Асимптотика спектра оператора Хилла-Шрёдингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

34 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЩШ Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 МБ С 34Ь40

АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ОПЕРАТОРА ХИЛЛА-ШРЁДИНГЕРА

Аннотация. Для исследования спектральных свойств оператора Хилла-Шрсдннгера используется метод подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра оператора Хилла-Шредиш'ера, а также оценки сходимости спектральных разложений.

Ключевые слова: метод подобных операторов, оператор Хилла-Шрсдингера, спектр оператора, асимптотика спектра, спектральные разложения.

1. Введение. Пусть Ь2[0, 2п] -гильбертово пространство комплексных, измеримых на [0,2п] и суммируемых с квадратом нормы функций. Скалярное произведение в Ь2[0, 2п] для удобства оценок определим как

2п

Через W22[0, 2п] обозначим пространство Соболева {y Є L2[0, 2п] : y/ абсолютно непрерывна и y" Є L2[0, 2п]}.

Рассматривается одномерный оператор Хилла-Шрёдингера

т.е. задаваемой периодическими краевыми условиями.

Комплекснозначный потенциал V оператора считается принадлежащим Ь2[0, 2п] и имеет ряд Фурье v(t) = vkeгkt, £ € [0, 2п]. В дальнейшем, делается предположение

г’о = 2^ / у(1)сИ = 0, которое по является ограничительным, так как сдвиг потенциала па о

постоянную сдвигает спектр па ту же постоянную и не меняет его собственных функций.

Отметим, что не налагаются ограничения на потенциал V, гарантирующие самосопряженность возмущения, и какие-либо дополнительные ограничения (тина гладкости), кроме принадлежности V гильбертову пространству Ь2 = Ь2[0, 2п].

А.В. Карпикова

Воронежский Государственный Университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: karpikovaav@mail.ru

0

D(L) = {y є Wft0, 2п] : У(2п) = У(0),У/(2п) = y/(0)}

При изучении спектральных свойств оператора Ь обычно используются различные методы теории возмущенных линейных операторов |1-6|, В данном случае, в качестве певозмущеппого оператора выбирается оператор Хилла-Шрёдипгера

Он является самосопряженным оператором с компактной резольвентой. Спектр а(Ь0) и собственные функции имеют вид:

еп(£) = ег^, е-п(£) = е-г^, £ € [0, 2п], — собственные функции для собственного значения Ап = п2,п > 1, и е0(£) = 1,£ € [0, 2п] - собственная функция, отвечающая собственному значению А0 = 0.

Основные результаты статьи связаны с изучением асимптотики собственных значений и получением оценок равносходимости спектральных разложений для оператора Ь, А именно, уточняется (наиболее точная из известных) асимптотика собственных значений из монографии В.А.Марченко |2|; соответствующий результат содержится в теореме 1. Результат о равносходимости спектральных разложений содержится в теореме

Здесь впервые при исследовании таких операторов применяется метод подобных операторов, развиваемый в статьях |3-7|, Суть этого метода состоит в преобразовании подобия исследуемого (возмущенного) оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам певозмущеппого оператора (в данном случае оператор Ь0), Тем самым существенно упрощается изучение оператора Ь.

2. Основные результаты. Пусть X — комплексное банахово пространство, ЕпсіХ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Определение 1. Два линейных оператора Лі : Б(Л^) С X ^ X, і = 1, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор и Є Еп(IX такой, что иБ(Л2) = Д(Лі) и Ліиж = иЛ2х х Є Б(Л2). Оператор и называется оператором преобразования оператора Л1 в Л2.

Методом подобных операторов были получены следующие результаты.

Ь

спектр представим в виде

для некоторого т € N гДе а(т) ~ конечное множество с числом элементов, не превосходящим 2т + 1, а множества ап, |п| > т + 1, не более чем двухточечные и определяются равенством

Ь0у = — у//> у Є Б(Ь0) , Б(Ь0) = Б(Ь) С Ь2[0, 2п] ; Ь0Б(Ь0) ^ Ь2[0, 2п] •

а(Ь0) = {п2, п Є N и 0 = Z+}

3.

(1)

к=0,к=-2п

где шк, шп выражаются через коэффициенты Фурье потенциала V, а остаток ряда представим в виде (3^ = а(п)/у/її., Е 1а'('/7-)13 < °°•

|п|>т+1

В следующей теореме символами Рт, Рп, |п| > т + 1, будут обозначаться спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору Ь и множествам а(т),ап, |п| > т + 1, соответственно. Далее через Р(т) будет обозначаться проектор Е Рк, который явля-

|к|<т

ется проектором Рисса, построенным по конечному множеству С = {—т, ...,т}. Для любого подмножества П С 1+\^т символ ом Р (П) обозначим спектральный проектор Е Рк, а через Р’(П) — спектральный проектор Е рк•

кеП кеП

Отметим, что

1 = Рк + Р(т) ) 1 = рк + Р(т) . (3)

|к|>т+1 |к|>т+1

Далее, для любого оператора X Є 62(Ь2;П), оде 62(Ь2;П) — идеал операторов Гильберта-Шмидта [7], и любого подмножества П С 1 через а(П, X) обозначим величину тах ап(Х),

пеП

где ап(Х) — двусторонняя последовательность из метода подобных операторов, рассматриваемая в статье |6|,

Лемма 1. Для любого оператора X Є в2(Ь2;П) и любого подмножества П С 1+\^т имеет место оценка

тах{||Р(П)Х||2, ||ХР(П)|Ь} < С(X)а(П,Х),

где величина С(X) > 0 зависит от оператора X и не зависит от выбора П.

Теорема 2. Система проекторов Рисса Рп, п Є 1 обладает следующим свойством

||Р(П) - Р(П) ||2 < С\ (a(Q, Г В) + а(П, JB) + а(П, ВГВ)) . (4)

где Ci > 0 — постоянная, независящая от Q, ш(П) = max k, n G Z.

к

Теорема 3. Имеют место следующие оценки равносходимости спектральных разложений операторов ^L0;

n n

||-Pm + Pk — P(m) — Pk Ц2 < Ci(an+i(rB) + an+i(JB) +

|k|=m+i |k|=m+i

+ an+i(BrB)) —— , (5) m +1

где n > m + 1, Ci > 0 — постоянная, не зависящая от n.

Литература

1. Джаков П., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредиш'ера и Дирака /7 Успехи математических наук. 2006. 61:4. С.77-182.

2. Марченко В.А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения / М.: Наука, 1977.

3. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / Воронеж :изд-во Воронежских) государственно1'о университета, 1987. 168 с.

4. Баскаков А.Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений /7 Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50:4. С.435-457.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитичееких и спектральных операторов /7 Известия РАН. Сер.матем. 1994. 58:4. С.3-32.

6. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектраль-

ном анализе несамосоиряженнох’о оператора Дирака с негладким потенциалом /7 Известия РАН, серия математическая. 2011. 75:3. С.4-28.

7. Гохбсрг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве / М.: Наука, 1965.

SPECTRAL ANALYSIS OF HILL-SCHRODINGER’s OPERATOR

A.V. Karpikova

Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: karpikovaav@mail.ru

Abstract. The similar operators method is used for spectral analysis of Hill-Sehrodingers operator. Asymptotic of the Hill-Schrodinger operator spectrum and convergence estimates of spectral decompositions are obtained.

Key words: similar operators method, Hill-Sehrodingers operator, operator spectrum, spectrum asymptotic, spectral distribution.