Приближение дзета-функции квадратичной формы отрезком ряда Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 2 (2013)

УДК 511.331

ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРЕЗКОМ РЯДА

Настоящую статью автор посвящает светлой памяти выдающегося математика Геннадия Ивановича Архипова.

В статье получено приближение для дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта. Даны оценки в близи единичной прямой.

Ключевые слова: Дзета-функции Римана, квадратичная форма, ряд Дирихле.

APPROXIMATION ZETA-FUNCTION OF A QUADRATIC FORM THE FINAL TRIGONOMETRIC SUM OF THE REMAINDER

I. F. Avdeev (Orel)

Abstract

In this article functional approximate equation was get for zeta-function in square form with negative discriminant.

Keywords: Riemann zeta-function, quadratic form, the Dirichlet series.

Пусть Z(s,K) — дзета-функция квадратичной формы K, определяется равенством

где в — комплексное число, в = а + П. Мы будем рассматривать задачу вывода простейшего приближенного функционального уравнения для дзета-функции £ (в, К), позволяющее продолжить эту функцию и получить нетривиальные

ДИРИХЛЕ

И. Ф. Авдеев (г. Орел)

Аннотация

1

m2 +n2=0

оценки модуля этой функции вблизи единичной прямой а = 1. Будем считать, что форма К(т, п) представлена в виде

К(т, п) = ат2 + Ьтп + ап2,

Здесь коэффициенты а, Ь и а предполагаются удовлетворяющими условиям

\Ь\ ^ а ^ а,

1 = 4аа — Ь2,

где -1 < 0 дискриминант формы.

Проверим сходимость ряда Дирихле в области а > 1.

Имеем

Е

1

(К(т, п))

Е

Е

т2 +п2=0

Так как \Ьтп\ ^ Щ-(т2 + п2) и

(К (т,п)) ^ (ат2 + Ьтп + ап2 )°

т2+п2=0 К К ” т2+п2=0 К ’

2 2 2 2 \ Ь\ 2 2 а 2 а 2

К (т, п) = ат + Ьтп + ап ^ ат + ап —— (т — п ) ^ ^ т + ^ п .

2

Далее

Е

2

т2+п2=0

(ат2 + ап2)°

Е

Е

г(п)

0 0 (т2 + п2)° ' п

т2 +п2=0 п=1

Здесь г(п) — число представления натурального п в виде суммы двух квадратов целых чисел. Известно, что г(п) удовлетворяет неравенству

г(п) ^ 4т(п),

где т(п)- число делителей п. С другой стороны, для т(п) известна оценка

1

)2'.

\ £ 1п2 )

£ > 0- любое [2]. Поэтому ряд

Е

п=1

г(п)

п°

сходится при всех а = 1 + £, что и требовалось доказать. Отметим, что при а > 1

1

2

2

е?п28 (К(ш,п))8

п=1 т>0 у у ’ 11

Г) Г) 0 Г) °° Г)

^2 ^2 ^2 ^2

' ^ (К (ш п))8 Г ■> (К (ш —п))8 Г ■> Сп28 ' ^

(К(т,п)) ^ (К(т, -п)У^-^ аяп2^ ^ а3т2я

т,п^1 7 т,п^1 п=1 т=1

22

= ^ 7К~(----)уз + (К(-)уз +2(а 3 + а (2з)

(К(т, п)) (К(т, п))

т,п^1 т,п^1

Для каждого из трех слагаемых правой части последнего равенства необходимо вывести приближенное функциональное уравнение. Но для функции £ (в) соответствующее уравнение давно известно см. [3], а для каждого из двух других слагаемых оно выводится одинаково. Поэтому ограничимся рассмотрением функции /(в) вида

12 /(в) = ^ (К(т,п))3 = ^ (ат2 + Ьтп + ап2)3 = 2(4аУд(8)

т,п^1 т,п^1 к ’

где д(в) определена последним равенством. Точнее

д(в) = ^ 2

т,п>

1 ((2аш + Ьп)2 + йп2У

Будем искать приближенное функциональное уравнение для функции д(в). Справедливо следующее утверждение теоремы

Теорема 1. При а > 2, і > 0 для точек в — а + й с условием Ь < пь, где ь-полуцелое справедливо приближенное функциональное уравнение вида

д(в) — Е / (ш,п) + ( /(х,у)в1хв1у + О (а2і(а + ь\/~д) 2а^

т,п^У м

Здесь М — М0/М1, где М0 — область точек с условием 2 ^ х,у < +то, М1 — область, определенная неравенством тах(х,у) < V.

Зафиксируем п > 1 и рассмотрим сумму дп(в) по ш вида дп(в) — ^ 2

т>1 ((2аш + Ьп)2 + (1п2У

Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Пусть Q и Я — полуцелые числа, удовлетворяющие условию Q < Я. На функцию /(х) наложим условие, что на отрезке [Q,Я] ее вторая производная существует и непрерывна. Тогда при любом натуральном т справедлива следующая формула

я / я

£ / (п) — [ /(х)їх + / (Х

12

Я<П^Я д

где

я

Т2 — [ / "(х)\

(2пк)

+ Т2,

Я

я

Т2 — I /"(х) £ ^Хлх

V и_1

Я к=

Доказательство. См. [4]

В качестве /(х) в этой лемме возьмем функцию вида / (х) = / (х,п) 1

((2аш + Ьп)2 + їп2)

Положим так же Q = V, а параметр Я будем считать большим числом, превосходящим V. Тогда для суммы

4зЫ = Е 1

У<т^Я ((2аш +Ьп)2 + їп2)

приходим к равенству

в

їх

Ад(в) —

] ((2ах + Ьп)2 + їп2)3

У

я

+ Т2,

У

+ (((2ах + Ьп)2 + їп2) Л -1

V / х 12

где

в II о

т2 = / (((2ах+п)ххк2 со;2:крх Вычислим явно первые и вторые производные по х указанные выше. Имеем

(((2ах + Ьп)2 + dn2)-s)X = —в((2ах + Ьп)2 + йп2)-3-14а(2ах + Ьп), (-в((2ах + Ьп)2 + йп2)-3-14а(2ах + Ьп))х =

= в(в + 1)((2ах + Ьп)2 + йп2)-3-1х х 16а2(2ах + Ьп)2 — в((2ах + Ьп)2 + йп2)-3-18а2.

В случае, когда а > 1, параметр Я можно устремить к бесконечности. В результате приходим к равенству при каждом п < V, где V — полуцелое

дп(в) Е ((2аш + Ьп)2 + їп2У

0

2 І їх

^ ((2аш + Ьп)2 + їп2)8 + ] ((2ах + Ьп)2 + їп2)8

1^^т^У у

((^ + Ьп)2 + їп2)~8)'х

12

0

+ [ (((2аУ + Ьп) + їп2)-8)Хх £ 72 21)2їх-

У к=1 (2пк)

В случае п > V будем иметь

1

дп(в) — £

т>

1 ((2аш + Ьп)2 + їй2) їх ((^ + Ьп)2 + їп2)-8)

((2ах + Ьп)2 + їп2 )8 12

2

СЮ

+1 (((2аУ+Ьп)+їп) 8)Хх £ с°0Пк)2 їх'

V

Далее просуммируем величину дп(в) по параметру п. Имеем

ГО

д(з) = £ дп(в) = £ дп(в) + £ дп(в) = ^1 + ^2.

п=1 n<V n>V

Преобразуем величины 01 и 02. Рассмотрим сначала величину 01. Получим

О1 ^ ^ дп(в)

n<V

сю

1 Г йх

)2

п<Ут<Ухх 7 п<-ю

((2аш + Ьп)2 + їп2)8 п<1, ^ ((2аш + Ьп)2 + їп2)

^ ((^ + Ьп)2 + їп2)~8)'У

^ 12 + п<У

0

0 соб 2пкх

+ £ / {((2аУ + Ьп)2 + їп2) 8)ХХ£ (2 к)2 їх — О11 + 012 + Яп + Яи.

к=1 ( )

п<У у к=

Здесь значения 011,012, Я11, Я12 очевидным образом определяются последним равенством. Рассмотрим сумму 02.

02 = Е дп(8) = ЕЕ 1

((2ат + Ьп)2 + йп2 )3

п^ п^ т'^1 и 1 1

ГО _ /

[ йх (((а + Ьп)2 + йп2) 3)х

^ } ((2ах + Ьп)2 + йп2)3 ^ 12 +

n>V х \\ / / n>V

2

ГО

/* ГО

х—л / /// \2 2\ — ^" х—л со^2пкх + Е I (((2^+Ьп) +йп) ^Е (2пк)2 йх

>хх (2Пк)2 n>V 1 к=

2

— 021 + Я21 + Я22-

Значение величин 021, Я21, Я22 в последнем равенстве определены однозначно.

Из суммы 012 + 021 выделим главный член в виде двойного интеграла из формулировки теоремы с допустимой погрешностью. После этого оценим погрешности, вносимые остатками Я11, Я12, Я21, Я22. Член 011 присутствует в формулировке теоремы и в дальнейших преобразованиях не нуждается.

Исследование 012 -

Имеем

ГО ГО

йх йх

12 ' I ((2ах + Ьп)2 + йп2)3 I '

п^ „ ((2ах + Ьп)2 + йп2) ] п<у ((2ах + Ьп)2 + йп2)

К внутренней сумме применим лемму 1 со значением параметров Q = 2, Я = V Получим

ГО

[ Е

((2ах + Ьп)2 + йп2)3

ГО V

[ [ йхйу +

V 1 2

ГО

((2ах + Ьу)2 + йу2) 12 J (((2ах + Ьу)2 + йу2)3)

V

V

йх+

2

ГО сое 2пкх

+ у (((2ах + Ъу)2 + йу2) ХуЕ (2пк)2 ху

V к=1

112 + Я121 + Я122 -

Как и ранее, введенные выше величины определяются последним равенством.

Заметим, что несобственные интегралы, являющиеся слагаемыми суммы 012, сходятся абсолютно в области а > 1 и поэтому являются аналитическими функциями по переменной в в этой области.

ОО , V

1 М 1

Пі21 12 і ^\((2ах + Ьу)2 + іу2)3^ у

V у

іх

—

— -в((2ах + Ьу)2 + іу2)—3—12(2аЬх + у(Ь2 + і))2аіх «

12 ] ' 2

V

« і у ((2ах + ЬУ)2)а 1 (аЬх + V і)іх+

V

О

((ах +Ь) + лГ-1(аЬх + і)іх «

V

О О

« ^ ! (аЬх + V і) + ^ Г (аЬх +1) « Уіі і

(а2х2)а+1 7 (а2х2)а+1 а2а+2У2а+2 а2аУ2а

V V

Теперь рассмотрим Я122. По определению

о V ^

(* (* (,, , Ч2 2\ — 3\" \Л со$>2пкх

ЇІ122 = ! J (((2ах + Ьу) + оу ) )ууХ^ (2пк)2 іхіу-

V і к=1

2

Вычислим значение второй частной производной подынтегральной функции

(((2ах + Ьу)2 + 0у2) \ =

= -в((2ах + Ьу)2 + іу2)—3—1(2(ах + Ьу)Ь + 2уі) (-в((2ах + Ьу)2 + іу2)—3—1(2(ах + Ьу)Ь + 2уі))у =

= в (в + 1)((2ах + Ьу)2 + у2і)—3—2(2(ах + Ьу)Ь + 2уі)2 -в((2ах + Ьу)2 + у2і)—3—1(2Ь2 + 2і).

Следовательно

СО V

К122 = J і^ (в(в + 1)((2ах + Ьу) + у і) 3 (2(2ах + Ьу)Ь + 2уі)2

V і

—$((2ах + Ъу)2 + у2в) 3 \2Ъ2 + 2в)) £ ^

СЮ V

= 1вх /(,(*

V 1

2

+ 1)((2ах + Ъу)2 + у2в)-3-1(2(2ах + Ъу)Ъ сое 2пкх ,

+2»в)2) Етмг ву

ж V

,2 , 2п-з- 1^и2 ~ - ж со$2пкх

— вх в((2ах + Ъу)2 + у2в) 3 1(2Ъ2 + 2в)^^~г~

I 1 к=1 (2

V 1 2

пк)2

ву

И\221 — И\222-

Для оценки величины Я1221 снова воспользуемся второй теоремой о среднем. Имеем

оо V

Я\221 = ф + 1) Е (2тек)2 / 008 2пкуву !((2ах + Ъу)2

к=1 1 тг

V 2

+у в) 3 2(2(2ах + Ъу)Ъ + 2ув)2вх.

Далее

j ((2ах + Ъу) + у в) 3 (2(2ах + Ъу)Ъ + 2ув) вх ^

V

СЮ

^ У((2ах + Ъу)2 + у2в)а-2 х (2(2ах + Ъу)Ъ + 2ув)2вх.

V

Далее

(4аЪх + 2Ъ2у2 + 2ув)2((2ах + Ъу)2 + у2в) а 2 *

* (УЗГЗД)’«■“ + Ъу) +

Напомним, что х ^ V ^ у ^ 1 Дальнейшую оценку разобьем на 2 случая. Первый случай а2х2 ^ у2в. Тогда х2 ^ у2т ,х ^ ,у ^ . Следовательно

2

/ 2аЪх + Ъ2у2 + ув\ 2 / 2аЪх + ув\ 2 / а2х + ув\ 2 (а + у/в\

\(2ах + Ъу)2 + у2в) * \а2х2 + у2в) * \ а2х2 ) у ах у

По определению 4ас — Ъ2 = в, причем а ^ с ^ \Ъ\ следовательно 3ас < в, а * у/в. Поэтому

(а + у/в\ ( у/в\

ах ах

ах I \ ах I а2х2 а^2

Кроме того

((2ах + Ъу)2 + у2в)-а * (а2х2 + у2в)-а * а-2ах-2а.

Во втором случае имеем а2х2 ^ у2 в. Тогда х2 ^ ,х ^ . Следовательно

,2 УГт -)2 ( -)2

'«х+щХ* = а+ув *^

а2х2 + у2 в; \у2в \ уу/в у2

Имеем так же

((2ах + Ъу)2 + у2в)-а * (а2х2 + у2в)-а * (у2в)-а.

В первом случае подынтегральная функция А(у) оценивается так

в а2хл

Следовательно

А(у) * (а2х2) &.

22

в А(у) *

а2+2<г х2+2&

Во втором случае имеем

Ау * у-2 №)-* = .

Далее оценку функции А(у) проинтегрируем по у в пределах от 1/2 до V.

Заметим, что параметр при этом принимает некоторое фиксированное значение с условием х ^ V. Это значение таково, что

VУв

х > V ^ -------,

а

поэтому второй случай, при котором у ^ ^ не имеет места, так как тогда выполняется неравенство

а Vу/в

у > ^--------= V,

у/в а

что невозможно. В этой ситуации получим

[ А! N7 Vв в

А(у)ву * -+2„~2+2, *

а2+2ах2+2а а2+2& V1+2& '

Суммируя эту оценку по к и учитывая, что в * г окончательно получаем

1^1222 *

г2

в^ 1+2&

Теперь рассмотрим Я1222. По определению

ю V ^

Я1222 = в 'I вх 'I ((2ах + Ъу)2 + у2в)-3-1(2Ъ2 + 2в)^2 ву =

V 1 к=1

2

ж V

= в(2Ъ2 + 2в)^2~/--0 и\2 со82пкуву ((2ах + Ъу)2 + у2в)-3-1вх

к__1 (с08 П ) и и

2

Положим

СЮ

А2 (у) = J ((2ах + Ъу)2 + у2в)-а-1вх.

V

Тогда

((2ах + Ъу)2 + у2в)-а-1 * (а2х2 + у2в)-а-1 В случае а2х2 ^ у2в имеем

(а2х2 + у2в)-а-1 * а-2&-2х-2а-2,

отсюда заключаем, что

. ( ^ а-2-2х-2а-2 = 1

2(у) * ат = а2&+зх2&+т

Во втором случае у2в > а2х2 следовательно

((2ах + Ъу)2 + у2в)-а-1 * (а2х2 + у2в)-а-1 * (у2в)-а-1 = у-2а-2в-а-1. откуда

А2 (у) * (у в)

2 п-сг-1

у2 +2в +1

Полученную оценку для А2(у) необходимо проинтегрировать по у в пределах от 1 до V. По условию х ^ V. При этом х > и второй случай не имеет

места. Поэтому

V

Г V 1

Н2 = А2(у)ву *

a2(т+2V2(т+1 a2a+2V20'

1

Из последней оценки вытекает, что

R1222 ^ tdH2 ^

а2а+2у2а '

Сравнивая оценки для Я1221 и Я1222 приходим к неравенству

t2

day 1+2а + tVd,

d у + а2а + 2у2а

Оценка остатка Яц

По определению

Rii = — 12^0(((2аУ +bn)2 + dn2') s)v■ n<V

Явный вид производной по У для слагаемых последней суммы имеет вид

(((2аУ + bn)2 + dn2)~s)'V = -в((2аУ + bn)2 + dn2)~s~12a(2ay + bn) ^

< t((aV)2 + dn2)а~1а2У < t(aV)~2a~2а2У = ta~2aУ~2a-1.

Суммируя по n < У, получим

Я11 < ta~2aУ~2а.

Оценка остатка Я12.

Значение величины Я12 определяется равенством

СО

cos 2nkx

/>»ЛJ

{{(2ax + bn)2 + dn2) s)xx^2^z—rr^— dx =

_1

n<V v k=1

oo

CO 1 r.

{((2ax + bn)2 + dn2) s)xx cos 2nkxdx.

n<V k=1 (n ) V

Но

{{(2ax + bn)2 + dn2) s)xx = 16a2s(s + 1)((2ax + bn)2 + dn2) s 2x

\2 I Ur^\2 I slr^2\ ~s~1

x (2ax + bn)2 — 8a s((2ax + bn)2 + dn )~

В соответствии с последним равенством величина Я12 представляется в виде двух слагаемых Я12 = Я121 + Я122, где

Я121 = ЕЕ а ^^ J ((2ax + bn)2 + dn2) s 2(2ax+

OO

n<V k=1 v

(nk)2

+bn)2 cos 2nkxdx.

O 2a2s c

Я122 = — V 7—((2ax + bn)2 + dn2)-s-2 cos 2nkxdx.

w2 v

Рассмотрим сначала величину Я121. Для этого оценим величину Bn, являющуюся значением интервала по x в последней сумме, то есть

Bn(k) = j ((2ax + bn)2 + dn2) s 2(2ax + bn)2 cos2nkxdx 0

((2ax + bn)2 + dn2 )-a-2e-it ln((2ax+bn)2+dn2 )x

V

CO

V

/ g2inkx + e-2inkx\

x (2ax + bn)2 I-----------2--------j dx.

Выражение Bn разбивается на 2 слагаемых Bn1 и Bn2 вида

O

Bn1(k), Bn2(k) = - J((2ax + bn)2 + dnY~2(2ax + bn)2x

V

y^Q-it ln((2ax+bn)2+dn2)±2inkx dx

Оба слагаемых оцениваются одинаково. Рассмотрим, например, Bn1. С помощью второй теоремы о среднем опять приходим к оценке

Bn1(k) ((2аУ + bn)2 + dn2)a-2(2aУ + bn)2\I\,

где

£ 2 (n)

I = J i2(n)e2inkx-itln((2ax+bn)2+dn2)dx,

£1(n)

при некоторых числах $,2(n) > &(n) ^ У. Функцию, стоящую в показателе экспоненты, в интеграле I обозначим через if(x). Для производной f'(x) выполнено равенство

2

f (x) = 2nk — t— > 2nk — 2 ^ k.

x

Следовательно оценка интеграла I по первой производной имеет вид

I * 1 •

Отсюда имеем

Бп(к) * Бм(к) * ((2аУ + Ъ”)2 + + Ъп)

к

Подставляя полученную оценку в равенство для Я121, получим

я Ю а2г<2 (2а^ +Ъп)2

121 * к3 ((2аУ + Ъп)2 + вп2)'+2 *

2+2^ (2а^ + Ъп)2 ^ 22 2ЛГ2^ (2аУ + ЪпТ

^ 2,2^^ (2ау + Ъп) ^ 2+2 2\г2

* а1А^ ((2аЛГ + Ъп)2 + вп2 )'+2 * а 1 aV Е

п (^ + Ъп)2 + вп2)'+2 (^)2 + вп2)'+2

аЧV 2

^ (2аУ + Ъп)2 ^ (2аУ + Ъп)2 ^

^ (Ш)2 + вп2)'+2 + ^ (Ш)2 + вп2)'+2

\п< % %<п^ )

Оценивая вклад каждой суммы, приходим к оценке

Я121 * аЧ^2(аУ)-2'-3в-2 = Ь2в-1 а1-2'V-2'-1.

Перейдем к оценке величины Я122. Для этого рассмотрим внутренний интеграл Вп(к) вида

СЮ

\ 2 | 2\—3—1

Оп(к) = j ((2ах + Ъп) + вп ) 3 со82пкхвх =

V

((2ах + Ъп)2 + вп2)-'-1в-и 4{2ах+1ш)2+тп2) (е2гпкх + -гпкх) вх.

V

Ю

2 У

V

Действуя по предыдущей схеме, получим

Оп(к) * 1

(^ )2 + вп2)'+1к

Отсюда имеем

1

(^ )2 + вп2)'+1

* а2гУ(аУ)-2'-2 = а-2'IV

Это окончательная оценка для величины Я122.

Я122 * а г Е ((аV)2 + вп2)'+1 *

п<У

2,тГ(тГ\-2'-2 -2'.лг-2'~ 1

Оценка величины 021.

Величина 021 определяется так

Ю

021 = £ [ '1

вх

((2ах + Ъп)2 + вп2)3 ’

Суммирование по п сделаем внутренним

Ю

вх

0

21

£

((2ах + Ъп)2 + вп2)3

Q(n)вx,

! п>~У 1 n>V

2 2

где Q(n) определяется последним равенством. Применяя формулу суммирования, получим

Ю Ю Ю Ю

х=

Q(y)вyвx —

n>V

12

1 V

2

вх+

у_У

ОС ОС

Ю

+у у Qyy(у)Е

1 V к_1

2

сов 2пку (2пк)2

вувх — То + Я01 + Я02.

Нам требуется оценить остатки Я01 и Я02. Рассмотрим сначала Я01.

Я

$у (у)

о1

12

вх.

У_^

Найдем явное значение подынтегрального выражения

1 \ —в(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)

О

0.

((2ах + Ъп)2 + вп2) / у —в[ Ъ(2ах + ЪV) +

((2ах + Ъу)2 + ву2)3+1

Ю

Ъ2ах +

Яо1 6 У ((2ах + ЪV)2 + в^2)^1 вх * V ((2ах)2 + в^2)^1

1 1

2 2

вх

= г

Ъ(2ах + ЪV) +

((2ах + ЪV )2 + вV 2)'+1

вх + г

Ъ2ах + вV

УуЯ

а

((2ах)2 + вV 2)'+1

вх — 11 + 12.

Далее

Ул/2

т а vв , vв V /в г

11 * г \ , „т^_,лвх * г, -----*

(д¥2)'+1 ((IV2)'+1 а \г2&в'--2(

2

2

2

2

а

2

Теперь оценим

Ю

[ Ъах + вV 12 * г ] ^+2вх

У УЯ

а

ОС

[ Ъ х г

^ У (ах)2'+1х2'+1 х + ^ У (ах)2'+2х2'+2 Х

у УЯ у УЯ

_ уУЯ ^V/I

х .... а '

= гЪа-(2'+1) х-2' Г а +

а2'+2 V-2'-1в' 1а2'+1

гЪ гв1-' г

+ —г- *

аV 2' в' aV 2' (XV 2' в'-2

Следовательно общая оценка для Яо1 имеет вид

Я01 * —----------т.

aV 2' в'-2

Перейдем к рассмотрению остатка Я02. Он имеет вид

Ю8 2п) (2пк)2

л I , сов 2пку

Я02 = вх Qyy)/ _,Л2 ву.

1 V к_1

2

Найдем в явном виде ^Уу

в (в + 1)(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 2в(Ъ2 + в)

Q

'уу ((2ах + Ъу)2 + ву2)3+2 ((2ах + Ъу)2 + ву2)3+2

Подстановка данного выражения в интеграл дает

Ю Ю

Я [в [ в (в + 1)(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 ^ сов2пку в

02 У У ((2ах + Ъу)2 + ву2)3+2 (2пк)2 ^

1 V

2

Ю Ю

[ [ 2в(Ъ2 +в) у сов2пку _о

— ] Лх] ((2ах + Ъу)2 + ву2)3+2 Ъ -(2ПкуГву = Яо21 — Я-22

1 V к_1

2

Займемся оценкой величины Я021. Вынося суммирование по к за знак интеграла и выражая сов 2пку через экспоненту, получим неравенство

Ю Ю

Яо21 < У г I вх [ в(в + 1)(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву? * Ыф(у))±2пгк ву

(2пк)2 У У ((2ах + Ъу)2 + ву2)3+2 7

к_1 1 V

2

а

а

где ф(у) = (2ах + Ъу)2 + ву2.

Из второй теоремы о среднем вытекает оценка

Ю

Г (2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 а ЫЫу))±2пгкву ] ((2ах + Ъу)2 + ву2)'+2е ау *

V

(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 1 1

* 8Ир ' 1

( (2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 1 у^ I((2ах + Ъу)2 + ву2)'+2} т\пу^у

г± 2пк

ф(у)

Заметим, что г* V < 1. Поэтому ---------------------------птту-------------г * 1. Далее оценим

ф(у) тту^у Н фу ±2пк| к

Г (2Ь(2ах+Ьу)+2Ту)2 \ -о

виру^^ (2ах+у)2+е1у2у+2 | в зависимости от параметра х. В случае

2ах + Ъу ^ ул/в,

имеем неравенство

(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 (2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 (2Ъуу/в + 2ву)2

((2ах + Ъу)2 + ву2)'+2 (ву2)'+2 (в2)'+2

(ву)2 (в2)'+2

Если же 2ах + Ъу > уу/в то

(2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2 (2Ъ(2ах + Ъу) + 2ву)2

((2ах + Ъу)2 + ву2)'+2 (2ах + Ъу)'+2

* (_______Ъ_____)2 + (_______ув______)2.

\(2ах + Ъу)'+1) \(2ах + Ъу)'+1)

Полученные оценки проинтегрируем по х и просуммируем по к.

Суммирование по к дает абсолютную константу, поэтому приходим к оценке

ул/Я—Ьу

2а

Яо21 * г2 у-2'-2в-'вх+

+г2 / ( (+(.„ уЪ . +.У) вх *

У \\(2ах + Ъу) '+1) \(2ах + Ъу) '+1) I

уУЯ—Ьу

2а

“{у--«г-) + а ((=.)’ + (£)’) * *

4 7 у^Тт 4 7

2„-2'-111-' -1 , ,2-1,2* ,П\ —2'—1, ,2-1„.2 12<П\-2'-3

уу/т

* г2у-2'-1в2-'а-1 + г2а-1Ъ2(у/в)-2'-1 + г2а-1у2в2(уV!)-2'-3 * * г2у-2'-1в1 -'а-1 * 12V-2'-1в1 -'а-1.

Требуемая оценка для величины Я021 получена. Перейдем теперь к оценке Я022. По определению Я022 имеет вид

ОС ОС

1,1 2в(Ь2 + й) со$,2пку

К°22 У У ((2ах + Ьу)2 + йу2)3+1 ^ (2пк)2 йу'

1 V к—1

2

Переходя к неравенствам, будем иметь

Є±2жік+іі 1п((ф(у))

/л ^

вх /

йу,

где ф(у) = (2ах + Ъу)2 + ву2. Как и ранее с помощью второй теоремы о среднем заключаем, что

Ю

вх

Яо22 * гв

((2ах + Ьу)2 + йу2)а+1

где у ^ V. Внутренний интеграл по у оценим в зависимости от параметра х. Участок интегрирования разобьем на две части, отвечающие условиям 2ах + Ъу < уу/в и 2ах + Ъу ^ у л/1. Следовательно,

К°22 ^ Ы] ((ах)2 + У2й)-+1 ^ Ы У (У2й)-+1 + Ы У (а2й)-+1 <'

1 1 V /Я

2 2 У —

* гвv—v-2'-2в-'-1 + гва-2'-2х-2'-1 а ^ гв1 -'а-^-1-2'.

Эта оценка лучше, чем оценка для Я021, поэтому имеем

Я02 * гв1 -'а-^-1-2'.

х—У

а

2

Оценка Я21.

Выписывая явное представление для Я021 и переходя к неравенствам, получим

(((а + Ъп)2 + вп2)-3)Х

12

п>У

а8 ^ ’ \2 , Л„2Ч-3-

х— 2

^2((а + Ьп)2 + йп2) 3 1(а + Ьп) ^

3

п>У

аі Е ((а + Ьп)2 + йп2)~7~1(а + Ьп) ^

п>У

^ аЬ^О(а2 + йп2)~7-1(а + Ьп) ^ аі а~2(7+1^а

п>У V <п< /=

+аі (йп2)~а~1 (а + Ьп) ^ аіа~2(7+1')^ аі^^(а2 + йп2)~7-1(а + пу/й) ^

п> /= n>V

у/й ^

7- 2 V (

у/й

^ аі^О (а + пу/й) 2(7 1а ^ аій 7 2 + п) 2(7 1а ^

n>V n>V

(а

< аЫ~7~2(/ + п)-27 —— /(а + У/й)~27.

Таким образом

Наконец оценим К22. Имеем

аі

К21 < -= (а + Уй)-27. у й

(((2ах +Ьп)2 + йп2)-з)ХхЕ 72 ~к)2йх'

1 к—1 ( П )

2

Если Р(х) — Е(ф(х)), где Е(ф) — ф~3ф(х) — (2ах + Ьп)2 + йп2. То

Рхх — (Р!р фХ) х — Рірф(фХ)2 + Р!р фхх-РІ — -8ф~3+1,Р" — 8(8 + 1)ф~3~2

1р<р

фХ = (2ах + Ъп)4а, (фх)2 = 16а2(2ах + Ъп)2, фхх = 8а2 Следовательно Р^х = Р1(х) + Р2(х), где

Р1(х) = в(в + 1)ф-3-216а2(2ах + Ъп)2,

Р2(х) = —вф-3+18а2.

В этих обозначениях величина Я22 представляется в виде

Я22 = Я211 + Я222,

где

Я-2П = £ /р

п^ { к_1 ^ }

2

Ю

Я222 = Е ]Р(х) £

п^ 1 к_1

2

Оценим сначала Я221. Имеем

СЮ

/Ю

в(в + 1)ф-3-216а2(2ах + Ъп)2

п^у 1 к_1

2

Ю

Ю1

= в(в + 1) ф-3-216а2(2ах + Ъп)2 сов2пкхвх.

к_1 п^ 1

2

Запишем величину ф-3-2 в виде

ф-3-2 = ф-'-2е-и 1пф и применим вторую теорему о среднем. Получим

СЮ

=1 (2nk)2

R211 < t2a2sum^=l 1 V [ (a +2ЬП—- < t2a2 V---------------^--------<

k—1 k3 Z-j I (a + n2d)-a-2 - - -

± (а + п2в)-'-2 <у (а + пл/в)-2'-2

2

* г2а2(а + п/в)-2'-1.

Теперь рассмотрим Я222. Снова опираясь на вторую теорему о среднем, получим

СЮ

Ю cos 2nkx

/ЮЮ

p2(x)T, r>nky2dx

n>V ! k—1

2

Ю

Ю 1

Ю 1 с

= -sф-s+18a2J2 й! Е Ф-а-1еи1пф cos 2nkxdx <

k—1 n<V {

2

< ta2^ —---------—-1— < ta2(a + VVd)-2a.

n>V ((a + bn)2 + dn2)a+1 y '

Окончательная оценка для приобретает вид

R22 < t2a2(a2 + VVd)-2a-1 + ta2(a + VVd)-2a.

Но і (^а + У л/й) ^ < 1 при і < У. Поэтому

К22 — а2і(а + Ул/й)

27

Собирая вместе все полученные ранее оценки, приходим к следующему результату

()— ________1_________ ,[[ йхйУ +

д 8 ^ ((а + Ьп)2 + йп2)3 УУ ((2ах + Ьу)2 + йу2)3

1^ffl<,n^V _/М"

+0 (га~27У~27 + і2У~1-27й~7 + ій1 а~27~2У~27 + іа~27У~1-27 +

+ ій2-7а-1У~27 + і2У~1-27й1 -7а-1 + іа2 (а +

(а + Ул/й) ^ .

Учитывая, что а > 2 ,й<а2 и і ^ У остаток в полученной формуле мож-

2

но преобразовать к виду О (іа2(а + Ул/й ^ что и завершает доказательство

теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОМ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воронин С. М. Избранные труды: математика / Под ред. и вступ. ст. А. А. Карацубы; РАН, Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 480 с.

2. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР. 1947. Т. 23. 110 с.

3. Титчмарш И. М. Теория дзета-функции Римана. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 409 с.

4. Авдеев И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4(40). С. 24—32.

5. Авдеев Ф. С., Авдеев И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. 2012. № 3(47). С. 6—14.

6. Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди-Литтлвуда для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского гос. ун-та. Сер. Естественные науки. 2012. № 3(47). С. 15—19.

Орловский государственный университет Поступило 27.05.2013