CC BY
44
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 4 (2013)
УДК 511.331
ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ДИСКРИМИНАНТА
В статье получено приближение для дзета-функции квадратичной формы отрицательного дискриминанта. Даны оценки в близи единичной прямой.
Ключевые слова: -функции Римана, квадратичная форма, ряд Дирихле.
APPROXIMATION OF THE ZETA FUNCTION OF QUADRATIC FORMS OF NEGATIVE
Abstract
In this article functional approximate equation was get for zeta-function in square form with negative discriminant.
Keywords: Riemann zeta-function, quadratic form, the Dirichlet series
Пусть Z(s,K) — дзета-функция квадратичной формы K, определяется равенством
где в — комплексное число, в = а + П. Мы будем рассматривать задачу вывода простейшего приближенного функционального уравнения для дзета-функции £ (в, К), позволяющее продолжить эту функцию и получить нетривиальные оценки модуля этой функции вблизи единичной прямой а =1. Будем считать, что форма К(т, п) представлена в виде
И. Ф. Авдеев (г. Орёл)
Аннотация
DISCRIMINANT
I. F. Avdeev (c. Orel)
K(m, и) = am2 + bmn + си2,
Здесь коэффициенты а, Ь и с предполагаются удовлетворяющими условиям
\Ь\ < с < а,
1 = 4ас — Ь2,
где -1 < 0 дискриминант формы.
Проверим сходимость ряда Дирихле в области а > 1.
Имеем
у ___1__
„»+3=о(К т'п))
< 1 < 2 ^ о' (К(т,п)У ^ (ат2 + Ьтп + сп2)ст
т2+п2=0 т2+п2=0
Так как \Ьтп\ < у(т2 + п2) и
2 2 2 2 \ Ь\ 2 2 а 2 с 2 К (т, п) = ат + Ьтп + сп ^ ат + сп —^(т — п ) ^ ^т + ^п • Далее
у- 2 < 2 < ^г(п)
(ат2 + сп2)ст < (т2 + п2)а < па
т2+п2=0 т2 +п2=0 п=1
Здесь г(п) — есть число представления натурального п в виде суммы двух квадратов целых чисел. Известно, что г(п) удовлетворяет неравенству
г(п) < 4т(п),
где т(п) — число делителей п. С другой стороны, для т(п) известна оценка
1
т(п) < п£(,
1 ; Vе 1п 2 )
£ > 0 — любое [2]. Поэтому ряд
те , ч
г(п)
2.^ па
п=1
сходится при всех а = 1 + £, что и требовалось доказать. Отметим, что при а > 1
_ .. (К(т, п))
п=1 т>0 ' ' > //
Г) Г) 00 Г) 00 Г)
^2 ^2 ^2 ^2
(К(т,п)У + (К(т, —п)) + сэп2* + аят2*
т,п^1 7 т,п^1 7 п=1 т=1
22 = ^ 7K7 ^ ТКТ IV* +2(а * + с (2в)
тй(К (т'п) тп.1(К т —п)
Для каждого из трех слагаемых правой части последнего равенства необходимо вывести приближенное функциональное уравнение. Но для функции С (в) соответствующее уравнение давно известно см. [3], а для каждого из двух других слагаемых оно выводится одинаково. Поэтому ограничимся рассмотрением функции f (в) вида
12
^(в) = ^ (К(т,п))3 = ^ (ат2 + Ьтп + сп2)* = 2(4аУд(в')’
т,п^1 т,п^1 к ’
где д(в) определена последним равенством. Точнее
2
т,п>
1 ((2ат + Ьп)2 + йп2)3
Будем искать приближенное функциональное уравнение для функции д(в). Справедливо следующее утверждение теоремы.
Теорема 1. При а > 2, і > 0 для точек в = а + й с условием Ь < пь, где ь-полуцелое справедливо приближенное функциональное уравнение вида
д(в) = Е / (т,п) + ( /(х,у)йхйу + О ^а2і(а + ьу/й) 2а^
т,п^У м
Здесь М = М0/М1, где М0 — область точек с условием 2 ^ х,у < +то, М1 — область, определенная неравенством тах(х,у) < V.
Доказательство. Зафиксируем и — 1 и рассмотрим сумму дп(в) по т вида
дп(в ((2ат + Ьп)2 + йп2)3
Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть Ц и Я — полуцелые числа, удовлетворяющие условию Ц < Я. На функцию /(х) наложим условие, что на отрезке [Ц,Я] ее вторая производная существует и непрерывна. Тогда при любом натуральном т справедлива следующая формула
я / я
^ /(п) [ /(х)йх + / (х
12
Я<х^Я ф
где
я
Т2 = { /"(х)\
к=1 (2пк)
+ Т2,
Я
/ "(х)^~~~~йх ____1
Я к=
Доказательство. См. [4]
В качестве / (х) в этой лемме возьмем функцию вида / (х) = f (х,п) 1
((2ат + Ьп)2 + йп2)3
Положим так же Q = V, а параметр Я будем считать большим числом, превосходящим V. Тогда для суммы
Ы‘) = £ 1
У<ш<Я ((2ат + Ьп)2 + йп2)
приходим к равенству
в
. , . [ йх
Ая(в) =
] ((2ах + Ьп)2 + йп2)
У
я
2 I йт2 , р .
х 12
+ (((2ах + Ьп)2 + йп2) Л —
V / х 12
+ Т2,
У
где
в
„ те
Т2 = 1 (((2ах + Ьп)2 + йп'2)-)хх £
т/ к—1
У
Вычислим явно первые и вторые производные по х указанные выше. Имеем
(((2ах + Ьп)2 + йп2)~3)'х = -в((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~14а(2ах + Ьп), (-в((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~14а(2ах + Ьп)) х =
= в (в + 1)((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~1х х 16а2(2ах + Ьп)2 — в((2ах + Ьп)2 + йп2)~3~18а2.
В случае, когда а > 1, параметр Я можно устремить к бесконечности. В результате приходим к равенству при каждом п < V, где V — полуцелое
Эп(в) = X 2
т—1
^ ((2ат + Ьп)2 + йп2)3
1<т<у ((2ат + Ьп)2 + йп2)3 ] ((2ах + Ьп)2 + йп2)3
((^ + Ьп)2 + йп2)~3)Х
12
+
+ I (((2аУ + Ьп)2 + йп) 3)"хх £ ^Пк)2 йх'
3
В случае п > V будем иметь
1
дп(в ((2ат + Ьп)2 + вп2)
вх (((2aV + Ьп)2 + вп2) *)'х +
((2ах + Ьп)2 + вп2) 12
ОС
(а + V /в) ^ .
У/,, , 2 2\ ’ х—л сое 2п кх
{((2аУ +Ьп) + вп) )хх\^ ^2пк)2 вх-
V к=1
Далее просуммируем величину дп(в) по параметру п. Имеем
ГО
д(в) = ^ дп(в) = ^ дп(в) + ^ дп(в) = С1 + С2■
п=1 n<V n>V
Оценивая величины С1 и С2, приходим к следующему результату
()= ________1________+[[ вхвУ +
дв ^ ((а + Ьп)2 + вп2)я УУ ((2ах + Ьу)2 + ву2)я
1^m,n^V
+0 (га~2аV~2а + ^~1-2а<Га + Ьв2a~2a~2V~2а + Ьа~2аV~1-2а +
+ Ьв2а~V_2ст + Ь2V~1-2ав2а-1 + а (а +
Учитывая, что а > 2 ,в<а2 и Ь ^ V остаток в полученной формуле можно
преобразовать к виду О (^Ьа2 ^а + V^ что и завершает доказательство
теоремы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Воронин С. М. Избранные труды: математика / Под ред. и вступ. ст. А. А. Карацубы; Рос. акад. наук, Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 480 с.
2. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН СССР. 1947. Т. 23. 110 с.
3. ТитчмаршЕ. К. Теория дзета-функции Римана. М.: Иностр. лит., 1953. 409 с.
4. Авдеев И. Ф. О некоторых формулах суммирования // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4(40). С. 24-32.
5. Авдеев Ф. С., Авдеев И. Ф. Асимптотическое разложение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении для дзета-функции Ри-мана // Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные науки. 2012. №3(47). С. 6-14.
6. Авдеев И. Ф. Об оценке остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди—Литтлвуда для дзета-функции Римана // Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные науки. 2012. №3(47). С. 15-19.
Орловский государственный университет Поступило 14.09.2013
