CC BY
118
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)
УДК 511.331
О НЕКОТОРЫХ ФОРМУЛАХ СУММИРОВАНИЯ
И. Ф. Авдеев (г. Москва)
Аннотация
В данной работе получен некоторый аналог формулы Эйлера — Ма-клорена, которая более удобна в применении.
Используемые в математике формулы суммирования служат главным образом для того, чтобы выразить значение сумм функции целого аргумента по некоторому сплошному промежутку суммирования в виде явных формул, включающих в себя многочлены или другие элементарные функции, зависящие от границ промежутка суммирования, а так же интегралы с весами от самой функции и ее производных. Дело в том, что аналитические свойства сумм обычно поддаются исследованию в значительно меньшей степени, чем свойства конкретных функций или интегралов от них, в котором в отличии от сумм применимы стандартные средства математического анализа.
Иногда некоторые из таких сумм поддаются прямому вычислению. Для примера укажем сумму арифметической и геометрической прогрессий.
Несколько сложнее ситуация складывается в том случае, когда нужно суммировать значение некоторого многочлена. Здесь оказывается полезным представление произвольного многочлена
Р (х) = Рп (х) = а0 + а1х + а2х2 + ... + апхп
В ВИД6
Рп (х) = Ьодо (х) + Ьд (х) + Ь2д2 (х) + ... + Мп (х),
где Ь0,..., Ьп некоторые постоянные, а функции д0 (х) ,... ,дп (х) - «треугольные» многочлены, то есть многочлены вида
, . х (х — 1)... (х — к + 1)
^ (х) =----------------------к-.
Такое представление, очевидно, единственно.
Заметим, что при к ^ 0 выполняется равенство
Як+1 (х) — дк+1 (х — 1) = дк (х — 1).
Если просуммировать это равенство по х в пределах от 1 до у, то получим формулу
Як+1 (у) — Як+1 (у — 1) = Як (у — 1) дк+1 (у — ^ — дк+1 (у — 2) = дк (у — 2)
Як+1 (1) — Як+1 (0) = Як (0).
Таким образом, учитывая, что як+1 (0) = 0, получим
у-1
Як+1 (У) = ^ Як (х).
х=0
Следовательно
у-1
^2 рп (х) = ЬоЯ1 (у) + Ь1Я2 (у) + ... + ЬпЯп+1 (у) .
х=0
Для произвольных гладких функций / (х) рассчитывать на наличие подобных универсальных формул не приходится. Однако в 30-х годах XVIII столетия независимо друг от друга Л. Эйлер и К. Маклорен предложили формулу, позволяющую дискретные суммы значений выразить через значение интегралов от самой функции и ее производных некоторого порядка. Данная формула носит название формула Эйлера — Маклорена.
Современный вид этой формулы выглядит так
[■ь т в ь
^2 / (к)= / (х)йх + ^ В /{к-1) (х) 1а + Кт>
а^к<Ь ^а к=1 '
ГД6
Ят = ( — 1)т+1[ /(т) (х) йх.
За т!
Здесь а ^ Ь, т — натуральное, Вк — числа Бернулли, / (х) — достаточно гладкая функция, чтобы иметь / (х\ ■ ■ ■ , /(х), Вт (Ь) — многочлен Бернулли, определяемый рекуррентным равенством
В0 (х) = 1, Вп (х) = пВп-1 (х), Вп (х) йх = 0,п Е N.
ио
Вывод данной формулы можно посмотреть в известном учебнике Г. М. Фих-тенгольца [1].
Основной целью данной статьи является вывод некоторого аналога формулы Эйлера — Маклорена, которая, на наш взгляд более удобна в применении.
Заметим еще, что предлагаемый обычно в математической литературе вывод формулы Эйлера — Маклорена довольно громоздок, в то время как используемые нами выкладки вполне прозрачны.
Следует сказать, что на практике обычно применяются упрощенные варианты формулы Эйлера — Маклорена, в частности в [2] доказана формула, называемая формулой суммирования Эйлера, которая имеет вид
/X рх
/ {и)йи - р (и) /' {и)йи — р (а) / (а),
где р (х) = 1 — {ж} , / (х) имеет непрерывную производную на отрезке [а, Ь].
С помощью интегрирования по частям, из последней формулы непосредственно вытекает новое соотношение, которое называется формулой Сонина
[3], которая выглядит так
£ / (х) — р (Н) / (Н) =
Q<x^R
р R р R
= / (х) 4х — р (О) / (О) — а (Н) /'(Н) + а (О) /'(Я)+ а (х) / (х) 4х,
J Q J Q
X
где а (х) = / р (г) = 1 ({х} — {х} ) .
о
Если в последнем интеграле в правой части данного равенства несколько раз выполнить интегрирование по частям, то получим другой вид формулы суммирования.
Введем следующие обозначения
рх рх
ао (х) = а (х) , ах (х) = ао (г) &,..., ак+1 (х) = ак (г) М,
оо
тогда а'0 (х) = р (х), а'у (х) = ау-х (х) (и ^ 1).
Имеет место следующая формула.
/(х)
рядка к (к ^ 2) на [О, Я]. Тогда имеет место равенство
£ / (х) — р (Н) / (Н) =
Q<x^R
= [К/ (х) 4х — р (О) / (О) — а (Н) /' (Н) + а (О) /' (О) + ... +
/ \ рЯ
+ { — 1)к 1 \Ok-l (Я) /1 1 (Я) - гк—2 {О) /(к ^ ^))+(-1)к гк—2 &)
о Q
Я к-1
'-ЛУ (г ,(Я) /1 (К) — г ,(П) /М
/ м 1Ь - Р (О) / (О) + V (-1)" (г— (Я) /1 (Я) - г— (О) /м (О)) +
JQ и=1
сЯ
+(-1)к г к—2 &) / {к)(1)йг.
Доказательство. Правая и левая часть доказываемого равенства, рас-
Я
же Я те целое, то обе эти функции будут гладкими. Кроме того при Я = О и правая и левая часть равенства обращаются в нуль. Поэтому, для доказательства его достаточно убедиться, что в каждой нецелой точке х производная левой и правой части совпадает.
Действительно, производная левой части равна
( £ / (х) - Р (Я) / (Я.)]
\Q<x^Я / Я
/ (х) - Р (Я) / (Я)\ = 0-р' (Я) / (Я)-Р (Я) /' (Я) = / (Я)-Р (Я) /' (Я)
^<х^Я / я
Для производной в правой части равенства имеем
()
Я
(г- Я к—1
/ / (х) (1х - Р (О) / (О) + V (-1)" (г—1 (Я) /М (Я) - а„—1 (О) /1 (О)) +
^ и=1
+ {-1)к[ гк—2 /(к){1)&] = / (Я) +
^ У Я
к—1
+ Е (-1)и г—1 (Я) /М (Я) + г— (Я) / ^ (Я)) + (-1)к г к—2 (Я) / (к)(Я) =
и=1
к—1
= / (Я) - Р (Я) /' (Я) + £ (-1)"г,,—2 (Я) /V (Я) +
и=2
к—1
+ £ (-1)"— (Я) /^ (Я) + (-1)кг— (Я) /(к)(Я) = / (Я) - Р (Я) /' (Я) +
и=1
кк + £ (- 1Тг— (Я) /V (Я) - £ (-1)"г—2 (Я) /1 (Я) = / (Я) - Р (Я) /' (Я).
и=2 и=2
Таким образом для производных левых и правых частей равенства получено одно и тоже выражение. Следовательно теорема полностью доказана.
Анализ формулы составляющей содержание доказанной теоремы показывает, что несмотря на ее естественный вид, она имеет недостатки, препятствующие
ее применению. Это связано с тем, что в ней отсутствует явный вид величины,
Р (х)
гк (х) гк (х) х
также, как хк, так как интеграл от функцпп (х) по единичному промежутку
равен константе 1 ■
На самом деле при доказательстве нашей формулы мы пользуемся только тем фактом, что функция гк (х) является первообразной для гк—1, хотя в условиях теоремы предполагается явное задание. Но так как все первообразные от фиксированной функции отличаются на константу, то за счет ее выбора можно
О
Я
Справедлива следующая теорема.
ОЯ
О < Я. На функцию / (х) наложим условия, что на отрезке [О, Я] ее кая производная существует и непрерывна. Тогда при любом, натуральном т справедлива следующая формула суммирования
Е /(п) =
Q<x^Я
где
/(х)йх + /'(х)1 - -
(‘ - 2)
Я
+ ... +
Q
+ (-1У
—1 ( (2т) /(2т 11 (х)
22т—1п2т
(1 -^ 22т)
Я
+ Т
Q
рЯ ж
Т2т =(-1)т—12 /(2т1 (х)^
сов2пкх
=1 (2пк)
2т
йх.
Доказательство. Применим метод математической индукции. Рассмотрим сначала базу индукции, то есть случай т = 1. Тогда доказываемая формула приобретает вид
Q<x^Я
Я
+ Т2
Q
где
рЯ ж
Т2 = 2 / (х)
^Q к=1
сов2пкх \2~
йх.
^ к=1 (2пк)
Для доказательства этого соотношения воспользуемся формулой Сонина. В нашем случае она записывается в следующем виде
Я
Я
(х) = I / (х) йх + р (х) / (х)
Q<x4Л ^
£ / (х)= I
'I тэ V ^
Я
- г (х) /'(х)
Q
Я
Q
+ г (х) / (х) йх.
Заметим, что имеет место разложение
р (х
(х) =
вт 2пкх
к=1
пк
и р (О) = р (Я) = 0, так как О, Я предполагаются полуцелыми. Кроме того
г(х) =
Р(У)йУ = ^
Ж /
-£
и—л \
вт 2пку
к=1'у0 сое 2пкх
пк
1
йУ = -Т,
соб 2пку
к=1
ОС
2п2к2 2п2к2
= - £ к=1
2п2к2 соб 2пкх
2п2к2
1 ж 1 2П ^ к2 к=1
сое 2пкх £^^ + к=1
2п2к2
2п
(2).
г (х)
X
X
X
0
0
1
^ г (х) /"(х)йх = ^- £ с°П2к2х + 2Л2 ^ (2)^1/И(х)йх
0[Я Ж соб 2пкх „ С (2) [Я
2 и - Ъ,12ППкГ/ (х) йх + ^ I / (х йх =
= -2 /Я £ (х) йх + Щ ГЯ / (х) =
JQ (2пк) 2п2 JQ
о (Я V"4 соб 2пкх „ С (2) , Я
2 У --------------^ / (х) йх + -^-Чг / (х)
JQ {=1 (2пк) 2п2'1 У 1
Q
ОЯ
/1\ со пк 1 (- 1)к 1
г (О) = г (Я) = ^2)= - £ +2П2((2) = - £ + 1Л((2) =
4 7 к=1 к=1
-Л< (2) + 2П2 (£ Ь - 2 £ = 12£2 (< ^ + < (2) - 1С (2))
= 4§2С (2)4
Таким образом приходим к равенству
,__ рЯ 3 Я рЯ соч 2Пкт
У Г (х) = Г (х) іх + 0+—-( (2) /' (х) +2 -2~1" (х) іх =
<-і„ „ -Ь ІҐ, (2пк) 1 У '
Q<x^R
-Я
f (х) іх + — с(2) Г(х)
+ 2 р2 (х) Г" (х) іх.
Q ^
Здесь используется следующее обозначение
рг (У)
к
соя 2пку
^ (2пк)г ; =1 К '
яіп 2пку
^ (2пк)г ’ =1 К '
к
г — четное,
г — нечетное.
Полученное равенство доказывает утверждение теоремы для т = 1.
Предположим, что г ^ 1 и утверждение теоремы верно для всех т ^ г. Докажем справедливость утверждения теоремы для т = г + 1.
Согласно предположению индукции, при т = г выполняется равенство
Я
(—1Г-'Т2г = 2 Г<2г) (х)£
сое 2пкх
2г
іх
2
Я
Г(2г') (х) і (яіп2пкх).
Учитывая, что
Имеем
и = Г(2г), іУ = ^.(яіп2пкх) іи = Г(2г+1')іх, У = віп2жкх.
к=1
Я
(2пк)
2г+1
1
Г(2г') (х) і (яіп 2пкх) =
2г+1
^ Г(2г') (х) яіп 2пкх | Q — ! від 2пкхГ(2т+1') (х) іх^ =
2
Я
яіп 2пкхГ(2г+Г) (х) іх,
Я рЯ
поскольку при полуцелых Q, Я внеинтегральный член последнего равенства обращается в нуль. Поэтому снова интегрируя по частям, приходим к равенству
-2Е
-я
$,ш2пкх1(2г+1') (х) йх =
я
к=1
(2пк)
2г+2
f (2г+Г) (х) й (сое 2пкх)
>Я
2
=1 (2пк)
2г+2
^(2г+\) (х) 2пкх\01 — J сое 2пkxf (2г+2') (х) йх^ =
2
f(2т+1^ (х) сое 2пкх
к=1
(2пк)
2г+2
я г- я Ж 2
я 1=1 (2пк)2г+2
сое 2пkxf (2т+2') (х) йх.
Как и выше, далее учитываем, что при полуцелых х = Q и х = Я выполняется равенство со§2пкх = (—1)к. Следовательно
(—1)т-1Т
2г
Ж
к=1
/<2г+,) (х)(—1)‘
(2пк)
2г+2
я
я
я
— 2 р2г+2 (х) f(2г+2) (х) йх.
^я
Осталось вычислить внеинтегральный член последней формулы. Как и ранее
имеем
Е
к=1
= — < & + 2)(1 —
Отсюда получаем
(—1)т-1Т 2Г
С (2г + 2)[1 —
(і — —) У 22г+1)
1 N f(2г+1) (х)
22г+1 I 22г+1п2г+1
я
я
— 2 Р2г+2 (х) f(2г+2) (х) йх.
я ^я
Подставляя последнее значение для (—1)т-1Т2г в предположение индукции, получим утверждение теоремы для случая т = г + 1. Тем самым по принципу индукции теорема 2 доказана.
Как было отмечено ранее, теорема 2, справедливость которой установлена выше, представляет собой вариант известной формулы суммирования Эйлера-Маклорена.
Отличие нашей формулы от приведенной выше традиционной состоит в том, что интегрирование в ее правой части производится по промежутку с полуце-лыми концами, охватывающему целые точки суммирования. Длинна этого промежутка равна Ь — а + 1. Она в точности совпадает с количеством слагаемых в сумме. В тоже время в традиционной формуле промежуток интегрирования
1
1
1
Ь — а
го несоответствия там в неявном виде содержаться члены, за счет которых значение конечных слагаемых учитываются с коэффициентами 2, тем самым производится некоторая «регуляризация». В нашем случае необходимость в подобной корректировке суммы отсутствует. Это позволяет в некоторых случаях достигать более точных результатов при ее применении см. [4].
Следует отметить, что многочлены Бернулли, вообще говоря задаются в неявном виде, что затрудняет использование формулы. Коэффициенты, входящие в правую часть, традиционной формулы, выражаются через числа Бернулли, которые, в свою очередь, могут быть записаны через значения дзета-функции Римана в четных точках. При сравнении этих коэффициентов с соответствующими коэффициентами нашей формулы видно, что в нашем случае всегда присутствует понижающий множитель вида (1 — 221-1) ■> который меньше единицы.
В заключении отметим, что формула суммирования Эйлера-Маклорена входит в основной аппарат математического анализа. Она послужила источником для вывода других формул суммирования, включая известную формулу суммирования Пуассона [Архипов], которая в свою очередь является мощным аналитическим инструментом математических исследований.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - 7-е изд.,стереотип.- М.: Наука, 1969. - Т. 2. -С. 531-551. - 800 с.
[2] Архипов Г.11.. Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу: Учеб. для вузов.- 4-ое изд., М.: Дрофа, 2004. -640с.
[3] Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981 г.
[4] Авдеев Ф.С., Авдеев И.Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского ун-та. 2012.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.
Поступило 12.12.2011
