Приближение дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4 (2013)

УДК 511.331

ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА

В статье получено приближение для дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта. Даны оценки в близи единичной прямой.

Ключевые слова: -функции Римана, квадратичная форма, ряд Дирихле.

APPROXIMATION OF THE ZETA FUNCTION OF QUADRATIC FORMS OF NEGATIVE

Abstract

In this article functional approximate equation was get for zeta-function in square form with negative discriminant.

Keywords: Riemann zeta-function, quadratic form, the Dirichlet series

Пусть Z(s,K) — дзета-функция квадратичной формы K, определяется равенством

где в — комплексное число, в = а + П. Мы будем рассматривать задачу вывода простейшего приближенного функционального уравнения для дзета-функции £ (в, К), позволяющее продолжить эту функцию и получить нетривиальные оценки модуля этой функции вблизи единичной прямой а =1. Будем считать, что форма К(т, п) представлена в виде

И. Ф. Авдеев (г. Орёл)

Аннотация

DISCRIMINANT

I. F. Avdeev (c. Orel)

K(m, и) = am2 + bmn + си2,

Здесь коэффициенты а, Ь и с предполагаются удовлетворяющими условиям

\Ь\ < с < а,

1 = 4ас — Ь2,

где -1 < 0 дискриминант формы.

Проверим сходимость ряда Дирихле в области а > 1.

Имеем

у ___1__

„»+3=о(К т'п))

< 1 < 2 ^ о' (К(т,п)У ^ (ат2 + Ьтп + сп2)ст

т2+п2=0 т2+п2=0

Так как \Ьтп\ < у(т2 + п2) и

2 2 2 2 \ Ь\ 2 2 а 2 с 2 К (т, п) = ат + Ьтп + сп ^ ат + сп —^(т — п ) ^ ^т + ^п • Далее

у- 2 < 2 < ^г(п)

(ат2 + сп2)ст < (т2 + п2)а < па

т2+п2=0 т2 +п2=0 п=1

Здесь г(п) — есть число представления натурального п в виде суммы двух квадратов целых чисел. Известно, что г(п) удовлетворяет неравенству

г(п) < 4т(п),

где т(п) — число делителей п. С другой стороны, для т(п) известна оценка

1

т(п) < п£(,

1 ; Vе 1п 2 )

£ > 0 — любое [2]. Поэтому ряд

те , ч

г(п)

2.^ па

п=1

сходится при всех а = 1 + £, что и требовалось доказать. Отметим, что при а > 1

_ .. (К(т, п))

п=1 т>0 ' ' > //

Г) Г) 00 Г) 00 Г)

^2 ^2 ^2 ^2

(К(т,п)У + (К(т, —п)) + сэп2* + аят2*

т,п^1 7 т,п^1 7 п=1 т=1

22 = ^ 7K7 ^ ТКТ IV* +2(а * + с (2в)

тй(К (т'п) тп.1(К т —п)

Для каждого из трех слагаемых правой части последнего равенства необходимо вывести приближенное функциональное уравнение. Но для функции С (в) соответствующее уравнение давно известно см. [3], а для каждого из двух других слагаемых оно выводится одинаково. Поэтому ограничимся рассмотрением функции f (в) вида

12

^(в) = ^ (К(т,п))3 = ^ (ат2 + Ьтп + сп2)* = 2(4аУд(в')’

т,п^1 т,п^1 к ’

где д(в) определена последним равенством. Точнее

2

т,п>

1 ((2ат + Ьп)2 + йп2)3

Будем искать приближенное функциональное уравнение для функции д(в). Справедливо следующее утверждение теоремы.

Теорема 1. При а > 2, і > 0 для точек в = а + й с условием Ь < пь, где ь-полуцелое справедливо приближенное функциональное уравнение вида

д(в) = Е / (т,п) + ( /(х,у)йхйу + О ^а2і(а + ьу/й) 2а^

т,п^У м

Здесь М = М0/М1, где М0 — область точек с условием 2 ^ х,у < +то, М1 — область, определенная неравенством тах(х,у) < V.

Доказательство. Зафиксируем и — 1 и рассмотрим сумму дп(в) по т вида

дп(в ((2ат + Ьп)2 + йп2)3

Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1. Пусть Ц и Я — полуцелые числа, удовлетворяющие условию Ц < Я. На функцию /(х) наложим условие, что на отрезке [Ц,Я] ее вторая производная существует и непрерывна. Тогда при любом натуральном т справедлива следующая формула

я / я

^ /(п) [ /(х)йх + / (х

12

Я<х^Я ф

где

я

Т2 = { /"(х)\

к=1 (2пк)

+ Т2,

Я

/ "(х)^~~~~йх ____1

Я к=

Доказательство. См. [4]

В качестве / (х) в этой лемме возьмем функцию вида / (х) = f (х,п) 1

((2ат + Ьп)2 + йп2)3

Положим так же Q = V, а параметр Я будем считать большим числом, превосходящим V. Тогда для суммы

Ы‘) = £ 1

У<ш<Я ((2ат + Ьп)2 + йп2)

приходим к равенству

в

. , . [ йх

Ая(в) =

] ((2ах + Ьп)2 + йп2)

У

я

2 I йт2 , р .

х 12

+ (((2ах + Ьп)2 + йп2) Л —

V / х 12

+ Т2,

У

где

в

„ те

Т2 = 1 (((2ах + Ьп)2 + йп'2)-)хх £

т/ к—1

У

Вычислим явно первые и вторые производные по х указанные выше. Имеем

(((2ах + Ьп)2 + йп2)~3)'х = -в((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~14а(2ах + Ьп), (-в((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~14а(2ах + Ьп)) х =

= в (в + 1)((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~1х х 16а2(2ах + Ьп)2 — в((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~18а2.

В случае, когда а > 1, параметр Я можно устремить к бесконечности. В результате приходим к равенству при каждом п < V, где V — полуцелое

Эп(в) = X 2

т—1

^ ((2ат + Ьп)2 + йп2)3

1<т<у ((2ат + Ьп)2 + йп2)3 ] ((2ах + Ьп)2 + йп2)3

((^ + Ьп)2 + йп2)~3)Х

12

+

+ I (((2аУ + Ьп)2 + йп) 3)"хх £ ^Пк)2 йх'

3

В случае п > V будем иметь

1

дп(в ((2ат + Ьп)2 + вп2)

вх (((2aV + Ьп)2 + вп2) *)'х +

((2ах + Ьп)2 + вп2) 12

ОС

(а + V /в) ^ .

У/,, , 2 2\ ’ х—л сое 2п кх

{((2аУ +Ьп) + вп) )хх\^ ^2пк)2 вх-

V к=1

Далее просуммируем величину дп(в) по параметру п. Имеем

ГО

д(в) = ^ дп(в) = ^ дп(в) + ^ дп(в) = С1 + С2■

п=1 n<V n>V

Оценивая величины С1 и С2, приходим к следующему результату

()= ________1________+[[ вхвУ +

дв ^ ((а + Ьп)2 + вп2)я УУ ((2ах + Ьу)2 + ву2)я

1^m,n^V

+0 (га~2аV~2а + ^~1-2а<Га + Ьв2a~2a~2V~2а + Ьа~2аV~1-2а +

+ Ьв2а~V_2ст + Ь2V~1-2ав2а-1 + а (а +

Учитывая, что а > 2 ,в<а2 и Ь ^ V остаток в полученной формуле можно

преобразовать к виду О (^Ьа2 ^а + V^ что и завершает доказательство

теоремы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воронин С. М. Избранные труды: математика / Под ред. и вступ. ст. А. А. Карацубы; Рос. акад. наук, Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 480 с.

2. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР. 1947. Т. 23. 110 с.

3. ТитчмаршЕ. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Иностр. лит., 1953. 409 с.

4. Авдеев И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4(40). С. 24-32.

5. Авдеев Ф. С., Авдеев И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Ри-мана // Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные науки. 2012. №3(47). С. 6-14.

6. Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди—Литтлвуда для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные науки. 2012. №3(47). С. 15-19.

Орловский государственный университет Поступило 14.09.2013