О некоторых характеристиках множества простых чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 574.76

В. С. Малаховский1

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия nikolaymal@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-12

О некоторых характеристиках множества простых чисел

Множество простых чисел p > 5 разделяется на два непересекающихся множества Pl = {6к - 1}, P2 = {6к2 + 1}, где Ai, (1 = 1, 2). Подмножества A1 и A2 натуральных чисел определяются разностями A1 = Ы\ВЬ A2 = N\B2, где В1 и В2 — подмножества и {|2}, задающие подмножества {6^ - 1} и {6_|2 + 1} нечетных составных чисел.

В [1] доказаны две теоремы, позволяющие легко найти через арифметические прогрессии подмножества В1 для ^ < а € N. Определены таблицы чисел к1 для а = 500 и даны некоторые характеристики подмножеств Р1 и Р2.

Ключевые слова: множество, подмножество, простое число, простые числа-близнецы.

Известно, что любое простое число множества

Р* = Р\{2,3} (1)

имеет вид 6к1 - 1 или 6к2 + 1, где к1 и к2 — натуральные числа: к1 € А1 = {к1>, к2 € Л2 = {к2}. (2)

Нечетные составные числа 6^-1, 6^2+1 образуют подмножества

01 = {6л - 1}, = {6]2 + 1}. (3)

Поступила в редакцию 18.10.2018 г. © Малаховский В. С., 2019

Обозначим

Pi = № - 1}, P2 = {6k2 + 1}, (4)

Bi = {ji}, B2 = {j2}. (5)

Так как

Ai = N\Bi, A2 = N\B2, (6)

то множества A1 и A2 определяются числами, пропущенными во множествах B1 и B2. Из теорем 1 и 2 из [1] следует, что

ш=te }, (7)

{j2} = fe }^te}, (8)

где

hm,n = m + (6m - 1)n h^ = -m + (6m + 1)n , (9)

h™, = m + (6m + 1)n =-m + (6m - 1)n, (10)

а m, n — произвольные натуральные числа. Задавая натуральное число a и требуя, чтобы jj < a, легко находят множества B¡. Например, пусть a = 500. Вычисляя прогрессии

1 + 5n, 2 + 11n, 3 + 17n, ..., 12 + 4n, (11)

- 1 + 7n, - 2 + 13n, - 3 + 19n, - 12 + 73n (m < 12, n < 100), (12)

находят следующую таблицу чисел j1 € B1:

6, 11, 13, 16, 20, 21, 24, 26, 27, 31, 34, 35, 36, 37, 41, 46, 48,

50, 51, 54, 55, 56, 57, 61, 62, 63, 66, 68, 69, 71, 73, 76, 79,

81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 96, 97, 101, 102, 104, 105,

106, 111, 112, 115, 116, 118, 119, 121, 122, 123, 125, 126,

128, 130, 131, 132, 134, 136, 139, 141, 142, 145, 146, 149,

150, 151, 153, 154, 156, 160, 161, 165, 166, 167, 168, 171,

173, 174, 176, 178, 179, 180, 181, 186, 187, 188, 189, 190,

191, 193, 195, 196, 200, 201, 202, 206, 207, 208, 209, 211,

212, 216, 219, 221, 222, 224, 225, 226, 230, 231, 232, 233, 234, 236, 237, 241, 243, 244, 245, 246, 251, 253, 255, 256, 257, 258, 261, 263, 265, 266, 271, 272, 274, 275, 276, 277, 279, 280, 281, 282, 284, 286, 288, 290, 291, 292, 293, 294, (13) 295, 296, 297, 299, 300, 301, 303, 305, 306, 307, 309, 310, 311, 314, 316, 320, 321, 323, 324, 326, 327, 328, 331, 332, 335, 336, 337, 339, 341, 342, 343, 346, 349, 351, 353, 354, 356, 358, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 370, 371, 372, 375, 376, 377, 380, 381, 382, 384, 386, 387, 388, 391, 394, 395, 396, 398, 401, 405, 406, 409, 411, 412, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 423, 426, 427, 428, 429, 431, 433, 434, 436, 438, 440, 441, 442, 445, 446, 447, 451, 453, 454, 456, 458, 460, 461, 462, 464, 466, 468, 469, 471, 472, 475, 476, 478, 479, 481, 482, 486, 487, 489, 491, 492, 496, 497, 498, 499.

Таблица чисел к1 < 500 получается выписыванием всех пропущенных натуральных чисел таблицы (13):

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 28,

29, 30, 32, 33, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 47, 49, 52, 53, 58,

59, 60, 64, 65, 67, 70, 72, 74, 75, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 87,

93, 94, 95, 98, 99, 100, 103, 107, 108, 109, 110, 113, 114,

117, 120, 124, 127, 129, 133, 135, 137, 138, 140, 143, 144,

147, 148, 152, 155, 157, 158, 159, 162, 163, 164, 169, 170,

172, 175, 177, 182, 183, 184, 185, 192, 194, 197, 198, 199,

203, 204, 205, 210, 213, 214, 215, 217, 218, 220, 227, 228,

229, 235, 238, 239, 240, 242, 247, 248, 249, 250, 252, 254,

259, 260, 262, 264, 267, 268, 269, 270, 273, 278, 283, 285, (14)

287, 289, 298, 302, 304, 308, 312, 313, 315, 317, 318, 319,

322, 325, 329, 330, 333, 334, 338, 340, 344, 345, 347, 348, 350, 352, 355, 357, 359, 368, 369, 373, 374, 378, 379, 383, 385, 389, 390, 392, 393, 397, 399, 400, 402, 403, 404, 407, 408, 410, 413, 422, 424, 425, 430, 432, 435, 437, 439, 443, 444, 448, 449, 450, 452, 455, 457, 459, 463, 465, 467, 470, 473, 474, 477, 480, 483, 484, 485, 488, 490, 493, 494, 495, 500.

По формулам (4) таблицы (14) определяем все простые числа множества Р1 от 5 до 2999 включительно.

Таблица чисел < 500 получается из чисел арифметических прогрессий

1 + 7п, 2 + 13п, 3 + 19п, ..., 12 + 73п, (15) - 1 +5п, - 2 + 11п, - 3 + 17п, ..., 12 + 71п (т < 12, п < 100). (16)

Она имеет вид: 4, 8, 9, 14, 15, 19, 20, 22, 24, 28, 29, 31, 34, 36, 39, 41, 42, 43, 44, 48, 49, 50, 53, 54, 57, 59, 60, 64, 65, 67, 69, 71, 74, 75, 78, 79, 80, 82, 84, 85, 86, 88, 89, 92, 93, 94, 97, 98, 99, 104, 106, 108, 109, 111, 113, 114, 116, 117, 119, 120, 124, 127, 129, 130, 132, 133, 134, 136, 139, 140, 141, 144, 145, 148, 149, 150, 152, 154, 155, 157, 158, 159, 160, 162, 163, 164, 167, 169, 171, 174, 176, 179, 180, 183, 184, 185, 189, 190, 191, 193, 194, 196, 197, 198, 199, 201, 203, 204, 207, 209, 210, 211, 212, 214, 218, 219, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 231, 232, 234, 235, 236, 239, 240, 244, 246, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 256, 259, 260, 262, 264, 265, 267, 269, 272, 273, 274, 275, 279, 280, 281, 284, 286, 288, 289, 294, 295, 299, 301, 302, 303, 304, 306, 307, 308, 309, (17) 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 323, 324, 326, 327, 328, 329, 330, 334, 337, 339, 340, 341, 343, 344, 345, 349,

250, 351, 353, 354, 358, 359, 361, 362, 364, 365, 366, 368, 369, 371, 372, 374, 376, 377, 379, 383, 384, 386, 387, 388, 389, 392, 393, 394, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 407, 408, 410, 413, 414, 415, 416, 418, 419, 421, 422, 424, 427, 428, 429, 430, 431, 433, 434, 435, 437, 438, 439, 440, 442, 444, 449, 450, 454, 456, 457, 459, 460, 462, 463, 464, 466, 468, 469, 470, 471, 473, 474, 477, 478, 479, 480, 482, 483, 484, 485, 487, 488, 489, 490, 491, 493, 494, 496, 497, 498, 499.

Таблица чисел к2 < 500 получается выписыванием всех пропущенных натуральных чисел таблицы (17). Эта таблица имеет вид:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 33, 35, 37, 38, 40, 45, 46, 47, 51, 52, 55, 56, 58, 61, 62, 63, 66, 68, 70, 72, 73, 76, 77, 81, 83, 87, 90, 91, 95, 96, 100, 101, 102, 103, 105, 107, 110, 112, 115, 118, 121, 122, 123, 125, 126, 128, 131, 135, 137, 138, 142, 143, 146, 147, 151, 153, 156, 161, 165, 166, 168, 170, 172, 173, 175, 177, 178, 181, 182, 186, 187, 188, 192, 195, 200, 202, 205, 206, 208, 213, 215, 216, 217, 220, 221, 230, 233, 237, 238, 241, 242, 243, 245, 247, 248, 255, 257, 258, 261, 263, 266, 268, (18) 270, 271, 276, 277, 278, 282, 283, 287, 290, 291, 292, 293, 296, 297, 298, 300, 305, 310, 311, 312, 313, 322, 325, 331, 332, 333, 335, 336, 338, 342, 347, 348, 352, 355, 356, 357, 360, 363, 367, 370, 373, 375, 378, 380, 381, 382, 385, 390, 391, 395, 396, 397, 398, 406, 411, 412, 417, 420, 423, 425, 426, 432, 436, 441, 443, 445, 446, 447, 448, 451, 452, 453, 455, 458, 461, 465, 467, 472, 475, 476, 481, 486, 492, 495, 500.

По формулам (4) таблицы (18) определяем все простые числа множества Р2 от 7 до 3001 включительно.

Сравнивая таблицы (14) и (18), выбираем совпадающие в них натуральные числа к0 € А0 = А1 П А2 и получаем таблицу чисел к0 < 500, определяющую множество пар простых чисел-близнецов (6к0 - 1, 6к0 + 1).

Таблица чисел к0 < 500 имеет вид: 1, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 18, 23, 25, 30, 32, 33, 38, 40, 45, 47, 52, 58, 72, 77, 87, 95, 100, 103, 107, 110, 135, 137, 138, 143, 147, 170, 172, 175, 177, 182, 192, 205, 213, 215, 217, 220, 238, 242, 247, 248, 268, 270, 278, 283, 287, 298, 312, (19) 313, 322, 325, 333, 338, 347, 348, 352, 355, 357, 373, 378, 385, 390, 397, 425, 432, 443, 448, 452, 455, 465, 467, 495, 500.

Используя формулы (4), получаем таблицу простых чисел-близнецов (6к0 - 1, 6к0 + 1) от (5, 7) до (2999, 3001): (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73), (101,103), (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,192), (197,199), (227,229), (239,241), (269,271), (281,283), (311,313), (347,349), (431,433), (461,463), (521,523), (569,571), (599,601), (617,619), (641,643), (659,661), (809,811), (821,823), (827,829), (857,859), (881,883), (1019,1021), (1031,1033), (1049,1051), (1061,1063), (1091,1093), (1151,1153), (1229,1231), (20)

(1277,1279), (1289,1291), (1301,1303), (1319,1321),(1427,1429),

(1451,1453), (1481,1483), (1487,1489), (1571,1573), (1619,1621),

(1667,1669), (1721,1723), (1787,1789), (1871,1873), (1877,1879),

(1931,1933), (1997,1999), (2027,2029), (2081,2083), (2087,2089),

(2111,2113), (2129,2131), (2141,2143), (2237,2239), (2267,2269),

(2309,2311), (2339,2341), (2381,2383), (2549,2551), (2541,2543),

(2657,2659), (2687,2689), (2711,2713), (2729,2731), (2789,2791),

(2801,2803), (2969,2971), (2999,3001).

Проанализируем множества Р1 и Р2 до р < 10000. Разобьем числа р (5 < р < 10000) на сто интервалов:

(5 < р < 100), 100п < р < 100(п + 1), (21)

где п = 1,99 .

Составим таблицу:

р к, к? кп к1 + к2

5 < р < 100 12 11 7 23 к, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15

к, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 16

к0 1, 2, 3, 5, 7, 10, 12

100 < р < 20( 11 10 7 21 к, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 28, 29, 30, 32, 33

к2 17, 18, 21, 23, 25, 26, 27, 30, 32, 33

ко 17, 18, 23, 25, 30, 32, 33

200 < р < 300 9 7 4 16 к, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 47, 49

кг 35, 37, 38, 40, 45, 46, 47

ко 38, 40, 45, 47

300 < р < 400 7 9 2 16 к, 52, 53, 58, 59, 60, 64, 65

кг 51, 52, 55, 56, 58, 61, 62, 63, 66

ко 52, 58

400 < р < 500 9 8 2 17 к, 67, 70, 72, 74, 75, 77, 78, 80, 82

кг 68, 70, 72, 73, 76, 77, 81, 83

ко 72, 77

500 < р < 600 9 5 3 15 к, 84, 85, 87, 93, 94, 95, 98, 99, 100

кг 87, 90, 91, 95, 96

ко 87, 95, 100

600 < р < 700 7 9 3 16 к, 103, 107, 108, 109, 110, 113, 114

кг 100, 101, 102, 103, 105, 107, 110, 112, 115

ко 103, 107, 110

700 < р < 800 6 8 0 14 к,, 117, 120, 124, 127, 129, 133

кг 118, 121, 122, 123, 125, 126, 128, 131

ко 0

800 < р < 900 8 7 5 15 к, 135, 137, 138, 140, 143, 144, 147, 148

кг 135, 137, 138, 142, 143, 146, 147

ко 135, 137, 138, 143, 147

900 < р < 1000 8 6 0 14 к, 152, 155, 157, 158, 159, 162, 163, 164

кг 151, 153, 156, 161, 165, 166

ко 0

(22)

Из экономии печатных листов эта таблица составлена для простых чисел р < 1000.

В этой таблице числа к2, к0 справа означают их конкретное значение, а в левой части они определяют по формулам (4) простые числа множеств Рги Р2. Например, для 600 < р < 700 находят 7 простых чисел множества Р;{617, 641, 647, 653, 659, 677, 683}, 9 простых чисел множества Р2{601, 607, 613, 619, 631, 643, 661, 673, 691} и три пары близнецов (617, 619), (641, 643), (659, 661).

Обозначим символом п (кь к2, к0) номер сотни и число простых чисел в Рь Р2, Р0. Для 5 < р < 10000 получаем следующую характеристику по каждой выделенной сотне:

1(12,11,8); 2(11,10,7); 3(9,7,4); 4(7,9,2); 5(9,8,2); 6(9,5,2);

7(7,9,3); 8(6,8,0); 9(8,7,5); 10(8,6,0); 11(7,9,5); 12(7,5,1);

13(7,8,3); 14(6,5,2); 15(9,8,4); 16(6,6,0); 17(6,8,4); 18(4,8,2);

19(6,6,2); 20(8,5,3); 21(8,6,3); 22(4,6,3); 23(7,8,2); 24(8,7,3);

25(7,3,0); 26(5,6,2); 27(7,7,2); 28(6,7,3); 29(7,5,1); 30(7,3,2);

31(5,7,1); 32(4,6,2); 33(6,5,2); 34(7,9,4); 35(6,5,2); 36(6,8,4);

37(5,8,1); 38(6,6,1); 39(6,5,2); 40(6,5,2); 41(8,7,4); 42(4,5,2);

43(9,7,5); 44(5,4,1); 45(7,4,2); 46(4,8,2); 47(6,6,2); (23)

48(7,5,3); 49(4,4,0); 50(6,8,2); 51(8,4,2); 52(4,7,1); 53(6,4,2);

54(8,1,0); 55(5,8,3); 56(6,6,2); 57(5,7,3); 58(4,6,1); 59(9,7,3);

60(5,2,0); 61(5,7,1); 62(6,5,2); 63(7,6,2);64(7,8,1); 65(3,5,1);

66(6,5,2); 67(3,7,2); 68(6,6,4);69(7,5,2); 70(7,6,2); 71(5,4,0),

72(7,3,1); 73(5,6,1); 74(3,6,3); 75(6,5,2); 76(8,6,3); 77(5,7,0);

78(4,6,1); 79(7,3,1); 80(5,5,1); 81(6,5,2); 82(5,5,0); 83(7,7,3);

84(3,6,1); 85(3,5,1); 86(6,6,1); 87(7,6,1); 88(4,7,0); 89(7,6,3);

90(5,4,2); 91(4,7,2); 92(3,9,0); 93(8,3,2); 94(5,6,1); 95(10,5,4);

96(5,2,0); 97(4,9,2); 98(5,5,2); 99(6,6,1); 100(3,6,1).

Заметим, что если £ оканчивается на два нуля и порождает пару близнецов, то их число учитывается только в этой сотне, а больший близнец попадает в следующую сотню и учитывается не как близнец, а просто как простое число в этой сотне. Например, £"1 = 100 =к2. Близнецы (599, 601) учитывается только в данной сотне, а во второй сотне число 601 считается просто простым числом, входящем в эту вторую сотню. Анализируя таблицу (23), видим, что число чисел множеств Р1 и Р2 неодинаково.

Обозначим число простых чисел вида 6к1 - 1 в п-й тысяче через К п, число простых чисел вида 6к2 + 1 через К2, п, а число близнецов через К0, п.

Получаем следующие оценки:

Кц = 86, Кг1= 80, Ко, 1=33; К,. К1..

К,.

, 5=60, К2, 5=58, Ко, 5=23; (24)

., 6=60, К2, 6=52, Ко, 6=17; 7=57, К2, 7=60, Ко, 7=19; ,,8=55, К2,8 =51, К0,8=13; ;,р=55, К29 =51, Ко,9=14; -,10=53, К2,ю =58, Ко, 10=15.

К1 К1 К1 К1 К1 К1

Учитывая, что

2=72, К2,2 =68, Ко,2=26; з=60, К23 ==58, Ко,з=21; ,=57, К24 =64, Ко, 4=21;

10 10 2 Ки = 615,2 К2 I = 600, г,1 ' г,1

(25)

можно сделать вывод, что число простых чисел во множествах

10

Р1 и Р2 почти одинаково, а из равенства 2 К0г = 202 следу-

ет, что среди простых чисел 5 < р < 10000 существуют 202 пары близнецов.

0, г

Введем следующую запись:

(26)

где п — число простых чисел

Р1,рг = Р1 + 6, р3 = рг + 6, ..., рп = Рп- 1 + 6,

а т указывает, что следующее простое число Рп + 1 = Рп + 6(т + 1). Простые числа 5 < р < 100 множества Р1 и простые числа 7 < р < 100 множества Рг запишутся тогда в виде

5© 4© 1 ©2, (27)

3© 3© 4 © 1. (28)

Учитывая, что первое из простых чисел множества Р, — 5, а множества Р2 — 7, получим следующую расшифровку символических записей (27) и (28):

5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, (29)

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97. (30)

Для множества простых чисел Р € Р, (/ = 1, 2) Л р < 1000 символическая запись выглядит так:

5©4©1©2©3©2©1©3©2©3©4©1©1©2 ©3©2© 1©1©1©2©2©1©1©2©1©2©3©1©4©2©1©1©1©

1©1©2©1©2©2©1©1©3©3 (31)

3©3©4©3©1©3©1©2©1©2©1©3©2©2©1©3©

1©1©1©2©2©1©1©1©2©2©4©1©1©1©1© (32)

1©1©3©2©1©1©1©2©2©2©1©1©1©1©2.

Список литературы

1. Малаховский В. С. Об одном способе нахождения простых чисел // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер. Физ.-мат. и техн. науки. 2019. № 2 (в печати).

2. Боро В., Цагир Д. и др. Живые числа. М., 1985.

3. Малаховский В. С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004.

V. Malakhovsky1 1Immanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia nikolaymal@mail.ru doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-12

On some characteristics of subset of prime numbers

Submitted on October 18, 2018

The set of prime numbers p > 5 is divided into two nonoverlapping subset P1 = (6k: - 1}, P2 = {6k2 + 1}, where k A (i = 1,2). Subsets Ab A2 of natural numbers is defined by differences A1 = N\B;, where Bb B2 are subset {ji}, {j2} defining subsets (6ji - 1}, (6j2 + 1} of odd composite numbers. In [1] is proved two theorems permitting easily find by means of arithmetic progression subset Bi for ji < a ■€ N. The tables of numbers ki for a = 500 are defined and some characteristic of subsets P1, P2 are given.

Keywords: set, subset, prime number, twin prime.

References

1. Malakhovsky, V.: On a way of finding prime numbers. IKBFU's Vestnik. Ser. Physics, Mathematics, and Technology. 2 (2019, in print) (in Russian).

2. Boro, V., Tsagir, D. et al.: Live numbers (1985) (in Russian).

3. Malakhovsky, V.: Numbers familiar and unfamiliar. Kaliningrad (2004) (in Russian).