О некоторых дискретных по времени задачах динамики с сингулярным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

Е.Г. Дьяконов

О НЕКОТОРЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ С СИНГУЛЯРНЫМ ПАРАМЕТРОМ

(кафедра общей математики факультета ВМиК)

1. Введение. Настоящая работа является продолжением [1-3] и посвящена изучению корректности особого типа дискретных нестационарных задач математической физики, родственных задачам динамики сплошных сред и содержащих сингулярный параметр ^ с а —у +0. Основной задачей является получение теорем корректности с априорными оценками, не зависящими от параметра а 6 [0,1]. Как их следствие получаются и оценки близости решений задач са>0иа = 0в соответствующих энергетических пространствах с оценками нормы разности решений типа О (а) и О (а1/2). Особое внимание уделяется первому случаю, для которого анализ проводится в энергетических пространствах с нормами, содержащими вторые разности по времени. К сожалению, этот новый и содержательный анализ требует весьма специфических ограничений на вид оператора, умножаемого на сингулярный параметр, и в ряде случаев предполагает использование дополнительных вычислений (в частности, связанных с появлением новых типов нелокальных краевых условий в задачах о срезках бесконечности (о переходе к случаю ограниченной области) в гиперболических задачах (см. [1, 4-6])).

2. Постановка задачи. При выборе равномерной сетки по времени {¿п = гаг}, га = 0,1,... ... , га* + 1 = Т/г (г — шаг сетки) на данном отрезке [О, Г], Т > 0, рассматриваемые дискретные задачи динамики имеют дело с абстрактными функциями и на и со значениями в некотором данном (основном) энергетическом (гильбертовом) пространстве Н = Н\ (и(£„) = и" 6 Н). Для определенности Н считается вещественным и имеющим счетный или конечный базис; случай, относящийся к использованию не одного, а целого семейства конечномерных подпространств и имеющий место при изучении приближенных методов (например, проекционно-сеточных и разностных), требует лишь уточнения некоторых условий (используемые константы в оценках должны быть равномерными по параметру /г, определяющему конкретное конечномерное подпространство). Заметим, что || и11определяется потенциальной энергией состояния и11 системы и может иметь довольно сложный вид (см. [4], в случае волнового уравнения берется Н = Н1^', Го) с ||и(£„)||^ = f |Уи(£„)|2 йх).

п

В дальнейшем используются разностные аналоги производных по времени: дои" = [и" — и"_1]/г, до и" ее [ип+1 - и"]/т, до и" ЕЕ 1/2 [д0ип + до ип], Д0 и™ ЕЕ до д0ип = 1 /т2[ип+1 - 2 и" + и"'1]. Кроме того, необходима информация о свойствах двух важнейших операторов: М 6 С(Н]Н) и А2д Е С(Н1] Н2), где С{Н\] Н2) обозначает линейное нормированное пространство линейных ограниченных операторов, отображающих Н\ в гильбертово пространство Н2 (сЦт Н2 ^ сЦт.Н"1). Оператор М = М* > 0 является симметричным положительным и компактным с собственными числами 6 (0,51]. В задачах динамики упругих систем оператор М может трактоваться как некоторый оператор соответствия между кинетической и потенциальной энергиями; если в качестве примера берется Н = Н1^] Го), то в роли М можно взять оператор, определяемый равенством (Ми(£„), и(£„))я = 'и(^п))ь2{и) 1

\/и(£„) Е Н, \/и(£„) Е Н. Оператор же А2д всегда будет нормально обратимым (1т А2д = Н2); в задачах динамики упругих систем он вместе с сингулярным параметром, а иногда и вместе с оператором М определяет изучаемые возмущения кинетической энергии. Напомним (см. [7, 8]), что для нормально обратимого оператора А2д всегда существует правый обратный А2 = А\ 1 £ С{В.2\Н\) и

л(-1) Л2,1

ЕЕ <7 < ос; (1)

условие (1) эквивалентно любому из условий

||А2*дИ2||я1 ^ (т\\и2\\Н2 , (Т>0 Уи2еЯ2; А2ДА2*д ^ а212, (2)

где обозначает тождественный оператор в Нк = 1, 2. В качестве важнейших и часто применяемых нормально обратимых операторов А2д можно назвать операторы следа, дивергенции, сужения, скачка на разрезе (см. [7, 8]).

Нашей целью является изучение корректности и получение оценок возмущения для двух основных модельных типов дискретных задач:

\[ип+1 + и"-1] + —. I а

МА0ип + ип+1 + и""1] + -А2* ^гдМАои" = М/", (3)

' а '

1, 1

МА0ип + ^-[ип+1 + и""1] + -А2* ^2,100«" = М/п, (4)

/ а '

где каждая из указанных задач является по сути дела рекуррентной по га ^ 1 последовательностью стационарных задач в Н относительно ип+1 и должна решаться при начальных условиях (на двух временных слоях)

ип = уп1 га = 0,1, (5)

(однозначная разрешимость для (4) очевидна); форма правых частей объясняеся тем, что чаще всего они считаются элементами пространств типа 1/2 (£1) (для модельных задач). Относительно стандартные априорные оценки решений дифференциальных задач и их дискретных аналогов типа (3)-(5) могут быть найдены в [9-11]. В рассматриваемых задачах ^А21А2дМ и ^А21А2д могут трактоваться как интересующие нас операторы, определяющие возмущения кинетической энергии. Равномерные по а априорные оценки (в достаточно сильных нормах) для родственных стационарных и спектральных задач начали изучаться с начала восьмидесятых годов и имеют фундаментальное значение для нахождения эффективных численных методов (см. [7, 8]), но для нестационарных задач такие оценки были получены лишь сравнительно недавно (см. [1, 2, 12]), а для задач динамики их удавалось получить лишь в довольно слабых нормах (см. теорему 7 в [1]).

Для получения желаемых оценок для задач (3)-(5) мы переписываем последние как задачи в Н = Н\ X #2, вводя соответствующие обозначения: и" = и™, /" = /", = А\ 1, и = [и\ ■ и2] и и"+1 = ¿АгдМАои" (для (3)), и"+1 = ¿А2д<90и" (для (4)). Тогда вместо (5), (3) мы получим

< = га = 0,1, (6)

МА0< + 1/2К+1 + иГ1] + = МД\ (7)

а2дМАо<-ч+1 =/2", (8)

/" введено вместо нуля ради общности оценок. Вместо (4) получим (7) и

А2д30<-«<+1 =/2". (9)

Важно, что в эту функциональную трактовку можно перевести целый ряд разнообразных и важных задач в энергетических пространствах Н = £(Х) на составных многообразиях X; свойства этих относительно новых пространств и применимость теоремы Гильберта-Шмидта изучалась в [1-3, 7, 8, 12, 13].

3. Априорная оценка для задачи (6)—(8). При исследовании корректности будем применять также гильбертовы пространства Н' = Нм; Н" = Нм2, более слабые, чем первичное Н, и являющиеся пополнением Н в норме, определяемой операторами М и М2 при выборе скалярного произведения (и,у)н< = (Ми,у)н, (и,и)я" = (Ми, Ми)н (они, как показано в [3], очень полезны при изучении производных по времени; в частности, их использование позволило обосновать знаменитый принцип Гамильтона-Остроградского и в ряде случаев получить операторные формулировки гиперболических задач с оператором, имеющим ограниченное число обусловленности). Заметим, что Н С Н' С Н" и

2

Н'

2

я. «

2

Н

Подчеркнем также, что (7) позволяет выразить через осталь-

ные члены уравнения и, следовательно, на основе (2) получить оценку

Г2 || я.

^ К2 + 11АоИ"11я'' + 1К+111я + 1К-1я) ; (10)

здесь и ниже К и к используются только для обозначения не зависящих от сетки и параметра а констант.

Разрешимость получаемых систем в случае (4) уже отмечалась, но полезно заметить, что на каждом новом временном слое эти системы в Н содержат строго седловой оператор А = А* с малым или даже нулевым параметром а, оператор А имеет число обусловленности к(А) = ||А|| • ||А-1||, равномерно ограниченное по а £ [0,1].

Для (7), (8) имеем более сложные задачи типа

AU ЕЕ

1

А 1,2 ' Ml

—оД_ .И2. /2.

разрешимость которых зависит от положительной определенности в Н оператора

-1

М

S = al2 + м,\ —

Д +

М

11,2-

В силу того что D = ^f [Д + ^f] 1 = D* ^ yq^-M, это свойство имеет место при а > 0. В случае же а = 0 это свойство будет справедливо, например, когда dim Н < оо (оператор М тогда становится положительно определенным в Н для фиксированной задачи).

Теорема 1. Задача (6)-(8) с а £ (0,1] поставлена корректно и для его решения при т ^ то справедлива априорная оценка:

к

(||До<Ня» + ||A2,iMAo<||^2 + |к+1||я2) + 1мия, + Н+1\\н+Ш2н < КФк, (11)

п= 1

где К не зависит от а, к + 1 ^ Т/г и

п= 1

гп

Ji

н>

+ и.

2 IIЯ2

+ ЦдоиЦ" + || и? || L + |К||1 + || А2ЛМд0и\

\Н, ■

Доказательство. Доказательство будем проводить по аналогии с доказательством теоремы 5 из [1] (в [1] изучался более простой случай с положительно определенным оператором М х Д), разбивая его на на несколько этапов.

Этап 1. Умножая (7) скалярно на гМДои", а (8) — на — ти"+1, суммируя полученные два равенства, а затем производя суммирование по п £ [1,/г], получим

к

к

т

(||До<||^ + « IK+1 |1я2) = r Е (wr - !/2K+1 + «Г1], МАоОя " (Л\ <+1)я2

(12)

п= 1 п= 1

При любом г/i > 0 из (12) легко получить оценку к

п= 1

ГЕ 9 11АоИ111я» + "|К

п+1\\ I <

2 11 Нп 1 ^

к

к+1

к+1

п= 1 71 = 0 п= 1

1 П=1

2 11я2

(13)

Этап 2. Из (8) при

1=2

п-1

+ га ^2, С/22 = -^; F2" = t]T/< + -/2", га ^ 2, F\ =-f\

i=i

A2:1Dd0u? - af/2"+1 = F2" + A2iIM30m?, га ^ 1.

следует, что

(14)

Умножая (7) скалярно на тдои", а (14) — на — ти"+1, суммируя полученные два равенства, а затем производя суммирование по п 6 получим

п= 1 4

к

3„< + а(1/"+1, и"+1)) =

Н'

г ((/г, 4,<)я< - (Т2" + А2,1Мд0и°11 <+1)я2) + ^ + \ \\и\ |Г + \ 11«; ||2 . (15)

п= 1

Левая часть (15) уменьшается при выбрасывании слагаемого с а, так как

п= 1

Правая часть (15) оценивается сверху довольно стандартно с использованием произвольных констант VI > О, I = 2,3,4. В итоге из (15) получается оценка

, 2 . 1„ ¡и 112 „ 1

1 IIЯ О,к \\2 I 1 | 11^1 1 11„,<Ч|2 ^ 1 IIЯ „ом2 , 1 ||„,1 II2 , 1 ||„,0||2 , ^2 ^ ^ II я „,"112 _1_

2 II 0 1Ня' II 1 II 4 II 1II 0 + 4 II И1|1 +4Р1И + у Ия' +

+ — У г Л" 2 +^-\\Р2"\\2н

2г/2 ^ н> ^ V 2 11 2 "Я2 2г/3 11 2 ИЯ2

П=1

П=1

+ Е

П=1

п=0

2 11 ^ ||Д2 2 г/4 11 ' мя2

(16)

Этап 3. Сложение неравенств (13) и (16) дает

п= 1

/с+1 I

+ к

п= 1

Я'

+

+ «.г Е ||«П1я + 1"1 + "32+^Г £ 11<" И'к + т ||в»<Ин' +

71 = 0 71= 1 71 = 0

+

1

2 г/1 2 г/3

П=1

+ (17)

здесь также использовано очевидное неравенство

к к

2 11Я2

п= 1

п= 1

Этап 4. Огрубим (17) за счет оценки (10) для ||и2+1||?т и неравенства М ^ 51/1. Это дает

1 ^1+^3 + ^4 « ~ к0---

п= 1

2 . ¿1,0 4

II я

+ к

я

<

к

\ ||ЗоИ?||^ + А. ||А2дМЗоИ?||к + + т^1 + 2/3 + г Е 11^

^ 2 п=1

+

1 К2

2 г/1 2 г/3

&+1

П=1

п=0

Г Е 11А"11к + («1 + + + ^4])г £ КНя + У Е Г

Я' /с

+

12

1я'

п=0

Отсюда при достаточно малом г^ + г/3 + г/4 заключим о справедливости базисного неравенства к к+1 к

,к+1 i

1 I

к I

Iff

+ к

Iff

п=1

^ + К4т IIй"IIн + к5 ^ т ||Зо<Ня<

(18)

п=2

п=0

с положительными константами. Этап 5. Из (18) следует, что

к+1

11 + 1\\2н + ll^illff' ^ к6Фк + к7Ук+1,

где Ук+1 = т ^ ||«Г||#+Х) г 11^ои"||я,, Ци^ ||я+||5ои^||я, =[Т4+1-Т4]г 1. Это разностное (относи-

п=о п=0

тельно Ук) неравенство стандартным образом (при г < то, го — достаточно мало) позволяет оценить через Фк, что вместе с (18) дает априорную оценку

tJ2\\Ao<\\h" + \\do4Wl, + K+lff + Ihillн ^

(19)

п= 1

к

Этап 6. Для оценки г ^

п= 1

нужная оценка.

п+1 i

Iff;

сверху применимо неравенство (10). С учетом (19) получается

Этап 7. Для завершения доказательства оценим ^ г ||А2дМДои"||я сверху на основе (8) и уже

п= 1

полученных априорных неравенств (на этом этапе существенна ограниченность а).

Из теоремы 1 легко получить и теорему о регулярном возмущении. В самом деле, обозначая решение с а через иа = [и1,а> и2,а]> для разности г = иа< — иа получим задачу

Anzn =

MA0z? + 1/2 [*Г+1 + Ah2zn+1

A2I1MA0z?

— a z.

2

I ^п+1

О

(а' — а)и™~

п+1

с нулевыми условиями (6). Поэтому справедлива

Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 и при равномерной ограниченности Фк для разности г = иа< — иа справедлива априорная оценка

к

(НДо^ГНя» + \\A2,1MA0Zi\\h2 + lh"+1||ff2) + Ио^Ця- +

vk+1 ||2 , || „к\\2 - т,- i / |2

Iff

II I I ^ т ~ \ I li

+ \\zf\\н ^ К \а - а\ .

п= 1

Приведенная оценка асимптотически оптимальна и не требует никаких других условий на гладкость решений. Заметим, что в силу этой же теоремы можно говорить о возможности расширить полученный результат и на случай с а = 0, рассматривая его решение как предел решений задач с положительными и стремящимися к нулю параметрами ак = 1 /к (в частности, при dim Н < оо корректность соответствующей задачи можно доказать и непосредственно).

4. Априорная оценка и теорема о возмущении для задачи (6), (7), (9). Ниже считаем, что в (9) все /" заменены на af".

Теорема 3. Задача (6), (7), (9) с af" в роли f" и с а £ [0,1] поставлена корректно и для ее решения при т ^ то справедлива априорная оценка

дои1\\и> + К

к+1 |

к

Е

п= 1

А2ДЗо<

ff;

+ \\и"+1\\н +«1К+1Н^ ) £

iff.

ki

(20)

где К не зависит от а £ [0,1], к + 1 ^ Т/г и

п= 1

fi\\H, +«\\т\12 + imii^, + 1К11я + IK llff •

Доказательство. Умножая (7) скалярно на тдои", а (9) — на — ти"+1, суммируя полученные два равенства, а затем производя суммирование по га 6 получим исходное равенство

((доК ~ до<)я< + + <

п= 1 ^

п+1 п —1\ , _ II п+111

г [(Л1, Зо<)я' - «(Л\ <+1)я21 • (21)

п= 1

Из (21) легко выводится оценка

к

,2 а х -

I + 2/_^т\\и2

п= 1

п+1

1 *

I2 - I - МО ..п ||2

т\\д0и^н,+Ф'к.

п= 1

I я2 - 4 ^

Для ее левой части получим нужную оценку сверху через (см. этап 5 доказательства теоремы 1).

п-1

Далее, суммируя по га уравнения (7) и используя формулы С/"+1 = г \\и"+1 + ^и™] + ^ и\ + +

1=2

п п

га ^ 2, Г™ = г ^ /{, га ^ 1, С/"+1 = г ^ ?4+1, га ^ 1, для "проинтегрированных" компонент решения и 1=1 1=1 правой части в (7), приходим к уравнению

М0О< + + А1,2С/2"+1 = М^", га ^ 1. (22)

Выразим из (22) А^С/™-1-1 через величины, для которых уже известны априорные оценки, и для полученных равенств вновь применим фундаментальное неравенство (2). Это позволит оценить сверху

Х2 Е г ^ ||н чеРез к2Наконец, (9) дает выражение для АгдЗои™. Полученные оценки

п= 1 2

позволяют заключить о справедливости (20).

Для разности г = ио — иа решений задач (6), (7), (9) с параметрами а 6 [0, «о] и а = 0 получим задачу

~МА0г" + 1/2К+1 + гГ1] АмгГ^

а2ДЗ0^Г О

п-1

с нулевыми условиями (6). Поэтому при = т + \ + X} + \г\ + 22!' ^ 2, справедлива

1=2

Теорема 4. При выполнении условий теоремы 3 и при равномерной ограниченности с А; + 1 ^ Г/г для разности г справедлива априорная оценка

А'0г" =

0

««Й1.

|30^||я, + |К+1||Я+ > т

к

Е

п= 1

А2Лд

н2

+ Я

п+1 I

2 Пя2+аР2

п+1 I

i я,

< Ка.

(23)

5. Примеры. Ограничимся конкретными примерами, связанными с известной проблемой перехода от классического однородного условия Дирихле к естественным краевым условиям в усиленных пространствах Соболева для задач динамики, рассматривая только случай волнового уравнения с двумя пространственными переменными х\ и х2 и временем £ = хо; х = [жо^ъ^г] £ Ят = ^ X [О, Г], где — ограниченная область на плоскости с липшицевой границей Г, состоящей из конечного числа гладких дуг. Производные будем обозначать через = к = 0,1, 2. Отметим, что при рассмотрении внешних краевых задач важность подобных вопросов о срезке бесконечности и о постановке краевых условий, менее жестких, чем условия Дирихле (типа классических условий излучения), подчеркивалась многими исследователями (см., например, [4-6]).

Начнем с рассмотрения гильбертова пространства Н = Н1 Го) с ||и(£„)||я = f |Уи(£„) |2 с1х.

п

Заменим его в качестве примера гильбертовым пространством (усиленным пространством Соболева) С1'1 = 5; Го), состоящим из элементов V 6 Н таких, что их следы на 5 = Г1 = Г \ Го

принадлежат #¿(5) = Нч (для простоты изложения считаем 5 состоящим из одной гладкой дуги);

1Н12 = М% + 1 (24)

в (24) константа а\ х 1; под и на 5 подразумевается след (и|5) функции V на 5, 5 — параметр дуги (длины дуги) для 5, а Иц обозначает дифференцирование вдоль 5 (см. [7, 8, 14]).

Это С1'1 и будет выступать у нас в роли гильбертова пространства Н = Н\. В роли оператора М возьмем оператор, определяемый равенством

(Ми(^„), и(^„))я = (и(^„), и(^„))ь2(п) + «1 У Уи(гп) е я, Ув(^) £ Я. (25)

В роли Агд £ С(Н\]Н2) возьмем нормально обратимый оператор взятия следа на 5. Заметим, что для нахождения Ми по заданному элементу и в (25) требуется решение уравнения Пуассона с уже хорошо известным естественным краевым условием.

Приведенная теорема 4 позволяет, в частности, проанализировать переход от однородных условий Дирихле на 5 к естественным краевым условиям в пространстве Н для волнового уравнения, имеющим в классической постановке вид

2-1д[и"+1+и"-1] + а-1Ао{02иП) + а±в 2К+1 + ип-1} =

где п — единичный вектор внешней нормали к границе области (заметим, что подобная задача родственна задаче о колебаниях упругой мембраны, подкрепленной на 5 струной с возрастающей массой на 5).

Полученная теорема 2 для задачи (6)-(8) позволяет улучшить оценку возмущения до асимптотически оптимальной оценки О (а), но за счет нелокального краевого условия

2~1д[и"+1 + иП~1] + «-1 До (01Мип) + + и"-1] = О

на 5, требующего решения (25). Заметим, что для эллиптических задач на составных многообразиях несколько похожие нелокальные условия для сопряжения на пересечении трехмерного и двумерного блоков были предложены в [15].

6. Замечания. В приведенном примере, конечно, возможны разнообразные более сложные ситуации, связанные с рассмотрением более общего одномерного каркаса

г*

5= и5г

г= 1

и более общего типа областей, в частности с нелипшицевой границей (с сингулярными точками (см. [14]). Интересен и случай, когда Го = 0, а 5 = Г; для него можно использовать ту же метрику, но при дополнительной ортогональности к единице в определении Н (возможна и просто замена оператора Лапласа А в исходном уравнении на А — 1). Подчеркнем, что легко получаются обобщения на более общие типы уравнений (3) и (4), в частности содержащих в левых частях дополнительное слагаемое типа сМдоип с константой с > 0. Легко изучаются и несколько иные типы задач с использованием подпространств Н в пространстве С1'2 (см. [8, 13, 14]). Интересны более сложные вопросы, связанные с использованием производных по времени вместо их разностных аналогов — для задачи, соответствующей (6)—(8), на основе теорем существования [4] и возможности гладких аппроксимаций для решений можно для задачи с производными по времени строить априорные оценки для упомянутых гладких аппроксимаций по аналогии с теоремами 1 и 2 с последующим замыканием этих оценок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ДьяконовЕ. Г. О регулярных возмущениях дискретных нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 4. С. 3-10.

2. ДьяконовЕ. Г.О регулярных возмущениях нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями. II // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 6. С. 779-791.

3. ДьяконовЕ. Г. О Ньютоновской форме уравнений в энергетическом пространстве для нестационарных задач математической физики // Докл. РАН. 2006. 74. № 3.

4. Мае лов В. П. Операторные методы. М., 1973.

5. Sheen D. Second-order absorbing boundary conditions for the wave equation in a regular domain // Math. Сотр. 1993. 61. P. 599-606.

6. Duong Т.Н., Joly P. On the stability analysis of boundary conditions for the wave equation by energy methods // Math. Сотр. 1994. 62. P. 539-563.

7. D'yakonov E.G. Optimization in solving elliptic problems. Boca Raton: CRC Press, 1996.

8. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2001.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

11. Дьяконов Е.Г. Разностные методы. Нестационарные задачи. М.: Изд-во МГУ, 1972.

12. D'yakonov E.G. Special types of badly conditioned operator problem in energy spaces and numerical methods for them // Lect. Notes Сотр. Science. 2001. 1988. P. 273-284.

13. Дьяконов Е.Г. О спектральных задачах в энергетических пространствах на составных многообразиях с особой геометрией блоков. III // Диф. ур-ния. 2005. 41. № 10. С. 1375-1386.

14. Дьяконов Е.Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2003. 243. С. 213-219.

15. Lions J.L. Some more remarks on boundary value problems and junctions // Asympotic Methods for Elastic Structures / Eds.: Ciarlet, Trabucho, Viano. Berlin: Valter de Grueyter Co, 1995. P. 103-118.

Поступила в редакцию 23.03.06

УДК 519.6

Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов

ОБ ОДНОМ НОВОМ КЛАССЕ НОРМАЛЬНЫХ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ1

(кафедра общей математики факультета ВМиК, e-mail: [email protected])

1. Задача об описании нормальных теплицевых матриц, поставленная и решенная авторами (см. [1-3]), привлекла большое внимание в алгебраической литературе. На протяжении десяти лет был предложен ряд ее решений, отличающихся от первоначального (см. [4-8]). Само описание имеет замечательно простой вид и дается следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть А — комплексная матрица, одновременно нормальная и теплицева. Тогда справедливо хотя бы одно из двух утверждений:

1 Работа второго автора была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 04-07-90336 и 05-01-00721) и программой фундаментальных исследований отделения математических наук РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач" по проекту "Матричные методы в интегральных и дифференциальных уравнениях".