УДК 519.633
Е.Г. Дьяконов
О НЕКОТОРЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ С СИНГУЛЯРНЫМ ПАРАМЕТРОМ
(кафедра общей математики факультета ВМиК)
1. Введение. Настоящая работа является продолжением [1-3] и посвящена изучению корректности особого типа дискретных нестационарных задач математической физики, родственных задачам динамики сплошных сред и содержащих сингулярный параметр ^ с а —у +0. Основной задачей является получение теорем корректности с априорными оценками, не зависящими от параметра а 6 [0,1]. Как их следствие получаются и оценки близости решений задач са>0иа = 0в соответствующих энергетических пространствах с оценками нормы разности решений типа О (а) и О (а1/2). Особое внимание уделяется первому случаю, для которого анализ проводится в энергетических пространствах с нормами, содержащими вторые разности по времени. К сожалению, этот новый и содержательный анализ требует весьма специфических ограничений на вид оператора, умножаемого на сингулярный параметр, и в ряде случаев предполагает использование дополнительных вычислений (в частности, связанных с появлением новых типов нелокальных краевых условий в задачах о срезках бесконечности (о переходе к случаю ограниченной области) в гиперболических задачах (см. [1, 4-6])).
2. Постановка задачи. При выборе равномерной сетки по времени {¿п = гаг}, га = 0,1,... ... , га* + 1 = Т/г (г — шаг сетки) на данном отрезке [О, Г], Т > 0, рассматриваемые дискретные задачи динамики имеют дело с абстрактными функциями и на и со значениями в некотором данном (основном) энергетическом (гильбертовом) пространстве Н = Н\ (и(£„) = и" 6 Н). Для определенности Н считается вещественным и имеющим счетный или конечный базис; случай, относящийся к использованию не одного, а целого семейства конечномерных подпространств и имеющий место при изучении приближенных методов (например, проекционно-сеточных и разностных), требует лишь уточнения некоторых условий (используемые константы в оценках должны быть равномерными по параметру /г, определяющему конкретное конечномерное подпространство). Заметим, что || и11определяется потенциальной энергией состояния и11 системы и может иметь довольно сложный вид (см. [4], в случае волнового уравнения берется Н = Н1^', Го) с ||и(£„)||^ = f |Уи(£„)|2 йх).
п
В дальнейшем используются разностные аналоги производных по времени: дои" = [и" — и"_1]/г, до и" ее [ип+1 - и"]/т, до и" ЕЕ 1/2 [д0ип + до ип], Д0 и™ ЕЕ до д0ип = 1 /т2[ип+1 - 2 и" + и"'1]. Кроме того, необходима информация о свойствах двух важнейших операторов: М 6 С(Н]Н) и А2д Е С(Н1] Н2), где С{Н\] Н2) обозначает линейное нормированное пространство линейных ограниченных операторов, отображающих Н\ в гильбертово пространство Н2 (сЦт Н2 ^ сЦт.Н"1). Оператор М = М* > 0 является симметричным положительным и компактным с собственными числами 6 (0,51]. В задачах динамики упругих систем оператор М может трактоваться как некоторый оператор соответствия между кинетической и потенциальной энергиями; если в качестве примера берется Н = Н1^] Го), то в роли М можно взять оператор, определяемый равенством (Ми(£„), и(£„))я = 'и(^п))ь2{и) 1
\/и(£„) Е Н, \/и(£„) Е Н. Оператор же А2д всегда будет нормально обратимым (1т А2д = Н2); в задачах динамики упругих систем он вместе с сингулярным параметром, а иногда и вместе с оператором М определяет изучаемые возмущения кинетической энергии. Напомним (см. [7, 8]), что для нормально обратимого оператора А2д всегда существует правый обратный А2 = А\ 1 £ С{В.2\Н\) и
л(-1) Л2,1
ЕЕ <7 < ос; (1)
условие (1) эквивалентно любому из условий
||А2*дИ2||я1 ^ (т\\и2\\Н2 , (Т>0 Уи2еЯ2; А2ДА2*д ^ а212, (2)
где обозначает тождественный оператор в Нк = 1, 2. В качестве важнейших и часто применяемых нормально обратимых операторов А2д можно назвать операторы следа, дивергенции, сужения, скачка на разрезе (см. [7, 8]).
Нашей целью является изучение корректности и получение оценок возмущения для двух основных модельных типов дискретных задач:
\[ип+1 + и"-1] + —. I а
МА0ип + ип+1 + и""1] + -А2* ^гдМАои" = М/", (3)
' а '
1, 1
МА0ип + ^-[ип+1 + и""1] + -А2* ^2,100«" = М/п, (4)
/ а '
где каждая из указанных задач является по сути дела рекуррентной по га ^ 1 последовательностью стационарных задач в Н относительно ип+1 и должна решаться при начальных условиях (на двух временных слоях)
ип = уп1 га = 0,1, (5)
(однозначная разрешимость для (4) очевидна); форма правых частей объясняеся тем, что чаще всего они считаются элементами пространств типа 1/2 (£1) (для модельных задач). Относительно стандартные априорные оценки решений дифференциальных задач и их дискретных аналогов типа (3)-(5) могут быть найдены в [9-11]. В рассматриваемых задачах ^А21А2дМ и ^А21А2д могут трактоваться как интересующие нас операторы, определяющие возмущения кинетической энергии. Равномерные по а априорные оценки (в достаточно сильных нормах) для родственных стационарных и спектральных задач начали изучаться с начала восьмидесятых годов и имеют фундаментальное значение для нахождения эффективных численных методов (см. [7, 8]), но для нестационарных задач такие оценки были получены лишь сравнительно недавно (см. [1, 2, 12]), а для задач динамики их удавалось получить лишь в довольно слабых нормах (см. теорему 7 в [1]).
Для получения желаемых оценок для задач (3)-(5) мы переписываем последние как задачи в Н = Н\ X #2, вводя соответствующие обозначения: и" = и™, /" = /", = А\ 1, и = [и\ ■ и2] и и"+1 = ¿АгдМАои" (для (3)), и"+1 = ¿А2д<90и" (для (4)). Тогда вместо (5), (3) мы получим
< = га = 0,1, (6)
МА0< + 1/2К+1 + иГ1] + = МД\ (7)
а2дМАо<-ч+1 =/2", (8)
/" введено вместо нуля ради общности оценок. Вместо (4) получим (7) и
А2д30<-«<+1 =/2". (9)
Важно, что в эту функциональную трактовку можно перевести целый ряд разнообразных и важных задач в энергетических пространствах Н = £(Х) на составных многообразиях X; свойства этих относительно новых пространств и применимость теоремы Гильберта-Шмидта изучалась в [1-3, 7, 8, 12, 13].
3. Априорная оценка для задачи (6)—(8). При исследовании корректности будем применять также гильбертовы пространства Н' = Нм; Н" = Нм2, более слабые, чем первичное Н, и являющиеся пополнением Н в норме, определяемой операторами М и М2 при выборе скалярного произведения (и,у)н< = (Ми,у)н, (и,и)я" = (Ми, Ми)н (они, как показано в [3], очень полезны при изучении производных по времени; в частности, их использование позволило обосновать знаменитый принцип Гамильтона-Остроградского и в ряде случаев получить операторные формулировки гиперболических задач с оператором, имеющим ограниченное число обусловленности). Заметим, что Н С Н' С Н" и
2
Н'
2
я. «
2
Н
Подчеркнем также, что (7) позволяет выразить через осталь-
ные члены уравнения и, следовательно, на основе (2) получить оценку
Г2 || я.
^ К2 + 11АоИ"11я'' + 1К+111я + 1К-1я) ; (10)
здесь и ниже К и к используются только для обозначения не зависящих от сетки и параметра а констант.
Разрешимость получаемых систем в случае (4) уже отмечалась, но полезно заметить, что на каждом новом временном слое эти системы в Н содержат строго седловой оператор А = А* с малым или даже нулевым параметром а, оператор А имеет число обусловленности к(А) = ||А|| • ||А-1||, равномерно ограниченное по а £ [0,1].
Для (7), (8) имеем более сложные задачи типа
AU ЕЕ
1
А 1,2 ' Ml
—оД_ .И2. /2.
разрешимость которых зависит от положительной определенности в Н оператора
-1
М
S = al2 + м,\ —
Д +
М
11,2-
В силу того что D = ^f [Д + ^f] 1 = D* ^ yq^-M, это свойство имеет место при а > 0. В случае же а = 0 это свойство будет справедливо, например, когда dim Н < оо (оператор М тогда становится положительно определенным в Н для фиксированной задачи).
Теорема 1. Задача (6)-(8) с а £ (0,1] поставлена корректно и для его решения при т ^ то справедлива априорная оценка:
к
(||До<Ня» + ||A2,iMAo<||^2 + |к+1||я2) + 1мия, + Н+1\\н+Ш2н < КФк, (11)
п= 1
где К не зависит от а, к + 1 ^ Т/г и
п= 1
гп
Ji
н>
+ и.
2 IIЯ2
+ ЦдоиЦ" + || и? || L + |К||1 + || А2ЛМд0и\
\Н, ■
Доказательство. Доказательство будем проводить по аналогии с доказательством теоремы 5 из [1] (в [1] изучался более простой случай с положительно определенным оператором М х Д), разбивая его на на несколько этапов.
Этап 1. Умножая (7) скалярно на гМДои", а (8) — на — ти"+1, суммируя полученные два равенства, а затем производя суммирование по п £ [1,/г], получим
к
к
т
(||До<||^ + « IK+1 |1я2) = r Е (wr - !/2K+1 + «Г1], МАоОя " (Л\ <+1)я2
(12)
п= 1 п= 1
При любом г/i > 0 из (12) легко получить оценку к
п= 1
ГЕ 9 11АоИ111я» + "|К
п+1\\ I <
2 11 Нп 1 ^
к
к+1
к+1
п= 1 71 = 0 п= 1
1 П=1
2 11я2
(13)
Этап 2. Из (8) при
1=2
п-1
+ га ^2, С/22 = -^; F2" = t]T/< + -/2", га ^ 2, F\ =-f\
i=i
A2:1Dd0u? - af/2"+1 = F2" + A2iIM30m?, га ^ 1.
следует, что
(14)
Умножая (7) скалярно на тдои", а (14) — на — ти"+1, суммируя полученные два равенства, а затем производя суммирование по п 6 получим
п= 1 4
к
3„< + а(1/"+1, и"+1)) =
Н'
г ((/г, 4,<)я< - (Т2" + А2,1Мд0и°11 <+1)я2) + ^ + \ \\и\ |Г + \ 11«; ||2 . (15)
п= 1
Левая часть (15) уменьшается при выбрасывании слагаемого с а, так как
п= 1
Правая часть (15) оценивается сверху довольно стандартно с использованием произвольных констант VI > О, I = 2,3,4. В итоге из (15) получается оценка
, 2 . 1„ ¡и 112 „ 1
1 IIЯ О,к \\2 I 1 | 11^1 1 11„,<Ч|2 ^ 1 IIЯ „ом2 , 1 ||„,1 II2 , 1 ||„,0||2 , ^2 ^ ^ II я „,"112 _1_
2 II 0 1Ня' II 1 II 4 II 1II 0 + 4 II И1|1 +4Р1И + у Ия' +
+ — У г Л" 2 +^-\\Р2"\\2н
2г/2 ^ н> ^ V 2 11 2 "Я2 2г/3 11 2 ИЯ2
П=1
П=1
+ Е
П=1
п=0
2 11 ^ ||Д2 2 г/4 11 ' мя2
(16)
Этап 3. Сложение неравенств (13) и (16) дает
п= 1
/с+1 I
+ к
п= 1
Я'
+
+ «.г Е ||«П1я + 1"1 + "32+^Г £ 11<" И'к + т ||в»<Ин' +
71 = 0 71= 1 71 = 0
+
1
2 г/1 2 г/3
П=1
+ (17)
здесь также использовано очевидное неравенство
к к
2 11Я2
п= 1
п= 1
Этап 4. Огрубим (17) за счет оценки (10) для ||и2+1||?т и неравенства М ^ 51/1. Это дает
1 ^1+^3 + ^4 « ~ к0---
п= 1
2 . ¿1,0 4
II я
+ к
я
<
к
\ ||ЗоИ?||^ + А. ||А2дМЗоИ?||к + + т^1 + 2/3 + г Е 11^
^ 2 п=1
+
1 К2
2 г/1 2 г/3
&+1
П=1
п=0
Г Е 11А"11к + («1 + + + ^4])г £ КНя + У Е Г
Я' /с
+
12
1я'
п=0
Отсюда при достаточно малом г^ + г/3 + г/4 заключим о справедливости базисного неравенства к к+1 к
,к+1 i
1 I
к I
Iff
+ к
Iff
п=1
^ + К4т IIй"IIн + к5 ^ т ||Зо<Ня<
(18)
п=2
п=0
с положительными константами. Этап 5. Из (18) следует, что
к+1
11 + 1\\2н + ll^illff' ^ к6Фк + к7Ук+1,
где Ук+1 = т ^ ||«Г||#+Х) г 11^ои"||я,, Ци^ ||я+||5ои^||я, =[Т4+1-Т4]г 1. Это разностное (относи-
п=о п=0
тельно Ук) неравенство стандартным образом (при г < то, го — достаточно мало) позволяет оценить через Фк, что вместе с (18) дает априорную оценку
tJ2\\Ao<\\h" + \\do4Wl, + K+lff + Ihillн ^
(19)
п= 1
к
Этап 6. Для оценки г ^
п= 1
нужная оценка.
п+1 i
Iff;
сверху применимо неравенство (10). С учетом (19) получается
Этап 7. Для завершения доказательства оценим ^ г ||А2дМДои"||я сверху на основе (8) и уже
п= 1
полученных априорных неравенств (на этом этапе существенна ограниченность а).
Из теоремы 1 легко получить и теорему о регулярном возмущении. В самом деле, обозначая решение с а через иа = [и1,а> и2,а]> для разности г = иа< — иа получим задачу
Anzn =
MA0z? + 1/2 [*Г+1 + Ah2zn+1
A2I1MA0z?
— a z.
2
I ^п+1
О
(а' — а)и™~
п+1
с нулевыми условиями (6). Поэтому справедлива
Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 и при равномерной ограниченности Фк для разности г = иа< — иа справедлива априорная оценка
к
(НДо^ГНя» + \\A2,1MA0Zi\\h2 + lh"+1||ff2) + Ио^Ця- +
vk+1 ||2 , || „к\\2 - т,- i / |2
Iff
II I I ^ т ~ \ I li
+ \\zf\\н ^ К \а - а\ .
п= 1
Приведенная оценка асимптотически оптимальна и не требует никаких других условий на гладкость решений. Заметим, что в силу этой же теоремы можно говорить о возможности расширить полученный результат и на случай с а = 0, рассматривая его решение как предел решений задач с положительными и стремящимися к нулю параметрами ак = 1 /к (в частности, при dim Н < оо корректность соответствующей задачи можно доказать и непосредственно).
4. Априорная оценка и теорема о возмущении для задачи (6), (7), (9). Ниже считаем, что в (9) все /" заменены на af".
Теорема 3. Задача (6), (7), (9) с af" в роли f" и с а £ [0,1] поставлена корректно и для ее решения при т ^ то справедлива априорная оценка
дои1\\и> + К
к+1 |
к
Е
п= 1
А2ДЗо<
ff;
+ \\и"+1\\н +«1К+1Н^ ) £
iff.
ki
(20)
где К не зависит от а £ [0,1], к + 1 ^ Т/г и
п= 1
fi\\H, +«\\т\12 + imii^, + 1К11я + IK llff •
Доказательство. Умножая (7) скалярно на тдои", а (9) — на — ти"+1, суммируя полученные два равенства, а затем производя суммирование по га 6 получим исходное равенство
((доК ~ до<)я< + + <
п= 1 ^
п+1 п —1\ , _ II п+111
г [(Л1, Зо<)я' - «(Л\ <+1)я21 • (21)
п= 1
Из (21) легко выводится оценка
к
,2 а х -
I + 2/_^т\\и2
п= 1
п+1
1 *
I2 - I - МО ..п ||2
т\\д0и^н,+Ф'к.
п= 1
I я2 - 4 ^
Для ее левой части получим нужную оценку сверху через (см. этап 5 доказательства теоремы 1).
п-1
Далее, суммируя по га уравнения (7) и используя формулы С/"+1 = г \\и"+1 + ^и™] + ^ и\ + +
1=2
п п
га ^ 2, Г™ = г ^ /{, га ^ 1, С/"+1 = г ^ ?4+1, га ^ 1, для "проинтегрированных" компонент решения и 1=1 1=1 правой части в (7), приходим к уравнению
М0О< + + А1,2С/2"+1 = М^", га ^ 1. (22)
Выразим из (22) А^С/™-1-1 через величины, для которых уже известны априорные оценки, и для полученных равенств вновь применим фундаментальное неравенство (2). Это позволит оценить сверху
Х2 Е г ^ ||н чеРез к2Наконец, (9) дает выражение для АгдЗои™. Полученные оценки
п= 1 2
позволяют заключить о справедливости (20).
Для разности г = ио — иа решений задач (6), (7), (9) с параметрами а 6 [0, «о] и а = 0 получим задачу
~МА0г" + 1/2К+1 + гГ1] АмгГ^
а2ДЗ0^Г О
п-1
с нулевыми условиями (6). Поэтому при = т + \ + X} + \г\ + 22!' ^ 2, справедлива
1=2
Теорема 4. При выполнении условий теоремы 3 и при равномерной ограниченности с А; + 1 ^ Г/г для разности г справедлива априорная оценка
А'0г" =
0
««Й1.
|30^||я, + |К+1||Я+ > т
к
Е
п= 1
А2Лд
н2
+ Я
п+1 I
2 Пя2+аР2
п+1 I
i я,
< Ка.
(23)
5. Примеры. Ограничимся конкретными примерами, связанными с известной проблемой перехода от классического однородного условия Дирихле к естественным краевым условиям в усиленных пространствах Соболева для задач динамики, рассматривая только случай волнового уравнения с двумя пространственными переменными х\ и х2 и временем £ = хо; х = [жо^ъ^г] £ Ят = ^ X [О, Г], где — ограниченная область на плоскости с липшицевой границей Г, состоящей из конечного числа гладких дуг. Производные будем обозначать через = к = 0,1, 2. Отметим, что при рассмотрении внешних краевых задач важность подобных вопросов о срезке бесконечности и о постановке краевых условий, менее жестких, чем условия Дирихле (типа классических условий излучения), подчеркивалась многими исследователями (см., например, [4-6]).
Начнем с рассмотрения гильбертова пространства Н = Н1 Го) с ||и(£„)||я = f |Уи(£„) |2 с1х.
п
Заменим его в качестве примера гильбертовым пространством (усиленным пространством Соболева) С1'1 = 5; Го), состоящим из элементов V 6 Н таких, что их следы на 5 = Г1 = Г \ Го
принадлежат #¿(5) = Нч (для простоты изложения считаем 5 состоящим из одной гладкой дуги);
1Н12 = М% + 1 (24)
в (24) константа а\ х 1; под и на 5 подразумевается след (и|5) функции V на 5, 5 — параметр дуги (длины дуги) для 5, а Иц обозначает дифференцирование вдоль 5 (см. [7, 8, 14]).
Это С1'1 и будет выступать у нас в роли гильбертова пространства Н = Н\. В роли оператора М возьмем оператор, определяемый равенством
(Ми(^„), и(^„))я = (и(^„), и(^„))ь2(п) + «1 У Уи(гп) е я, Ув(^) £ Я. (25)
В роли Агд £ С(Н\]Н2) возьмем нормально обратимый оператор взятия следа на 5. Заметим, что для нахождения Ми по заданному элементу и в (25) требуется решение уравнения Пуассона с уже хорошо известным естественным краевым условием.
Приведенная теорема 4 позволяет, в частности, проанализировать переход от однородных условий Дирихле на 5 к естественным краевым условиям в пространстве Н для волнового уравнения, имеющим в классической постановке вид
2-1д[и"+1+и"-1] + а-1Ао{02иП) + а±в 2К+1 + ип-1} =
где п — единичный вектор внешней нормали к границе области (заметим, что подобная задача родственна задаче о колебаниях упругой мембраны, подкрепленной на 5 струной с возрастающей массой на 5).
Полученная теорема 2 для задачи (6)-(8) позволяет улучшить оценку возмущения до асимптотически оптимальной оценки О (а), но за счет нелокального краевого условия
2~1д[и"+1 + иП~1] + «-1 До (01Мип) + + и"-1] = О
на 5, требующего решения (25). Заметим, что для эллиптических задач на составных многообразиях несколько похожие нелокальные условия для сопряжения на пересечении трехмерного и двумерного блоков были предложены в [15].
6. Замечания. В приведенном примере, конечно, возможны разнообразные более сложные ситуации, связанные с рассмотрением более общего одномерного каркаса
г*
5= и5г
г= 1
и более общего типа областей, в частности с нелипшицевой границей (с сингулярными точками (см. [14]). Интересен и случай, когда Го = 0, а 5 = Г; для него можно использовать ту же метрику, но при дополнительной ортогональности к единице в определении Н (возможна и просто замена оператора Лапласа А в исходном уравнении на А — 1). Подчеркнем, что легко получаются обобщения на более общие типы уравнений (3) и (4), в частности содержащих в левых частях дополнительное слагаемое типа сМдоип с константой с > 0. Легко изучаются и несколько иные типы задач с использованием подпространств Н в пространстве С1'2 (см. [8, 13, 14]). Интересны более сложные вопросы, связанные с использованием производных по времени вместо их разностных аналогов — для задачи, соответствующей (6)—(8), на основе теорем существования [4] и возможности гладких аппроксимаций для решений можно для задачи с производными по времени строить априорные оценки для упомянутых гладких аппроксимаций по аналогии с теоремами 1 и 2 с последующим замыканием этих оценок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ДьяконовЕ. Г. О регулярных возмущениях дискретных нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 4. С. 3-10.
2. ДьяконовЕ. Г.О регулярных возмущениях нестационарных задач математической физики, связанных с линейными ограничениями. II // Диф. ур-ния. 2001. 37. № 6. С. 779-791.
3. ДьяконовЕ. Г. О Ньютоновской форме уравнений в энергетическом пространстве для нестационарных задач математической физики // Докл. РАН. 2006. 74. № 3.
4. Мае лов В. П. Операторные методы. М., 1973.
5. Sheen D. Second-order absorbing boundary conditions for the wave equation in a regular domain // Math. Сотр. 1993. 61. P. 599-606.
6. Duong Т.Н., Joly P. On the stability analysis of boundary conditions for the wave equation by energy methods // Math. Сотр. 1994. 62. P. 539-563.
7. D'yakonov E.G. Optimization in solving elliptic problems. Boca Raton: CRC Press, 1996.
8. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2001.
9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
10. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
11. Дьяконов Е.Г. Разностные методы. Нестационарные задачи. М.: Изд-во МГУ, 1972.
12. D'yakonov E.G. Special types of badly conditioned operator problem in energy spaces and numerical methods for them // Lect. Notes Сотр. Science. 2001. 1988. P. 273-284.
13. Дьяконов Е.Г. О спектральных задачах в энергетических пространствах на составных многообразиях с особой геометрией блоков. III // Диф. ур-ния. 2005. 41. № 10. С. 1375-1386.
14. Дьяконов Е.Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Тр. МИАН. 2003. 243. С. 213-219.
15. Lions J.L. Some more remarks on boundary value problems and junctions // Asympotic Methods for Elastic Structures / Eds.: Ciarlet, Trabucho, Viano. Berlin: Valter de Grueyter Co, 1995. P. 103-118.
Поступила в редакцию 23.03.06
УДК 519.6
Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов
ОБ ОДНОМ НОВОМ КЛАССЕ НОРМАЛЬНЫХ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ1
(кафедра общей математики факультета ВМиК, e-mail: ikramov@cs.msu.su)
1. Задача об описании нормальных теплицевых матриц, поставленная и решенная авторами (см. [1-3]), привлекла большое внимание в алгебраической литературе. На протяжении десяти лет был предложен ряд ее решений, отличающихся от первоначального (см. [4-8]). Само описание имеет замечательно простой вид и дается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть А — комплексная матрица, одновременно нормальная и теплицева. Тогда справедливо хотя бы одно из двух утверждений:
1 Работа второго автора была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 04-07-90336 и 05-01-00721) и программой фундаментальных исследований отделения математических наук РАН "Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач" по проекту "Матричные методы в интегральных и дифференциальных уравнениях".