Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4
УДК 517.956
О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОГО СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
В. А. Елеев, 3. X. Жемухова
В явном виде найдено регулярное решение краевой задачи для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области.
Рассмотрим уравнение
и
+ Uyy+PlU + f0; У > О,
Q _ J XX I ">уу I Fl« I JU) У -- «5 ^
\ Uxx - (-v)mUyy + P2Uy + рзЩ У < О, Ш = 0, 1
в области fi, ограниченной отрезками AqA'0, А'0В'0, B'0Bq, BqAq прямых х = 0, у = h > О, х = I, у = —а (а > 0). Обозначим через fii = fi П (у > 0) и fi2 = & П (у < 0) эллиптическую и гиперболическую части области П соответственно. Пусть AB — открытый интервал (0,1) при у = 0; АВ0 : х + 1\[—у = 0; ВА0 : х — 2sj—y = I — характеристики уравнения (1) при у < 0; /о = const ^ 0; pi,p2 = const, причем р2 < 1.
Задача (А). Найти регулярное в области fi решение и(х,у) уравнения (1), непрерывное в замкнутых областях и il2, дважды непрерывно дифференцируемое в областях fii и и удовлетворяющее краевым условиям
Riu ее {aiux - ßiu)\x=(j = щ(у), -a^y^h; (2)
R2u = (a2ux + ß2u)\x=l = ipi(y), -a^y^h; (3)
R3u = (azuy + ßzu)\y=h = tph(x), 0 < x < l; (4)
u(x,—a) = ip-a(x), 0 < x < I, (5)
где oti,ßi — постоянные, причем |cüj| + \ßj\ ф 0, i = 1,2,3.
В зависимости от значений a-t,ßi,pi (i = 1,2,3), свойства функций tpo,tpi,iph,ip^a будут определены каждый раз.
Пусть оц = 0, ßi = 1 (г = 1,2,3), /о = 0. ш = 1. = 0. /*_> ф 0 и выполняются условия склеивания
lim u(x,y) = lim (-у)Р2~ги(х,у), (6)
у-¥ 0+ у-^0-
Um+uv(x,y) = limJ-y)P2uy(x, у). (7)
Решение задачи (1)-(7) будем искать в виде суммы u{x,y) = Ui(x,y) + u2(x,y), где, в свою очередь, функция и2 имеет вид щ(х,у) = V\{x,y) + Ui{x,y).
© 2002 Елеев В. А., Жемухова 3. X.
Здесь У\(х,у) — решение задачи:
У1хх + У1уу + Р1У! = 0; (8)
У!(0,у)=0, Уг(1,у)= 0, (9)
У1(х.,к)=ф}г(х)., 0 (10) а 11\ (х, у) — решение задачи:
и1хх - и1уу + Р1иг = 0-, (8')
и1(0,у) = Ыу), иг(1,у) = щ{у), 0 < у < /¿; (9')
и1{х,К)= 0. (10')
Решение и2(х,у) ищется в виде суммы и2(х,у) = У2{х,у) + 112{х,у)-Здесь У2(х,у) — решение задачи:
У2хх + уУ2уу + р2У2у = 0; (И)
У2(0,у)=0, У2{1,у) = 0, (12)
У2(х, -а) = ф-а(х), 0 < х < I, (13) а и2(х,у) — решение задачи:
и2хх - и2уу + Р2и2у = 0] (И')
и2(0,у) = щ(у); и2(1,у) = ^(у), -а^у^ 0; (12')
112(х, —а) = 0. (13')
Решение задачи (8)—(10) будем искать в виде
У1{х,у) = Х{х)У{у). (14)
Подставляя (14) в уравнение (8), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
Х"(х) + к21Х(х) = 0, У"(у)-к22У(у) = 0, (15)
где = —р\ + к^. Учитывая граничные условия (9), получим краевую задачу
Х"(х) + к2Х(х) = О, Х(0) = Х(1) = О,
решение которой имеет вид
Т1ТХ
Х(х) = Хп(х) = ъткгпХ, к1п = — (п = 1,2...).
При Щп = к"1п — рх общее решение второго уравнения (15) запишем в виде
У (у) = Уп(у) = Сы сЬ к2п + С2п вЬ к2пу,
где С1п,С2п — коэффициенты, подлежащие определению. Все функции Уы(х,у) = Хп(х)Уп(у) = (С1псЪк2пУ + С2пвЪк2пУ)втк1пх
удовлетворяют уравнению (8) и граничным условиям (9) при любых постоянных С\п 5 С2п • В силу линейности и однородности уравнения (8), бесконечная сумма таких решений
оо
УАх,у) = \_Cin вЬ к2пу + С2п вЬ к2п (/г — у)] эт кхпх (16)
П = 1
также удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям щ(0,у) = и\(1,у) = 0, у> 0.
Рассмотрим теперь задачу (11), (12). С введением новых независимых переменных £ = х, г/ = 2л/—у, уравнение (11) принимает вид
- у2т - = 0. (17)
Это уравнение относится к классу уравнений Бесселя.
Из уравнения (17) после разделения переменных, с учетом граничных условий (12), получим
Х"(С) + к1Х(0 =0, Л" (0) = Х(1) = 0. (18)
у"(п) + ^У'О?) + к\У(я) = 0. (19)
V
Задача (18), как известно, имеет собственные значения к\п и собственные функции Хп(£) = вт Этим же собственным значениям соответствуют решения уравнения (19)
УМ — г/ Р2 \CznJi-p2 (к1Пг]) + р2-1{к1п'п)\ 1
где С^п-.С^п — произвольные постоянные. Возвращаясь к переменным х,у, решение У2(х,у) уравнения (11) в области И2, обращающееся в нуль при х = 0 и х = I, запишется в виде
оо
У2(х,у) = 5^(2л/^у)1^92 [С3пЛ-р2(&1п\/-у) + С4п1р2^1(к1пл/^у)]8тк1пх. (20)
П = 1
Совокупность функций (16) и (20) представляет собой множество решений уравнения (1) в подобластях Пх и соответственно, обращающееся в нуль при х = 0 и х = I. Обозначим щ(х,у) = уЦх,у) + У2(х,у). Рассмотрим задачу: найти решение и\{х, у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям
й1(х,ъ)='фн(х), щ(х, -а) = ф-а(х), (21)
причем фн(х), 1р-а(х) Е С3[—а,1], 0) = ф-а(1) = 0, V = 0,3. Имеет место
Утверждение 1. Пусть р11р2.1а.1к удовлетворяют условиям
рхфк\п, а ф (р1+р2,т)/к1п, 1\1к2пк Ф к2п/(1 ~ р2)(л/кы)1^Р2 ■ (22)
Тогда задача (1), (21) всегда разрешима и притом единственным образом.
Здесь через р\+р2,гп обозначены корни функции Бесселя первого рода порядка (1"Р2).
<1 Удовлетворяя й1(ж,у) условиям (6), (7), (21), относительно постоянных С]П, ] = 1,4 получим системы алгебраических уравнений для каждого фиксированного п
Г(2 - р) ъ\1к2пкС2п ~ С4„ = О,
Г(2 - р2)к2пс\1к2пкС2п - (1 - р2)(л/кы)1^Р2С4п = 0, вЬк2п1гС1п = фкп, (23) (2л/а)1~Р2 ^-Р2(к1пл/а)С3п + = Ф-ап,
где
I I
Фкп = у I ф-ап = у У
о о
Определитель А системы (23) имеет вид
А = Г(2 - Р2)(2л/а)1^Р2^РЛкшМ
х (1 - /02)(\Ды)1^Р2 ъ\1к2пк - к2п с\1к2пк эЬ к2пк (24)
и отличен от нуля, если выполнены условия (22).
Итак, система (23) для произвольного натурального значения п всегда имеет решение и оно единственно. Решая систему (23), находим
С2п = 0, С4п = О, С1П = фнп/вЬ к2п1г, Подставляя значения коэффициентов в (16), (20), получим
оо
У\{х,у) = ФкпМп (у)вт к1Пх,
и!(х,у) = { nJ (25)
У2(х,у) = X ф^ап^п(у)8тк1пх,
п=1
эЬ к2пК (2^/а)1 Р2А^р2{к1пЛ/а)
Обозначим и2(х,у) = £7]. (ж, у) + С72(ж,у), где £7].(ж,у) — решение задачи (8')-(10'), а и2(х,у) — решение задачи (11')-(13').
где
Относительно заданных функций щ(у), <fi(y) будем предполагать, что они кусочно-гладкие непрерывные функции на отрезке [—a, h] и удовлетворяют условиям
= ^(0) = ^(h) =0, i/ = T~£.
Предположим так же, что граничные функции (ро(у), <Pi(y) удовлетворяют условиям теоремы Гобсона [1], которая заключается в следующем:
Пусть f(z) — произвольная функция, определенная на промежутке [0, а) и удовлетворяет условиям:
1) f(z) — кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию во всем открытом промежутке (0, а);
2) интеграл
a
j zi \f(z)\ dz 0
имеет конечное значение.
Тогда ряд Фурье — Бесселя
оо
f(z) = Cu-I, (0 <z<a) (27)
n=l
сходится и имеет своей суммой \\$(z + 0) + f(z — 0)], т. е. представляет f(z) во всякой точке непрерывности этой функции, где — положительные корни уравнения Jv (z) = 0, расположенные в порядке возрастания, а коэффициенты Фурье Сп определяются по формуле
i
Cn = ~TJ2—7-^ zf(z)Ju(/j,m-)dz, V ^ -- (n = 1, 2,... ). |>
а Jv+i\№vn) J \ а/ ¿
о
Рассмотрим задачу: Найти решение ü2(х,у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:
ü2(0,y) = <Ро(у), ü2(l,y) = ipi(y), u2{x,h) = u2(x, -a) = 0. (28)
Имеет место
Утверждение 2. Пусть pi,p2,a,h удовлетворяют условиям pi ф kf, ^Ja ф [1рр2^1ут\/2ттп. Тогда задача (1), (28) разрешима и притом единственным образом. < Согласно методу Фурье ищем частные решения уравнения (1) в виде
ü2(x,y) = X(x)Y(y). (29)
Подставляя (29) в (1), получим уравнения (15), (19) относительно Y (у), общие решения которых задаются формулами
Yn(y) = Cincos \Jpi + kfy + C2„sin \J pi + kfy, y > 0, (30)
Ym(y) = + У < 0, (31)
где Cjn, Cjrn (j = 1,2) — произвольные постоянные.
Функции Yn(y),Ym(y) вдоль прямой у = 0 должны удовлетворять условиям склеивания (6), (7) и однородным граничным условиям
Cincos \Jpi + kfh + C?2nsin \Jpi + kfh = 0, (32)
(2^/a)1^P2[Cim Ji^P2{2\/ma) +С2т/Г1(2ута)] = 0. (33)
Удовлетворив (30), (31) условиям (6), (7) получим соотношения, из которых непосредственно следует, что С\п = С\т = 0. Учитывая это обстоятельство, из (32) и (33) получаем равенства C^sin \/pi + kfh = 0, С2т Jp2-1(2л/ma) = 0- Выберем параметры ki,m таким образом, чтобы sin у/pi + kfh = 0, JP2-i(2i/ma) = 0. Тогда собственные значения будут определяться равенством kfn = (пж/h)2 — pi, Хп = [p2P2^i-, и]/4ск. Подстановка этих значений в уравнение X" =F kfX = 0 приводит нас к соотношениям
X~ (х) = С3п ch klnx + С4п sh klnx,
X+(xj = C5n cosxn® + C6„sinx„x,
где Cjn (j = 3,6) — произвольные постоянные.
Таким образом, мы можем получить решение задачи (1), (28) в виде формальных функциональных рядов в Qi и Q2
Ui(x,y) = ^2(C7nchk2inX + Csnshklnx)sm^y, (34)
n=l
U2(x,y) = ^(V-y)1 P2JP2^1 í/Va-l.ny-- ) (^9nCOSXn® + C10„SÍnXn®), n=l ^ V «/
(35)
где Cjn (] = 7,10) — произвольные постоянные.
Предположения, сделанные относительно граничных функций (ро(у) и ) при у < 0, позволяют представить их в виде рядов Фурье — Бесселя при помощи системы взвешенных бесселевых функций [1].
Определим теперь произвольные постоянные Cjn = 7,10), входящие в (34), (35). Для этого представим граничные функции (ро(у), <рг(у) при у < 0 в виде рядов Фурье — Бесселя по функциям
п=1 ^ У а/
Будем иметь
Ыу) = X] УР2^2-1 (А*Р2-1,пл/—— ) >
п=1 ^ У а/
где коэффициенты Фурье — Бесселя вычисляются по известным формулам [2, 3]
— а
Щп = аЛ(1Р2^п) I МУН^У^1^ 1 ¿V,
о
(36)
и2(х,у)
— а
Удовлетворяя (34), (35) неоднородным граничным условиям (28), получим
оо
П = 1
оо п=1
_ К
у'ы-у'оп сЬ к1п1 , 2 [ . . пи
о
К
ф' - - [ фауып — ус1у ф' - у1п-(р0псо8хп1 о
<Роп,<Р1п определяются формулами (36), (37) соответственно. [>
Полученное формальное решение и(х,у) = й\(х,у) + и2(х,у) задачи (1)-(7) при наших предположениях относительно граничных функций 1р-а(х),1р}1(%),(Ро(у),(Р1(у) является регулярным. Справедливость этого факта при у > 0 устанавливается с помощью общей теории рядов Фурье [2], а при у < 0 опираясь на результаты, полученные в [4].
Пусть теперь р1 = рз = 0, /о = 0, р2 = —2и, и > 0, ш = 0.
Решение задачи (1)-(7) снова будем искать в виде суммы двух функций и{х,у) = и1{х,у)+ и2(х,у).1 где в свою очередь функция и\(х,у) ищется в виде суммы щ(х,у) = VI(х, у) + иг(х,у), причем У\(х,у) является решением уравнения (8) и удовлетворяет граничным условиям
111У1(0,у)=112У1(1,у) = 0, (38)
Я3У1(х,к)=фк(х), (39)
а и\{х,у) — решение уравнения (8'), удовлетворяющее граничным условиям
ЯШ^у) = щ{у), Д2СМ*,у) = ¥>!&), (40)
Щи1(х.1к)=Ъ. (41)
Функция «2(ж, у) ищется в виде суммы и2(ж, у) = V2(x, у) + U2(x, у), где Уг(ж,у) — решение уравнения
V2m " V~2yy ~ 2uV2y = О, (42)
удовлетворяющее граничным условиям
RiV2(0,y) = 0, R2V2(l,y) = 0, V2(x,-a)=^a(x), (43)
a U2{x,y) — решение уравнения
U2xx - U2yy - 2vU2y = 0, (43')
удовлетворяющее граничным условиям
RiU2(0,y) = М'У), RzU2(l,y) = <Pi(y), (44)
U2(x, —а) = 0. (45)
Положим Vi (ж, у) = Х(х )У(у). Тогда из уравнения (8) и граничных условий (38) относительно X (ж) будем иметь задачу Штурма — Лиувилля
.V" • ДА" = 0. aiX'(O) -PIX(0) = 0, a2X'(l) + ¡32Х{1) = 0, (46)
а относительно У (у) получаем уравнение
Y" - XY = 0. (47)
Собственные функции задачи (46) имеют вид
Хп(х) = ansin + Ьпeos а/А^ж,
где
Ч,
ап = j\J\na\ + Pl, bn = (at jyj\na\ + Pl a An — корни уравнения (otia2\ — PMtgy/Я = Va (аф2 + ¡3ia2), причем
||Хп(ж)||2 =\ Xl(x)dx=l-+ + b*^*«** + №
2 2(Апа| + $\)(\па2 + /3|) ' о
При А = Ап общее решение уравнения (47) запишем в виде
У (у) = У„(у) = с1п эЬ + с2п вЬ(/1 - у). (48)
Тогда
оо
VI(ж,у) = ^ (с1п 8Ь ,/Ку + с2п 8Ь ^(Л - у))Хп(х). (49)
П = 1
Решение задачи (8'), (40) будем искать в виде суммы 11\(х, у) = и(х,у) + 'ш(х, у), где функция го (ж, у) подбирается так, чтобы она удовлетворяла только граничным условиям (40). Ищем 'ш(х,у) в виде т = к\ + к2х и подбираем константы к\ и к2 так, чтобы выполнялись условия (40). Это дает систему двух алгебраических уравнений, решая которую находим к^. Окончательно получаем
Мх,у) = {(а2 + /32(1 -х))(р0(у) ~ («1 + 01х)<р1(у)}/А,
где
А = -(«1^2 + ¡в1а2 + @ф21).
Подставляя 11\ (х, у) в уравнение (8) и краевые условия (40), (41), получим условия для определения и(х,у):
»XX + "уу = 0, (50)
Дц/(0,у)=0, К2и(1,у)=0, (51)
Я3и(х, К) = ■фн(х), (52)
где
Фк{х) = - —!— {а3[(а2 + /32(1 - х))(р'0(к) - (аъ + (ЗгХ^Цк)}
¿\аз
+ АЗ[(«2 + р2(1 - х))щ{к) - (щ + /31ж)<рг(/г)]}. Решение задачи (50)-(52) будем искать в виде
оо
Нх',у) = +'Уп вЪ л/х^у), Чп = Рз/(азу/к)- (53)
П = 1
Здесь Хп(х) — собственные функции, а Ап — собственные значения краевой задачи (40).
Удовлетворяя (53) краевому условию (52), получим
°° { (&з \ 1
Фн{х) = ^ Л'к \ 2—сЬ I —7п + \/к) ъЪу/Х^к >Хп(ж).
п=1 I а3 \а3 / )
Следовательно,
п к
*» = {/'кШп(0 / {2^ сЬ л/кь + + \fash ^л) 11 хЦа)
о о
Таким образом, решение задачи (8)—(40), (41) имеет вид
оо
(х, у) = У^ Хп (сЬ. а/апУ + 7п эЬ
+ [(«2 + /32(1 -х))<ро(у) - («1 + А. х)<Р1(у)]/А.
Собственные функции Хп(х) и собственные значения Ап задачи (42), (43) снова определяются из краевой задачи (40).
Для определения Уп (у) получим дифференциальное уравнение
УЛУ) + 2 иУ^у) + А пУп(;у) = 0. (55)
Общее решение уравнения (55) имеет вид [5]
Уп(у) = (с3п сЪи>пу + с4п эЬтпу)е~"у, и>п = \/V2 - Ап, V2 > Ап, (56)
Уп(у) = (с3псо8тпу + с^п8ттпу)е~иу, ь)п = \/\п- V2., V2 < Ап, (57) Уп(у) = (с3п + с4пу)еГ'/у, и2 = Ап. (58)
Решение краевой задачи (42)-(43) имеет вид
оо
У2(х,у) = ^Уп(у)Хп(х), (59)
П = 1
где Уп(у) соответствует одному из представлений (56)-(58).
Решение задачи (43')-(45) имеет такой же вид, что и 11\(х, у), только К и —а нужно поменять ролями. Следовательно, в этом случае мы имеем решение в виде
и2 (х, У) = Хп{сЬ \Ду + 7п эЬ \/Ку)Хп (х)
п=1
(60)
где
+ [(«2 + -х))<р0(у) ~ («1 + 01х)<р1(у)]/А,
/0 аф-а(рхп(о<% ,
Хп а __ / а
ф-а{х) = сЬ \/Ка- (—-уп + вЪ^/Х^аХх^х).
п=1 I 4^3 / )
Удовлетворяя и(х,у) = «1 (ж, у) +«2(^5?/) граничным условиям (21) и условиям сопряжения и+(ж,0) = и^(ж,0), Пу{х, 0) = Пу{х, 0), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно С{п, i = 1,4, которая однозначно разрешима, если определитель этой системы
А = эЬ ■ эЬ Д^Ъ ■ йЬ шпа — \/А^ ■ сЬ ■ эЬ шпа
— шп ■ сЬ шпа ■ эЬ \/А^) ф 0.
В силу условий, наложенных на заданные функции <р0 (у), Щ (у), фн (х), ф~а (х), можем заключить, что функция и{х,у) = щ(х,у) + и2(х,у) и ее частные производные до второго порядка включительно непрерывны в областях и П25 что означает равномерную сходимость как и\{х,у) и и2(х,у), так и рядов полученных от них путем дифференцирования до второго порядка.
Задача (А) при /о ф О, р2 ф О, рз ф О, т ф О решается аналогично предыдущему случаю.
Литература
1. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения.—М.: Наука, 1953.—379 с.
2. Толстое Г. П. Ряды Фурье.—М.-Л.: Наука, 1951.—396 с.
3. Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференц. уравнения.—1981.—Т. 17, № 1,—С. 150-156.
4. Сохад зе Р. И. О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике // Дифференц. уравнения.—1983.—Т. 19, № 1.—С. 127-133.
5. Вудак В. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике.—М.: Наука, 1956.—683 с.
г. Нальчик
Статья поступила 18 апреля 2002 г.