Уточнение остатка в приближенном функциональном уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 511.331.1

УТОЧНЕНИЕ ОСТАТКА В ПРИБЛИЖЕННОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ

И. Ф. Авдеев (г. Москва)

Аннотация

В данной работе получено уточнение остаточного члена в приближенном функциональном уравнении Харди - Литтлвуда для ((в).

Исследования поведения дзета-функции Римана £ (в) в критической полосе существенным образом опираются на ее приближения отрезком ряда Дирихле. Впервые такое приближение было получено в 1921 году в работе Харди и Литтлвуда. [1]

Основной результат данной работы состоял в доказательстве равенства вида (приближенное функциональное уравнение Харди-Литтлвуда)

1 — 8

—

при условиях

п

0<п<х

Яев = а > 0,1 > 0, х ^ — > 4,1 = 1тв.

п

Порядок остаточного члена в уравнении (1), вообще говоря, улучшению не подлежит, однако, рассматривая только полуцелые значения х остаточный член допускает понижение порядка.

Уточнение остатка в формуле (1) получим за счет явного выписывания его формы.

Введем обозначения

Рг (У)

сов 2пку

£1

вт 2пку

2=11’

г — четное,

г — нечетное.

Лемма 1. Если х число полуцелое, то в предложенных выше условиях справедливо равенство

Доказательство приведенной леммы опирается на иное представлении функции £ (в) основанное на формуле суммирования Сонина [2], вместо формулы суммирования Эйлера.

Подробное доказательство леммы проведено автором в журнале „Ученые записки Орловского государственного университета“ за май 2012 года.

Используя приведенную выше лемму, получим дальнейшее улучшение остатка в формуле (1).

Справедливо следующее утверждение.

х

ниях справедливо равенство

Доказательство.

Выполним интегрирование по частям в выражении для Я в формуле (2), получим

где

. . £ + 1 £ + 2 2х °

\Я\ ^ з-

гр гр ГГГ3

\Я\ ^

X X П

1 — в 4п2х5+1 х5+323п4

X1 я + зС,(2) + в(в + 1)(в + 2)

+ Я4

где

10

И. Ф. АВДЕЕВ

Применяя интегрирование по частям, учитывая что

U = ——7, dV = d(sin2nky)

yS+Z

dU = —(-s++—-, V = sin2nky.

Имеем

Л = s (s + 1) ¿ sn2ry~ + (s + 2) Г sn+kydy)

к-i 4n3k3 \ ys+22nk x Jx ys+3 J

k=i

Поскольку x — полуцелое, т.е. x = M + 1/2, то получим

sin2nkx sin2nk (M + 1/2) sin (2nkM + nk)

xs+2 = (M + 1/2)s+2 = (M + 1/2)s+2

Следовательно

0.

ОС

Л = s (s + 1) (s + 2) £4^/“ ^dy =

s (s

4n3k3 Jx ys+3

1 1 f ™ d (cos2nky)

k=1

(s + 1) (s + 2)

k=1

ОС

4n3k3 2nk Jx ys+3

•O+■><•+» £ 4Я> ¿ (^ I, + (•+» [ c^)

ОС

ОС

= s(s + 41s + 2)kL8n4k:^-s+г^ x +

+ s (s +l)(s + 2)(s + 3)2 Jx ¿ s^kídy =

ОС

1 cos2nky

s (s + 1) (s 1 '

(s + 1) (s + 2)

+

x

s (s + 1) (s + 2) (s + 3) - / ts+4p4 (y) dy

<x>

— s (s + 1) (s + 2) 8n4k4 xs+3 +2s (s + 1) (s + 2) (s + 3) / y+Tdy-

k=1 Jx У

2Jx ys

1 cos2nkx 1 p4 (y)

Теперь вычислим значение суммы при х = M + 1/2. Получим

, 1 cos (2nkM + nk)

-s(s + 1)(s + 2^sniki—4^-1+

k=1

+ 2 s (s + 1) (s + 2) (s + 3) J PyS+4 dy =

-s(s + 1)(s + 2) ^ 1 ( 2)k + 1 ( + 2)( + 2) ( + 3) f™ p4 (y) d

=-----xs+----(-1) + 2s(s + 1)(s + 2)(s + 3) x y^dy

k=1 Jx y

"" 5+=-f=; +2 !=; ¡¿4=-«4-Й-

Имеем

R = ^x^+w 2) c (4) (/ - +1 s (s +1) (s +2) (s +3) / P-yßdy■

В результате, подставляя полученные выражения в формулу (2), получаем утверждение теоремы.

Заметим, что интегральный член последнего выражения в R4 оценивает-

\s (s + 1) (s + 2)|

ся величиной Н, где H = ----------—------. Тем самым получено дальнейшее

600хст+3

улучшение остаточного члена при условии, что х > \s + 2 \ ■

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Eiemann’s zeta-function on the critical line // Math. Zs., 10 (1921), — С. 283 — 317.

[2] Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981 г.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Получено 28.03.2012