Спектральный анализ оператора Дирака в лебеговых пространствах. Антиперодические краевые условия и краевые условия Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 34L40

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПЕРАТОРА ДИРАКА В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.

АНТИПЕРОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ДИРИХЛЕ

Е.Ю. Романова

Воронежский Государственный Университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. В статье изучается оператор Дирака в лебм'овых пространствах в случае ан-типеродичееких краевых условий и краевых условий Дирихле. Для исследования спектральных свойств даннохх) оператора применяется метод подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра, а также оценки равносходимости спектральных разложений.

Ключевые слова: спектр оператора, оператор Дирака, метод подобных операторов, асимптотика спектра, спектральные разложения, равносходимость спектральных разложений.

Введение. Пусть Lp[0, 2п] - банахово пространство суммируемых со степенью p £ [1, оо) на [0,2п] функций. Посредством F = F([0,2п], C2) будем обозначать одно из введенных ниже пространств.

Lp = Lp([0, 2п], C2) — банахово пространство (пространство Лебега) суммируемых со степенью p £ [1, о) на [0, 2п] и со значения ми в C2 функций, для которых конечна величина

2п

l|x||p =(/ ||x(t)||C2dt)1/p , t £ [0, 2п] ; о

L^ = L^([0, 2n], C2) — банахово пространство существенно ограниченных измеримых функций с нормой

||х||те = vrai sup ||x(t)|C2 ; ie[o,2n]

Cb = Cb([0, 2n], C2) — банахово пространство непрерывных и ограниченных функций на отрезке [0, 2п] и со значения ми в C2 с нормой

||х||те = sup ||x(t)||c2 . te[o,2n]

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты 13-01-00378. 14-01-31196

В случае, когда $ = Ьр, определим пространство Соболева ^([0, 2п], С2) = {у Е Ьр([0, 2п], С2),р > 1 : у абсолютно непрерывна и уу Е Ьр([0, 2п], С2)}.

Через С:([0, 2п], С2) = {у € Сь([0, 2п], С2) : у Е Сь} обозначим банахово пространство непрерывно дифференцируемых функций из Сь в случае, когда $ = Сь.

Символ = 5^([0, 2п], С2) будем использовать для обозначения одного из введенных выше пространств.

Рассмотрим оператор Дирака ЬЬс : Б(ЬЬс) С $ ^ заданный дифференциальным выражением

где Р^ Е ([0, 2п], С1), С1 = С - поле комплексных чисел и $ = $([0, 2п], С2).

Область определения оператора ЬЬс задается с помощью одного из краевых условий:

(a) антипериодические (Ьс=ар: х(0) = —х(2п));

(b) Дирихле (Ьс=с11г: х1(0) = х2(0),х1(2п) = х2(2п)).

Дня исследования спектральных свойств оператора Дирака мы будем использовать метод подобных операторов, а также методы гармонического анализа. Именно методом подобных операторов исследовался оператор Дирака в статье |7| в гильбертовом пространстве Ь2([0,п], С2).

Для определения 0(ЬЬс) рассмотрим дифференциальное уравнение

где и (0) = I —тождественный опер атор в С2. Это уравнение эквивалентно уравнению

Согласно [1], операторнозначная функция и обратима. Рассмотрим семейство эволюционных операторов

и(г,в) = и(г)и-1(в), г, в е [0,2п].

Функцию х Е $ отнесем к области определения оператора Дирака

если существует функция / Е $ такая, что имеет место равенство

о

где х удовлетворяет одному из краевых условий, определенных выше. Отметим, что функция х по определению непрерывна.

Согласно [2], спектр оператора ЬЬс не зависит от выбора пространства У, в котором он действует. Поскольку метод подобных операторов относится к возмущениям, область определения которых содержит область определения невозмущепного оператора, то изучение оператора Дирака будем осуществлять в пространстве У при условии, что Р, ф Е У. И ввиду сказанного спектры таких операторов совпадают.

Если V = 0 (нулевой потенциал), то оператор ЬЬс далее обозначается символом Ь0с, Оператор Ь°°с будем называть свободным оператором Дирака, который при изучении оператора ЬЬс будет играть роль невозмущенного оператора, а оператор умножения на потенциал V — возмущения.

Спектр а(Ь0с) и собственные функции для Ь0с не зависят от выбора рассматриваемых пространств и легко определяются следующим образом:

(а) а(Ь°) = 1 +1/2; соответствующие собственные функции имеют вид:

где Ап = п +1/2, п Е 1;

(Ь) а(Ы;г) = 1; каждое собственное значение простое и соответствующая нормированная собственная функция имеет вид зп = —={е]г + е^), где Хп = п,п Е Ъ.

2

Отметим, что оператор Дирака, определенный выше, ранее не рассматривался (кроме как для Р,^ Е Ь2[0, 2п]). Заметим также, что в статьях [8]- [10] изучался оператор Дирака с потенциалом в пространстве С[0,1], и была получена асимптотика собственных значений, построена асимптотика решений соответствующих параболических уравнений.

2. Основные результаты. Основная идея метода подобных операторов |3|- |7|, |11|-[12] состоит в следующем. Пусть А —линейный хорошо изученный оператор, действующий в банаховом пространстве X (он обычно называется невозмущенным оператором), и 5 —другой оператор, который в некотором смысле "мал" по сравнению с А, При определенных условиях естественно ожидать, что оператор А — В подобен оператору А — Во, оде В0 имеет несложную по отношению к А структуру. Оказалось, что процедура построения оператора В0 и оператора преобразования оператора А — В в А — В0 тесно связана с гармоническим анализом линейных операторов из некоторого прострап-

АВ операторов А — В и А — В0 обычно приводит к вопросу разрешимости некоторых нелинейных уравнений в пространстве возмущений.

Применяя метод подобных операторов дня исследования спектральных свойств оператора ЬЬс,Ьс Е {ар, &г}, свободный оператор Ь0с будем считать невозмущенным оператором. Он будет обозначаться также символом А. Таким образом, ЬЬс = А — В, где В-оператор умножения на потенциал V.

Всюду в дальнейшем X = F([0, 2п], C2) будем отождествлять с банаховым пространством F2n(R, C2) периодических периода 2п функций одного из пространств, включенных в F.

Через L^ (R) обозначим банахову алгебру периодических периода 2п локально суммируемых функций. Тогда на End X введем структуру банахова Lln (R) — модуля, опре-делеппую следующим образом:

2п

<рХ = — [ ip(t)T(t)XT(-t)xdt, (1)

2п J о

где <р G L(R),X G EndX,T(t) : R — EndX — периодическая периода 2п изометрическая сильно пенрерывпая группа операторов.

Заметим, что ||^X|| < ||^||i||X||.

Рассмотрим последовательности трансформаторов, входящих в допустимую тройку метода подобных операторов |3|:

JmX = JX — J(fmX) + fmX = J (X — fmX) + fmX ,

TmX = rX - r(fmX) = r(X - fmX) = (f * (1 - fm))X ,

2n

(JX)x = X0x = — [ T(t)XT(-t)xdt = tpX, tp=l, 2n J о

2n

(TX)x f(t)T(t)XT(-t)x dt = fX,

о

Ш = J] (1 - U)eWi, 11 fm 11 = 1, fit) = l(t - 7Г) ,

n=-m

t e [0, 2n), x e X,X G EndX,m e Z+ .

Теперь, пользуясь формулами, определенными выше, выпишем представление операторов JB = JbcB, ГВ = ГЬсВ, где bc G (per, dir}.

Отметим, что оператор Lap подобен оператору Lper — В — I, оде Lper — оператор Дирака, определяемый периодическими краевыми условиями x(0) = x(2n) [12]; В -

^ л ( 0" e-isP(s) \ m о 1 тг

оператор умножения на потенциал v(s) = I eiSQ(s) о I ' s G [0, 2п]. Поэто-

Lap

свойств оператора Дирака LPer — В

ap

- R

per

Таким образом, по существу можно ограничиться изучением операторов Lper и Ldir.

Имеют место следующие равенства.

4п

((7ретБ)х)(в)

4п

0 P ((в + т )/2)

д((в + т )/2) 0

Х1(т ) Х2 (т )

¿Т ,

(2)

4п

1

4п./ \ ^

Г — (8 + Г

/

5 — т\ + т

о \ " V 2 ПК 2 2

22 0

Х1(т )

Х2 (т )

¿т, (3)

гдех = (Х1,Х2) € (к, С2), p > 1, в € [0, 2п], /(¿) = г(£ - п), * € [0,п), / € ?2п

8п

((^гБ)х)(в)

16п

кШг(в, т)х(т)^т, х € (К, С2) , в € [0, 2п] , (4)

8п

((Га1гБ)х)(в)

16п

кШг(в, т)х(т)^т, х € (К, С2) , в € [0, 2п] , (5)

где

в-т

Ф

Ка1Г(в,т) =

Ф

+ Л \

Ф | ^ I Ф

2

— в + т

2

Кшг(в, т)

/1^1Ф/-8~Т

Ф(ц)=Р(ц)+2в(-ц), Фе^(Е,С2).

Методом подобных операторов были получены следующие результаты.

Теорема 1. Если число m € Z+ таково, что ||ГтБ|1 < 1, (т.е. оператор I + ГтБ обратим), то оператор ЬЬс = A — Б, где A = ¿0с, Б — оператор умножения на ь, подобен оператору ЬЪс = — Б, где

Б = .тБ + (I + ГтБ)-1(БГтБ — (Г Б) .тБ),

причем имеет место равенство

(А — Б)(1 + ГтБ) = (I + ГтБ)(А — Б) .

1

о

0

1

о

1

о

в

Операторы JmB, rmB, ВГтВ, (rmB)(JmB), B являются компактными.

Теорема 2. Пусть число m G Z+ таково, что ||rmB|i < 1. Тогда оператор Lbc = A-B подобен оператору вида

A - J(X - fmX) = A - JmX = A - Bo , (6)

где оператор X —решение уравнения X = BrmX - (ГтХ)(JmX) + B = Ф(Х), которое можно найти методом последовательных приближений.

A - B A - Bo

I + ГтХ.

Непосредственно из теоремы 2 следует

Теорема 3. Возмущенный оператор является оператором с компактной резольвентой и существует такая нумерация собственных значений,что a(Lbc) представим в виде

a(Lbc) = o-(m) U( (J an) , (7)

|n|>m+1

где a(m) — конечное множество, a an, | n |> m + 1, определяются равенствами an = {n + 1/2 + a±}, lim = 0 , если bc = ap ;

n—те

an = {n + Yn}, lim Yn = 0 , если bc = dir.

n—те

Поскольку Pn — проектор Рисса, построенный по одноточечнomv множеству {An} С a(L°°c),n G N, тогда в следующей теореме P(m),Pn,n > m + 1, —проекторы Рисса, построенные по оператору Lbc и множествам a(m),an,n > m + 1, соответственно.

Lbc

o

bc • _

lim ||Pn - PJ =0, (8)

Lo

n—>-<re

lim||P(m)+ V (l -Щрк~Р(т)- V (1-Щы=0. (9)

n—те \ n ) \ n '

|fc|=m+1 x 7 |fc|=m+1 x

Литература

1. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М: Наука, 1970.

2. Диденко В.Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых .линейным отношением /7 Матем. заметки. 2011. 89, №2. С.226 240.

3. Баскаков А.Г. Гармонический анализ .линейных операторов / Воронеж: Воронежский государственный университет, 1987. 165 с.

4. Баскаков А.Г. Теория о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений /7 Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50:4. С.435-457.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитичееких и спектральных операторов /7 Известия РАН. Сер.матем. 1994. 58:4 С.3-32.

6. Баскаков А.Г. Метод подобных операторов и формулы и регуляризованных следов /7 Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1984. №3. С.3-12.

7. Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в спектральном анализе нссамосонряжсннох'о оператора Дирака с негладким потенциалом /7 Известия РАН, серия матем. 2011. 75:3. С.4-28.

8. Бурлуцкая М.Ш., Корнев В.В., Хромов А.П. Система Дирака с недифференцируемым потенциалом и периодическими краевыми условиями /7 Ж. вычиел. матем. и матем. физ. 2012. 52:9. С.1621 1632.

9. Бурлуцкая М.Ш. , Курдюмов В.П., Хромов А.П. Уточненные асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака с недифференцируемым потенциалом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. 12:3.' С.22 30.

10. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Функционально- дифференциальные операторы с инволюцией и операторы Дирака с периодическими краевыми условиями /7 Доклады академии наук. 2014. 454:1. С.15-17.

11. Романова Е.Ю. Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциального оператора с инволюцией /7 Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2014. 176:5. С.73-78.

12. Romanova E.Yu. Similar operators method in spectral analysis of Dirac's operator in the Lebesgue spaces /7 Spectral and evolution problems. 21, Issue 2. 2011. P.185-186.

SPECTRAL ANALYSIS OF DIRAC OPERATOR IN THE LEBESGUE SPACES.

ANTIPERIODIC BOUNDARY CONDITIONS AND DIRICHLET's BOUNDARY

CONDITIONS

E.Yu. Romanova

Voronezh State University, Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Dirac's operator in the Lebesgue spaces in case of antiperiodic boundary conditions and Diriehlet's boundary conditions is studied. Method of similar operators is used to analyze spectral properties of the operator. The asymptotic of spectrum and estimates of equieonvergenee of spectral decomposition are obtained.

Key words: spectrum of operator, Dirac's operator, similar operators method, asymptotic of spectrum, spectral decomposition, equieonvergenee of spectral decomposition.