериодических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 4. С. 3-32.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1424-1433.

5. Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Известия АН СССР. сер. матем. 1986. Т. 50. № 3. С. 435-457.

6. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Известия РАН. сер. матем. 2011. Т. 75. № 3. С. 3-28.

7. F. Gesztesy, V. Tkachenko A criterion for Hill operators to be spectral operators of scalar type // Journal d’Analyse Mathe’matique. 2009. P. 287-353.

8. Марченко В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. М.: Наука. 1977. 330 с.

9. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

Алина Вячеславовна Карпикова, Воронежский государственный университет, ул. Университетская площадь, 1,

394000, г. Воронеж, Россия E-mail: [email protected]